7.1.2弧度制及其與角度制的換算（3知識(shí)點(diǎn)6題型強(qiáng)化訓(xùn)練）（原卷版）

弧度制及其與角度制的換算課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）理解弧度制的概念及其在數(shù)學(xué)和物理中的應(yīng)用；（2）掌握弧度與角度的換算關(guān)系；（3）能運(yùn)用弧度制進(jìn)行簡單的計(jì)算和推理；（3）了解弧度制在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。（1）了解弧度制的概念、表示方法及其優(yōu)點(diǎn)；（2）掌握弧度與角度的換算公式；（3）會(huì)進(jìn)行弧度制下的簡單計(jì)算。知識(shí)點(diǎn)01弧度制1、角度制的定義：把圓周等分成360份，稱其中每一份所對(duì)的圓心角為1度的角，這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制，角度制規(guī)定1度等于60分，1份等于60秒。2、弧度制的定義：我們稱弧長與半徑比值的這個(gè)常數(shù)稱為圓心角的弧度制，長度等于半徑長的圓弧所對(duì)的圓心為1弧度的角，用符號(hào)rad表示，讀作弧度，這種用弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制。3、弧度制與角度制的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別(1)單位不同，弧度制以“弧度”為度量單位，角度制以“度”為度量單位；(2)定義不同.聯(lián)系不管以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個(gè)與圓的半徑大小無關(guān)的定值.【即學(xué)即練1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）下列說法正確的是（）A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．的角是周角的，的角是周角的C．的角比的角要大D．用弧度制度量角時(shí)，角的大小與圓的半徑有關(guān)知識(shí)點(diǎn)02角度制與弧度制的互化1、角度制與弧度制的換算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)弧度數(shù)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度數(shù)2、一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0【即學(xué)即練2】（2023·貴州遵義·高一遵義二十一中?？茧A段練習(xí)）（多選）下列弧度與角度的轉(zhuǎn)化正確的是（）A．B．C．D．知識(shí)點(diǎn)03扇形的弧長與面積公式設(shè)扇形的半徑為，弧長為，或°為其圓心角，則弧長公式與扇形面積公式如下：類別/度量單位角度制弧度制扇形的弧長扇形的面積【即學(xué)即練3】（2023·天津和平·高一統(tǒng)考期末）已知扇形的弧長，面積為，則扇形所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)是（）A．B．4C．D．2【即學(xué)即練4】（2023·四川綿陽·高一南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）（多選）若扇形周長為36，當(dāng)這個(gè)扇形面積最大時(shí)，下列結(jié)論正確的是（）A．扇形的圓心角為2radB．扇形的弧長為18C．扇形的半徑為9D．扇形圓心角所對(duì)弦長為【題型一：對(duì)弧度制概念的理解】例1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）從2023年12月14日13∶00到當(dāng)天13∶25，某時(shí)鐘的分針轉(zhuǎn)動(dòng)的弧度為（）A．B．C．D．變式11．（2023·湖南株洲·高一?？茧A段練習(xí)）時(shí)鐘的時(shí)針走過了1小時(shí)40分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度為．變式12．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）下列各說法，正確的是（）A．半圓所對(duì)的圓心角是πradB．圓周角的大小等于2πC．1弧度的圓心角所對(duì)的弧長等于該圓的半徑D．長度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角的大小是1弧度變式13．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高一萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)?？计谥校ǘ噙x）下列說法中正確的是（）A．度與弧度是度量角的兩種不同的度量單位B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的C．根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度D．不論是用角度制還是用弧度制度量角，角的大小均與圓的半徑長短有關(guān)【方法技巧與總結(jié)】辨析弧度制與角度制（1）以弧度、度為單位的角，都是一個(gè)與半徑無關(guān)的量；（2）1弧度是弧長等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角的大小，而1度是圓周的所對(duì)的圓心角的大小，所以1弧度≠1度；（3）同一個(gè)式子中，角度、弧度不可以混用?！绢}型二：角度制與弧度制的互化】例2．（2023·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）的角化成弧度制為．變式21．（2023·陜西咸陽·高一?？茧A段練習(xí)）將化為弧度為（）A．B．C．D．變式22．（2023·湖南株洲·高一?？茧A段練習(xí)）把化成角度是（）A．B．C．D．變式23．（2023·海南?？凇じ咭缓Ｄ现袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的是（）A．化成弧度是B．化成角度是C．化成弧度是D．化成角度是【方法技巧與總結(jié)】角度與弧度互化的注意點(diǎn)（1）角度與弧度的互化關(guān)系為，則，；（2）將角度化為弧度，當(dāng)角度制中含有“分”“秒”單位時(shí)，應(yīng)先將他們統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為“度”表示，再利用化為弧度即可?！绢}型三：弧長公式的應(yīng)用】例3．（2023·河北保定·高一保定一中校聯(lián)考期中）在半徑為的圓上，有一條弧的長是，則該弧所對(duì)的圓心角（正角）的弧度數(shù)為（）A．B．C．D．2變式31．（2023·浙江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則此圓弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為（）A．B．C．D．2變式32．（2023·四川成都·高一校考階段練習(xí)）已知扇形的圓心角為，弧長為，則扇形的半徑為（）A．B．3C．D．6變式33．（2023·江西上饒·高一?？计谀┤舭霃綖?的扇形的弧長為，則該扇形的圓心角所對(duì)的弦長為（）A．B．2C．D．【方法技巧與總結(jié)】在計(jì)算扇形弧長時(shí)要注意圓心角表示的形式，即圓心角需要使用弧度制表示?！绢}型四：扇形面積的計(jì)算】例4．（2023·上?！じ咭恍兄袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）已知扇形的弧所對(duì)的圓心角為，且半徑為，則該扇形的面積為．變式41．（2023·浙江溫州·高一溫州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知扇形的圓心角為2弧度，且圓心角所對(duì)的弦長為4，則該扇形的面積為（）A．B．C．D．變式42．（2023·貴州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）扇形的面積為，半徑為，則扇形的圓心角是（）A．2B．4C．2或2D．4或4變式43．（2023·江蘇蘇州·高一校考階段練習(xí)）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，分別以點(diǎn)A，B為圓心，AF長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)G，則，，AB圍成的陰影部分的面積為（）A．B．C．D．【方法技巧與總結(jié)】在計(jì)算中要確保單位的一致性，特別是當(dāng)涉及不同單位的數(shù)值時(shí)（如弧度與度）。【題型五：弧長與扇形面積的實(shí)際應(yīng)用】例5．（2023·安徽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖是杭州2023年第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽，名為“潮涌”，形象象征著新時(shí)代中國特色社會(huì)主義大潮的涌動(dòng)和發(fā)展.如圖是會(huì)徽的幾何圖形，設(shè)弧長度是，弧長度是，幾何圖形面積為，扇形面積為，若，則（）A．9B．8C．4D．3變式51．（2023·山東青島·高一?？茧A段練習(xí)）《九章算術(shù)》中《方田》一章涉及到了弧田面積的計(jì)算問題，弧田是由弧和弦所圍成的弓形部分（如圖陰影部分）.若弧田所在扇形的圓心角為，扇形的面積為，則此弧田的面積為（）A．B．C．D．變式52．（2023·四川綿陽·高一綿陽中學(xué)?？计谀┠铣瘶犯窀琛蹲右顾臅r(shí)歌》之夏歌曰：“疊扇放床上，企想遠(yuǎn)風(fēng)來；輕袖佛華妝，窈窕登高臺(tái).”，中國傳統(tǒng)折扇有著極其深厚的文化底蘊(yùn).如圖所示，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形環(huán)（扇形環(huán)是一個(gè)圓環(huán)被扇形截得的一部分）制作而成.若一把折扇完全打開時(shí)，其扇形環(huán)扇面尺寸（單位：）如圖所示，則該扇面的面積為（）A．B．C．D．變式53．（2023·全國·高一期末）中國早在八千多年前就有了玉器，古人視玉為寶，玉佩不再是簡單的裝飾，而有著表達(dá)身份、感情、風(fēng)度以及語言交流的作用.不同形狀.不同圖案的玉佩又代表不同的寓意.如圖1所示的扇形玉佩，其形狀具體說來應(yīng)該是扇形的一部分（如圖2），經(jīng)測量知，，，則該玉佩的面積為（）A．B．C．D．【方法技巧與總結(jié)】在解題過程中，明確題目給出的已知量（如圓心角、半徑、弧長或面積等）是至關(guān)重要的。這有助于建立方程或直接使用公式進(jìn)行計(jì)算?！绢}型六：弧長與扇形面積的最值問題】例6．（2023·江蘇徐州·高三?？茧A段練習(xí)）已知某扇形的面積為3，則該扇形的周長最小值為（）A．2B．4C．D．變式61．（2023·河南·高一鎮(zhèn)平縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若扇形周長為10，當(dāng)其面積最大時(shí)，其扇形內(nèi)切圓的半徑r為.變式62．（2023·上海寶山·高一?？茧A段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為R，弧長為l．（1）若，，求扇形的弧長l；（2）若扇形面積為16，求扇形周長的最小值，及此時(shí)扇形的圓心角．變式63．（2023·河南·高一濟(jì)源第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知扇形的圓心角為，所在圓的半徑為．（1）若，求扇形的弧長：（2）若扇形的周長為12，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形面積最大？并求出最大面積．【方法技巧與總結(jié)】解決弧長與扇形面積最值問題需要注意兩點(diǎn)：1、熟練掌握弧長公式與扇形面積公式；當(dāng)涉及到扇形的半徑、周長、弧長、圓心角、面積等計(jì)算時(shí)，要靈活運(yùn)用公式求解或列方程（組）；2、最值問題時(shí)常常結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或者基本不等式進(jìn)行求解。一、單選題1．（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一海拉爾第一中學(xué)?？计谀⒒癁榛《戎?，正確的是（）A．B．C．D．2．（2023·湖北·高一湖北省天門中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知相互嚙合的兩個(gè)齒輪，大輪50齒，小輪20齒，當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)小輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度是（）A．B．C．D．3．（2023·吉林·高一吉林一中?？计谀┮阎刃蔚幕￠L為1，面積為2，則該扇形的圓心角的弧度為（）A．B．C．2D．44．（2023·云南昆明·高一云南師大附中校考階段練習(xí)）已知扇形的圓心角是，半徑為3，則扇形的面積為（）A．60B．120C．D．5．（2023·重慶·高一統(tǒng)考期末）已知扇形的面積為，圓心角為2弧度，則此扇形的弧長為（）A．B．C．D．6．（2023·湖北襄陽·高一統(tǒng)考期末）已知一個(gè)扇形的周長為8，則當(dāng)該扇形的面積取得最大值時(shí)，圓心角大小為（）A．B．C．D．27．（2023·湖南岳陽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓與直線相切于點(diǎn)，若點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，沿直線勻速向右、沿圓周按順時(shí)針方向以相同的速率運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到如圖所示的位置時(shí)，點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，連接，，則曲邊三角形的面積與扇形的面積的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．先，再，最后8．（2023·江蘇蘇州·高一蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）折扇圖1在我國已有三千多年的歷史，.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化圖2為其結(jié)構(gòu)簡化圖，設(shè)扇面A，間的圓弧長為，，間的圓弧長為，當(dāng)弦長為，圓弧所對(duì)的圓心角為，則扇面字畫部分的面積為（）A．B．C．D．二、多選題9．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列各說法中，正確的是（）A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．1弧度的角是長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角C．根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度D．無論用角度制還是用弧度制度量角，它們均與圓的半徑長短有關(guān)10．（2023·云南楚雄·高一統(tǒng)考期末）已知某扇形的弧長為，圓心角為，則（）A．該扇形的半徑為B．該扇形的周長為C．該扇形的面積為D．該扇形的面積為11．（2022·陜西商洛·高一?？茧A段練習(xí)）下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的是（）A．化成弧度是B．化成角度是C．化成弧度是D．化成角度是12．（2023·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知某時(shí)鐘的分針長4cm，將快了5分鐘的該時(shí)鐘校準(zhǔn)后，則（）A．時(shí)針轉(zhuǎn)過的角為B．分針轉(zhuǎn)過的角為C．分針掃過的扇形的弧長為D．分針掃過的扇形的面積為三、填空題13．（2023·河北張家口·高一統(tǒng)考期末）扇形的圓心角為弧度，周長為7米，則扇形的面積為平方米.14．（2023·上?！じ咭徊軛疃行？计谀┮阎刃蔚幕￠L為4cm，面積為，則該扇形的圓心角的大小為.15．（2023·云南保山·高一?？奸_學(xué)考試）如圖，正六邊形的邊長為1，以點(diǎn)為圓心，的長為半徑，作扇形，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留根號(hào)和）.16．（2023·廣東江門·高一鶴山市第一中學(xué)校考期末）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面積的計(jì)算問題，如圖所示，弧田是由弧和弦所圍成的圖中陰影部分．若弧田所在扇形的圓心角為，扇形的面積為，則此弧田的面積為