專題02平面向量的基本定理及坐標運算

專題02平面向量的基本定理及坐標運算知識點1平面向量基本定理1、定義：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使2、基底：若不共線，我們把叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底．3、對平面向量基本定理的理解（1）基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量都可以作為基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．（2）基底給定時，分解形式唯一．是被唯一確定的數(shù)值．（3）是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底，則當與共線時，；當與共線時，；當時，．（4）由于零向量與任何向量都是共線的，因此零向量不能作為基底中的向量．4、平面向量基本定理的應(yīng)用（1）平面向量基本定理唯一性的應(yīng)用：設(shè)，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，若，則（2）重要結(jié)論設(shè)是平面內(nèi)一個基底，若，=1\*GB3①當時，與共線；=2\*GB3②當時，與共線；=3\*GB3③當時，；知識點2平面向量的坐標運算1、向量和差運算：已知，則，．結(jié)論：兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和與差．2、向量數(shù)乘運算：若，則；結(jié)論：實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標。3、向量共線運算：已知，則向量，共線的充要條件是知識點3線段的定比分點及λ設(shè)、是直線上的兩點，是上不同于、的任一點，則一定存在實數(shù)，使，叫做點分所成的比.有三種情況：(內(nèi)分)

(外分)()

(外分)()1、定比分點坐標公式：若點，，為實數(shù)，且，則點坐標為，我們稱為點分所成的比.2、點的位置與的范圍的關(guān)系：①當時，與同向共線，這時稱點為的內(nèi)分點；②當()時，與反向共線，這時稱點為的外分點.3、若分有向線段所成的比為，點為平面內(nèi)的任一點，則；特別地為的中點.知識點4平面向量數(shù)量積的坐標表示1、向量數(shù)量積的坐標運算：若，，則兩個向量的數(shù)量積：等于它們對應(yīng)坐標乘積的和。2、兩個向量垂直的坐標表示：若兩個向量垂直，則3、用坐標表示的三個重要公式（1）向量的模公式：若a=(x（2）兩點間的距離公式：若A(x1,y（3）向量的交角公式：設(shè)兩個非零向量a=(x1,y1)，b則cos考點1對基本定理的概念理解【例1】（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）（多選）設(shè)是已知的平面向量，向量，，在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，其中真命題是（）A．給定向量，總存在向量，使；B．給定向量和，總存在實數(shù)和，使；C．給定單位向量和正數(shù)，總存在單位向量和實數(shù)，使；D．若，存在單位向量，和正實數(shù)，，使，則．【答案】ABD【解析】對于選項A，給定向量和，只需求得其向量差即為所求的向量，故總存在向量，使，故A正確；對于選項B，當向量，和在同一平面內(nèi)且兩兩不共線時，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知結(jié)論成立，故B正確；對于選項C，取，無論取何值，向量都平行于x軸，而向量的模恒等于2，要使成立，根據(jù)平行四邊形法則，向量的縱坐標一定為4，故找不到這樣的單位向量使等式成立，故C錯誤；對于選項D，，又，不共線，，即，即，（當且僅當時等號成立），，得，故D正確，故選：ABD．【變式11】（2022春·高一課時練習(xí)）下列說法錯誤的是（）A．一條直線上的所有向量均可以用與其共線的某個非零向量表示B．平面內(nèi)的所有向量均可以用此平面內(nèi)的任意兩個向量表示C．平面上向量的基底不唯一D．平面內(nèi)的任意向量在給定基底下的分解式唯一【答案】B【解析】由共線向量的性質(zhì)可知選項A正確；根據(jù)平面向量基本定理可知：平面內(nèi)的所有向量均可以用此平面內(nèi)的任意兩個不共線的向量表示，所以選項B不正確；根據(jù)平面向量基本定理可知中：選項C、D都正確，故選：B【變式12】（2022·高一課時練習(xí)）（多選）下列說法中正確的是（）A．平面向量的一個基底中，，一定都是非零向量.B．在平面向量基本定理中，若，則.C．若單位向量?的夾角為，則在方向上的投影向量是.D．表示同一平面內(nèi)所有向量的基底是唯一的.【答案】ABC【解析】選項A：作為基底的兩個向量一定不共線，零向量與任意向量共線，因此，一定都是非零向量，故A正確；選項B：，由在同一基底下向量分解的唯一性，有，故B正確；選項C：在方向上的投影向量為：，故C正確；選項D：平面內(nèi)任何兩個不共線的向量都可作為基底，因此基底不是唯一的，故D錯誤故選：ABC【變式13】（2022秋·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）（多選）如果是平面α內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是（）A．(λ，μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量B．對于平面α內(nèi)任一向量，使的實數(shù)對(λ，μ)有無窮多個C．若向量與共線，則有且只有一個實數(shù)λ，使得D．若實數(shù)λ，μ使得，則λ=μ=0【答案】BC【解析】由平面向量基本定理可知，A，D是正確的.對于B，由平面向量基本定理可知，若基底確定，則該平面內(nèi)的任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是唯一的，B錯誤.對于C，當兩個向量均為零向量時，即λ1=λ2=μ1=μ2=0時，這樣的λ有無數(shù)個，或當為非零向量，而為零向量(λ2=μ2=0)，此時λ不存在.故選:BC.考點2基底的判斷【例2】（2023春·安徽滁州·高一安徽省定遠縣第三中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)，是平面向量的一組基底，以下四個選項中可以作為平面向量的一組基底的是（）A．和B．和C．和D．和【答案】D【解析】對A：∵，則與共線，故和不能作為基底向量，A錯誤；對B：∵，則與共線，故和不能作為基底向量，B錯誤；對C：∵，則與共線，故和不能作為基底向量，C錯誤；對D：∵，則與不共線，故和不能作為基底向量，D正確；故選：D.【變式21】（2023春·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是（）A．和B．和C．和D．和【答案】C【解析】由于是平面內(nèi)所有向量的一組基底，故不共線，對于A，和沒有倍數(shù)關(guān)系，故二者不共線，可作為作為平面的一組基底；對于B，和沒有倍數(shù)關(guān)系，故二者不共線，可作為作為平面的一組基底；對于C，因為，即和共線，不能作為基底；對于D，，故和沒有倍數(shù)關(guān)系，故二者不共線，可作為平面的一組基底；故選：C【變式22】（2023·全國·高一專題練習(xí)）（多選）下列各組向量中，不能作為基底的是（）A．B．C．D．【答案】CD【解析】對于A，不共線，所以可以作為一組基底.對于B，不共線，所以可以作為一組基底.對于C，，所以共線，所以不可以作為一組基底.對于D，，所以共線，所以不可以作為一組基底.故選：CD.【變式23】（2022春·江蘇徐州·高一校考階段練習(xí)）（多選）如圖所示，設(shè)O是平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點，給出下列向量組，其中可作為該平面內(nèi)所有向量的基底的是（）A．與B．與C．與D．與【答案】AC【解析】B中與共線，D中與共線，A、C中兩向量不共線，故選：AC.【變式24】（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)是兩個不共線的非零向量，且．（1）證明：可以作為一個基底；（2）以為基底，求向量的分解式．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）假設(shè)共線，則，則．由不共線，得所以λ不存在，故不共線，即可以作為一個基底．（2）設(shè)，則所以，解得，故．考點3用基底表示向量【例3】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，是以為直徑的半圓圓周上的兩個三等分點，為線段的中點，為線段上靠近的一個四等分點，設(shè)，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖，取的中點，連接，因為是以為直徑的半圓圓周上的兩個三等分點，所以，，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又為上靠近的一個四等分點，所以.故選：C.【變式31】（2023春·河南·高一洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上靠近點A的三等分點，F(xiàn)為AB邊上靠近點B的四等分點，且線段EF交AC于點P．若，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵E為AD邊上靠近點A的三等分點，F(xiàn)為AB邊上靠近點B的四等分點，∴，，設(shè)，∵E，F(xiàn)，P三點共線，∴，解得，于是．故選：B.【變式32】（2023春·河南洛陽·高一校考階段練習(xí)）如圖所示，已知和交于點E，若，則實數(shù)的值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)，由圖可知，，則，解得.故選：B.【變式33】（2023春·湖北·高一隨州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，D為中點，連接，若，則的值為（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】因為為邊的中點，所以，，因為，所以，所以，又，因此有，則.故選：C【變式34】（2022春·北京順義·高一北京市順義區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在矩形中，，，E為CD的中點，若，，則________．【答案】【解析】建立如下圖的平面直角坐標系，由已知得，，，，由得，設(shè)，則，可得，解得，所以，，又因為，所以，解得，，則.【變式35】（2023春·安徽安慶·高一安慶一中校考階段練習(xí)）如圖在△ABC中，點D是AC的中點，點E是BD的中點，設(shè)＝，＝.（1）用表示向量；（2）若點F在AC上，且，求AF∶CF.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為＝－＝，點D是AC的中點，所以＝＝()，因為點E是BD的中點，所以＝(＋)＝＋＝－＋()＝.（2）設(shè)＝λ(0＜λ＜1)，所以＝＋＝＋λ＝，.又＝，所以λ＝，所以＝，所以AF∶CF＝4∶1.考點4向量線性運算的坐標表示【例4】（2023春·河北滄州·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量，則__________.【答案】【解析】.【變式41】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知向量，若滿足，則等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，所以，將代入有:.故選：A【變式42】（2023春·河北滄州·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量，若，則（）A．1B．2C．6D．6【答案】D【解析】向量，則，，故，解得.故選：D【變式43】（2023·高一課時練習(xí)）已知點，，，設(shè)，，，且，，（1）求；（2）求滿足的實數(shù)的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題得，所以（2）由（1）得，所以，所以，解得，所以滿足的實數(shù)的值為.考點5利用坐標求向量共線問題【例5】（2023秋·遼寧·高一沈陽市第十中學(xué)?？计谀┮阎蛄浚?，，若與共線，則（）A．4B．3C．2D．1【答案】D【解析】由題意向量，，，則，由于與共線，則，故選：D【變式51】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知向量，，且與平行，則______．【答案】【解析】因為，，所以，，因為與平行，所以，解得.【變式52】（2023春·河南洛陽·高一校考階段練習(xí)）已知.（1）當k為何值時，與共線?（2）若且A，B，C三點共線，求m的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為與共線，所以解得.故當時，與共線.（2）因為A，B，C三點共線，與不共線，所以存在實數(shù)λ，使得即，整理得所以，解得.故的值為.【變式53】（2022·高一課時練習(xí)）已知，，，下列點D的坐標中不能使點A、B、C、D構(gòu)成四邊形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，，，顯然三點不共線，如圖在坐標系中可得選項ABC能構(gòu)成四邊形，當時，，即此時A、C、D共線，不能使點A、B、C、D構(gòu)成四邊形.故選：D考點6向量數(shù)量積的坐標表示【例6】（2022秋·江蘇鹽城·高一濱海縣五汛中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正方形的邊長為2，點滿足，則的值為（）A．B．C．D．4【答案】D【解析】建立坐標系如圖，正方形的邊長為2，則，點滿足，所以，則，故選：D．【變式61】（2023春·河南·高一洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，，，若，則實數(shù)x的值為______．【答案】【解析】因為向量，，則，又，且，因此，解得，所以實數(shù)x的值為.【變式62】（2023春·陜西西安·高一高新一中校考階段練習(xí)）已知向量，，若，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，當且僅當時等號成立，則的最小值為.故選：B．【變式63】（2022春·北京·高一北京市八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因為，所以，即；故選：D【變式64】（2023春·湖南長沙·高一長沙一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，且.（1）求實數(shù)的值；（2）若是線段上的動點，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由于，所以，所以，，所以，所以.（2）以為原點建立如圖所示平面直角坐標系，，設(shè)，，，由于，所以的取值范圍是.考點7利用坐標求向量的夾角【例7】（2022春·重慶長壽·高一重慶市長壽中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知平面向量，，若，則與的夾角為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由可得，即，解得，所以，，則又所以與的夾角為，故選：B.【變式71】（2023春·江蘇南通·高一南通一中?？茧A段練習(xí)）（多選）已知向量，若為銳角，則實數(shù)可能的取值是（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】因為，所以.因為為銳角，所以，解得.當時，，解得.當為銳角時，實數(shù)的取值范圍是.所以實數(shù)可能的取值是，.故選：BD.【變式72】（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考階段練習(xí)）已知向量，，其中．（1）試計算及的值；（2）求向量與夾角的余弦值．【答案】（1），＝；（2）【解析】（1），，∴，．（2）設(shè)的夾角為θ，由，．【變式73】（2023春·安徽淮北·高一淮北一中?？茧A段練習(xí)）已知向量，，，且，．（1）求向量、；（2）若，，求向量，的夾角的大小.【答案】（1），；（2）【解析】（1）因為，，，且，，所以，，所以，，所以，；（2）設(shè)向量，的夾角的大小為．由題意可得，，，所以，因為，所以．【變式74】（2022春·陜西延安·高一?？茧A段練習(xí)）已知，．（1）若與垂直，求k的值；（2）若為與的夾角，求的值．【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）因為，，則，，依題意，，解得，所以.（2）由（1）知，，，則，，因此，而，所以.考點8利用坐標求向量的模長【例8】（2022春·福建廈門·高一廈門一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，向量，，且，則（）A．B．C．D．5【答案】D【解析】由可得，解得，則，.故選：D.【變式81】（2022春·河北邢臺·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）平面向量與的夾角為，則等于（）A．B．C．4D．12【答案】B【解析】因為，所以，因為向量與的夾角為60°，所以，所以，所以，故選：B.【變式81】（2022春·廣東茂名·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）已知向量，，θ∈，則的值可以是（）A．B．C．2D．2【答案】ABC【解析】由，，可得，則，因為，所以，所以，所以，則A、B、C符合題意，故選：ABC．【變式82】（2023春·江蘇南通·高一南通一中校考階段練習(xí)）（多選）已知，則下列選項中可能成立的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】，，，，若，此時，故，A可能正確；若，此時，，B選項可能正確；，故C一定不正確；，當時，，故，D可能正確.故選：ABD【變式83】（2022春·湖北宜昌·高一宜昌市一中校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，直角的斜邊長為，，且點、分別在軸、軸的正半軸上滑動，點在線段的右上方，則下列說法成立的是（）A．有最大值B．無最大值C．有最大值D．是定值【答案】ACD【解析】設(shè)，在中，，，則、、，，則點，則，對于A選項，，當且僅當時，即當時，等號成立，A對；對于B選項，，所以，，所以，，因為，則，所以，當時，即當時，取得最大值，B錯；對于C選項，，所以，，因為，則，故當時，，C對；對于D選項，，故，D對.故選：ACD.1．（2022春·福建福州·高一校考期末）已知，是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的一組是（）．A．和B．和C．和D．和【答案】A【解析】對于A選項，因為，則和共線，A選項不滿足條件；對于B選項，設(shè)，則，無解，故和不共線，B選項能作為基底；同理可知和不共線，和也不共線，CD選項均能作為基底．故選：A．2．（2022春·北京·高一北京八中?？茧A段練習(xí)）與向量和夾角均相等，且模為2的向量的坐標是（）A．B．C．或D．【答案】C【解析】設(shè)所求向量為，因為，故，又與向量和夾角均相等，根據(jù)平行四邊形法則可得與共線，設(shè)，則，故，即，故或，故選：C3．（2023春·廣東東莞·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，D是BC邊上一點.Р是線段AD的中點，且.則（）A．B．1C．D．2【答案】A【解析】因為是線段AD的中點，且，所以，得，又B、D、C三點共線，所以，得.故選：A.4．（2023春·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）中，點D滿足，點E滿足，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖，．故選：C．5．（2022春·廣西桂林·高一?？计谀┰谄叫兴倪呅蜛BCD中，，，連接CE、DF交于點M，若，則實數(shù)λ與μ的乘積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知條件得為的中點，為的三等分點，連接,,∵三點共線，∴存在唯一實數(shù)使,∴,整理得,即，故可知①，同理∵三點共線，∴②,將①②聯(lián)立解得，即，故選：.6．（2022春·北京豐臺·高一北京市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）平行四邊形三個頂點坐標分別為，則頂點的坐標為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)，由平行四邊形可得，即，解得，故.故選：D.7．（2023春·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，，，若與共線，則實數(shù)（）A．B．C．5D．【答案】B【解析】依題意，，，因為，所以，解得．故選：B．8．（2023春·湖南長沙·高一湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）若向量，且，則在上的投影向量為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意知向量，因為，所以，得，所以，，又，所以，所以在上的投影向量為：，故選：A.9．（2022春·河南洛陽·高一欒川縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）平面向量與的夾角為，，，則等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意，向量，可得，又由向量與的夾角為，，則.故選：D.10．（2022春·江蘇常州·高一常州市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量，若與垂直，則與夾角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為與垂直，故，解得，則,，設(shè)與夾角為，則.故選：A.11．（2023春·河北滄州·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）已知向量，則（）A．B．C．D．與不共線【答案】ABD【解析】對于A：，A正確；對于B：因為，，所以，B正確；對于C：因為，所以，C錯誤；對于D：因為，又，所以與不共線，D正確．故選：ABD12．（2022春·廣東韶關(guān)·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）已知向量，其中m，n均為正數(shù)，且，下列說法正確的是（）A．與的夾角為鈍角B．向量在方向上的投影為C．D．的最大值為2【答案】CD【解析】對于A，因為所以，則與的夾角為銳角，故A錯誤；對于B，因為所以向量在方向上的投影為，故B錯誤；對于C，因為所以.因為，，所以，即，故C正確；對于D，因為，，所以，當且僅當,即時取等號，故的最大值為2，故D正確.故選:CD.13．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知向量，若，則下列結(jié)論在確的是（）A．B．C．D．與的夾角為銳角【答案】AC【解析】，由得，所以，所以A正確；對于B，由，可得，因為，所以，故B錯誤；對于C，由得，所以，故C正確；對于D，，設(shè)與的夾角為，所以，又，所以為鈍角，故D錯誤.故選：AC.14．（2022春·湖北·高一洪湖市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知向量，（），則下列命題正確的是（