第54課　直線(xiàn)與平面所成的角

6.3.3《直線(xiàn)與平面所成的角》教案授課題目直線(xiàn)與平面所成的角授課課時(shí)1課型講授教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：掌握直線(xiàn)與平面所成角的概念，掌握求直線(xiàn)與平面所成的角的步驟，掌握證明線(xiàn)面垂直的方法；過(guò)程與方法：能熟練求解直線(xiàn)與平面所成的角、證明線(xiàn)面垂直，提高讀圖、作圖的能力；3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)和運(yùn)用實(shí)踐，培養(yǎng)學(xué)生的觀察思考能力和空間想象能力，培養(yǎng)學(xué)生的立體感和數(shù)學(xué)美感。教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：斜線(xiàn)與平面所成角的概念及利用概念分步求角、證明線(xiàn)面垂直；2.教學(xué)難點(diǎn)：在一個(gè)具體的立體圖形中去找直線(xiàn)與平面所成的角。第1課時(shí)教學(xué)過(guò)程教學(xué)活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)思路創(chuàng)設(shè)情境如圖6-41，斜拉索橋由斜拉索、索塔、主梁和橋面組成,它不僅帶來(lái)了幾何的美觀體驗(yàn),還藏著一定的力學(xué)原理.從力學(xué)和美學(xué)雙重角度出發(fā),索塔兩邊的斜拉索要對(duì)稱(chēng),如何做到兩邊對(duì)稱(chēng)呢?分析理解要保證索塔兩邊的斜拉索對(duì)稱(chēng),首先要保證兩根斜拉索從索塔的同一高度的位置出發(fā),其次保證兩個(gè)斜拉索的傾斜程度一樣.觀看課件，在教師引導(dǎo)下思考、討論、回答問(wèn)題從實(shí)際事例使學(xué)生自然的走向知識(shí)點(diǎn)抽象概括我們可以用直線(xiàn)(斜拉索)與平面(橋面)所成的角來(lái)刻畫(huà)斜拉索的傾斜程度.那么什么是直線(xiàn)與平面所成的角呢?我們需要先給出它的概念.如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面相交但不垂直,我們把這條直線(xiàn)叫作這個(gè)平面的斜線(xiàn),斜線(xiàn)和平面的交點(diǎn)叫作斜足,斜線(xiàn)上一點(diǎn)與斜足之間的線(xiàn)段叫作斜線(xiàn)段.過(guò)斜線(xiàn)上斜足以外的任意一點(diǎn)向平面作垂線(xiàn),過(guò)垂足和斜足的直線(xiàn)叫作斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影.斜線(xiàn)和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫作這條直線(xiàn)與平面所成的角.如圖6-42,直線(xiàn)AC是平面α的斜線(xiàn),則點(diǎn)C為斜足,過(guò)點(diǎn)A作平面α的垂線(xiàn)交于點(diǎn)B,則點(diǎn)B為垂足.因此連接垂足和斜足的直線(xiàn)BC為直線(xiàn)AC在平面α內(nèi)的射影.斜線(xiàn)AC與它在平面α的射影BC所成的銳角θ為直線(xiàn)AC與平面α所成的角.當(dāng)直線(xiàn)與平面垂直時(shí),我們說(shuō)直線(xiàn)與平面所成角為直角,即90°.當(dāng)直線(xiàn)與平面平行或直線(xiàn)在平面內(nèi)時(shí),我們說(shuō)直線(xiàn)與平面所成角為0°.因此,直線(xiàn)與平面所成的角的范圍為,斜線(xiàn)與平面所成的角的范圍為.認(rèn)真聽(tīng)講、積極思考、掌握直線(xiàn)與平面所成角的相關(guān)概念通過(guò)教師講解，理解并掌握直線(xiàn)與平面所成角的相關(guān)概念典型例題例1如圖6-43,在長(zhǎng)方體中，，，.求直線(xiàn)與平面所成的角的大小.分析求直線(xiàn)與平面所成的角,先要找到直線(xiàn)與平面的射影,斜線(xiàn)和射影所成的角即所求的角.解連接.因?yàn)椤推矫?所以為垂足,直線(xiàn)為斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影,所以為直線(xiàn)與平面所成的角.因?yàn)?，?所以由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得,.在中,,所以.所以直線(xiàn)與平面所成的角為.例2如圖6-44,是平面的斜線(xiàn),,,且.求證：.分析用異面直線(xiàn)的定義來(lái)證明有一定的困難,可以先考慮證明平面,再根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)出.證明因?yàn)?,所以.又因?yàn)?,所以平面.又因?yàn)镻A?平面PAB,所以.在教師引導(dǎo)下讀題思考解題過(guò)程回答教師提出的問(wèn)題，學(xué)會(huì)求直線(xiàn)與平面所成的角讀題思考解題過(guò)程回答教師提出的問(wèn)題，學(xué)會(huì)證明線(xiàn)面垂直通過(guò)例題分析求解進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)如何求直線(xiàn)與平面所成的角。通過(guò)例題分析求解進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)如何證明線(xiàn)面垂直。隨堂練習(xí)水平一1.若直線(xiàn)∥平面,直線(xiàn)?,則與的位置關(guān)系是().A.∥B.與異面C.與相交D.與沒(méi)有公共點(diǎn)2.設(shè)一條直線(xiàn)和一個(gè)平面所成的角為θ,則().A.0°<θ<180°B.0°<θ<90°C.0°<θ≤90°D.0°≤θ≤90°3.在正方體中,直線(xiàn)與平面所成的角的度數(shù)是________.4.若一條直線(xiàn)和三角形的兩邊都垂直,求證:這條直線(xiàn)和三角形的第三邊垂直.5.如圖,是的直徑,⊥平面,是上任一點(diǎn),請(qǐng)找出和直線(xiàn)垂直的直線(xiàn).水平二1.如圖,在正方體中,求證:.2.在正三棱錐中,求側(cè)棱與底面所成的角的大小.3.正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱都等于