新教材高中數(shù)學(xué)人教A版學(xué)案1-5-2全稱量詞命題和存在量詞命題的否定

1．5.2全稱量詞命題和存在量詞命題的否定[目標(biāo)]1.能正確的對(duì)全稱量詞命題和存在量詞命題進(jìn)行否定；2.知道全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．[重點(diǎn)]能夠正確對(duì)全稱量詞命題和存在量詞命題進(jìn)行否定．[難點(diǎn)]全稱量詞命題和存在量詞命題的否定在形式上的變化．知識(shí)點(diǎn)一全稱量詞命題的否定[填一填][答一答]1．全稱量詞命題的否定一定是存在量詞命題嗎？提示：是，因?yàn)槿Q量詞的否定一定是存在量詞，所以全稱量詞命題的否定一定是存在量詞命題．2．用自然語(yǔ)言描述的全稱量詞命題的否定形式唯一嗎？提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四邊形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四邊形”，也可以是“有些菱形不是平行四邊形”．知識(shí)點(diǎn)二存在量詞命題的否定[填一填][答一答]3．為什么存在量詞命題的否定一定是全稱量詞命題？提示：因?yàn)閷?duì)“有的”，“存在一個(gè)”，“至少一個(gè)”等詞語(yǔ)的否定是“都沒有”，“都不存在”，“全都不”等，所以存在量詞命題的否定一定是全稱量詞命題．4．“一般命題的否定”與“全稱量詞命題和存在量詞命題的否定”有什么區(qū)別與聯(lián)系？提示：(1)一般命題的否定通常是保留條件否定其結(jié)論，得到真假性完全相反的兩個(gè)命題；全稱量詞命題和存在量詞命題的否定要在否定結(jié)論p(x)的同時(shí)，改變量詞的屬性，即全稱量詞改為存在量詞，存在量詞改為全稱量詞．(2)與一般命題的否定相同，全稱量詞命題和存在量詞命題的否定的關(guān)鍵也是對(duì)關(guān)鍵詞的否定．因此，對(duì)全稱量詞命題和存在量詞命題的否定，應(yīng)根據(jù)命題所敘述的對(duì)象的特征，挖掘其中的量詞．全稱量詞命題的否定與全稱量詞命題的真假性相反；存在量詞命題的否定與存在量詞命題的真假性相反．類型一全稱量詞命題的否定【例1】(1)命題“對(duì)任意x∈R，都有x2≥0”A．對(duì)任意x∈R，都有x2<0B．不存在x∈R，使得x2<0C．存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)≥0D．存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)<0(2)命題“?x∈R，|x|＋x2≥0”[解析](1)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．“對(duì)任意x∈R，都有x2≥0”的否定為“存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)<0”，故選D.(2)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，所以命題的否定為“?x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(2,0)<0”．[答案](1)D(2)?x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(2,0)<0全稱量詞命題的否定形式與判斷真假的方法：1求全稱量詞命題的否定命題，先將全稱量詞調(diào)整為存在量詞，再對(duì)性質(zhì)px否定為綈px.2若全稱量詞命題為真命題，其否定命題就是假命題；若全稱量詞命題為假命題，其否定命題就是真命題.[變式訓(xùn)練1](1)設(shè)x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集．若命題p：?x∈A,2x∈B，則(C)A．綈p：?x∈A,2x∈B B．綈p：?x?A,2x∈BC．綈p：?x∈A,2x?B D．綈p：?x?A,2x?B(2)命題“?x>0，eq\f(x,x－1)>0”的否定是(B)A．?x0>0，eq\f(x0,x0－1)≤0 B．?x0>0,0≤x0≤1C．?x>0，eq\f(x,x－1)≤0 D．?x<0,0≤x≤1解析：(1)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，將“?”改為“?”，“2x∈B”否定為“2x?B”，即綈p：?x∈A,2x?B.(2)∵eq\f(x,x－1)>0，∴x<0或x>1，∴命題“?x>0，eq\f(x,x－1)>0”的否定是“?x0>0,0≤x0≤1”，故選B.類型二存在量詞命題的否定及真假判定【例2】寫出下列存在量詞命題p的否定綈p，并判斷綈p的真假．(1)p：?x0<0，x0＋eq\f(1,x0)＋2<0.(2)p：有一個(gè)質(zhì)數(shù)含有三個(gè)正因數(shù)．(3)p：存在實(shí)數(shù)m0，x2＋x＋m0＝0的兩根都是正數(shù)．[解](1)綈p：?x<0，x＋eq\f(1,x)＋2≥0.當(dāng)x＝－2，x＋eq\f(1,x)＋2<0，所以綈p是假命題．(2)綈p：每一個(gè)質(zhì)數(shù)都不含有三個(gè)正因數(shù)，綈p是真命題．(3)綈p：對(duì)任意實(shí)數(shù)m，x2＋x＋m＝0的兩根不都是正數(shù)．假設(shè)x2＋x＋m＝0的兩根x1，x2都是正數(shù)，則必須eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,x1＋x2>0，,x1x2>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－4m≥0，,－1>0，,m>0，))此不等式組無(wú)解，所以不存在實(shí)數(shù)m0，使x2＋x＋m0＝0的兩根都是正數(shù)，命題p為假命題，所以綈p為真命題．存在量詞命題的否定形式與判斷真假的方法：1求存在量詞命題的否定命題，先將存在量詞調(diào)整為全稱量詞，再對(duì)性質(zhì)px否定為綈px.2由于命題與命題的否定一真一假，所以如果判斷一個(gè)命題的真假困難時(shí)，那么可以轉(zhuǎn)化為判斷命題的否定的真假?gòu)亩M(jìn)行判斷.[變式訓(xùn)練2]寫出下列存在量詞命題的否定，并判斷其否定的真假．(1)有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)；(2)某些平行四邊形是菱形；(3)?x0，y0∈Z，使得eq\r(2)x0＋y0＝3.解：(1)命題的否定是“不存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值是正數(shù)”，即“所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù)”．它為假命題．(2)命題的否定是“沒有一個(gè)平行四邊形是菱形”，即“每一個(gè)平行四邊形都不是菱形”．由于四條邊相等的平行四邊形是菱形，因此命題的否定是假命題．(3)命題的否定是“?x，y∈Z，eq\r(2)x＋y≠3”．當(dāng)x＝0，y＝3時(shí)，eq\r(2)x＋y＝3，因此命題的否定是假命題．若全稱量詞命題為假命題，通常轉(zhuǎn)化為其否定命題——存在量詞命題為真命題解決，同理，若存在量詞命題為假命題，通常轉(zhuǎn)化為其否定命題——全稱量詞命題為真命題解決.[變式訓(xùn)練3]若命題“?1≤x≤2，一次函數(shù)y＝x＋m的圖象在x軸上方”為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：當(dāng)1≤x≤2時(shí)，1＋m≤x＋m≤2＋m，因?yàn)閥＝x＋m圖象在x軸上方，所以m＋1>0，即m>－1.類型四素養(yǎng)提升對(duì)全稱量詞命題和存在量詞命題的否定不完全【例4】已知命題p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使得xeq\o\al(2,0)－x0－2<0，寫出綈p.【錯(cuò)解一】綈p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使得xeq\o\al(2,0)－x0－2≥0.【錯(cuò)解二】綈p：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有x2－x－2<0.【錯(cuò)因分析】該命題是存在量詞命題，其否定應(yīng)是全稱量詞命題，但錯(cuò)解一得到的綈p仍是存在量詞命題，顯然只對(duì)結(jié)論進(jìn)行了否定，而沒有對(duì)存在量詞進(jìn)行否定．錯(cuò)解二只對(duì)存在量詞進(jìn)行了否定，而沒有對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定．【正解】綈p：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有x2－x－2≥0.【解后反思】對(duì)含有量詞的命題進(jìn)行否定時(shí)，(1)牢記全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，注意不能只否定結(jié)論，而忘記了對(duì)量詞的否定；也不能只否定量詞，而忘記了對(duì)結(jié)論的否定．(2)牢記命題的否定與原命題的真假性相反，可以以此檢驗(yàn)命題的否定是否正確．[變式訓(xùn)練4]已知命題p：?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，則綈p是(C)A．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0C．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0D．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0解析：利用全稱量詞命題的否定是存在量詞命題求解．命題p的否定為“?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0”1．命題：“?x∈R，都有x2－x＋1>0”A．?x∈R，都有x2－x＋1≤0B．?x0∈R，使xeq\o\al(2,0)－x0＋1>0C．?x0∈R，使xeq\o\al(2,0)－x0＋1≤0D．以上均不正確解析：原命題為全稱量詞命題，其否定為存在量詞命題，故選C.解析：原命題為存在量詞命題，其否定為全稱量詞命題．3．命題“?x∈R,3x2－2x＋1>0”的否定是?x∈R,3x2－2x＋1≤04．命題p：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋5<0是存在量詞命題(填“全稱量詞命題”或“存在量詞命題”)，它是假命題(填“真”或“假”)，它的否定為綈p：?x∈R，x2＋2x＋5≥0.解析：命題p：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋5<0是存在量詞命題．因?yàn)閤2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4>0恒成立，所以命題p為假命題．命題p的否定為：?x∈R，x2＋2x＋5≥0.5．寫出下列命題p的否定綈p，并判斷命題綈p的真假．(1)p：?x∈R，x2＋x＋1>0.(2)p：?x0，y0∈R,eq\r(x0－12)＋(y0＋1)2＝0.解：(1)綈p：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋1≤0.由于x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)，所以綈p為假命題．(2)綈p：?x，y∈R，eq\r(x－12)＋(y＋1)2≠0.當(dāng)x＝－y＝1時(shí)，eq\r(x－12)＋(y＋1)2＝0，所以綈p為假命題．——本課須掌握的兩大問題1．對(duì)全稱量詞命題的否定以及特點(diǎn)的理解：(1)全稱量詞命題的否定實(shí)際上是對(duì)量詞“所有”否定為“并非所有”，所以全稱量詞命題的否定的等價(jià)形式就是存在量詞命題，將全稱量詞調(diào)整為存在量詞，就要對(duì)p(x)進(jìn)行否定，這是敘述命題的需要，不能認(rèn)為對(duì)全稱量詞命題進(jìn)行“兩次否定”，否則就是“雙重否定即肯定”，所以含有一個(gè)量詞的命題的否