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第2課時(shí)排列的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)任務(wù)1.掌握幾種有限制條件的排列.(邏輯推理)2.能應(yīng)用排列知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模)類型1數(shù)字排列問題【例1】用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù),求滿足下列條件的數(shù)各有多少個(gè).(1)六位奇數(shù);(2)個(gè)位數(shù)字不是5的六位數(shù);(3)不大于4310的四位偶數(shù).[思路導(dǎo)引]明確奇數(shù)和偶數(shù)的特點(diǎn)→[嘗試解答][母題探究]1.(變結(jié)論)若例題中的條件不變,求能被5整除的五位數(shù)有多少個(gè)?2.(變結(jié)論)本例條件不變,若所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)數(shù)列{an},則240135是第幾項(xiàng)?數(shù)字排列問題的常用方法及注意事項(xiàng)常用方法:主要是按“優(yōu)先”原則,即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位置,若一個(gè)位置安排的元素影響到另一個(gè)位置的元素個(gè)數(shù)時(shí),應(yīng)分類討論.注意事項(xiàng):解決數(shù)字問題時(shí),應(yīng)注意題干中的限制條件,恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類和分步,尤其注意特殊元素“0”的處理.[跟進(jìn)訓(xùn)練]1.(源自人教B版教材)用0,1,2,…,9這10個(gè)數(shù)字,可以排成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)?類型2排隊(duì)、排節(jié)目問題元素的“在”與“不在”問題【例2】從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列,求解下列問題.(1)甲不在首位的排法有多少種?(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少種?(3)甲與乙既不在首位也不在末位的排法有多少種?(4)甲不在首位,同時(shí)乙不在末位的排法有多少種?[嘗試解答]“在”與“不在”排列問題解題原則及方法(1)原則:可以從元素入手,也可以從位置入手,原則是誰特殊誰優(yōu)先.(2)方法:從元素入手時(shí),先給特殊元素安排位置,再把其他元素安排在其他位置上;從位置入手時(shí),先安排特殊位置,再安排其他位置.提醒:解題時(shí),無論是從元素考慮,還是從位置考慮,都要貫徹到底,不能一會(huì)兒考慮元素,一會(huì)兒考慮位置,造成分類、分步混亂,導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.“相鄰”與“不相鄰”問題【例3】某次文藝晚會(huì)上共演出8個(gè)節(jié)目,其中2個(gè)唱歌、3個(gè)舞蹈、3個(gè)曲藝節(jié)目,求分別滿足下列條件的排節(jié)目單的方法種數(shù):(1)一個(gè)唱歌節(jié)目開頭,另一個(gè)壓臺(tái);(2)兩個(gè)唱歌節(jié)目不相鄰;(3)兩個(gè)唱歌節(jié)目相鄰且3個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰.[嘗試解答]1.“相鄰”問題“捆綁法”將n個(gè)不同的元素排成一排,其中k個(gè)元素排在相鄰位置上,求不同排法的種數(shù),具體求解步驟如下:(1)先將這k個(gè)元素“捆綁”在一起,看成一個(gè)整體;(2)把這個(gè)整體當(dāng)作一個(gè)元素與其他元素一起排列,其排列方法有An(3)“松綁”,即將“捆綁”在一起的元素內(nèi)部進(jìn)行排列,其排列方法有Ak(4)根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,符合條件的排法有An2.“不相鄰”問題“插空法”將n個(gè)不同的元素排成一排,其中k個(gè)元素互不相鄰(k≤n-k+1),求不同排法的種數(shù),具體求解步驟如下:(1)將沒有不相鄰要求的元素共(n-k)個(gè)排成一排,其排列方法有An(2)將要求兩兩不相鄰的k個(gè)元素插入(n-k+1)個(gè)空隙中,相當(dāng)于從(n-k+1)個(gè)空隙中選出k個(gè)分別分配給兩兩不相鄰的k個(gè)元素,其排列方法有An(3)根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,符合條件的排法有An定序問題【例4】7人站成一排.(1)甲、乙、丙三人排列順序一定時(shí),有多少種排列方法?(2)甲在乙的左邊,有多少種排列方法?[嘗試解答]固定順序的排列問題的求解方法定序問題除法策略:n個(gè)不同元素的全排列有Ann種排法,m個(gè)特殊元素的全排列有Amm種排法.當(dāng)這[跟進(jìn)訓(xùn)練]2.某地媒體為了宣傳醫(yī)護(hù)人員A,B,C,D,E,F(xiàn)共6人(其中A是隊(duì)長)的優(yōu)秀事跡,讓這6名醫(yī)護(hù)人員與接見他們的一位領(lǐng)導(dǎo)共7人站成一排進(jìn)行拍照,則領(lǐng)導(dǎo)和隊(duì)長站兩端且B,C兩人相鄰,而B,D兩人不相鄰的站法種數(shù)為()A.36B.48C.56D.723.3名男生、4名女生站成一排照相,若甲不站中間也不站兩端,則有________種不同的站法.4.某電視節(jié)目的主持人邀請(qǐng)年齡互不相同的5位嘉賓逐個(gè)出場亮相.(1)其中有3位老者要按年齡從大到小的順序出場,出場順序有多少種?(2)3位老者與2位年輕人都要分別按年齡從小到大的順序出場,出場順序有多少種?1.A,B,C,D,E5人并排站成一排,如果A,B必須相鄰且B在A的右邊,那么不同的排法有()A.60種B.48種C.36種D.24種2.用1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字,組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.36B.30C.40D.603.有5名同學(xué)被安排在周一至周五值日,已知同學(xué)甲只能在周一值日,那么這5名同學(xué)值日順序的編排方案共有()A.12種 B.24種C.48種 D.120種4.高三(一)班學(xué)生要安排畢業(yè)晚會(huì)的4個(gè)音樂節(jié)目,2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序,要求2個(gè)舞蹈節(jié)目不連排,則共有________種不同的排法.回顧本節(jié)知識(shí),自主完成以下問題:1.含有“特殊元素”的排列的解題策略是什么?2.對(duì)于元素有特殊位置的排列的解題思想是什么?3.對(duì)于“元素相鄰”和“元素不相鄰”的排列的解決方法是什么?第2課時(shí)排列的綜合應(yīng)用[關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難]例1解:(1)法一(特殊位置分析法):如圖,從個(gè)位入手:個(gè)位排奇數(shù),即從1,3,5中選1個(gè)有A31種方法,首位數(shù)從排除0及個(gè)位數(shù)余下的4個(gè)數(shù)字中選1個(gè)有由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得,共有A31×A41×A44=法二(特殊元素分析法):0不在兩端有A41種排法.從1,3,5中選1個(gè)排在個(gè)位,剩下的4個(gè)數(shù)字全排列.故所排六位奇數(shù)共有A41×A31×A法三(排除法):從整體上排除:6個(gè)數(shù)字的全排列有A66種排法.0,2,4在個(gè)位上有3A55種排法,而1,3,5在個(gè)位上且0在首位上有3A44種排法.故符合條件的六位數(shù)有A66-3A5法四(排除法):從局部上排除:個(gè)位上任選一個(gè)奇數(shù),有A31種排法,其余各位上任意排,有A55種排法,共有A31A5(2)法一(排除法):0在首位和5在個(gè)位時(shí)均不符合題意,故符合題意的六位數(shù)共有A66-2A55+A法二(特殊位置分析法):如圖,個(gè)位不排5時(shí),分兩類:第1類,當(dāng)個(gè)位排0時(shí),有A5第2類,當(dāng)個(gè)位不排0時(shí),有A41×A41故符合題意的六位數(shù)共有A55+A41×A41(3)法一(直接法):第1類,當(dāng)千位上排1,3時(shí),有A21×A31×A42第2類,當(dāng)千位上排2時(shí),有A21×A42=24第3類,當(dāng)千位上排4時(shí),形如40△2,42△0的各有A31個(gè),共有2A31=6形如41△△的有A21×A31=6形如43△△的只有4310和4302這兩個(gè)數(shù).故共有72+24+6+6+2=110(個(gè))不大于4310的四位偶數(shù).法二(排除法):四位偶數(shù)中,0在個(gè)位的有A53=60(個(gè)0在十位、百位的分別有A21×A42=不含0的有A21×A43=48故四位偶數(shù)共有60+48+48=156(個(gè)).其中大于4310的情況如下:形如5△△△的有A31×形如45△△的有A21×A31個(gè);形如435形如432△的只有4320一個(gè);形如431△的只有4312一個(gè).故大于4310的四位偶數(shù)共有A31×A42+A21×A31因此,符合題意的四位偶數(shù)共有156-46=110(個(gè)).母題探究1.解:能被5整除的數(shù)字個(gè)位必須為0或5,若個(gè)位上是0,則有A54個(gè);個(gè)位上是5,若不含0,則有A44個(gè);若含0,但0不作首位,則0的位置有A31種排法,其余各位有A42.解:由于是六位數(shù),首位數(shù)字不能為0,首位數(shù)字為1有A55個(gè)數(shù),首位數(shù)字為2,萬位上為0,1,3中的一個(gè)有3A44個(gè)數(shù),所以240135的項(xiàng)數(shù)是A55+3A44+1跟進(jìn)訓(xùn)練1.解:滿足條件的四位數(shù)可以分為兩類:第一類的末位數(shù)字是0,有A9第二類的末位數(shù)字不是0.要排成這樣的四位數(shù),可以分成三個(gè)步驟來完成:第一步,確定末位數(shù)字,因?yàn)橹荒苁?,4,6或8,所以有A41種方法;第二步,確定首位數(shù)字,因?yàn)閿?shù)字不能重復(fù),所以有A81種方法;第三步,確定中間兩位數(shù)字,有A由分類加法計(jì)數(shù)原理可知,滿足條件的四位數(shù)個(gè)數(shù)為A93+A41A81A82=9×8×7+4×例2解:(1)把元素作為研究對(duì)象.第一類,不含甲,此時(shí)只需從甲以外的其他6名同學(xué)中選出5名放在5個(gè)位置上,有A6第二類,含有甲,甲不在首位,先從除首位以外的其他4個(gè)位置中選出1個(gè)放甲,再從甲以外的6名同學(xué)中選出4名排在另外4個(gè)位置上,有A64種排法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,有4×A由分類加法計(jì)數(shù)原理知,共有A65+4×A64=2160((2)把位置作為研究對(duì)象.第一步,從甲以外的6名同學(xué)中選2名排在首末2個(gè)位置上,有A6第二步,從剩下的5名同學(xué)中選3名排在中間3個(gè)位置上,有A53根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有A62A53=1800(3)把位置作為研究對(duì)象.第一步,從甲、乙以外的5名同學(xué)中選2名排在首末2個(gè)位置,有A5第二步,從剩下的5名同學(xué)中選出3名排在中間3個(gè)位置上,有A53根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有A52A53=1200(4)間接法.總的可能情況有A75種,減去甲在首位的A64種排法,再減去乙在末位的A64種排法,注意到甲在首位,同時(shí)乙在末位的排法數(shù)被減去了兩次,所以還需補(bǔ)回一次A5例3解:(1)先排唱歌節(jié)目有A22種排法,再排其他節(jié)目有A66種排法,所以共有A2(2)先排3個(gè)舞蹈節(jié)目、3個(gè)曲藝節(jié)目,有A66種排法,再從其中7個(gè)空(包括兩端)中選2個(gè)排唱歌節(jié)目,有A72種插入方法,所以共有A6(3)兩個(gè)唱歌節(jié)目相鄰,用捆綁法,3個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰,利用插空法,共有A44A53例4解:(1)法一:7人的所有排列方法有A77種,其中甲、乙、丙的排序有A33法二(插空法):7人站定7個(gè)位置,只要把其余4人排好,剩下的3個(gè)空位,甲、乙、丙就按他們的順序去站,只有一種站法,故有A74=7×6×5×4=840(種(2)甲在乙的左邊的7人排列數(shù)與甲在乙的右邊的7人排列數(shù)相等,而7人排列數(shù)恰好是這二者之和,因此滿足條件的有12A77=2520跟進(jìn)訓(xùn)練2.D[根據(jù)題意,可分兩步進(jìn)行分析,第一步,領(lǐng)導(dǎo)和隊(duì)長站在兩端,有A22=2(種)站法;第二步,安排中間5人,分兩種情況討論:①若B,C相鄰且C,D相鄰,有A22A33=12(種)站法
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