第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì)（壓軸題專練）（解析版）

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)（壓軸題專練）一、單選題1．設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過是奇函數(shù)和是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式，進而利用定義或周期性結(jié)論，即可得到答案．【詳解】[方法一]：因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路一：從定義入手．所以．[方法二]：因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路二：從周期性入手由兩個對稱性可知，函數(shù)的周期．所以．故選：D．【點睛】在解決函數(shù)性質(zhì)類問題的時候，我們通?？梢越柚恍┒壗Y(jié)論，求出其周期性進而達到簡便計算的效果．2．已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且對任意的，且，都有，則下列結(jié)論錯誤的為（

）A．是偶函數(shù) B．C．的圖象關(guān)于對稱 D．【答案】D【分析】由已知奇偶性得出函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱且關(guān)于直線對稱，再得出函數(shù)的單調(diào)性，然后由對稱性變形判斷ABC，結(jié)合單調(diào)性判斷D．【詳解】為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，的圖象關(guān)于點對稱且關(guān)于直線對稱，，，，，所以是周期函數(shù)，4是它的一個周期．，，B正確；，是偶函數(shù)，A正確；因此的圖象也關(guān)于點對稱，C正確；對任意的，且，都有，即時，，所以在是單調(diào)遞增，，，，，∴，D錯．故選：D．【點睛】結(jié)論點睛：（1）的圖象關(guān)于點對稱，也關(guān)于點對稱，則是周期函數(shù)，是的一個周期；（2）的圖象關(guān)于直線對稱，也關(guān)于直線對稱，則是周期函數(shù)，是的一個周期；（1）的圖象關(guān)于點對稱，也關(guān)于直線對稱，則是周期函數(shù)，是的一個周期．3．已知函數(shù)的定義域為R，為偶函數(shù)，，當(dāng)時，（且），且．則（

）A．16 B．20 C．24 D．28【答案】C【分析】由條件可知有對稱軸，對稱中心，推出具有周期性，由求得的值，可分別計算，結(jié)合周期性計算即可.【詳解】因為是偶函數(shù)，所以，所以，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，又因為，所以，所以，所以關(guān)于點中心對稱，由及得所以所以函數(shù)的周期為，因為當(dāng)時，（且），且，所以，解得：或，因為且，所以.所以當(dāng)時，，所以，，，，，，，所以，所以,故選：.4．已知.若對于，均有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將成立轉(zhuǎn)化成恒成立的問題，構(gòu)造函數(shù)，然后分類討論，即可求出的取值范圍.【詳解】解：由題意在中，對稱軸函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，∵對于，均有成立即對于，均有恒成立在中，對稱軸，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增當(dāng)即時，函數(shù)在上單調(diào)減函數(shù)在上單調(diào)減∴解得當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增函數(shù)在上單調(diào)減∴∴解得當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)增函數(shù)在上單調(diào)減∴∴故不符題意，舍去.當(dāng)即時函數(shù)在上單調(diào)增，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，∴解得當(dāng)即時函數(shù)在上單調(diào)增，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，此時，∴符合題意當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)增函數(shù)在上單調(diào)增∴此時∴符合題意綜上，實數(shù)的取值范圍是故選：C.【點睛】本題考查恒成立問題，二次函數(shù)不同區(qū)間的單調(diào)性，以及分類討論的思想，具有很強的綜合性.5．已知函數(shù)的定義域為，若，滿足，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．已知定義在上的函數(shù)具有性質(zhì)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)新定義可推得，恒成立，即，的值域M，滿足，求出M，列出不等式，即可求得答案.【詳解】由題意得定義在上的函數(shù)具有性質(zhì)，即，滿足，即，恒成立；記函數(shù)，的值域為M，，則由題意得,當(dāng)，即時，在單調(diào)遞減，則，即,此時不滿足，舍去；當(dāng)，即時，在時取得最大值，即，即,要滿足，需，解得或，而，故，即m的取值范圍為，故選：D【點睛】方法點睛：根據(jù)函數(shù)新定義，要能推出，恒成立，繼而將問題轉(zhuǎn)化為集合之間的包含問題，因此要求出函數(shù)的值域，根據(jù)集合的包含關(guān)系列不等式求解即可.6．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，若，，且，都有成立，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，即可求出不等式的解集.【詳解】令，由題意知在上為減函數(shù)，又為上的偶函數(shù)，所以為上的奇函數(shù)，又在上為減函數(shù)，，所以在上為減函數(shù)，①當(dāng)時，，即，所以，所以，解得；②當(dāng)時，，即，所以，所以，解得.所以或.故選：D.7．已知函數(shù)的定義域是，函數(shù)的圖象的對稱中心是，若對任意的，，且，都有成立，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的圖象的對稱中心是可得是上的奇函數(shù)，由可得，故可得在上單調(diào)遞增，然后分，和三種情況進行求范圍即可【詳解】因為是向左平移1個單位長度得到，且函數(shù)的圖象的對稱中心是，所以的圖象的對稱中心是，故是上的奇函數(shù)，所以，對任意的，，且，都有成立，所以，令，所以根據(jù)單調(diào)性的定義可得在上單調(diào)遞增，由是上的奇函數(shù)可得是上的偶函數(shù)所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，不等式得到，矛盾；當(dāng)時，轉(zhuǎn)化成即，所以；當(dāng)時，轉(zhuǎn)化成，，所以，綜上所述，不等式的解集為故選：D8．已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且當(dāng)時，.若，則（

）A． B．0 C． D．【答案】C【分析】由為偶函數(shù)，為奇函數(shù)得到，故函數(shù)的周期，結(jié)合得到，由得，從而求出，采用賦值法求出，，再使用求出的的周期，賦值法得到.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，用代替得：，因為為奇函數(shù)，所以，故①，用代替得：②，由①②得：，所以函數(shù)的周期，所以，即，因為，令得：，故，，解得：，所以時，，因為，令，得，其中，所以，因為，令得：，即，因為，所以，因為，令得：，故，.故選：C【點睛】方法點睛：抽象函數(shù)的對稱性和周期性：若，則函數(shù)關(guān)于中心對稱，若，則函數(shù)關(guān)于對稱，若函數(shù)關(guān)于軸對稱，關(guān)于中心對稱，則函數(shù)的周期為，若函數(shù)關(guān)于軸對稱，關(guān)于軸對稱，則函數(shù)的周期為，若函數(shù)關(guān)于中心對稱，關(guān)于中心對稱，則函數(shù)的周期為.二、多選題9．已知奇函數(shù)，恒成立，且當(dāng)時，，設(shè)，則（

）A．B．函數(shù)為周期函數(shù)C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D．函數(shù)的圖像既有對稱軸又有對稱中心【答案】BCD【分析】由與的關(guān)系式及的周期性、奇偶性，即可求和判斷的周期，進而判斷A和B；利用奇函數(shù)性質(zhì)求在上的解析式，結(jié)合的周期性及求上的解析式判斷C，利用對稱性判斷、是否成立判斷D.【詳解】因為，所以，，又為奇函數(shù)，故，利用，可得，故的周期為4；因為周期為4，則的周期為4，又是奇函數(shù)，所以，A錯誤，B正確；當(dāng)時，，因為為奇函數(shù)，故時，，因為恒成立，令，此時，，則，，故時，，令，即，則，即；令，即，則，即；令，即，，所以，根據(jù)周期性在上的圖像與在相同，所以，當(dāng)，即時，，故在上單調(diào)遞減，C正確；由是周期為4的奇函數(shù)，則且，所以，故關(guān)于對稱，，所以關(guān)于對稱，D正確.故選：BCD10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．，為奇函數(shù)B．，為偶函數(shù)C．，的值為常數(shù)D．，有最小值【答案】BCD【分析】對于A、B，假設(shè)成立，根據(jù)奇偶性的性質(zhì)得到方程，即可判斷；利用特殊值判斷C；對于D，將函數(shù)解析式變形為，分和兩種情況討論，即可判斷.【詳解】解：因為，，對于A：若為奇函數(shù)，則，即，即，顯然方程不恒成立，故不存在，使得為奇函數(shù)，故A錯誤；對于B：若為偶函數(shù)，則，即，即，當(dāng)時方程恒成立，故當(dāng)時，對，為偶函數(shù)，故B正確；對于C：當(dāng)，時為常數(shù)函數(shù)，故C正確；對于D：的定義域為，，所以，當(dāng)，即時變形為，當(dāng)時方程有解，當(dāng)、時方程在上恒成立，當(dāng)，即時，方程在上有解，所以，即，因為，當(dāng)、時變形為，解得，當(dāng)或時，可以求得的兩個值，不妨設(shè)為和，則，所以解得，所以當(dāng)時，，有最小值，故D正確；故選：BCD11．已知定義域為的函數(shù)滿足：（1）對任意，恒成立；（2）當(dāng)時，，則下列選項正確的有（

）A．對任意，有B．函數(shù)的值域為C．存在，使得D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減的充要條件是：存在，使得.【答案】ABD【分析】利用條件(1)判斷A；利用條件(2)判斷B；利用反證法判斷C；結(jié)合以上推導(dǎo)判斷D．【詳解】對于選項A，，A正確；對于選項B，當(dāng)時，，，從而，所以函數(shù)的值域為，B正確；對于選項C，因為，所以，假設(shè)存在使，則，所以，滿足條件的整數(shù)不存在，C錯誤；對于選項D，若，當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，，若，則，，，與已知矛盾，若，則，當(dāng)，，但，與已知矛盾，故，故，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減的充要條件是：存在，使得，D正確，故選：ABD.【點睛】本題解決的關(guān)鍵在于分區(qū)間求出函數(shù)的解析式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)判斷.12．已知定義在上的函數(shù)，，，，且，則下述結(jié)論中正確的是（

）A． B．若，則C．是偶函數(shù) D．，【答案】AC【分析】結(jié)合賦值法、奇偶性、最值等知識確定正確答案.【詳解】令，，則，因為，所以，A正確；令，則，所以，所以，所以，所以，，，，，B錯誤；令，則，即，所以，是偶函數(shù)，C正確；因為，所以，所以，，D錯誤．故選：AC．13．已知函數(shù)的定義域是，且，當(dāng)時，，，則下列說法正確的是（

）A．B．函數(shù)在上是減函數(shù)C．D．不等式的解集為【答案】ABD【分析】對于A，利用賦值法求得，從而得以判斷；對于B，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義結(jié)合抽象函數(shù)的性質(zhì)，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；對于C，利用抽象函數(shù)的性質(zhì)求得式子的值，由此得以判斷；對于D，先求得，再將不等式轉(zhuǎn)化為，從而得到關(guān)于的不等式，解之即可判斷.【詳解】對于A，因為，令，得，所以，故A正確；對于B，令，得，所以，任取，且，則，因為，所以，即，所以，所以在上是減函數(shù)，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，因為，，所以，又因為，所以由得，故，因為在上是減函數(shù)，所以，解得，所以不等式的解集為，故D正確.故選：ABD．【點睛】關(guān)鍵點睛：對于解含抽象函數(shù)的不等式問題，一般先利用抽象函數(shù)的性質(zhì)求得其在定義域上的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性脫去函數(shù)的符號“”，轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題.14．已知為非常值函數(shù)，若對任意實數(shù)x，y均有，且當(dāng)時，，則下列說法正確的有（

）A．為奇函數(shù) B．是上的增函數(shù)C． D．是周期函數(shù)【答案】ABC【分析】令，代入，即可得到再由，分別應(yīng)用函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，值域和周期性判斷A,B,C,D選項即可【詳解】對于A:由題意，令，,解得：或當(dāng)時，令，則恒成立，又已知為非常值函數(shù)故舍去，當(dāng)時，令，則恒成立，又已知為非常值函數(shù)故舍去，∴，令，則，所以，即，所以為奇函數(shù)，故A正確；對于C：令，，因為若,則,又為非常值函數(shù)故舍去，所以，所以所以,故C正確:對于B:設(shè)任意的且令所以，又因為為奇函數(shù)，所以，又因為當(dāng)時，，所以，，,即，所以是上的增函數(shù),故B正確;對于D:因為是上的增函數(shù),又因為為奇函數(shù)且,所以是上的增函數(shù),故不是周期函數(shù),故D錯誤.故選:ABC.15．已知定義在上的函數(shù)滿足：，，當(dāng)時，有則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”.根據(jù)此定義，下列函數(shù)為“理想函數(shù)”的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用定義判斷和證明函數(shù)是否為“理想函數(shù)”.【詳解】時，，，當(dāng)時，有，為“理想函數(shù)”，A選項正確；時，，，當(dāng)時，有，不是“理想函數(shù)”，B選項錯誤；時，，，當(dāng)時，有，為“理想函數(shù)”，C選項正確；時，，，當(dāng)時，有，為“理想函數(shù)”，D選項正確；故選：ACD.【點睛】思路點睛：定義型函數(shù)，是指給出閱讀材料，設(shè)計一個陌生的數(shù)學(xué)情景，定義一個新函數(shù)，并給出新函數(shù)所滿足的條件或具備的性質(zhì)；或者給出已知函數(shù)，再定義一個新概念.解答這類問題的關(guān)鍵在于閱讀理解時，要準(zhǔn)確把握新定義、新信息，并把它納入已有的知識體系之中，用原來的知識和方法來解決新情景下的問題。16．已知定義在R上的函數(shù)不恒等于零，，且對任意的∈R，有，則（

）A． B．是偶函數(shù)C．的圖象關(guān)于點中心對稱 D．是的一個周期【答案】ABC【分析】分別給取適當(dāng)值代入條件，通過代數(shù)表達式判斷函數(shù)性質(zhì).【詳解】對于A，令得，又函數(shù)不恒等于零，所以，選項A正確；對于B，令得，所以，故函數(shù)是偶函數(shù)，選項B正確；對于C,D，令，得，即，，所以函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為，選項D錯誤；又是偶函數(shù)，即，所以，即，所以的圖象關(guān)于點對稱，選項C正確.故選：ABC.17．函數(shù)，以下四個結(jié)論正確的是（

）A．的值域是B．對任意，都有C．若規(guī)定，則對任意的D．對任意的，若函數(shù)恒成立，則當(dāng)時，或【答案】ABC【分析】由函數(shù)解析式可得函數(shù)圖象即可知其值域；構(gòu)造函數(shù)判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可判斷選項B；根據(jù)C中的描述結(jié)合歸納法可推得結(jié)論成立；由函數(shù)不等式恒成立，利用變換主元法、一元二次不等式的解法即可求參數(shù)范圍.【詳解】由函數(shù)解析式可得，有如下函數(shù)圖象：∴的值域是，故該選項正確；對于B，由題得，所以函數(shù)是奇函數(shù).因為，不妨設(shè)，只需證明，只需證明，設(shè)，只需證明函數(shù)單調(diào)遞減.所以，所以函數(shù)是上的奇函數(shù).所以只要證明函數(shù)在上單調(diào)遞減.,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原理得函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以該選項正確.對于C，有，若，∴當(dāng)時，，故有.所以該選項正確.對于D，上，若函數(shù)恒成立，即有，恒成立，令，即上，∴時，，有或（舍去）；時，，故恒成立；時，，有或（舍去）；綜上，有或或；所以該選項錯誤.故選：ABC【點睛】方法點睛：1、對于簡單的分式型函數(shù)式畫出函數(shù)圖象草圖判斷其值域、單調(diào)性；2、利用函數(shù)不等式恒成立，綜合變換主元法、一次函數(shù)性質(zhì)、一元二次不等式解法求參數(shù)范圍.18．已知函數(shù)、定義域均為，且，為偶函數(shù)，若，則下面一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)條件判斷關(guān)于中心對稱和軸對稱，可求出是函數(shù)的周期，利用函數(shù)的對稱性和周期性進行轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】由可得函數(shù)關(guān)于中心對稱，且，又因為為偶函數(shù)，所以，令等價于，所以可知函數(shù)關(guān)于軸對稱，再令替換，所以，所以知，，，所以，即是函數(shù)的周期，由，令，則，故A正確；因為，由已知條件無法求出，故C不正確；由可得，所以B不正確；由可得與關(guān)于中心對稱，所以是函數(shù)的周期，，故D正確.故選：AD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)條件判斷函數(shù)，的對稱性和周期性，利用函數(shù)的對稱性和周期性進行轉(zhuǎn)化求解時解決本題的關(guān)鍵.19．已知是定義在上的函數(shù)，且對于任意實數(shù)恒有．當(dāng)時，．則（

）A．為奇函數(shù)B．在上的解析式為C．的值域為D．【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，分析可得區(qū)間上，的解析式，再分析函數(shù)的周期性，可得的圖象關(guān)于原點對稱，由此分析選項是否正確，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，時，，因為時，，所以，又由，則，即，，若，則，，若，則，，故在區(qū)間上，所以關(guān)于原點對稱，又由，則，即函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，故的圖象關(guān)于原點對稱，由此分析選項：對于A，的圖象關(guān)于原點對稱，為奇函數(shù)，故A正確；對于B，當(dāng)時，則，則，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，則，故B正確；對于C，在區(qū)間上，，則，，所以，故的值域一定不是，故C錯誤；對于D，因為時，，所以，，又，則，則有，，故，所以，故D正確；故選：ABD．20．已知定義在上的函數(shù)，對于給定集合，若，當(dāng)時都有，則稱是“封閉”函數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．是“封閉”函數(shù)B．定義在上函數(shù)都是“封閉”函數(shù)C．若是“封閉”函數(shù)，則一定是“封閉”函數(shù)D．若是“封閉”函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】BC【分析】特殊值判斷A；根據(jù)定義及函數(shù)的性質(zhì)判斷B；根據(jù)定義得到都有，再判斷所給定區(qū)間里是否有成立判斷C；舉例說明判斷D作答.【詳解】對于A：當(dāng)時，，而，A錯誤；對B：對于集合，使，即，必有，所以定義在上的函數(shù)都是“封閉”函數(shù)，B正確；對C：對于集合，使，則，而是“封閉”函數(shù)，則，即都有，對于集合，使，則，，而，，…，，所以，即，故，一定是“封閉”函數(shù)，C正確；對D，函數(shù)，集合，，當(dāng)時，，則函數(shù)是“封閉”函數(shù)，而函數(shù)是R上的增函數(shù)，D錯誤.故選：BC【點睛】關(guān)鍵點睛：對于C，根據(jù)給定的條件得到都有，有恒成立，利用遞推關(guān)系及新定義判斷正誤.21．一般地，若函數(shù)的定義域為，值域為，則稱為的“倍跟隨區(qū)間”；特別地，若函數(shù)的定義域為，值域也為，則稱為的“跟隨區(qū)間”．下列結(jié)論正確的是（

）A．若為的跟隨區(qū)間，則B．函數(shù)不存在跟隨區(qū)間C．若函數(shù)存在跟隨區(qū)間，則D．二次函數(shù)存在“3倍跟隨區(qū)間”【答案】CD【分析】根據(jù)“跟隨區(qū)間”的定義對選項逐一分析，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、值域等知識確定正確答案.【詳解】對于A選項，若為的跟隨區(qū)間，因為在區(qū)間為增函數(shù)，故其值域為，根據(jù)題意有，解得或，因為故.故A錯誤．對于B選項，由題，因為函數(shù)在區(qū)間與上均為增函數(shù)，若存在跟隨區(qū)間則有，即為的兩根．即的根.故.故B錯誤．對于C選項，若函數(shù)存在跟隨區(qū)間，因為為減函數(shù)，故由跟隨區(qū)間的定義可知，即，因為，所以．易得．所以，令代入化簡可得，同理也滿足，即在區(qū)間上有兩不相等的實數(shù)根．故，解得，故C正確．對于D選項，若存在“3倍跟隨區(qū)間”，則可設(shè)定義域為，值域為.當(dāng)時，易得在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時易得為方程的兩根，求解得或.故定義域，則值域為．D正確．故選：CD【點睛】關(guān)于新定義函數(shù)類型問題的求解，主要的解題思路是理解新定義，并將新定義的知識轉(zhuǎn)化為學(xué)過的知識來進行求解，如本題中新定義的“跟隨區(qū)間”，根據(jù)它的定義，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的定義域和值域問題來進行求解.三、填空題22．已知定義在整數(shù)集合上的函數(shù)，對任意的，，都有且，則.【答案】/0.5【分析】先用賦值法得到，即為周期為6的函數(shù)，從而得到，賦值法求出，從而求出答案.【詳解】中，令得：，所以，故，即，所以，將代替得：，從而得到，即為周期為6的函數(shù)，由于，故，中，令得：，因為，所以，令得：，因為，所以，令得：，即，解得：，令得：，即，解得：，令得：，即，解得：，從而，故.故答案為：.23．已知，函數(shù)的最小值為，則由滿足條件的的值組成的集合是.【答案】【分析】討論與、的大小關(guān)系，判斷函數(shù)在、上的單調(diào)性與最小值，根據(jù)函數(shù)的最小值列方程解出實數(shù)的值.【詳解】分以下三種情況討論：①若時，即當(dāng)時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時，，所以，解得，②若時，即當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，.，所以，整理可得，，解得（舍去）；③當(dāng)時，即當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，.因為，所以，整理可得，，解得或（舍去）.綜上所述，實數(shù)的取值集合為.故答案為：.24．設(shè)a為實常數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若對一切成立，則a的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式分類討論進行求解即可.【詳解】當(dāng)時，，由，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即時取等號，要想恒成立，只需成立，則有，或，解得，或，當(dāng)時，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，所以要想，綜上所述：a的取值范圍為，故答案為：25．已知奇函數(shù)的定義域為，且有，，若對，，都有，則不等式的解集為．【答案】【分析】通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，依題意，的定義域是，是奇函數(shù)，所以，所以是偶函數(shù)，由于對，，都有，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減.，由得，即，所以或，所以不等式的解集為.故答案為：【點睛】本題的關(guān)鍵點是熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的定義及其變型.任取定義域內(nèi)的兩個數(shù)，且，通過計算的符合來判斷的單調(diào)性，也可以利用的符號來判斷的單調(diào)性.26．已知，對恒成立，則實數(shù)的取值范圍．【答案】【分析】分析可得原題意等價于，對恒成立，根據(jù)恒成立問題結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析求解.【詳解】若，則，令，則，可得，整理得，故原題意等價于，對恒成立，∵在上單調(diào)遞增，則，∴，解得，即實數(shù)的取值范圍.故答案為：.【點睛】結(jié)論點睛：對，，等價于；對，，等價于.四、雙空題27．設(shè)定義在上函數(shù)，滿足：，，且為奇函數(shù)，則，最小正周期．【答案】24【分析】空1：整理可得，令，即可得結(jié)果；根據(jù)題意可得，結(jié)合奇函數(shù)的定義可得，即，進而可得.【詳解】空1：因為，即，且，即，可得，令時，則，因此；空2：可得，由此可轉(zhuǎn)為，即，又因為為奇函數(shù)，則，可得，即，則，因此最小正周期．故答案為：2；4.【點睛】方法點睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．本題考查函數(shù)得性質(zhì)---奇偶性、對稱性、周期性，難度較大．28．設(shè)函數(shù)，則在上的最小值為；若的定義域與值域都是，則．【答案】或或【分析】將表示為分段函數(shù)的形式，畫出的圖象，結(jié)合二次函數(shù)的知識求得在上的最小值.對進行分類討論，根據(jù)定義域與值域都是列式，化簡求得.【詳解】，畫出的圖象如下圖所示，結(jié)合圖象以及二次函數(shù)的性質(zhì)可知：在上的最小值為.依題意，的定義域與值域都是，（1）當(dāng)時，在上遞減，所以，即，兩式相減并整理得.（2）當(dāng)時，在上的最小值為，因為的值域為，所以與矛盾.（3）當(dāng)時，在遞增，，所以，，兩式相減并整理得與矛盾.（4）當(dāng)時，在的最大值為，所以，區(qū)間為，所以的最小值為，所以，所以.（5）當(dāng)時，在遞減，，，兩式相減并整理得，與矛盾.（6）當(dāng)，在遞減，，，兩式相減并整理得與矛盾.（7）當(dāng)時，在的最小值為，所以，，所以的最大值為，解得（負(fù)根舍去），所以.（8）當(dāng)時，在遞增，，所以，由于，所以，與矛盾.綜上所述，的值為或或.故答案為：；或或【點睛】本題的難點有兩個，一個是是含有絕對值的函數(shù)，在處理時，利用零點分段法去絕對值，將表示為分段函數(shù)的形式，由此可畫出的圖象并研究其性質(zhì).第二個難點在于在上的值域為，解決的辦法是分類討論.五、解答題29．若函數(shù)對定義域內(nèi)的每一個值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．(1)判斷函數(shù)是否具有性質(zhì)，并說明理由；(2)若函數(shù)的定義域為且且具有性質(zhì)，求的值；(3)已知，函數(shù)的定義域為且具有性質(zhì)，若存在實數(shù)，使得對任意的，不等式都成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)具有性質(zhì)，理由見解析(2)15(3)【分析】（1）取，即可得到，再根據(jù)的性質(zhì)即可判斷；（2）首先將函數(shù)配成頂點式，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，依題意可得，從而得到，再根據(jù)、的取值情況得到方程組，解得即可；（3）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，即可得到，從而求出的值，依題意可得對任意的恒成立，再分和兩種情況討論，分別求出參數(shù)的取值范圍，即可得解.【詳解】（1）解：對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意的，取，則，結(jié)合的圖象可知對內(nèi)任意的，是唯一存在的，所以函數(shù)具有性質(zhì).（2）解：因為，且，所以在上是增函數(shù)，又函數(shù)具有性質(zhì)，所以，即，因為，所以且，又，所以，解得，所以．（3）解：因為，所以，且在定義域上單調(diào)遞增，又因為，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又因為具有性質(zhì)，從而，即，所以，解得或（舍去），因為存在實數(shù)，使得對任意的，不等式都成立，所以，因為在上單調(diào)遞增，所以即對任意的恒成立．所以或，解得或，綜上可得實數(shù)的取值范圍是．30．已知冪函數(shù)是其定義域上的增函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)，，是否存在實數(shù)使得的最小值為0？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；(3)若函數(shù)，是否存在實數(shù)，使函數(shù)在上的值域為？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在(3)【分析】（1）因為是冪函數(shù)，所以；（2）考慮函數(shù)中x的次數(shù)，換元成二次函數(shù)解題；（3）因為在定義域范圍內(nèi)為減函數(shù)，故有，相減后得，進而，換元成二次函數(shù)解題.【詳解】（1）因為是冪函數(shù)，所以，解得或當(dāng)時，，在為減函數(shù)，當(dāng)時，，在為增函數(shù)，所以.（2），令，因為，所以，則令，，對稱軸為．①當(dāng)，即時，函數(shù)在為增函數(shù)，，解得．②當(dāng)，即時，，解得，不符合題意，舍去．當(dāng)，即時，函數(shù)在為減函數(shù)，，解得．不符合題意，舍去．綜上所述：存在使得的最小值為.（3），則在定義域范圍內(nèi)為減函數(shù)，若存在實數(shù)，使函數(shù)在上的值域為，則，②-①得：，所以，即③．將③代入②得：．令，因為，，所以．所以，在區(qū)間單調(diào)遞減，所以故存在實數(shù)，使函數(shù)在上的值域為，實數(shù)的取值范圍且為．31．已知函數(shù)，(1)若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；(2)若對任意，存在，使得，求的取值范圍.【答案】(1)或(2)【分析】（1）依題意可得對任意的恒成立，分、、三種情況討論，分別求出參數(shù)的取值范圍，即可得解.（2）對任意，存在，使得，轉(zhuǎn)化為的值域包含于的值域.同時對值域的求解，需要根據(jù)二次函數(shù)對稱軸與閉區(qū)間的相對位置進行討論，最終解不等式組求解.【詳解】（1）解：由，即，即對任意的恒成立，當(dāng)時恒成立，符合題意，當(dāng)時，問題等價于在上恒成立，因為當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故符合題意，當(dāng)時，問題等價于在上恒成立，則，解得或，綜上可得或.（2）解：當(dāng)時，．又．①當(dāng)，即時，對任意，．所以，此時不等式組無解，②當(dāng)，即時，對任意，．所以，解得，③當(dāng)，即時，對任意，．所以此時不等式組無解，④當(dāng)，即時，對任意，．所以此時不等式組無解．綜上，實數(shù)的取值范圍是．32．已知函數(shù)對于任意實數(shù)恒有，且當(dāng)時，，又．(1)判斷的奇偶性并證明；(2)求在區(qū)間的最小值；(3)解關(guān)于的不等式：．【答案】(1)為奇函數(shù)，證明見解析(2)(3)答案見解析【分析】(1)令,得，再令，結(jié)合奇偶性定義可證；(2)先證明單調(diào)性，利用單調(diào)性求解即可；(3)先化為，再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為，最后根據(jù)含參二次不等式的分類討論求解即可.【詳解】（1）為奇函數(shù)，理由如下：函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，令得，解得，令得所以對任意恒成立，所以為奇函數(shù)，（2）任取，且，則.因為當(dāng)時，，所以.，即，所以在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間的最小值為，因為，令得，令，得，在區(qū)間的最小值為，（3）由，得，由得，由在上單調(diào)遞增得整理得，即，當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，當(dāng)時，，，解集為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，解集為，當(dāng)時，，解集為，當(dāng)時，，解集為，綜上所述：當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為．【點睛】關(guān)鍵點睛：這道題的關(guān)鍵之處為第（3）問，需要對含參的二次函數(shù)進行分類討論，難點在于分類討論時標(biāo)準(zhǔn)的確定，主要是按照是否有根，根的大小進行分類求解的．33．已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；(2)若正數(shù)滿足，求的最小值；(3)解不等式.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）利用函數(shù)的奇偶性得出，然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）由已知條件求得，即，利用“1”的妙用和基本不等式求解即可；（3）令，易知是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，又，不等式，從而，求解即可．【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，由題意得，解得：，則，，為奇函數(shù)，故，任取，且，則，因為，且，所以，所以，故，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）因為為奇函數(shù)，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以正實數(shù)滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.（3）令，因為和都是奇函