2023年中考九年級(jí)數(shù)學(xué)提高練習(xí)-四邊形動(dòng)點(diǎn)問題

2023年中考九年級(jí)數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)拔高訓(xùn)練-四邊形動(dòng)點(diǎn)問題

1.如圖，矩形4BCD中，AB=2,4。=4,動(dòng)點(diǎn)E在邊BC上，與點(diǎn)B、C不重合，過點(diǎn)A

作DE的垂線，交直線C。于點(diǎn)F.設(shè)。尸=%,EC=y.

(1)求y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，并寫出X的取值范圍.

(2)若點(diǎn)F在線段CD±,當(dāng)CF=I時(shí)，求EC的長(zhǎng).

(3)若直線AF與線段BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,當(dāng)ΔDBE與ΔDFG相似時(shí)，求DF的長(zhǎng).

2.將一個(gè)平行四邊形紙片ABCD放置在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)4(一2,0),點(diǎn)B(l,0),

點(diǎn)D在y軸正半軸上，?DAB=60°.

圖①

(I)如圖①，求點(diǎn)D的坐標(biāo);

3.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE,作點(diǎn)A關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)

F,且點(diǎn)F落在矩形ABCD的內(nèi)部，連結(jié)AF,BF,EF,過點(diǎn)F作GFIA尸交AD于

BB

3)1B2

(1)求證：AE=GE；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)，用含n的代數(shù)式表示器的值；

(3)當(dāng)AD=4AB,且4尸GC=90。時(shí)，求n的值.

4.在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，以ICm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，

到A停止運(yùn)動(dòng)；F是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，以2cm∕s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，到點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng).設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

(2)當(dāng)△DEF是直角三角形時(shí)，求ADEF的面積.

5.綜合與實(shí)踐

【問題背景】

如圖1,平行四邊形ABCD中，ZB=60o,AB=6,AD=8.點(diǎn)E、G分別是AD和DC邊的中

點(diǎn)，過點(diǎn)E、G分別作DC和AD的平行線，兩線交于點(diǎn)F,顯然，四邊形DEFG是平行四邊形.

【獨(dú)立思考】

(I)線段AE和線段CG的數(shù)量關(guān)系

是：?

(2)將平行四邊形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DE落在DC邊上時(shí)，如圖2,連接AE和

CG.

①求AE的長(zhǎng)；

②猜想AE與CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)【問題解決】

將平行四邊形DEFG繼續(xù)繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A,E,F三點(diǎn)在同一直線上時(shí)(如圖3),AE

與CG交于點(diǎn)P,請(qǐng)直接寫出線段CG的長(zhǎng)和NAPC的度數(shù).

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(遍，0),B(36，2),C(0,2).動(dòng)點(diǎn)D以每秒1個(gè)

單位的速度從點(diǎn)O出發(fā)沿OC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AB

向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)E作EFLAB,交BC于點(diǎn)F,連接DA、DF.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)求NABC的度數(shù)；

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，AB〃DF；

(3)設(shè)四邊形AEFD的面積為S?①求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;

②若一拋物線y=-χ2+mx經(jīng)過動(dòng)點(diǎn)E,當(dāng)S<2√3時(shí)，求m的取值范圍(寫出答案即可).

7.如圖，在矩形ABC。中，AD=2√5，AB=4√5，DWLAC于點(diǎn)M,在對(duì)角線AC上取一點(diǎn)

N,使得2CN=3AM,連接ON并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E,尸是AB上一點(diǎn)，連接EF,MF.當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E

勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)尸時(shí)，點(diǎn)Q恰好從點(diǎn)M勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N.

(1)求AM,CE的長(zhǎng).

(2)EF//AC,i己EP=X,AQ=y.

①求y關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式.

②連接P。，當(dāng)直線PQ平行于四邊形。EFM的一邊時(shí)，求所有滿足條件的X的值.

(3)在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)直線PQ同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)8和Z)時(shí)，記點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為w,記點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)

速度為V2,求富的值.

8.如圖

圖1圖3

（1）（學(xué)習(xí)心得）

于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完"圓''這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解

決，可以使問題變得非常容易.

例如：如圖1,在AABC中，AB=AC,ZBAC=90o,D是AABC外一點(diǎn)，月.AD=AC,求

NBDC的度數(shù).若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助OA,則點(diǎn)C、D必在。A上，NBAC是。A的

圓心角，而/BDC是圓周角，從而可容易得到/BDC=°.

（2）（問題解決）

如圖2,在四邊形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90o,ZBDC=25O,求NBAC的度數(shù).

（3）（問題拓展）

如圖3,如圖，E,F是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF.連接CF交BD于點(diǎn)

G,連接BE交AG于點(diǎn)H.若正方形的邊長(zhǎng)為2,則線段DH長(zhǎng)度的最小值是.

9.在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OaBC的頂點(diǎn)A,C分別在X軸、y軸上，點(diǎn)8的坐標(biāo)為

（2,2√3），將矩形OABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ɑ,得到矩形OlaBIel,點(diǎn)。，B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別

為O↑,B↑,Cι.

（1）如圖①，當(dāng)α=45°時(shí)，O1C1與AB相交于點(diǎn)E,求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)Oi落在對(duì)角線OB上時(shí)，連接BC1,四邊形OACIB是何特殊的四邊

形？并說明理由；

（3）連接BC1,當(dāng)BC1取得最小值和最大值時(shí)，分別求出點(diǎn)Bl的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即

可）.

10.如圖所示，在等邊三角形ABC中，BC=8cm,射線AG〃BC,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AG以

?em/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm∕s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）

-?EG

B→FC

(1)填空：當(dāng)t為S時(shí)，AABF是直角三角形；

(2)連接EF,當(dāng)EF經(jīng)過AC邊的中點(diǎn)D時(shí)，四邊形AFCE是否是特殊四邊形？請(qǐng)證明你的結(jié)

論.

11.如圖，在四邊形ABCD中，ZA=90o,AD〃BC,AD=2,AB=6,CD=IO,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，

連結(jié)BE,BD,作DFLBE于點(diǎn)F。動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上從點(diǎn)B向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q在

線段CD上從點(diǎn)C向終點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)。

(1)求tanC的值。

(2)求DF的長(zhǎng)。

(3)當(dāng)Po與ABDF的一邊平行時(shí)，求所有滿足條件的BP的長(zhǎng)。

12.如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AC=12cm,BD=16cm,動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出

發(fā)，沿線段DB以2cm∕S的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)N出發(fā)，沿線段BA以ICm/S的速度

向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(t>0),以點(diǎn)

M為圓心，MB為半徑的。M與射線BA,線段BD分別交于點(diǎn)E,F,連接EN.

(1)求BF的長(zhǎng)(用含有t的代數(shù)式表示)，并求出t的取值范圍;

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，線段EN與。M相切？

(3)若。M與線段EN只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值范圍.

13.如圖，在RtAASC中，ZA=90o,AC=3,AB=A,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒2個(gè)

單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)6運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q為線段AP的中點(diǎn)，過點(diǎn)P向上作PMJ且PM=3AQ,以

PQ.PM為邊作矩形PQVM.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r秒.

(I)線段MP的長(zhǎng)為(用含f的代數(shù)式表示).

(2)當(dāng)線段MN與邊BC有公共點(diǎn)時(shí)，求f的取值范圍.

(3)當(dāng)點(diǎn)N在AABC內(nèi)部時(shí)，設(shè)矩形PQVM與AABC重疊部分圖形的面積為S,求S與/之間

的函數(shù)關(guān)系式.

(4)當(dāng)點(diǎn)M到AABC任意兩邊所在直線距離相等時(shí)，直接寫出此時(shí)，的值

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系XOy中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(8,6),點(diǎn)、M為

OA邊上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)0、A重合)，連接CM,過點(diǎn)M作直線I1CM,交AB于點(diǎn)

D,在直線I上取一點(diǎn)E(點(diǎn)E在點(diǎn)M右側(cè))，使得法=之,過點(diǎn)E作EFllAO,交BO

于點(diǎn)F,連接BE,設(shè)OM=m(0<m<8).

(1)填空：點(diǎn)E的坐標(biāo)為(用含m的代數(shù)式表示)；

(2)判斷線段EF的長(zhǎng)度是否隨點(diǎn)M的位置的變化而變化？并說明理由；

(3)①當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形BCME的面積最小，請(qǐng)求出最小值；

②在X軸正半軸上存在點(diǎn)G,使得&GEF是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出3個(gè)符合條件的點(diǎn)G

的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示).

15.如圖1,在菱形ABCD中，AB=15,過點(diǎn)A作4E1BC于點(diǎn)E,AE=12,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出

發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BE向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ_LBC,交BA于點(diǎn)Q,以PQ為

邊向右作正方形PQMN,點(diǎn)N在射線BC上，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)求菱形對(duì)角線AC的長(zhǎng)；

(2)求線段AQ與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍.

(3)如圖2,AC交QM于點(diǎn)F,交QN于點(diǎn)0,若0是線段QN的中點(diǎn)，求t的值.

16.如圖，BD是^ABCD的對(duì)角線，AB=7,BD=4√2,NABD=45。，動(dòng)點(diǎn)P、Q

分別從A、D同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿折線AB-BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在AB上的速度為每秒7個(gè)單

位，在BC上的速度為每秒5個(gè)單位，點(diǎn)Q以每秒2√Σ個(gè)單位的速度沿DB向終點(diǎn)B運(yùn)

動(dòng).連結(jié)PQ,以DQ、PQ為邊作團(tuán)DEPQ,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(t>0).

(1)當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P到BD的距離.

(2)當(dāng)點(diǎn)E落在邊CD上時(shí)，求t的值.

(3)設(shè)SDEPQ與SABCD重疊部分圖形的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

(4)連結(jié)EQ,直接寫出直線EQ與直線BD所夾銳角的正切值.

答案解析部分

1.【答案】(I)解：如圖1,

???四邊形ABCD是矩形，

???DC=AB=2,?ADC=乙BCD=90°.

又???AF1DE,

??.?ADF=Z-DCE=90o,?DAF=乙EDC=90°-?DFA,

ΛΔADF-ΔDCE,

AD_DF

??DC^CE,

4_X日n1

??2=y9BPy=2x-

?.,點(diǎn)E在線段BC上，與點(diǎn)B、C不重合，

???0<yV4,.?.0<??<4,即0<X<8,

?2

:.y--X,(0<X<8);

(2)解：①當(dāng)點(diǎn)F線段DC上時(shí)，

CF=1,

???DF=x=2-1=1,此時(shí)CE=y=?x=?;

②當(dāng)點(diǎn)F線段DC延長(zhǎng)線上時(shí)，

VCF=1,

A?

??.DF=x=2+l=3,此時(shí)Cf=y=-%=-；

當(dāng)CF=I時(shí)，EC的長(zhǎng)為:或§；

(3)解：在Rt△ADF中，AF=Λ/AD2+DF2=√16+x2,

在Rt△DCE中，DE=√EC2+DC2=J(∣x)2+4=∣√16+x2，

”四邊形ABCD是矩形，

AD//BC,

.?.ΔADFS?GCF,

.AF_DF

??GF=~CF,

.?.FG=喋磐=—√x2+16.

DFx

%?乙DEC=?AFD=90-乙EDC,

???乙BED=乙DFG,

???當(dāng)ΔDBE與ΔDFG相似時(shí)，可分以下兩種情況討論:

(1)?DEB-ΔGFD,如圖2,

圖2

右

川Inll有EDB=FDG,

???ED?FD=FG?EB,

?*?BJ%)+16?X=+16,(4_??)，

解得：X=].

②若ΔDEBSΔDFG,如圖3,

圖3

后

則mil有EDB=TFGD'

：,ED?FG=EB?FD,

:??J/+16,y]N+16=(4-??)?X

整理得：3%2+8%-16=0,

解得：打=/，％2=-4(舍去).

綜上所述：DF的長(zhǎng)為卷或界

2.【答案】解：???點(diǎn)4（一2,0）,

:.0A=2.

在RtZkADO中，?DA0=60°,

：?DO=OA-tanzZMO—2×tan60o=2Λ∕3.

又點(diǎn)D在y軸正半軸上，

，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2√3).

(II)剪切下△4。。并將其沿X軸正方向平移，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為/,點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為。'，點(diǎn)O的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)為0‘，設(shè)00'=3△4)0'和四邊形OBCD重疊部分的面積為S.

①如圖②，若平移后AAOO'和四邊形OBCD重疊部分是五邊形時(shí)，∕D'交y軸于點(diǎn)E,0力'交

BC于點(diǎn)F,試用含有t的式子表示S,并直接寫出t的取值范圍；

②28

當(dāng)

<<小

3---3-求S的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可).

【答案】解：①由平移可知，AADO三A4'D'0',AD//BC,

,?AO=Ao=2，DO=DO=2√3-/.D'A'B=/.CBO'=60°.

由0。，=3B(1,0)知，AO=AO-OO=2-t>BO'=00'-OB=t-1,

在Rt中，EO=A'O-tan?EA'0=(2-t)?tan60o=√3(2-t)?

?"∕EO=^,O?OE=f?(2-t)?√3(2-t)=f(2-t)2-

同理如￡=如。'?尸。'=坐("1產(chǎn)

又S”/0，=∣∕θ,?DO=∣×2×2√3=2√3.

:?S=S-SAA'EO_SABF0,-2v?-?(2_t)2_亨(1_1)/

即S=-√3t2+3√3t-?(l<t<2)?

②朵百≤s≤（√^?

Io住

3.【答案】（1）證明：設(shè)AE=α,則AD=九。，

由對(duì)稱知，AE=FE,

??.?EAF=Z.EFA,

VGF1AF,

????EAF+?FGA=Z.EFA+乙EFG=90°,

????FGA=乙EFG,

???EG=EF,

：?AE=EG；

（2）解：如圖1,當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)，

由對(duì)稱知，BELAF,

????ABE+LBAC=90°,

V?DAC+Z-BAC=90°,

???Z-ABE=Z.DAC,

????BAE=乙D=90°,

?ΔABESΔDAC,

???AB=DC,

DA~~DC

?,.AB2=AD?AE=na2,

VAB>0f

???AB=√nα,

AD_Tla

AB~>∕na

（3）解：若AD=4AB，貝I」AB=^a,

q

如圖2,當(dāng)點(diǎn)F落在線段BC上時(shí)，EF=AE=AB=a,此時(shí)1a=a,

.?.n=4,

???當(dāng)點(diǎn)F落在矩形內(nèi)部時(shí)，n>4,

?.?(CGF=90°,如圖3,

Λ?CGD+Z.AGF=90°,

V?FAG+?AGF=90°,

????CGD—Z-FAG—?ABE,

????BAE=乙D=90°,

?ΔABESΔDGC,

AB_AE

??DG=DC,

?ABDC=DG-AE,

,?*DG=AD—AE-EG=ZlQ-2。=(九一2)Q,

71n

Qa)2=(n-2)a-a,

??.n=8+4√Σ或n=8-4√Σ(由于n>4,所以舍)，

即：n=8+4√2

4.【答案】⑴解:VBE=tcm,BF=2tcm,AE=(6-t)cm,CF=(12-2t)cm,

??S?DEF-S矩彩ABCD-SAAED-S?BEF-SACDF,

ΛS=12×6-?×12×(6-t)-It×2t-∣×6×(12-2t)=-t2+12t,

t>0

根據(jù)題意得6—t≥0,

,12—2t≥0

解得0<t<6;

(2)解：由勾股定理可，EF2=BE2+BF2=5t2,

DF2=CD2+CF2=4t2-48t+180,

DE2=AD2+AE2=t2-12t+180,

①當(dāng)NEDF為直角時(shí)，EF2=DE2+DF2,

即5t2=t2-12t+180+4t2-48t+180,

解得t=6,

ΛS=-62+12×6=36;

②當(dāng)NDEF為直角時(shí)，DF2=DE2+EF2,

即6t2-12t+180=4t2-48t+180,

解得t=0或-18,

V0<t<6,

???都不符合；

③當(dāng)NDFE為直角時(shí)，DE2=DF2+EF2,

即5t2+4t2-48t+18O=t2-12t+180,

解得t=o(舍)或t=I.

2

???S=-(∣)+12×^=33∣.

5.【答案】⑴3AE=4CG或AE=&G或我E=CG或震=g等

(2)解：解：①如圖，過點(diǎn)E作EHLAD于點(diǎn)H,

在RtAEDH中，ZEDA=60o,ED=^AD=∣×8=4,

：.DH=∣DE=∣×4=2,

.'.EH=DE-SinZJWE=4×sin60o=2√3,

ΛAH=AD-HD=8-2=6,

在RtAAHE中，根據(jù)勾股定理可得AE=4AH?+EH?=je2+(2√3)2=4√3;

②3AE=4CG或4E=A=CG或%E=CG或縹=等等，

?4?CUJ

證明如下：

由題可知：ZADC=ZCDG=60°,解=瞪=與即霽=器，

Λ?ADESZSCDG,

E力D84

-=-=--

GCD63

即3AE=4CG或4E=W=CG或%E=CG或循=1等;

(3)解：CG=3"+3,zAPC=60°

6.【答案】(1)解：過點(diǎn)B作BM_LX軸于點(diǎn)M

ΛBC√OA

ΛZABC=ZBAM

?.?BM=2,AM=2√3

AtanZBAM=叵

3

ΛZABC=ZBAM=30o

(2)解：：AB〃DF

ΛZCFD=ZCBA=30o

在RtZiDCF中，CD=2-t,ZCFD=30o,

ΛCF=√3(2-t)

ΛAB=4,

ΛBE=4-2t,ZFBE=30o,

?RF-2(4-2t)

/F—-/F-

Λ√3(2-t)+2∕t)=3√3,

.?.t=I

(3)解：①連接DE,過點(diǎn)E作EG,X軸于點(diǎn)G,

貝IJEG=t,OG=√3+

?".E(V3+√3t>t)

ΛDE√x軸

S=SΔDEF+SΔDEA=?DE×CD+?DE×0D

—?DE×0C=?×(V3t+√3)×2

=√3+√3t.

②當(dāng)S<2√3時(shí)，

由①可知，S=√3+√3t

Λ√3t+√3<2√3,

Λt<l,

Vt>O,

ΛO<t<b

Yy=-χ2+mx,點(diǎn)E(√3+√3t,t)在拋物線上，

當(dāng)t=0時(shí)，E(√3.0),

.?.m=√3,

當(dāng)t=l時(shí)，E(2遮，1),

?m-13√3

6

Λ√3<m<Iy

6

7.【答案】(1)解：在矩形ABCD中，AD=2√5,AB=4√5,ZADC=90o,

2222

'AC=y∣AD+DC=J(2√5)÷(4√5)=□

VDM±AC,

ΛZADM=ZDCM,

ΛAM=AD?sinZADM=AD?sinZDCM=2√5×=2,

<2CN=3AM,

ΛCN=3,AN=AC-CN=7,

VAD√CE,

???△ADN^ΔCEN,

.AD_AN

?*CEr=CW'

?2√57

"CE=3'

.,.CE=迪

7

(2)解：①若EF〃AC,則EF=√5BE=√5x竽=岑

VP,Q勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)y=kx+b,(k≠0),

令x=0,y=b,此時(shí)點(diǎn)P在E點(diǎn)，Q在M點(diǎn)，b=AM=2;

令y=7時(shí)，此時(shí)Q在N點(diǎn)，P在F點(diǎn)，X=歲，

(2=b

即

(7=-4y0∕c,+,,b,

7

解得k=8-

?β?y=QX+2；

②(i)當(dāng)QP〃DM時(shí)，AN-y+CN-∣=x,

解得X=翳，

(ii)當(dāng)QP〃MF時(shí)，四邊形QMFP是平行四邊形，由MQ=FP得，y-2=與-x,

解得X=桀，

(iii)當(dāng)QP〃NE時(shí)，四邊形QPEN為平行四邊形，由QN=EP可得，7-y=x,

解得X=§.

綜合以上可得，滿足條件的X的值為舞或蕓或I

(3)解：PQ同時(shí)經(jīng)過B,D時(shí)，Q為AC的中點(diǎn)，此時(shí)MQ=3,QN=2,

由題意知露=能=1，

過點(diǎn)P作PHLBE,EH=IEB==24√≡,BH=,

?5/?i???

貝IJEH：PH：EP=3：4：5,

?"?EF—BE=8√5=40√5

X721

vMN5

??.Q,P的運(yùn)動(dòng)速度比為1訪=面r=而后=4卓

z-2Γ4U

8.【答案】⑴45

(2)解：如圖2,取BD的中點(diǎn)O,連接AO、CO.

?.?∕BAD=∕BCD=90°,

.?.點(diǎn)A、B、C、D共圓，

ΛZBDC=ZBAC,

VZBDC=25o,

；.NBAC=25。，

(3)√5-1

9.【答案】(1)解:

：矩形OABC,

."048=90。.

"J?OAO1=45°,

."OiAE=45。.

o

?,?AO1E=90,O1A=OA=2,

,

..01F=AF=FE=√2,

：-AE=AF+EF=2√2.

?,?F(2,2√2).

(2)解：四邊形OAClB是平行四邊形.

在Rt?AOB中，tanz√10B=器==遮>

：.Z.B0A=60°.

同理，?O1AC1=60°.

=O1A,

...△。401是等邊三角形.

ΛZOXO1=60°.

.".AC1與X軸的夾角等于60°.

：.BoUACl.

又BO=AC1,

.?.四邊形OAGB為平行四邊形.

(3)(2+√3,3),(2-√3,-3)

10.【答案】(1)2或8

(2)解：四邊形AFCE是平行四邊形，證明如下:

如圖3,過點(diǎn)A作AHLBC于點(diǎn)H

圖3

=NABC=60。，AB=8cm

AsinZABC=她=y，cosZABC=空=5

AB2AB2

ΛAH=2AB=4√3cm,BH=?AB=4cm

?.,AG〃BC

ΛZEAD=ZFCD,NAED=NCFD

??,點(diǎn)D是AC中點(diǎn)

ΛAD=CD

?ΔADE?ΔCDF中

(?AED=乙CFD

??EAD=Z.FCD

(AD=CD

Λ?ADE^?CDF(AAS)

ΛDE=DF

???四邊形AFCE是平行四邊形

JAE=CF

VAE=t,CF=BC-BF=8-2t

Λt=8-2t

解得：t=I

ΛAE=Icm,BF=竽cm

ΛBF>BH,AF>AH,ZAFC>90o

ΛAF≠AE

???四邊形AFCE不是菱形或矩形，四邊形AFCE是平行四邊形.

IL【答案】(1)解：過點(diǎn)D作DGLBC于點(diǎn)G,

?.,AD〃BC,ZA=90o,

.?ZDGC=90o,AD=BG=2,

.?.DG=AB=6,GC=S,ΛtanC=g≤=A=∣

(2)解：過點(diǎn)E作EMLBe于點(diǎn)M,

,.?E為De中點(diǎn)，,EM為ADGC的中位線,

.?.EM=iDG=3,CM=?GC=4,

???MC=VfC2—EM2=Vs2-32=4?

,?,BC=BG+GC=AD+GC=2+8=10,

ΛBM=BC-MC=10-4≈6,

2222

'BE=y/BM+EM=√6+3=3√5，

YE為CD的中點(diǎn)，

.,.SΔBDE=?SΔBDC=∣×∣×DG×BC=^×?×6×10=15,

/.SABDE=?BEDF=I5

Wi×3√5XDF=I5

ΛDF=2√5?

(3)解：由題意可知BC=CD,所以動(dòng)點(diǎn)P與Q的運(yùn)動(dòng)速度相等,

?BP=CQ,設(shè)BP=x,貝IJCP=I()-x

①當(dāng)PQ〃BD時(shí)，△CPQSACDB

CMQsz?CGD

ΛCQ=CP

：?10-x=x

Λx=5,/.BP=5

②當(dāng)PQ〃BF時(shí)，^CQPsaCEB,

?CQ_CP.X_10—%

^CE=BC,?,5=T0-

.?.X=學(xué)，ΛBP=學(xué)

③當(dāng)PQ〃DF時(shí)，延長(zhǎng)DF交BC于H,

VBD=2√10,DF=2√5,,BF=2√5

Λ?BDF為等腰直角三角形

YABDC為等腰三角形

根據(jù)軸對(duì)稱性，點(diǎn)H為BC的中點(diǎn)（注：也可ACDH&Z?CBE）

ΛCH=5

?CQ_CP.X_10—x

VPQ√DF,^CD=CH^10=~5~

，X=孚.?.BP=20

T

.?.BP=5或?qū)W或孕

12.【答案】（1）解：連接MF.：四邊形ABCD是菱形,ΛAB=AD,

AC±BD,OA=OC=6,OB=OD=8,

在Rt?AOB中，AB=√62+82=1。，

VMB=MF,AB=AD,

.?.ZABD=ZADB=ZMFB,

ΛMF/7AD,

.BM_BF

'''BA=BD'

.t_BF

,,Tθ=16，

ΛBF=It(0<t<8).

(2)解：當(dāng)線段EN與。M相切時(shí)，易知^BENSAB0A,

.BE_BN

''OB=AB'

.2t_16-2t

??u-

.??一-3y2-.

??/=苧S時(shí),線段EN與。M相切.

(3)解：①由題意可知：當(dāng)OVtW竽時(shí)，OM與線段EN只有一個(gè)公共點(diǎn).②當(dāng)F與N重合

時(shí)，則有It+2t=16,解得t=等,

觀察圖象可知，挈＜tV8時(shí)，(DM與線段EN只有一個(gè)公共點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)0＜區(qū)竿或等＜t＜8時(shí)，G)M與線段EN只有一個(gè)公共點(diǎn).

13.【答案】(1)3t

(2)解：如圖2-1中，當(dāng)點(diǎn)M落在BC上時(shí)，

圖2-1

?.?PM〃AC,

.PM_PB

一次一麗’

?3t_4-2t

解得t=I

如圖2-2中，當(dāng)點(diǎn)N落在BC上時(shí),

圖2-2

VNQ√AC,

-NQ_BQ

AC~BA'

?3t_4-t

?,包=丁'

解得t=I

綜上所述，滿足條件的t的值為I<t<I.

(3)解：如圖3-1中，當(dāng)O<twI時(shí)，重疊部分是矩形PQNM,S=3t2

圖3-1

如圖3-2中，當(dāng)IVt1時(shí)，重疊部分是五邊形PQNEF.

圖3-2

22

S=S??PQNM-SΔEFM=3t-B'(4-2t)]?g[3t-'(4-2t)]=-?t+18t-6,

z?

3t2(O<t≤5)

綜上所述，S=217?.

—2^+18t—6<t≤?)

(4)如圖4-1中，當(dāng)點(diǎn)M落在NABC的角平分線BF上時(shí)，滿足條件.作FE,BC于E.

圖44

YNFAB=NFEB=90°,ZFBA=ZFBE,BF=BF,

???△BFA^?BFE(AAS),

ΛAF=EF,AB=BE=4,設(shè)AF=EF=x,

VZA=90o,AC=3,AB=4,

22

JBC=y/AC+AB=5,

ΛEC=BC-BE=5-4=1,

在RtZkEFC中，則有χ2+F=(3-χ)2,

解得X=I，

?.?PM〃AF,

PMPB

T4FBA'

t34-2t

4,

3-4

.-1

??tt^TT

如圖4-2中，當(dāng)點(diǎn)M落在NACB的角平分線上時(shí)，滿足條件作EFLBC于F.

C

同法可證：△ECA絲4ECF(AAS),

二AE=EF,AC=CF=3,設(shè)AE=EF=y,

ΛBF=5-3=2,

在RtAEFB中，則有χ2+22=(4-x)2,

解得X=§,

?；PM/7AC,

.PM_PE

^~AC=AE'

?3t一尹2t

..百一1一，

2

解得t=I

如圖4-3中，當(dāng)點(diǎn)M落在△ABC的/ACB的外角的平分線上時(shí)，滿足條件.

設(shè)MC的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于E,作EFlBC交BC的延長(zhǎng)線于分,

同法可證：AC=CF=3,EF=AE,設(shè)EF=EA=x,

在RtaEFB中，則有χ2+"=(χ+4)2,

解得x=6,

VAC∕/PM,

.AC_EA

'"PM~EP'

.3t_6

,,T=6+2t'

解得t=I,

綜上所述，滿足條件的t的值為A或今或S.

14.【答案】(1)(m+2,?m)

(2)解：設(shè)直線BO的解析式為：y=kx,

把點(diǎn)B的坐標(biāo)是(8,6),代入上式可得：6=8k,解得：k=I,

.?.直線Bo的解析式為：y=IX,

：點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m+3，Im),EF//A0,

，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(m,Im),

：.EF=m+I-m=I,即：線段EF的長(zhǎng)度不會(huì)隨點(diǎn)M的位置的變化而變化

（3）解：①連接CE,過點(diǎn)E作EQ_LBC于點(diǎn)Q,

：點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m+義，Im）,

.?EQ=6-Mm,

V0C=6,OM=m,

?*?CM=?/?e÷m2，

..OC_OM_CM

ΛMN~~NE~ME~3'

.?.ME=,CM=*?/?e÷m2，

四邊形BCME的面積=^CM-ME+\BC-QE=∣m2-3m+^=∣（m-4）2+?,

即：當(dāng)m=4時(shí)，四邊形BCME的面積最小值為：竽；

②(a)當(dāng)點(diǎn)G為頂角頂點(diǎn)時(shí)，如圖，則G(Tn+*+m,o),即：G(m+∕θ)，

(b)當(dāng)點(diǎn)E為頂角頂點(diǎn)時(shí)，如圖，貝IJEG=EF=I,EHTm,GH=J(I)L(軸,=

ξ√36—m2，

Q?_______、Q?_______

??G(τιτ+3+4、36—z∏2,0)或G(τn+]—彳V36—Tfi^,0),

—

綜上所述：G的坐標(biāo)可以是：G(m÷ξl0)或G(m+,+)>36-旅,0)或G(m÷

Q-----------

2?

74√36-m,0)

15.【答案】⑴解:如圖，連結(jié)力C,

???四邊形ABCD是菱形，

：.AB=BC=15,

9：AE1BC,

.??AEB=90o,

9：AB=15,AE=12,

,BE=y∕AB2-AE2=9,

/.CF=BC-SF=15-9=6,

，在Rt△ACE中，AC=?∣AE2÷CE2=6Λ^5;

(2)解：?：PQ1BC,

；.PQIlAE,

???△BPQSXBEA,

?BP_PQ_BQ

即等=*=轡

：?BQ—53PQ—43

：.AQ=AB-BQ=15-5t,(O≤t≤3)

(3)解:,：QMHBC,

AQFSRABC,乙OQF=乙ONC

-AQ_QF

,?而一阮’

?9AB=BC,

：.AQ=QF,

TO是QN的中點(diǎn)，

：.OQ=ON；

(?OQF=2ONC

?ΔOQFfΠΔO∕VCψ,OQ=ON,

ZFOQ=?CON

：.4OQFONC(ASA)9

：.FQ=CN,

：.AQ=FQ=CN,

?.?BP=33PQ=PN=4t,

：.BN=73

：.AQ=BN-BC=7t—15=15—53

解得：t=1

16.【答案】(1)解：如圖①，過點(diǎn)P作PFLBD于點(diǎn)F

圖①

在RtAPFB中，乙PFB=90°