2023-2024學(xué)年廣東省深圳市寶安區(qū)文匯學(xué)校九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷含解析

2023-2024學(xué)年廣東省深圳市寶安區(qū)文匯學(xué)校九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.一元二次方程x2?9=0的解是(

)A.x=?3 B.x=3

C.x1=3，x22.如圖，直線l1//l2//l3，直線AC交l1、l2、l3于點A、B、C，直線DF交l1、l2、l3于點D、EA.94

B.4

C.214

3.下列命題是真命題的是(

)A.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B.有一組鄰邊相等的四邊形是菱形

C.對角線互相垂直的平行四邊形是矩形 D.對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形4.過元旦了，全班同學(xué)每人互發(fā)一條祝福短信，共發(fā)了380條，設(shè)全班有x名同學(xué)，列方程為(

)A.12x(x?1)=380 B.x(x?1)=380 C.2x(x?1)=380 5.若四邊形的對角線互相垂直，那么順次連結(jié)該四邊形中點所得的四邊形一定是(

)A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.以上都不對6.已知菱形的邊長和一條對角線的長均為2cm，則菱形的面積為(

)A.4cm2 B.3cm27.如圖，D是△ABC邊AB上一點，添加一個條件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是(

)A.∠ACD=∠B

B.∠ADC=∠ACB

C.ADAC=CD8.如圖，夏季的一天，身高為1.6m的小玲想測量一下屋前大樹的高度，她沿著樹影BA由B到A走去，當走到C點時，她的影子頂端正好與樹的影子頂端重合，測得BC=3.2m，CA=0.8m，于是得出樹的高度為(

)

A.8m B.6.4m C.4.8m D.10m9.出入相補原理是我國古代數(shù)學(xué)的重要成就之一，最早是由三國時期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)建.“將一個幾何圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一，如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，對角線AC與BD交于點O，點E為BC邊上的一個動點，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分別為點F，G，則EF+EG的值為(

)A.132 B.3013 C.601310.如圖，已知E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊AB，BC的中點，AF與DE交于點M，O為BD的中點，則下列結(jié)論：

①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤AM=23MF.其中正確結(jié)論的是(

)

A.①③④ B.②④⑤ C.①③④⑤ D.①③⑤二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.若yx=34，則12.關(guān)于x的一元二次方程(a?1)x2+x+a2?1=0的一個根13.用配方法解一元二次方程x2?6x=1時，可將原方程配方成(x?m)2=n14.某地區(qū)為估計該地區(qū)黃羊的只數(shù)，先捕捉20只黃羊給它們分別作上標志，然后放回，待有標志的黃羊完全混合于黃羊群后，第二次捕捉60只黃羊，發(fā)現(xiàn)其中2只有標志．從而估計該地區(qū)有黃羊______只．15.如圖，△ABC的面積為40cm2，DE=2AE，CD=3BD，則四邊形BDEF的面積等于______cm三、解答題：本題共7小題，共57分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題8分)

解方程．

(1)2x2+3x?1=0；

(2)3x+6=(x+217.(本小題8分)

某校舉行全?！凹t色文化詞歌朗誦”比賽，九(1)班先班級內(nèi)初賽，現(xiàn)要從A、B兩位男生和C、D兩位女生中，選派學(xué)生代表本班參加全校決賽，如果采取隨機抽取的方式確定人選．

(1)如果選派一位學(xué)生代表參賽，那么A恰好抽中是______事件，選派到的代表是A的概率是______；

(2)如果選派兩位學(xué)生代表參賽，求恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的概率．18.(本小題6分)

已知關(guān)于x的方程x2?2mx+m2?9=0．

(1)求證：此方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)設(shè)此方程的兩個根分別為x1，x219.(本小題8分)

如圖，在?ABCD中，BD=AD，延長CB到點E，使BE=BD，連接AE．

(1)求證：四邊形AEBD是菱形；

(2)連接DE交AB于點F，若DC=6，DC：DE=3：4，求AD的長．20.(本小題8分)

據(jù)統(tǒng)計，假期第一天前海歡樂港灣摩天輪的游客人數(shù)為5000人次，第三天游客人數(shù)達到7200人次．

(1)求游客人數(shù)從假期第一天到第三天的平均日增長率；

(2)據(jù)悉，景區(qū)附近商店推出了前海旅游紀念章，每個紀念章的成本為5元，當售價為10元時，平均每天可售出500個，為了讓游客盡可能得到優(yōu)惠，商店決定降價銷售.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價每降低1元，平均每天可多售出200個，若要使每天銷售旅游紀念章獲利2800元，則售價應(yīng)降低多少元？21.(本小題10分)

閱讀與思考：

如圖是兩位同學(xué)對一道習(xí)題的交流，請認真閱讀下列對話并完成相應(yīng)的任務(wù)．

解決問題：

(1)寫出正確的比例式及后續(xù)解答．

(2)指出另一個錯誤，并給出正確解答．

拓展延伸：

如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm，BC=6cm.某一時刻，動點M從A點出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，是否存在時刻t，使以A，M，N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

22.(本小題9分)

綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．

(1)操作判斷

操作：如圖1，點E是邊長為12的正方形紙片ABCD的邊AD上一動點，將正方形沿著CE折疊，點D落在點F處，把紙片展平，射線DF交射線AB于點P．

判斷：根據(jù)以上操作，圖1中AP與EF的數(shù)量關(guān)系：

；

(2)遷移探究

在(1)條件下，若點E是AD的中點，如圖2，延長CF交AB于點Q，點Q的位置是否確定？如果確定，求出線段BQ的長度；如果不確定，說明理由；

(3)拓展應(yīng)用

在(1)條件下，如圖3，CE，DF交于點G，取CG的中點H，連接BH，則BH的最小值是

．

答案和解析1.【答案】C

解：x2=9，

x=±3，

所以x1=3，x2=?3．

故選C．

先變形得到x22.【答案】D

解：∵直線l1//l2//l3，

∴BCAB=EFDE．

∵BCAC=47，AC=AB+BC，

∴BCAB=47?4=43，

∴EF=43.【答案】A

解：A、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，所以A選項正確；

B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以B選項錯誤；

C、對角線相等的平行四邊形是矩形，所以C選項錯誤；

D、對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，所以D選項錯誤．

故選：A．

根據(jù)平行四邊形的判定方法對A進行判斷；根據(jù)菱形的判定方法對B進行判斷；根據(jù)矩形的判定方法對C進行判斷；根據(jù)正方形的判定方法對D進行判斷．

本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．4.【答案】B

【解析】【分析】

此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．設(shè)該班級共有同學(xué)x名，每個人要發(fā)(x?1)條短信，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：人數(shù)×每個人所發(fā)的短信數(shù)量=總短信數(shù)量．

【解答】

解：設(shè)全班有x名同學(xué)，由題意得：

x(x?1)=380，

故選B．5.【答案】A

解：如圖，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點，

∴EH/?/FG/?/BD，EH=FG=12BD；EF//HG//AC，EF=HG=12AC，

∴四邊形EFGH是平行四邊形，

又∵AC⊥BD，

∴EH⊥EF，∠HEF=90°

∴四邊形EFGH是矩形．

故選：A6.【答案】C

解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD=2cm，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，

又∵菱形的邊長和一條對角線的長均為2cm，

∴AB=AD=BD=2cm，

∴OB=1cm，

∴OA=3cm，

∴AC=23cm，

∴菱形的面積為23cm2．

故選：C．

由四邊形ABCD是菱形，可得菱形的四條邊都相等AB=BC=CD=AD，菱形的對角線互相平分且相等即AC⊥BD，OA=OC，7.【答案】C

解：A、當∠ACD=∠B時，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此選項不合題意；

B、當∠ADC=∠ACB時，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此選項不合題意；

C、當ADAC=CDBC時，無法得出△ACD∽△ABC，故此選項符合題意；

D、當AC2=AD?AB時，即ACAB=ADAC，再由∠A=∠A8.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了相似三角形的應(yīng)用，判斷出相似三角形，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式是解題的關(guān)鍵．求出AB的長度，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式求解即可．

【解答】

解：如圖，∵BC=3.2m，CA=0.8m，

∴AB=AC+BC=0.8+3.2=4cm，

∵小玲與大樹都與地面垂直，

∴△ACE∽△ABD，

∴CEBD=ACAB，

即1.6BD=0.84，9.【答案】C

解：作CH⊥BD于點H，連接OE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD，OC=OA=12AC，OB=OD=12BD，

∴OC=OB，

∵∠BCD=90°，CD=AB=5，BC=AD=12，

∴BD=CD2+BC2=52+122=13，

∴OC=OB=12×13=132，

∵12BD?CH=12BC?CD=S△BCD，

∴12×13CH=12×12×5，

解得CH=6013，

∵EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分別為點F，G，S10.【答案】C

解：在正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，

∵E、F分別為邊AB，BC的中點，

∴AE=BF=12BC，

在△ABF和△DAE中，

AE=BF∠ABC=∠BADAB=AD，

∴△ABF≌△DAE(SAS)，

∴∠BAF=∠ADE，

∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，

∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，

∴∠AMD=180°?(∠ADE+∠DAF)=180°?90°=90°，

∴∠AME=180°?∠AMD=180°?90°=90°，故①正確；

∵DE是△ABD的中線，

∴∠ADE≠∠EDB，

∴∠BAF≠∠EDB，故②錯誤；

∵∠BAD=90°，AM⊥DE，

∴△AED∽△MAD∽△MEA，

∴AMEM=MDAM=ADAE=2，

∴AM=2EM，MD=2AM，

∴MD=2AM=4EM，故④正確；

設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，則BF=a，

在Rt△ABF中，AF=AB2+BF2=5a，

∵∠BAF=∠MAE，∠ABC=∠AME=90°，

∴△AME∽△ABF，

∴AMAB=AEAF，

即AM2a=a5a，

解得AM=255a，

∴MF=AF?AM=5a?255a=355a，

∴AM=23MF，故⑤正確；

如圖，過點M作MN⊥AB于N，

則MNBF=ANAB=AMAF，

即MNa=AN2a=255a5a，

解得MN=25a，AN=45a，

∴NB=AB?AN=2a?45a=65a，

根據(jù)勾股定理，BM=BN2+MN2=2105a，

過點M作GH/?/AB，過點O作OK⊥GH于K，

則OK=a?25a=35a，MK=65a?a=15a，

在Rt△MKO中，MO=MK2+OK2=1011.【答案】74解：∵yx=34，

∴y=34x，

12.【答案】?1

【解析】【分析】

本題考查了對一元二次方程的定義，一元二次方程的解等知識點的理解和運用，注意根據(jù)已知得出a?1≠0且a2?1=0，題目比較好，但是一道比較容易出錯的題．根據(jù)一元二次方程的定義和一元二次方程的解的定義得出a?1≠0，a2?1=0，求出a的值即可．

【解答】

解：把x=0代入方程得：a2?1=0，

解得：a=±1，

∵(a?1)x2+x+a2?1=0是關(guān)于x的一元二次方程，

∴a?1≠0，

13.【答案】13

解：∵x2?6x=1，

∴x2?6x+9=1+9，

∴(x?3)2=10，

∴m=3，n=10，

∴m+n=3+10=13，

故答案為：13．

根據(jù)配方法可以將題目中的方程變形，然后根據(jù)題意即可得到m14.【答案】600

解：20÷260=600(只)．

故答案為600．

捕捉60只黃羊，發(fā)現(xiàn)其中2只有標志．說明有標記的占到260，而有標記的共有15.【答案】10011解：如圖，連接DF，

∵DE=2AE，

∴S△FDE=2S△AEF，S△CDE=2S△AEC，

∴CD=3BD，

∴S△CDF=3S△BDF，S△ACD=3S△ABD，

∵△ABC的面積為40cm2，

∴S△ACD=34S△ABC=30cm2,S△ABD=14S△ABC=10cm2，

∴S△CDE=23S△ACD=20cm2，16.【答案】解：(1)2x2+3x?1=0，

a=2，b=3，c=?1，

Δ=32?4×2×(?1)=9+8=17，

x=?3±174，

∴x1=?3+174,x2=【解析】(1)運用公式法求解；

(2)把方程化為一元二次方程的一般形式，再運用十字相乘法因式分解求解；

本題考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的求解方法是解題的關(guān)鍵．17.【答案】隨機

14解：(1)如果選派一位學(xué)生代表參賽，那么A恰好抽中是隨機事件，選派到的代表是A的概率是14，

故答案為：隨機；

14；

A

B

C

D

A

(A,B)

(A,C)

(A,D)

B

(B,A)

(B,C)

(B,D)

C

(C,A)

(C,B)

(C,D)

D

(D,A)

(D,B)

(D,C)∵總共有12種等可能的結(jié)果，恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的結(jié)果有8種，

∴恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的概率=812=23．

∴恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的概率為23．

(1)18.【答案】(1)證明：∵Δ=(?2m)2?4×(m2?9)=4m2?4m2+36=36>0，

∴此方程有兩個不相等的實數(shù)根．

(2)解：x2?2mx+m2?9=0，即(x?m+3)(x?m?3)=0，【解析】(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出Δ=36>0，由此可證出此方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)利用分解因式法解方程可得出方程的根x1=m+3，x2=m?3，結(jié)合x1+x2=6，即可找出關(guān)于m19.【答案】(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD//BC，AD=BC，

∵BD=AD，BE=BD，

∴AD=BE，

∴四邊形AEBD是平行四邊形，

∵BD=AD，

∴四邊形AEBD是菱形；

(2)解：如圖所示，

∵四邊形AEBD是菱形，

∴AB⊥DE，

∴∠EFB=90°，

∵四邊形ABCD是平行是四邊形，

∴AB/?/DC，AD=BC，

∴∠EDC=∠EFB=90°，

∵DC=6，DC：DE=3：4，

∴DE=43DC=8，

∴CE=DE2+CD2=10【解析】(1)根據(jù)AD=BE，AD/?/BE可證四邊形AEBD是平行四邊形，再根據(jù)BD=AD，可證明結(jié)論；

(2)首先求出DE的長，再利用勾股定理得EC，從而可得AD的長．

本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20.【答案】解：(1)設(shè)游客人數(shù)從假期第一天到第三天的平均日增長率為x，

根據(jù)題意得：5000(1+x)2=7200，

解得：x1=0.2=20%，x2=?2.2(不符合題意，舍去)．

答：游客人數(shù)從假期第一天到第三天的平均日增長率為20%；

(2)設(shè)售價應(yīng)降低m元，則每天的銷量為(500+200m)個，

根據(jù)題意得：(10?m?5)(500+200m)=2800，

整理得：2m2?5m+3=0，

解得：m【解析】(1)設(shè)游客人數(shù)從假期第一天到第三天的平均日增長率為x，根據(jù)假期第一天前海歡樂港灣摩天輪的游客人數(shù)為5000人次，第三天游客人數(shù)達到7200人次．列出一元二次方程，解之取其正值即可；

(2)設(shè)售價應(yīng)降低m元，則每天的銷量為(500+200m)個，根據(jù)要使每天銷售旅游紀念章獲利2800元，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．21.【答案】解(1)正確比例式是：DEBC=ADAB，

∴DE=AD?BCAB=(AB?BD)?BCAB=2×58=54；

(2)另一個錯誤是沒有進行分類討論，如圖，過點D作∠ADE=∠ACB，

又∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACB，

∴DEBC=ADAC，

∴DE=AD?BCAC=2×54=52，

綜合以上可得：DE為54或52；

(3)分兩種情況：

①當△ADC∽△MAN時，ADAM=CDAN，

即63=t6?2t【解析】(1)寫出正確的比例式，并補充完整；

(2)當△ADE∽△ACB時，列比例式可得結(jié)論；

(3)先根據(jù)動點問題可得AM=t，AN=6?2t，分兩種情況：①當△ADC∽△MAN時，②當△ADC∽△NAM時，列比例式可得結(jié)論．

此題是