新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第7章隨機(jī)變量及其分布7.4二項(xiàng)分布與超幾何分布7.4.2超幾何分布學(xué)生用書(shū)新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

7.4.2超幾何分布學(xué)習(xí)任務(wù)1．理解超幾何分布的概念及特征，能夠判斷隨機(jī)變量是否服從超幾何分布．(數(shù)學(xué)抽象)2．會(huì)利用公式求服從超幾何分布的隨機(jī)變量的概率、均值．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．能用超幾何分布的概率模型解決實(shí)際問(wèn)題．(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算)已知在8件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從8件產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，用X表示取到的次品數(shù)，X可取哪些值？P(X＝2)的值呢？如何求P(X＝k)?知識(shí)點(diǎn)1超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝__________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r．其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，N——總體中的個(gè)體總數(shù)，M——總體中的特殊個(gè)體總數(shù)(如次品總數(shù))，n——樣本量，k——樣本中的特殊個(gè)體數(shù)(如次品數(shù))．什么樣的概率問(wèn)題適合超幾何分布？知識(shí)點(diǎn)2服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù)．令p＝MN，則p是N件產(chǎn)品的次品率，而Xn是抽取的n件產(chǎn)品的次品率，則E(X)＝nMN1．思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)超幾何分布是不放回抽樣． ()(2)超幾何分布的總體是只有兩類(lèi)物品． ()(3)超幾何分布與二項(xiàng)分布沒(méi)有任何聯(lián)系． ()2．某10人組成興趣小組，其中有5名團(tuán)員，從這10人中任選4人參加某種活動(dòng)，用X表示4人中的團(tuán)員人數(shù)，則P(X＝3)＝________．3．已知100件產(chǎn)品中有10件次品，從中任取3件，則任意取出的3件產(chǎn)品中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)_____________________．類(lèi)型1超幾何分布超幾何分布的判斷【例1】下列問(wèn)題中，哪些屬于超幾何分布問(wèn)題？說(shuō)明理由．(1)拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是6的骰子的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列；(2)有一批種子的發(fā)芽率為70%，任取10顆種子做發(fā)芽試驗(yàn)，把試驗(yàn)中發(fā)芽的種子的顆數(shù)記為X，求X的分布列；(3)盒子中有紅球3個(gè)，黃球4個(gè)，藍(lán)球5個(gè)，任取3個(gè)球，把不是紅色的球的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列；(4)某班級(jí)有男生25人，女生20人．選派4名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動(dòng)，班長(zhǎng)必須參加，其中女生人數(shù)記為X，求X的分布列；(5)現(xiàn)有100臺(tái)平板電腦未經(jīng)檢測(cè)，抽取10臺(tái)送檢，把檢驗(yàn)結(jié)果為不合格的平板電腦的臺(tái)數(shù)記為X，求X的分布列．[嘗試解答]判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從超幾何分布的方法(1)總體是否可分為兩類(lèi)明確的對(duì)象．(2)是否為不放回抽樣．(3)隨機(jī)變量是否為樣本中其中一類(lèi)個(gè)體的個(gè)數(shù)．超幾何分布的概率【例2】從放有10個(gè)紅球與15個(gè)白球的暗箱中，隨機(jī)摸出5個(gè)球，規(guī)定取到一個(gè)白球得1分，一個(gè)紅球得2分，求某人摸出5個(gè)球，恰好得7分的概率．[嘗試解答](1)解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是先分析隨機(jī)變量是否滿足超幾何分布．(2)注意公式中M，N，n的含義．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7，8，9，10．現(xiàn)從中任取4個(gè)球，有如下幾種變量：①X表示取出的最大號(hào)碼；②Y表示取出的最小號(hào)碼；③取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，ξ表示取出的4個(gè)球的總得分；④η表示取出的黑球個(gè)數(shù)．這四種變量中服從超幾何分布的是______________．(填序號(hào))2．袋中有大小、質(zhì)地相同的4個(gè)紅球和3個(gè)黑球，一次性從袋中取出4個(gè)球，取到1個(gè)紅球得1分，取到1個(gè)黑球得3分．設(shè)得分為隨機(jī)變量X．則P(X≤7)＝________．類(lèi)型2超幾何分布的分布列【例3】箱中裝有4個(gè)白球和m個(gè)黑球．規(guī)定取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分，現(xiàn)從箱中任取3個(gè)球，假設(shè)每個(gè)球被取出的可能性都相等．記隨機(jī)變量X為取出的3個(gè)球的得分之和．(1)若P(X＝6)＝25，求m(2)當(dāng)m＝3時(shí)，求X的分布列．[嘗試解答]求超幾何分布的分布列的步驟[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項(xiàng)公益活動(dòng)．(1)求所選3人中恰有1名男生的概率；(2)求所選3人中男生人數(shù)X的分布列．類(lèi)型3超幾何分布的均值【例4】某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)．在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來(lái)自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來(lái)自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院．現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每名同學(xué)被選到的可能性相同)．(1)求選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率；(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及均值．[嘗試解答]求超幾何分布均值的步驟(1)驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N，M，n的值．(2)根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率．(3)利用均值公式求解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．從5名女生和2名男生中任選3人參加英語(yǔ)演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量ξ表示所選3人中男生的人數(shù)．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的均值．1．(多選)下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X不服從超幾何分布的是()A．將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)XB．從7名男生與3名女生共10名學(xué)生干部中選出5名優(yōu)秀學(xué)生干部，選出女生的人數(shù)為XC．某射手的命中率為0.8，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊1次，記命中目標(biāo)的次數(shù)為XD．盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球時(shí)的總次數(shù)2．一批產(chǎn)品共10件，次品率為20%，從中任取2件，則恰好取到1件次品的概率為()A．2845B．1645C．11453．盒子里有5個(gè)球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中任取兩球，設(shè)取出白球的個(gè)數(shù)為ξ，則E(ξ)＝____________________．4．在30瓶飲料中，有3瓶已過(guò)了保質(zhì)期．從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到1瓶已過(guò)了保質(zhì)期飲料的概率為_(kāi)_______．回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：1．在產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)中，若抽到的次品數(shù)服從超幾何分布，則抽樣有何特點(diǎn)？2．超幾何分布的均值公式：E(X)＝np，與二項(xiàng)分布的均值公式一樣嗎？7.4.2超幾何分布[必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知]知識(shí)點(diǎn)1C思考提示：在形式上適合超幾何分布的模型常有較明顯的兩部分組成，如“男生，女生”“正品，次品”“陽(yáng)性，陰性”等．課前自主體驗(yàn)1．(1)√(2)√(3)×2．521[P(X＝3)＝C53．0.3[因?yàn)榇纹窋?shù)服從超幾何分布，所以E(X)＝3×10100＝0.3．[關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難]例1解：(1)(2)中樣本沒(méi)有分類(lèi)，不是超幾何分布問(wèn)題，是重復(fù)試驗(yàn)問(wèn)題．(3)(4)符合超幾何分布的特征，樣本都分為兩類(lèi)，隨機(jī)變量X表示抽取n件樣本中某類(lèi)樣本被抽取的件數(shù)，是超幾何分布．(5)中沒(méi)有給出不合格產(chǎn)品數(shù)，無(wú)法計(jì)算X的分布列，所以不屬于超幾何分布問(wèn)題．例2解：設(shè)摸出的紅球個(gè)數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其中N＝25，M＝10，n＝5，由于摸出5個(gè)球，得7分，僅有恰好摸出兩個(gè)紅球、三個(gè)白球一種可能情況，那么恰好得7分的概率為P(X＝2)＝C10跟進(jìn)訓(xùn)練1．④[依據(jù)超幾何分布的數(shù)學(xué)模型及計(jì)數(shù)公式，知①②③中的變量不服從超幾何分布，④中的變量服從超幾何分布．]2．1335[取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)可能為4，3，2，1個(gè)，黑球相應(yīng)個(gè)數(shù)為0，1，2，3個(gè)，其分值為X＝4，6，8，10，P(X≤7)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝C4例3解：(1)由題意得，只有當(dāng)取出的3個(gè)球都是白球時(shí)，隨機(jī)變量X＝6，所以P(X＝6)＝C43Cm＋43(2)由題意得，當(dāng)m＝3時(shí)，X的可能取值為3，4，5，6．P(X＝3)＝C3P(X＝4)＝C3P(X＝5)＝C3P(X＝6)＝C4所以X的分布列為X3456P112184跟進(jìn)訓(xùn)練3．解：(1)所選3人中恰有1名男生的概率P＝C5(2)X的可能取值為0，1，2，3，且X服從超幾何分布，則P(X＝0)＝C5P(X＝1)＝C5P(X＝2)＝C5P(X＝3)＝C4∴X的分布列為X0123P51051例4解：(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同的學(xué)院”為事件A，則P(A)＝C31C72＋(2)依據(jù)條件，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3．P(X＝k)＝C4kC63-kC103，所以X的分布列為X0123P1131所以隨機(jī)變量X的均值為E(X)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝1.2(或E(X)＝3跟進(jìn)訓(xùn)練4．解：(1)由題知ξ的可能取值為0，1，2，P(ξ＝0)＝C20C53C73＝2P(ξ＝2)＝C2所以ξ的分布列為ξ012P24