2023年遼寧省錦州市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案)

2023年遼寧省錦州市普通高校對口單招高

等數學一自考真題（含答案）

學校:班級:姓名:考號:

一、單選題（20題）

?z

1.設z=y2x,則加等于（）.

A.2xy2χ?11

B.2y2x

C.y2xlny

D.2y2xlny

f/(%)d%

2.設f(x)=χ3+χ,則J等于（）。

A.0

B.8

[/(x)d%

CJO

2

2[f(x)dx

D.JO

3.

微分方程/=J的通解為

?ceτ

A^y=clx÷Qe”By=Ci+2

?CJCZ

C?，=C]+c2xDy=CiX+2

注1C"2為任意常數.

4.下列反常積分收斂的是()。

A.∫?！辺dx

B.∫∣+ocx2dx

r?d?

C.??

r?

D.j,?

5.

函數y=/(?)在點?o處有定義,是Iimy(N)存在的

x~,,o

A.必要條件B.充分條件

C.充要條件D.無關條件

若級數￡瓦1收斂，則￡“?

6.

A.A.發(fā)散B.條件收斂C絕對收斂D.無法判定斂散性

7.

,則

設D由y=l,H=2,y=zJpX?χ,y)dHdy=

D

A.JjdxJ∕(x,y)dyR??d??f(<z,y)dy

/(?,?/)d?

設=則。=

8.ISinaU

A.A.2/3B.3/2C.2D.3

若/(Z)的一個原函數是SinT,則［/(z)d?等于

A.sinx÷C

B.cos*+C

C.-sinτ÷C

9D-~cosr+C

10.設y=sinx,則y'∣x=O等于().

A.lB.0C.-lD.-2

設In(1+研)

Iim=2,則6=

11a—。JC

JL??

A.2B.lC.l/2D.-2

若y=V則dy等于

A.2,re2j<Lr

B.(I^h.r)e2rcLτ

C(l+2j?)e2j(k

12.Iλ.re2xdr

13.設函數f(x)在［a,b］上連續(xù)，則曲線y=f(x)與直線x=a,x=b,y=0

所圍成的平面圖形的面積等于()。

AJ∕

Bl,

C.口八，)Iii

D.：

14.過點(0,2,4)且平行于平面x+2x=l,y-3x=2的直線方程為

A.x∕l=(y-2)∕0=(z-4)∕-3.

B.x∕0=(y-2)∕l=(z-4)∕-3

C.x∕-2=(y-2)∕3=(z-4)∕l

D.-2x+3(y-2)+z-4=0

15.過點(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)的平面方程為().

A.x+y+z=l

B.2x+y+z=l

C.x+2y+z=l

D.x+y+2z=l

設z≡ln(x2+y),則當等于

σx

C.D.4??

?÷yX+/

17.

3.設八N）在［-ι,o］連續(xù)，在（一ι,o）可導，且/'α）vo,則

A./(OXOB?∕(O)>∕(-1)

C./(-DVO

若二元函數z=+3?r+2y,則生?=

18.θ?

A.2xy+3+2yB.xy+3+2yC.2xy+3D.xy+3

19.若y(x-l)=χ2-l,則y,(x)等于()

A.2x+2B.x(x+1)C.x(x-1)D.2x-1

曲線y=LJ

“1—e^x

A.沒有漸近線B.僅有水平漸近線C.僅有鉛直漸近線D.既有水平漸近

線，又有鉛直漸近線

二、填空題（20題）

函數y=2χ3+3/—i2x+1的單調遞減區(qū)間是。

21.

過點M）（0.0,0）且與直線T=塔=色平行的直線方程為________.

22.∣2-I

幕級數弋出二?二的收斂區(qū)間是

J9,-------------------------

23.神。

24.

設?（?+1）=3〃++1,則?（?）=.

25.

曲線*χ）=膽的鉛直漸近線方程為___________.

x+2

“過點此（2.0,-I）且平行于*=《=今的直線方程為

Zθ?JTI

27.

設N=Xv+3x,則坐+9=______.

?x?y

28.設'則W=-

29.

Iim?-亙/■=___________.

30.

AX)=電空2的間斷點為________.

x+3

31.

函數y=∕ln(2+z)的定義域為.

若Iim工—-=2.則必有a=___________.

32.一丁+1

33.

設Z=Xey,貝∣j[?^?=.

?x?γ-------

嘉級效￡盤的收斂區(qū)間為_______

34??>-12

已知Z=arcsin(xy)>dz=

35.

36.已知當XTO時，∕l+αχz-I與χ2是等價無窮小,則

a=o

37.

曲線y=*的鉛直漸近線方程是.

x-2

級數￡〃！￡的收斂半徑是.

38."x*

設Z=/硒M5,則;=。

39.O

40.

微分方程/=0的通解為.

三、計算題（20題）

4］計算∣*arcsinxdx.

42.設z=z（7）是由方程X，）J=O所確定的隱函數,求今

43.研究級數5的收斂性（即何時絕對收斂，何時條件收斂，何

時發(fā)散，其中常數a>0.

44.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=IOOe025P,當p=10時，若價格上漲

1%,需求量增（減）百分之幾？

2

45.求函數/（，）=』1一的單調區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點.

46.求函數f(x)=χ3-3x+l的單調區(qū)間和極值.

47.將f(x)=e-2X展開為X的幕級數.

48.證明:當x>l時.x>l+InX.

49.計M'

50.設平面薄板所占OXy平面上的區(qū)域D為I≤x2+y2≤4,x≥0,y>0,

其面密度

u(x,y)=2+y2,求該薄板的質量m.

51.設拋物線Y=I-X2與X軸的交點為A、B,在拋物線與X軸所圍成的

平面區(qū)域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2-1所

示).設梯形上底CD長為2x,面積為

S(x).

(1)寫出S(X)的表達式;

(2)求S(X)的最大值.

圖2-1

52.求-階線性微分方程y'--?y=χ滿足初始條件yl..,=o的特解.

53.求曲線x±+2在點（1,3）處的切線方程.

54.求函數y=x-lnx的單調區(qū)間，并求該曲線在點（1,1）處的切線1的

方程.

55.當X—0時f（x）與sin2x是等價無窮小量，貝U

56.求微分方程y,'-4y'+4y=e2×的通解.

57.求微分方程、"+3/+2『o的通解.

求需級數￡2"』"的收斂區(qū)間（不考慮端點）.

58.

59.

設區(qū)域D為：/+丁≤4020，計算口√χ2+√dxdj.

60.計酊C?

四、解答題（10題）

設函數f(X)=InX-I/(x)去，求"(x)欣

61.*1*1

IIn%d%.

62.計算J?

63.求曲線V-2-√和直線.y=2∕T2所圍成圖形曲積

64.計算

SirI2Λ(1X.

65.計算O

設Iimfa)存在，/(x)=x3+2x+5Iim/(x),求/(*).

66.XTI

67.

設Z=ZQ,y)由elt-到Z=I所確定，求全微分的.

68.

求嚀dx?

求微分方程y+2丁=4滿足初始條件乂巾=O的特解.

69.XX

70.

求函數y=x-lnx的單調區(qū)間，并求該曲線在點（1,1）處的切線/

的方程.

五、高等數學（0題）

71.已知

fx-=/÷?

了=’，貝IJ

B.τ

3

C.5

￡

D.τ

六、解答題(0題)

設y=y(χ)由方程y2-3xy+x3=1確定，求dv.

72.

參考答案

1.D

本題考查的知識點為偏導數的運算.

?z

z=y2x,若求（,x,則需將Z認定為指數函數.從而有

2

胃二尸.Iny.(2x)*=2γ'Inγ,

可知應選D.

2.A

本題考查的知識點為定積分的對稱性質。

由于所給定積分的積分區(qū)間為對稱區(qū)間，被積函數f(x)=x3+x為連續(xù)的

奇函數。由定積分的對稱性質可知

?(x3+X)C1Λ?=O,

可知應選A0

3.B

4.D

??z+w

A,∫ι+ooxdx==2?=OO發(fā)散;

ι+00

Γx2dx=JX3?=8發(fā)散；

+θft1+≡5

—dr=ln∣?I=8發(fā)散；

∫1X\

D.Lpdr=~~∣?=0+1=1收斂.故選D.

5.D

6.C

7.A

8.A

??2工2一..一..2

Iim-.........=Iim—=—=3.因此。=一，選A?

≡→°sinɑzr>→0αzro)3

9.B

10.A

,(sinx)'=cosx,y=O=CoS%L=o=l，

田十

可知應選A.

11.A

本題考查了等價無窮小的代換的知識點。

當Zfo時,ln(l+?r)?&r,故Iim1=Iim—=6=2.

x-?0JCx→?0JC

12.C

13.C

14.C

本題考查了直線方程的知識點.

ij*

兩平面的交線方向S=102={-2,3,1},即為所求直線的方向,所以所求直線方程為表=

01-3

y-2_z一4

~T~="T_*

15.A設所求平面方程為4χ+B>+G+D=0.由于點(1,0,0),(0,1,0),(0,

0,1)都在平面上，將它們的坐標分別代入所設平面方程，可得方程組

/+0=0,

fi÷D=0,

CS=O.

可解得A=B=C=-O,代人所設平面方程,可得

x+y÷z=1

故選A.

16.B

17.D

18.C

本題考查了一階偏導數的知識點。

Z=工?,+3]+2?故算=2xy+3.

19.A

因f(x-l)=χ2-l,故f(x)=(x+l)2-l=χ2+2χ,貝UF(X)=2x+2.

20.D

本題考查了曲線的漸近線的知識點，

因Iim1+，1=1,所以y=1為水平漸近線.又因Iim】+e,.=8,所以H=O為鉛直漸近殘.

?-co?_e~"LO1_e-^r

21.(-21)

(-2,1)

y,=6X2+6x-12=6∣x2+X-2)=6(x-l)(x+2)

,

當—2<x<l時，y<0t故y單調遞減，故單調區(qū)間是(-2,1)

22.x∕l=y∕2=z∕-l

23.(-24)(-2,4)解析

(、(χ-l)2n+3

解：令%(χ)=%(%)=

(X-1)2

~9~

由’X?l)<1解得,-2<x<4,于是收斂區(qū)間是(一2,4)

24.

因為Iim膽=8,因此曲線的鉗直漸近線方程X=-2.

25.x=-2x=-2解析:m+2

26.

x，-?2?yz+I

3-I1

本題考查的知識點為求直線的方程.

由于所求直線平行于已知直線1,可知兩條直線的方向向量相同，由

直線的標準式方程可知所求直線方程為

X-2y∑+1

3-?1

27.

本題考查的知識點為二元函數的偏導數.

由于g=r∕+3x,可知

γ=2xyi+3,=2/A

a#a,

因此餐=2xy2+3+2x2y.

?x?v

28.

【解析】3以

?x?X?Y

29.

30.

由于x=-3時，Sin(X沒有定義,因此x=-3為間斷點.

x+3

31JxIX>—2且zW0}<±l2>-2且Nr0}

32.

330ey解析

【解題指導】本題考查二階偏導數運算.

34.本題考查的知識點為幕級數的收斂區(qū)間。

由于所給級數為不缺項情形，

..............?一

,?α-12

r

可知收斂半徑A=J~=2,收斂區(qū)間為（-2,2）.

1..1\

―/「22(ydx+xdy)—/22(ydx+xdy)

35.N1-XyNI-Xy

36.當X-O時，O+-?」與χ2等價,應滿足

+or'-1

20r

而]im"十爺—=Iim2,吁左

Xr→0Lx

42

2'所以當a=2時是等價的。

因為Iim里=8,所以鉛直漸近線方程應為X=2.

37.x=2x=2解析：12X-2

Oi

.5+1)!/1、

[解析Jh1m--------=hrm(n÷l)=+oo

Λ→**〃!Λ→??

38.所以R=O.

-Ix2ysin∣2(x^)2]e^sm(")-2x%Sinl[2（孫）2HuV'面

39.解析：

號=e^*m?-2?in(xy)2?cos(xy)2?lx2y=-2x2γ,sιn[2(x^)2]e^fu'(v)

40.y=Cy=C解析：y'=。，因此方程的通解為y=U

41.

,

設〃=arcsinxtv=1,則

arcsinxdx=xarcsinx-

=xarcsinx÷-?-?(1-x2)"?d(1-x2)

=xarcsinx+√1-x+C.

42.

利用隱函數求偏導數公式，記

F(x.y.z)=∕+y'-e'.

則

R=2x,F>-e,.

Hz匕2x

to≡?TT=7?

43.

【解析】記"”=(-1).“口.則IUJ=士,從而知yIu.I=y-!為戶級數，且

nn1?*?R

當α>l時，￡4收斂,因此f(-1)”一絕對收斂.

?VI??9?1Fl

當OVaWl時，Y二發(fā)散.注意到此時￡(-1廣一為交錯級數，

tτt?nMn

1

=—>----------≡Iu

n(n÷l)*

IimIu01=Iim-=O.

*~???>??n

￡(-1)"'二收斂,故此時￡(-1)"T4條件收斂.

由萊布尼茨定理可知當0<αWl時,

?■IΛ―?n

限M=一PW；；0渴，二=°?2S*

44.需求規(guī)律為Q=IOOeP225p*0)2.5六當P=IOB寸

價格上漲1%需求量減少2.5%需求規(guī)律為Q=IOOep225P,

(八ClOOe0.25)CeU

2)=-P--------------------------=0?25'

?<10)2?5???當P=IO時,價格上漲1%需求量減少

2.5%

45.

〃*)的定義域為(-8,0)U(O,+8).

∕,(X)=2X+4J*(X)=2-4

τr

令/'(χ)=0得χ=-l;令廣(X)=O.得了=：2

列表：

X(-8.-1)-1(-1.0)O(。⑶(蘇,+8)

______

—

,-O?

y+

y"÷?-O

/(-1)=3拐點

?υZu沒定義ZnZu

為極小值依0)

函數/C)的單調減少區(qū)間為(-8,-1);單調增加區(qū)間為(-1.0)U(O.+8)；極小值為

Z(-l)=3.

曲線y=∕?(x)的凹區(qū)間為(-8.0)0(5.+8)：凸區(qū)間為(0.力)：拐點為(萬.0).

說明

由于，(工)在點工=0處沒有定義.因此f(x)的單調增加區(qū)間為(-∣.0)U(O.+8),不

能寫為(0.+8)!

46.函數的定義域為

(-8,+co).f'(x)≈3X2-3.

令/?'(χ)=0.得駐點z,=-l.x,=l.列表得

X(-?.-I)-1(-1.1)t(I,÷?)

O-O

/(-1)=3ZU)…

ZU)ZZ

為極大值為極小值

函數/(x)的單調增區(qū)間為(-8,-I],[I,+*).

函數/(χ)的單調減區(qū)間為

"-1)=3為揭大值/(I)=-I為揭小侑.

注意

如果將(-8.-M寫成(-8.-1),將".+8)寫成(1.+8).1f-l.l］寫成(-1J)也對.

47.

i

【解析】由于e'=￡r(-8<χ<+8).可得

??OC?

-j.浸(-2χ)?:(-∣)?2V,_、

SMrτ?n↑

48.

設/(x)=N-l-ln，則/(工)的定義域為(0,+8).

∕?(x)=l-J-,

?

令廣=O得X=I.

當X>l時J'(?)=l-y>O.可知/(*)單間增加.

由于/(1)=0,可知當x>l時J(X)y(1)=0,從而X-I-InX>0.即

r,>I4?lnr.

49.

【解析】令，=4,則X=J,dx=2ιdt.當4=0時/=0；當X=1時,i=1

?<Λdx=?2te1dt

=2(re*I*-=2(e-e,∣ɑ)=2.

50.由二重積分物理意義知

m=Jμ(x,y)dσ=J(x2+/)dxdy=?此jr'dr=?ir.

r?n

51.

由「"τ'解得X=±l,則4、B兩點坐標分別為

Iy=O

Λ(-L0)?∣β(1.0)Jβ=2.

(I)S(x)=y(2+2x)(I-?)=(l+x)(i-√).

(2)S'(x)=-3∕-2al.令SYX)=O,即(3x-l)(x+l)=0,得與=：,則=-1(舍去).

S?(x),,=(-6x-2)[=-4<0,則Sg)夸為極大值.根據實際問題,S旁為最大值.

52.由一階線性微分方程通解公式有

)■=e5"(∫g(χ)ei<k+C)

=J÷4^(∫χe卅dx+C)

=e'"'Qx?e^'",dx+C)=X(Jjr.gdM+cj=x(x+C),

將?■!?.=0代人上式,可得C=-I,因此所求特解為V=Jr.

53.曲線方程為'=>+2,點(1,3)在曲線上.

y'T>'L,=-2,因此所求曲線方程為-3=-2(x-0或寫為2x+y-5=0.

如果函數y=f(x)在點xθ處的導數F(XO)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(xθ,fxθ))處存在切線，且切線的斜率為F(X0).切線方程為

,

y√(*0)=∕(χ<∣)(χ-?)?

如果則曲線y=∕(χ)在點(％/(與))處的法線方程為

y√(?)=T?2

如果/'(Xj=OEIlv="x.)為曲線V=AX)在點(x.j(x“))處的水平切線.

54.

y=x-lnX的定義域為(0,+8),y'=1-?-.

當x=l時,y'=0;當x>∣時,y'>0,函數)=x-ln*單調增加.

當OVt<1時,y'<0,函數y=*-lnx單調減少.

曲線):x-lnX在點(1,1)處的切線方程為y-1=0.

55.由等價無窮小量的定義可知1”需9L

56.解：原方程對應的齊次方程為y,'-4y'+4y=0,

特征方程及特征根為/-4r+4=0,r∣c=2,

21

齊次方程的通解為r=(C,+C2)e.

在自由項/(x)=e.中.α=-2不是特征根,所以設,=∕e'?代入原方程.車

z,=??

故原方程通解為y=(C1+C2)e"+Le”.

Io

57.

(解析】特征方程為√+3r+2=0.

特征根r∣=-2,Γj=-l,

2β

方程的通解為y=Cle??+C,e,

制：Iim二-----——=Iim2∣χ2I.

58.

1I

由2∣xi∣<I可解得FXF

(^???)?

故所給級數收斂IX間為

59.

解利用極坐標，區(qū)域D可以表示為

0≤^≤π>0≤r≤2,

dθ8

A=yπ?

解利用極坐標，區(qū)域D可以表示為

0≤6≤π,0≤r≤2,

[√x2+ydxdj>=?/Jdr

D

=￡PI>

π

=J：I■加=l?

60.

fl+Inx,f1fInX

J-----------dx=J—djx÷J-----aJx

=Inx+JInxdlnx=Inx÷—(Inx)2+C.

或[I+"=/(1+Inx)dlnx≡β1+Inx)d(1÷Inx]

=,?(1÷Inx)2+C,

解：設幺=If(x)dx,則/(X)=Inx-A,兩邊求定積分得

?1

√4=l?f(x)dx-i?(in?-A)dx

=(XInX-X-&0卜=-?le+A+1

解得：A=-9于是

e

zωlnx

61.=-;e

解：設力=[f(x)dx,,則f(x)=Inx-^4,兩邊求定積分得

*1

√4=l?f{x}dx=)ι(lnx-A)dx

=(XInX-X-&)卜=-AejrA+↑

解得：于是

A=l,

e

f(x)=Inx--

e

U=—,V=X

X

X,——d*

62.令U=InX,v'=l,貝!)∣

本題考查的知識點為定積分的分部積分法.

63.

解：由即意可知.曲線y=2M和直線y=2r-2的交點由方程組

z

):產2-jr

^y-2τ^2

硼定?解得?h=-2?∕χ=5如圖所示.故平面圖形而枳

S--[L(2-.r)—(2τ^?2)jdr

√?

1P(XF)*.11.,1,

f-?-----dx=-τ-τ--------ax=f(F-——)ax=---arctanx+

-Jχ2(x2+2)Jx2(x2+1)jX2X2+1X

64.

1PK+2)*11.,1.4

farctan

?時時、=?爐(，+1)辦=∫?-=-丁AC

65.

??

?sin2*d*=??sin2xd(2x)

f

1.j

=---cos2x=1.

20

本題考查的知識點為定積分的換元積分法.

66.

解由于Iimf(X)存在，可設IimXX)=A,則

jr→lJ→1

/(x)=X3+2x+5Λ