九省聯(lián)考新題型背景專題訓練-2024屆高三數(shù)學二輪復習（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁九省聯(lián)考后精典的新題型背景一、單選題1．（山東省名?？荚嚶?lián)盟2023-2024學年高三下學期開學考試數(shù)學試題）歐拉公式（是自然對數(shù)的底數(shù)，是虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學家歐拉提出的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)乘法運算和模長運算可直接求得結(jié)果.【詳解】，.故選：A.2．（2024屆九省聯(lián)考高考適應(yīng)性考試數(shù)學變式卷（2））歐拉恒等式也叫做歐拉公式，它是數(shù)學里最令人著迷的公式之一，它將數(shù)學里最重要的幾個常數(shù)聯(lián)系到了一起：兩個超越數(shù)：自然對數(shù)的底數(shù)，圓周率，兩個單位：虛數(shù)單位和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學里常見的0．因此，數(shù)學家們評價它是“上帝創(chuàng)造的公式，我們只能看它而不能理解它”．根據(jù)該公式，引出了復數(shù)的三角表示：，由此建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，是復數(shù)體系發(fā)展的里程碑．根據(jù)上述信息，下列結(jié)論正確的是（

）A．的實部為1 B．對應(yīng)的點在復平面的第二象限C．的虛部為1 D．對應(yīng)的點在復平面的第二象限【答案】D【分析】根據(jù)題干知：，把，，代入公式中，利用復數(shù)的標準形式和復平面中點的坐標知識，即可得出正確選項.【詳解】因為，把代入得：，故的實部為，對應(yīng)的點為，該點不在第二象限，則排除A，B;把代入得：，則的虛部為，則排除C;因為，，，所以對應(yīng)的點，該點在第二象限，則D正確.故選：D.3．（2024屆高三新高考改革數(shù)學適應(yīng)性練習（7）（九省聯(lián)考題型））柯西不等式最初是由大數(shù)學家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學分析中的“流數(shù)”問題時得到的.而后來有兩位數(shù)學家Buniakowsky和Schwarz彼此獨立地在積分學中推而廣之，才能將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步.該不等式的三元形式如下：對實數(shù)和，有等號成立當且僅當已知，請你用柯西不等式，求出的最大值是（

）A．14 B．12 C．10 D．8【答案】A【分析】利用柯西不等式求出即可.【詳解】由題干中柯西不等式可得，所以的最大值為，當且僅當時取等號.故選：A4．（2024屆高三新高考改革數(shù)學適應(yīng)性練習（5）（九省聯(lián)考題型））“角股猜想”是“四大數(shù)論世界難題”之一，至今無人給出嚴謹證明．“角股運算”指的是任取一個自然數(shù)，如果它是偶數(shù)，我們就把它除以2，如果它是奇數(shù)，我們就把它乘3再加上1．在這樣一個變換下，我們就得到了一個新的自然數(shù)．如果反復使用這個變換，我們就會得到一串自然數(shù)，該猜想就是：反復進行角股運算后，最后結(jié)果為1．我們記一個正整數(shù)經(jīng)過次角股運算后首次得到1（若經(jīng)過有限次角股運算均無法得到1，則記），以下說法有誤的是（

）A．可看作一個定義域和值域均為的函數(shù)B．在其定義域上不單調(diào)，有最小值，無最大值C．對任意正整數(shù)，都有D．是真命題，是假命題【答案】A【分析】根據(jù)給定信息，利用函數(shù)的相關(guān)概念逐項判斷即得.【詳解】依題意，的定義域是大于1的正整數(shù)集，A錯誤；由，得在其定義域上不單調(diào)，而，，則有最小值1，由經(jīng)過有限次角股運算均無法得到1，記，得無最大值，B正確；對任意正整數(shù)，，而，因此，C正確；對任意正整數(shù)，每次除以2，最后得到1的次數(shù)為，因此，由，知是假命題，D正確.故選：A5．（重慶市部分學校2024屆高三上學期12月月考數(shù)學試題）古希臘的數(shù)學家海倫在他的著作《測地術(shù)》中最早記錄了“海倫公式”：，其中，，，分別為的三個內(nèi)角，，所對的邊，該公式具有輪換對稱的特點.已知在中，，且的面積為，則邊上的中線長度為（

）A． B．4 C． D．【答案】D【分析】先求得，然后利用三角形的面積公式、向量法求得邊上的中線長度.【詳解】設(shè)是的中點，連接.依題意，在中，，設(shè)，由余弦定理得，所以為鈍角，所以，所以，，兩邊平方得，所以.故選：D6．（安徽省阜陽市第三中學2023-2024學年高二上學期二調(diào)考試（12月）數(shù)學試題）“曼哈頓距離”是十九世紀的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，定義如下：在直角坐標平面上任意兩點的曼哈頓距離為：.已知點在圓上，點在直線上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，作過點作平行于軸的直線交直線于點，過點作于點，結(jié)合直線的斜率得出平行于軸，最小，再設(shè)，求出，利用三角函數(shù)知識得最小值．【詳解】如圖，過點作平行于軸的直線交直線于點，過點作于點表示的長度，因為直線的方程為，所以，即，當固定點時，為定值，此時為零時，最小，即與重合（平行于軸）時，最小，如圖所示，設(shè)，，則，，由三角函數(shù)知識可知，其中，則其最大值是，所以，故D正確.故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是理解曼哈頓距離的定義，得到，再利用輔助角公式即可求出其最值.二、多選題7．（云南省下關(guān)一中教育集團2023-2024學年高二上學期12月段考（二）數(shù)學試卷）歐拉是科學史上最多才的一位杰出的數(shù)學家，他發(fā)明的公式為，i虛數(shù)單位，將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，這個公式也被譽為“數(shù)學中的天橋”為自然對數(shù)的底數(shù)，為虛數(shù)單位依據(jù)上述公式，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．復數(shù)為純虛數(shù)B．復數(shù)對應(yīng)的點位于第二象限C．復數(shù)的共軛復數(shù)為D．復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是半圓【答案】ABD【分析】根據(jù)給定的公式，結(jié)合復數(shù)的相關(guān)概念逐項分析判斷即得.【詳解】對于A，，則為純虛數(shù)，A正確；對于B，，而，即，則復數(shù)對應(yīng)的點位于第二象限，B正確；對于C，，復數(shù)的共軛復數(shù)為，C錯誤；對于D，，復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是半徑為的半圓，D正確．故選：ABD8．（重慶市南開中學校2023-2024學年高三第六次質(zhì)量檢測（2月）數(shù)學試題）平面解析幾何的結(jié)論很多可以推廣到空間中，如：（1）平面上，過點，且以為方向向量的平面直線的方程為；在空間中，過點，且以為方向向量的空間直線的方程為.（2）平面上，過點，且以為法向量的直線的方程為；空間中，過點，且以為法向量的平面的方程為.現(xiàn)已知平面，平面，，，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】求出平面、的法向量，以及直線、所過定點坐標及其方向向量，利用空間中線面、面面位置關(guān)系與空間向量的關(guān)系可得出結(jié)論.【詳解】由題可知：平面的法向量，平面的法向量，直線的方程可化為，直線恒過，方向向量為，直線的方程可化為，直線恒過，方向向量，對于A選項，因為，則，且，故，則，A正確；對于B選項，，則，所以，，B錯；對于C選項，因為，則，C對；對于D選項，由，可知與不平行，則與不垂直，D錯.故選：AC.9．（浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學2023屆高三下學期5月模擬考試數(shù)學試題）在空間直角坐標系中，有以下兩條公認事實：（1）過點，且以為方向向量的空間直線l的方程為；（2）過點，且為法向量的平面的方程為．現(xiàn)已知平面，，，（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)公認事實求出直線的方向向量與平面的法向量，用空間向量判斷它們之間的位置關(guān)系.【詳解】平面，則平面法向量為，對，則，即，所以過點，方向向量為，所以，所以，所以，故A錯誤D正確.對，即，所以過點，方向向量為，點代入平面方程成立，所以與平面有公共點，故B錯誤；對，所以過點，方向向量為，因為，所以，所以或，但點代入平面不成立，故，所以，所以C正確.故選：CD10．（期末真題必刷壓軸60題（22個考點專練）-【滿分全攻略】（人教A版2019必修第一冊））高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，如：[1.2]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，y＝[x]又稱為取整函數(shù)，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用，諸如停車收費，出租車收費等均按“取整函數(shù)”進行計費，以下關(guān)于“取整函數(shù)”的描述，正確的是（）A．?x∈R，[2x]＝2[x]B．?x∈R，[x]+C．?x，y∈R，若[x]＝[y]，則有x﹣y＞﹣1D．方程x2＝3[x]+1的解集為【答案】BC【分析】對于A：取x＝判斷；對于B：設(shè)[x]＝x﹣a，a∈[0，1）判斷；對于C：設(shè)[x]＝[y]＝m，得到x＝m+t，0≤t＜1，y＝m+s，0≤s＜1判斷；對于D：由x2＝3[x]+1得到x2一定為整數(shù)且3[x]+1≥0，從而[x]≥0，x≥0，再由[x]2≤x2＜（[x]+1）2，得到[x]2≤3[x]+1＜（[x]+1）2判斷.【詳解】解：對于A：取x＝，[2x]＝[1]＝1，2[x]＝2[]＝0，故A錯誤；對于B：設(shè)[x]＝x﹣a，a∈[0，1），所以[x]+[x+]＝[x]+[[x]+a+]＝2[x]+[a+]，[2x]＝[2[x]+2a]＝2[x]+[2a]，當a∈[0，）時，a+∈[，1），2a∈[0，1），則[a+]＝0，[2a]＝0，則[x]+[x+]＝2[x]，[2x]＝2[x]，故當a∈[0，）時，[x]+[x+]＝2[x]成立；當a∈[，1）時，a+∈[1，），2a∈[1，2），則[a+]＝1，[2a]＝1，則[x]+[x+]＝2[x]+1，[2x]+2[x]+1，故當a∈[，1）時，[x]+[x+]＝2[x]成立，綜上B正確；對于C：設(shè)[x]＝[y]＝m，則x＝m+t，0≤t＜1，y＝m+s，0≤s＜1，則|x﹣y|＝|（m+t）﹣（m+s）|＝|t﹣s|＜1，因此x﹣y＞﹣1，故C正確；對于D：由x2＝3[x]+1知，x2一定為整數(shù)且3[x]+1≥0，所以[x]≥，所以[x]≥0，所以x≥0，由[x]2≤x2＜（[x]+1）2，得[x]2≤3[x]+1＜（[x]+1）2，由[x]2≤3[x]+1，解得≤[x]≤≈3.3，只能取0≤[x]≤3，由3[x]+1＜（[x]+1)2，解得[x]＞1或[x]＜0（舍），故2≤[x]≤3，所以[x]＝2或[x]＝3，當[x]＝2時，x＝，當[x]＝3時，x＝，所以方程x2＝3[x]+1的解集為，故D錯誤．故選：BC．11．（廣東省東莞中學、廣州二中、惠州一中、深圳實驗、珠海一中、中山紀念中學2024屆高三第四次六校聯(lián)考數(shù)學試題）英國著名物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點.已知二次函數(shù)有兩個不相等的實根，其中.在函數(shù)圖象上橫坐標為的點處作曲線的切線，切線與軸交點的橫坐標為；用代替，重復以上的過程得到；一直下去，得到數(shù)列.記，且，，下列說法正確的是（

）A．（其中） B．數(shù)列是遞減數(shù)列C． D．數(shù)列的前項和【答案】AD【分析】根據(jù)可求的表達式，判斷A的真假；利用導數(shù)求二次函數(shù)在處切線的斜率，進一步寫出在處的切線方程，求出直線與軸的交點橫坐標，得，進一步判斷數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，得到數(shù)列是等比數(shù)列，可判斷BC的真假；利用公式法可求數(shù)列的前項和，判斷D的真假.【詳解】對于A選項，由得，所以，故A正確.二次函數(shù)有兩個不等式實根，，不妨設(shè)，因為，所以，在橫坐標為的點處的切線方程為：，令，則，因為所以，即：所以為公比是2，首項為1的等比數(shù)列.所以故BC錯.對于D選項，，得故D正確.故選：AD12．（重慶市萬州第二高級中學2020-2021學年高一上學期期中數(shù)學試題）德國數(shù)學家狄里克雷在年時提出：“如果對于的每一個值，總有一個完全確定的值與之對應(yīng)，那么是的函數(shù).”這個定義較清楚的說明了函數(shù)的內(nèi)涵，只要有一個法則，使得取值范圍內(nèi)的每一個，都有一個確定的和它對應(yīng)就行了，不管這個法則是用公式還是用圖象、表格等形式表示.他還發(fā)現(xiàn)了狄里克雷函數(shù)，即：當自變量取有理數(shù)時，函數(shù)值為，當自變量取無理數(shù)時，函數(shù)值為.狄里克雷函數(shù)的發(fā)現(xiàn)改變了數(shù)學家們對“函數(shù)是連續(xù)的”的認識，也使數(shù)學家們更加認可函數(shù)的對應(yīng)說定義，下列關(guān)于狄里克雷函數(shù)的性質(zhì)表述正確的是（

）A． B．是奇函數(shù)C．的值域是 D．【答案】ACD【解析】利用狄里克雷函數(shù)的定義可判斷AC選項的正誤；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷B選項的正誤；分和兩種情況討論，結(jié)合狄里克雷函數(shù)的定義可判斷D選項的正誤.【詳解】由題意可知，.對于A選項，，則，A選項正確；對于B選項，當，則，則，當時，則，則，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，B選項錯誤；對于C選項，由于，所以，函數(shù)的值域為，C選項正確；對于D選項，當時，則，所以，，當時，，所以，，D選項正確.故選：ACD.【點睛】思路點睛：本題的解題關(guān)鍵就是緊扣函數(shù)的新定義，在解題的過程中要對的取值進行分類討論，結(jié)合函數(shù)的定義來求解，在判斷命題為假命題時，可以通過特例來說明.三、填空題13．（湖南省張家界市慈利縣第一中學2020-2021學年高一下學期期中檢測數(shù)學試卷）數(shù)學中有很多公式都是數(shù)學家歐拉（Leonhard

Euler）發(fā)現(xiàn)的，它們都叫歐拉公式，分散在各個數(shù)學分支之中，任意一個凸多面體的頂點數(shù)V.棱數(shù)E.面數(shù)F之間，都滿足關(guān)系式，這個等式就是立體幾何中的“歐拉公式”.若一個凸二十面體的每個面均為三角形，則由歐拉公式可得該多面體的頂點數(shù)為【答案】12【分析】根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合“歐拉公式”運算求解.【詳解】因為二十面體的每個面均為三角形，每條棱都是兩個面共用，所以棱數(shù)，面數(shù)，頂點數(shù).故答案為：12.14．（江西省景德鎮(zhèn)市2022屆高三第二次質(zhì)檢數(shù)學（理）試題）1643年法國數(shù)學家費馬曾提出了一個著名的幾何問題：已知一個三角形，求作一點，使其到這個三角形的三個頂點的距離之和為最小.它的答案是：當三角形的三個角均小于120°時，所求的點為三角形的正等角中心（即該點與三角形的三個頂點的連線段兩兩成角120°），該點稱為費馬點.已知中，其中，，P為費馬點，則的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)，，進而得到，，然后在中通過余弦定理得到的關(guān)系式，在和中通過正弦定理得到的關(guān)系式和的關(guān)系式，然后借助三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)求得答案.【詳解】如圖，根據(jù)題意，設(shè)，，則，，在中，由余弦定理有…①

在中，由正弦定理有，在中，由正弦定理有，故，則，由①，…②，且，設(shè)，則，由題意，，所以，而，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知.由②，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是.故答案為：.【點睛】本題難度較大，注意以下幾個細節(jié)的處理，首先“”這一步，開根號的目的是降低運算量；其次，在“”這個等式里發(fā)現(xiàn)了倒數(shù)關(guān)系，故而進行了換元，否則通分化簡運算量特別大；再次，“”這一步變形目的在于可以直接判斷函數(shù)的單調(diào)性，而函數(shù)的單調(diào)性需要借助導數(shù).15．（福建省泉州市普通高中2023-2024學年高二上學期12月學科競賽數(shù)學試題）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，為了紀念他，人們把函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù).設(shè)，則除以2023的余數(shù)是.【答案】1011【分析】先求得每項除以2023的余數(shù)，求每項除以2023的余數(shù)時，分奇偶項進行討論，余數(shù)求和后再求除以2023的余數(shù)即可.【詳解】，又，則，又，所以，所以當，，其除以2023的余數(shù)為，當時，，其除以2023的余數(shù)2022和3，當且時，，其除以2023的余數(shù)為，當時，，其除以2023的余數(shù)為，除以2023的余數(shù)為除以2023的余數(shù)，即除以2023的余數(shù)，又其除以2023的余數(shù)為1011，故答案為：1011.【點睛】本題的關(guān)鍵一是分奇偶項進行討論，特別是偶數(shù)項時，最后兩項求得結(jié)果與前面項，求得結(jié)果不同，要分開討論；二是余數(shù)求和后要再除以2023二次求余.四、解答題16．（2024年1月普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試適應(yīng)性測試（九省聯(lián)考）數(shù)學試題）離散對數(shù)在密碼學中有重要的應(yīng)用．設(shè)是素數(shù)，集合，若，記為除以的余數(shù)，為除以的余數(shù)；設(shè)，兩兩不同，若，則稱是以為底的離散對數(shù)，記為．(1)若，求；(2)對，記為除以的余數(shù)（當能被整除時，）．證明：，其中；(3)已知．對，令．證明：．【答案】(1)1(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）第一問直接根據(jù)新定義來即可.（2）第二問結(jié)合新定義、帶余除法以及費馬小定理即可得證.（3）根據(jù)新定義進行轉(zhuǎn)換即可得證.【詳解】（1）若，又注意到，所以.（2）【方法一】：當時，此時，此時，，故，此時.當時，因相異，故，而，故互質(zhì).記，則，使得，故，故，設(shè)，則，因為除以的余數(shù)兩兩相異，且除以的余數(shù)兩兩相異，故，故，故，而其中，故即.法2：記，，，其中，，k是整數(shù)，則，可知．因為1，a，，…，兩兩不同，所以存在，使得，即可以被p整除，于是可以被p整除，即．若，則，，因此，．

記，，，其中l(wèi)是整數(shù)，則，即．（3）【方法二】：當時，由（2）可得，若，則也成立.因為，所以.另一方面，.由于，所以.法2：由題設(shè)和（2）的法2的證明知：，．故．由（2）法2的證明知，所以．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是充分理解新定義，然后結(jié)合帶余除法以及費馬小定理等初等數(shù)論知識即可順利得解.17．（重慶市巴蜀中學校2024屆高考適應(yīng)性月考卷（六）數(shù)學試題）對于函數(shù)，若存在，使得，則稱為函數(shù)的一階不動點；若存在，使得，則稱為函數(shù)的二階不動點；依此類推，可以定義函數(shù)的階不動點.其中一階不動點簡稱不動點，二階不動點也稱為穩(wěn)定點.(1)已知，求的不動點；(2)已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求證：“為函數(shù)的不動點”是“為函數(shù)的穩(wěn)定點”的充分必要條件；(3)已知，討論函數(shù)的穩(wěn)定點個數(shù).【答案】(1)1(2)證明見解析(3)答案見解析【分析】（1）設(shè)，判斷該函數(shù)單調(diào)性，確定其解，即可求得答案；（2）根據(jù)函數(shù)新定義的含義，結(jié)合充分性以及必要性的證明，即可證明結(jié)論；（3）由題意可知只需研究的不動點即可，令，求出其導數(shù)，判斷其單調(diào)性，然后分類討論a的取值范圍，判斷的零點情況，即可判斷的穩(wěn)定點個數(shù).【詳解】（1）設(shè)，則恒成立，故函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，故函數(shù)在R上有唯一零點，即有唯一不動點1；（2）證明：充分性：設(shè)為函數(shù)的不動點，則，則，即為函數(shù)的穩(wěn)定點，充分性成立；必要性：設(shè)為函數(shù)的穩(wěn)定點，即，假設(shè)，而在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，若，則，與矛盾；若，則，與矛盾；故必有，即，即，故為函數(shù)的不動點，綜上，“為函數(shù)的不動點”是“為函數(shù)的穩(wěn)定點”的充分必要條件；（3）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由（2）知的穩(wěn)定點與的不動點等價，故只需研究的不動點即可；令，則，則在上單調(diào)遞減，①當時，恒成立，即在上單調(diào)遞增，當x無限接近于0時，趨向于負無窮小，且，故存在唯一的，使得，即有唯一解，所以此時有唯一不動點；②當時，即時，，當x趨向無窮大時，趨近于0，此時，存在唯一，使得，此時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，當x趨近于0時，趨向于負無窮大，當x趨向正無窮大時，趨向于負無窮大，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，且，又在時單調(diào)遞增，故（i）當時，即，此時，方程有一個解，即有唯一不動點；（ii）當shi，即，此時，方程無解，即無不動點；（iii）當時，即，此時，方程有兩個解，即有兩個不動點；綜上，當時或時，有唯一穩(wěn)定點；當時，無穩(wěn)定點；當，有兩個穩(wěn)定點；【點睛】難點點睛：本題考查了函數(shù)新定義問題，涉及到知識點較多，解答時要注意理解函數(shù)新定義的含義，解答的難點是（3）中判斷函數(shù)穩(wěn)定點的個數(shù)，解答時要結(jié)合新定義，采用分類討論的方法去解決問題，解答過程較為復雜，要有較強的邏輯思維能力.18．（2024·湖北·二模）微積分的創(chuàng)立是數(shù)學發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學過渡的新時期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段．對于函數(shù)在區(qū)間上的圖像連續(xù)不斷，從幾何上看，定積分便是由直線和曲線所圍成的區(qū)域（稱為曲邊梯形）的面積，根據(jù)微積分基本定理可得，因為曲邊梯形的面積小于梯形的面積，即，代入數(shù)據(jù)，進一步可以推導出不等式：．(1)請仿照這種根據(jù)面積關(guān)系證明不等式的方法，證明：；(2)已知函數(shù)，其中．①證明：對任意兩個不相等的正數(shù)，曲線在和處的切線均不重合；②當時，若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析；②【分析】（1）根據(jù)題，設(shè)過點作的切線分別交于，結(jié)合，即可得證；（2）①求得，分別求得在點和處的切線方程，假設(shè)與重合，整理得，結(jié)合由（1）的結(jié)論，即可得證；②根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為時，在恒成立，設(shè)，求得，分和，兩種情況討論，得到函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解.【詳解】（1）解：在曲線取一點．過點作的切線分別交于，因為，可得，即．（2）解：①由函數(shù)，可得，不妨設(shè)，曲線在處的切線方程為，即同理曲線在處的切線方程為，假設(shè)與重合，則，代入化簡可得，兩式消去，可得，整理得，由（1）的結(jié)論知，與上式矛盾即對任意實數(shù)及任意不相等的正數(shù)與均不重合．②當時，不等式恒成立，所以在恒成立，所以，下證：當時，恒成立．因為，所以設(shè)（i）當時，由知恒成立，即在為增函數(shù)，所以成立；（ii）當時，設(shè)，可得，由知恒成立，即在為增函數(shù)．所以，即在為減函數(shù)，所以成立，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．19．（重慶市第八中學校2023-2024學年高三下學期入學適應(yīng)性考試數(shù)學試題）如果函數(shù)的導數(shù)，可記為．若，則表示曲線，直線以及軸圍成的“曲邊梯形”的面積．(1)若，且，求；(2)已知，證明：，并解釋其幾何意義；(3)證明：，．【答案】(1)(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）由基本函數(shù)的導數(shù)公式和題中定積分的含義得到.（2）先由定積分的預算得到，再分別構(gòu)造函數(shù)和，利用導數(shù)分析單調(diào)性，證明結(jié)論；幾何意義由題干中定積分的含義得到.（3）先由二倍角公式化簡得到，再由定積分的意義得到，最后根據(jù)求導與定積分的運算得到，最后得證.【詳解】（1）當時，因為，所以設(shè)，又，代入上式可得，所以，當時，；當時，設(shè)，同理可得，綜上，.（2）因為，所以，設(shè)，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，故，即；設(shè)，，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，，所以，綜上，.幾何意義：當時，曲線與直線（軸），以及軸圍成的“曲邊面積”大于直線（軸），以及軸，直線圍成的矩形面積，小于（軸），以及軸，直線圍成的矩形面積.（3）因為，所以，設(shè)，則，所以，故.【點睛】關(guān)鍵點點睛：1、由題干得到求導與定積分互為逆運算；2、證明不等式時可作差構(gòu)造函數(shù)，求導，利用導數(shù)分析其單調(diào)性；3、利用定積分的幾何意義得到要證明的不等式間關(guān)系，再利用求導與定積分運算得出最后結(jié)果.20．（廣東省廣州市華南師范大學附屬中學2024屆高三上學期數(shù)學周測試題（12））多元導數(shù)在微積分學中有重要的應(yīng)用.設(shè)是由，，…等多個自變量唯一確定的因變量，則當變化為時，變化為，記為對的導數(shù)，其符號為.和一般導數(shù)一樣，若在上，已知，則隨著的增大而增大；反之，已知，則隨著的增大而減小.多元導數(shù)除滿足一般分式的運算性質(zhì)外，還具有下列性質(zhì)：①可加性：；②乘法法則：；③除法法則：；④復合法則：.記.（為自然對數(shù)的底數(shù)），(1)寫出和的表達式；(2)已知方程有兩實根，.①求出的取值范圍；②證明，并寫出隨的變化趨勢.【答案】(1)，(2)①；②證明見解析，隨增大而減小【分析】（1）設(shè)，根據(jù)導數(shù)的定義，即可求解；（2）①由（1），得到單調(diào)遞增，求得，結(jié)合零點存在性定理，得到存在兩個零點，且；②由題設(shè)中的定義，求得，只需證明，令，設(shè)，得到，再求得，得到，結(jié)合，得出原命題成立，即可得證.【詳解】（1）解：設(shè)，則，同理.（2）解：①由（1），可得，則，且時，，，即單調(diào)遞減，時，即單調(diào)遞增，故，又由時，趨近于0的速度遠遠快于趨近于的速度，故，，因此只需且，即由零點存在性定理，，，存在兩個零點，故；②由，由①可得，，故只需證明，令，設(shè)，則，且，則，又單調(diào)遞增，且，故，單調(diào)遞增，則，必然，否則即單調(diào)遞減，不符合題意，，故原命題成立。所以隨增大而減小.【點睛】方法點睛：對于函數(shù)的新定義試題中零點（方程的根）問題的求解策略：1、正確理解新定義與高中知識的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，理解函數(shù)的定義的內(nèi)涵，緊緊結(jié)合定義，結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)進行推理、論證求解.2、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍；3、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；4、數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型①，構(gòu)造函數(shù)或；②，構(gòu)造函數(shù)或；③，構(gòu)造函數(shù)或.21．（廣東省八校（石門中學、國華紀念中學、三水中學、珠海一中、中山紀念中學、湛江一中、河源中學、深圳實驗學校）2021-2022學年高二下學期5月聯(lián)考數(shù)學試題）關(guān)于的函數(shù)，我們曾在必修一中學習過“二分法”求其零點近似值.現(xiàn)結(jié)合導函數(shù)，介紹另一種求零點近似值的方法——“牛頓切線法”.(1)證明：有唯一零點，且；(2)現(xiàn)在，我們?nèi)稳?1,a)開始，實施如下步驟：在處作曲線的切線，交軸于點；在處作曲線的切線，交軸于點；……在處作曲線的切線，交軸于點；可以得到一個數(shù)列，它的各項都是不同程度的零點近似值.（i）設(shè)，求的解析式(用表示)；（ii）證明：當，總有.【答案】(1)證明見解析；(2)（i）；（ii）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理證明即可；（2）（i）由導數(shù)的幾何意義得曲線在處的切線方程為，進而得；（ii）令，進而構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性證明，再根據(jù)證明即可得答案.【詳解】（1）證明：，定義域為，所以，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，存在唯一，使得，即：有唯一零點，且.（2）解：（i）由（1）知，所以，曲線在處的切線斜率為，所以，曲線在處的切線方程為，即令得所以，切線與軸的交點，即，所以，.(ii)對任意的，由（i）知，曲線在處的切線方程為：，故令，令所以，，所以，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減；所以，恒有，即恒成立，當且僅當時等號成立，另一方面，由（i）知，，且當時，，（若，則，故任意，顯然矛盾）因為是的零點，所以因為為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，對任意的時，總有又因為，所以，對于任意，均有，所以，所以，綜上，當，總有【點睛】本題考查利用導數(shù)的幾何意義，不等式的證明，考查運算求解能力，邏輯推理能力，是難題.本題第二問解題的關(guān)鍵在于結(jié)合切線方程，構(gòu)造函數(shù)，進而結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明不等式.22．（廣東省廣州市天河區(qū)2024屆高三畢業(yè)班綜合測試（二）數(shù)學試卷）已知函數(shù).(1)證明：恰有一個零點，且；(2)我們曾學習過“二分法”求函數(shù)零點的近似值，另一種常用的求零點近似值的方法是“牛頓切線法”.任取，實施如下步驟：在點處作的切線，交軸于點：在點處作的切線，交軸于點；一直繼續(xù)下去，可以得到一個數(shù)列，它的各項是不同精確度的零點近似值.（i）設(shè)，求的解析式；（ii）證明：當，總有.【答案】(1)證明見解析(2)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理證明即可；（2）（i）由導數(shù)的幾何意義得曲線在處的切線方程為，進而得；（ii）令，進而構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性證明，再根據(jù)，證明即可得答案．【詳解】（1），定義域為，所以，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，，所以，存在唯一，使得，即：有唯一零點，且；（2）（i）由（1）知，所以，曲線在處的切線斜率為，所以，曲線在處的切線方程為，即，令得，所以，切線與軸的交點，即，所以，；證明：（ii）對任意的，由（i）知，曲線在,處的切線方程為：，故令，令，所以，，所以，當時，，單調(diào)遞增，當,時，，單調(diào)遞減，所以，恒有，即恒成立，當且僅當時等號成立，另一方面，由（i）知，，且當時，，（若，則，故任意，顯然矛盾），因為是的零點，所以，因為為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，對任意的時，總有，又因為，所以，對于任意，均有，所以，，，所以，綜上，當，總有．【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明或判定不等式問題：1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3．適當放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).23．（浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學2024屆高三上學期期末數(shù)學試題）在幾何學常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度．考察如圖所示的光滑曲線C：上的曲線段，其弧長為，當動點從A沿曲線段運動到B點時，A點的切線也隨著轉(zhuǎn)動到B點的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）．顯然，當弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當夾角固定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當B越接近A，即越小，K就越能精確刻畫曲線C在點A處的彎曲程度，因此定義（若極限存在）為曲線C在點A處的曲率．（其中y＇，y＇＇分別表示在點A處的一階、二階導數(shù)）(1)求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；(2)求橢圓在處的曲率；(3)定義為曲線的“柯西曲率”．已知在曲線上存在兩點和，且P，Q處的“柯西曲率”相同，求的取值范圍．【答案】(1)1(2)(3)【分析】（1）依據(jù)所給定義求解即可.（2）直接利用定義求解即可.（3）合理構(gòu)造給定式子，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，結(jié)合高觀點極限方法求解即可.【詳解】（1）．（2），，，故，，故．（3），，故，其中，令，，則，則，其中（不妨）令，在遞減，在遞增，故；令，，令，則，當時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，可得，即，故有，則在遞增，又，，故，故．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查求導數(shù)新定義，解題關(guān)鍵是將給定式子合理轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，然后利用極限方法求得關(guān)鍵函數(shù)值域，最終即可求解．24．（江西省紅色十校2023-2024學年高三下學期2月聯(lián)考數(shù)學試卷）同余定理是數(shù)論中的重要內(nèi)容．同余的定義為：設(shè)且．若，則稱a與b關(guān)于模m同余，記作（“|”為整除符號）．(1)解同余方程：；(2)設(shè)（1）中方程的所有正根構(gòu)成數(shù)列，其中．①若，數(shù)列的前n項和為，求；②若，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)或(2)6072；【分析】（1）根據(jù)同除的定義求解，（mod3），即能被3整除，從而得出x或能被3整除；（2）①首先求出（分奇偶項），確定出，用并項求和法求和；②求出，利用兩角差的正切公式變形通項，結(jié)合裂項相消法求和．【詳解】（1）由題意（mod3），所以或（），即或（）．（2）由（1）可得為，所以．①因為（），所以．則．②（）．因為，所以．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查學生的閱讀理解能力，創(chuàng)新意識，解題關(guān)鍵是正確理解新概念并能應(yīng)用解題，本題中同余問題，實質(zhì)就是除以一個質(zhì)數(shù)后的余數(shù)相等，問題轉(zhuǎn)化后可結(jié)合數(shù)列的求和方法，兩角差的正切公式等等知識才能順利求解．25．（湖北省襄陽市第五中學2024屆高三下學期開學考試數(shù)學試題）“物不知數(shù)”是中國古代著名算題，原載于《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二：五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二．問物幾何？”問題的意思是，一個數(shù)被3除余2，被5除余3，被7除余2，那么這個數(shù)是多少？若一個數(shù)被除余，我們可以寫作．它的系統(tǒng)解法是秦九韶在《數(shù)書九章》大衍求一術(shù)中給出的．大衍求一術(shù)（也稱作“中國剩余定理”）是中國古算中最有獨創(chuàng)性的成就之一，現(xiàn)將滿足上述條件的正整數(shù)從小到大依次排序．中國剩余定理：假設(shè)整數(shù)，，…，兩兩互質(zhì)，則對任意的整數(shù)：，，…，方程組一定有解，并且通解為，其中為任意整數(shù)，，，為整數(shù)，且滿足．(1)求出滿足條件的最小正整數(shù)，并寫出第個滿足條件的正整數(shù)；(2)在不超過4200的正整數(shù)中，求所有滿足條件的數(shù)的和．（提示：可以用首尾進行相加）．【答案】(1)23，(2)82820【分析】（1）找出滿足條件的最小整數(shù)值為23，滿足條件的數(shù)形成以23為首項，105為公差的數(shù)列，即可求出答案；（2）確定該數(shù)列的項數(shù)，利用等差數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題目中給出的中國剩余定理可知，又因為，解得，所以，當時，取得最小值，．所以第個滿足條件的正整數(shù)為．（2）不超過4200的正整數(shù)中，，解得，所以共有40個滿足條件的正整數(shù)，將這40個正整數(shù)首尾進行相加有，故所有滿足條件的數(shù)的和為82820．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第一問的關(guān)鍵是充分理解剩余定理，從而得到方程組，解出相關(guān)值，再計算出即可.26．（河南省部分重點高中2024屆高三普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（期末聯(lián)考）數(shù)學試卷）三階行列式是解決復雜代數(shù)運算的算法，其運算法則如下：．若，則稱為空間向量與的叉乘，其中（），（），為單位正交基底．以O(shè)為坐標原點、分別以的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，已知A，B是空間直角坐標系中異于O的不同兩點．(1)①若，，求；②證明：．(2)記的面積為，證明：．(3)證明：的幾何意義表示以為底面、為高的三棱錐體積的6倍．【答案】(1)①；②證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用向量的叉乘的定義逐項分析即得.（2）利用數(shù)量積公式求得，則有可知，借助叉乘公式，利用分析法即可證得結(jié)果．（3）由（2），化簡可得，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）①因為，，則．②證明：設(shè)，，則，將與互換，與互換，與互換，可得，故．（2）證明：因為，故，故要證，只需證，即證．由（1），，，故，又，，，故則成立，故．（3）證明：由（2），得，故，故的幾何意義表示以為底面、為高的三棱錐體積的6倍．27．（北京市朝陽區(qū)2024屆高三上學期期中數(shù)學試題）已知是個正整數(shù)組成的行列的數(shù)表，當時，記．設(shè)，若滿足如下兩個性質(zhì)：①；②對任意，存在，使得，則稱為數(shù)表．(1)判斷是否為數(shù)表，并求的值；(2)若數(shù)表滿足，求中各數(shù)之和的最小值；(3)證明：對任意數(shù)表，存在，使得．【答案】(1)是；(2)(3)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)題中條件可判斷結(jié)果，根據(jù)題中公式進行計算即可；（2）根據(jù)條件討論的值，根據(jù)，得到相關(guān)的值，進行最小值求和即可；（3）當時，將橫向相鄰兩個用從左向右的有向線段連接，則該行有條有向線段，得到橫向有向線段的起點總數(shù)，同樣的方法得到縱向有向線段的起點總數(shù)，根據(jù)條件建立不等關(guān)系，即可證明.【詳解】（1）是數(shù)表，（2）由題可知.當時，有，所以.當時，有，所以.所以所以或者，或者，或，或，故各數(shù)之和，當時，各數(shù)之和取得最小值.（3）由于數(shù)表中共個數(shù)字，必然存在，使得數(shù)表中的個數(shù)滿足設(shè)第行中的個數(shù)為當時，將橫向相鄰兩個用從左向右的有向線段連接，則該行有條有向線段，所以橫向有向線段的起點總數(shù)設(shè)第列中的個數(shù)為.當時，將縱向相鄰兩個用從上到下的有向線段連接，則該列有條有向線段，所以縱向有向線段的起點總數(shù)所以,因為,所以.所以必存在某個既是橫向有向線段的起點，又是縱向有向線段的終點，即存在使得，所以，則命題得證.28．（廣東省2024屆普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬測試（一）數(shù)學試卷）數(shù)值線性代數(shù)又稱矩陣計算，是計算數(shù)學的一個重要分支，其主要研究對象包括向量和矩陣.對于平面向量，其模定義為.類似地，對于行列的矩陣，其模可由向量模拓展為（其中為矩陣中第行第列的數(shù)，為求和符號），記作，我們稱這樣的矩陣模為弗羅貝尼烏斯范數(shù)，例如對于矩陣，其矩陣模.弗羅貝尼烏斯范數(shù)在機器學習等前沿領(lǐng)域有重要的應(yīng)用.(1)，，矩陣，求使的的最小值.(2)，，，矩陣求.(3)矩陣，證明：，，.【答案】(1)10(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列求和公式和一元二次不等式的求解即可；（2）總結(jié)得第對角線上的平方和為，再代入化簡即可；（3）等價轉(zhuǎn)化結(jié)合放縮法得證明成立，再利用換元法和導數(shù)證明即可.【詳解】（1）由題意得.若，則，即.因式分解得.因為，所以.所以使的的最小值是10.（2）由題得第1對角線上的平方和為，第2對角線上的平方和為，第對角線上的平方和為，第對角線上的平方和為，所以所以.（3）由題意知，證明等價于證明，注意到左側(cè)求和式，將右側(cè)含有的表達式表示為求和式有故只需證成立，即證成立，令，則需證成立，記，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上恒成立，即成立，所以原不等式成立.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三小問的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明，再結(jié)合放縮法轉(zhuǎn)化為證明，最后利用導數(shù)證明即可.29．（貴州省貴陽市2024屆高三下學期適應(yīng)性考試數(shù)學試卷（一））英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中為自然對數(shù)的底數(shù)，.以上公式稱為泰勒公式.設(shè)，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學的數(shù)學知識，解決如下問題.(1)證明：；(2)設(shè)，證明：；(3)設(shè)，若是的極小值點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）首先設(shè)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題；（2）首先由泰勒公式，由和，再求得和的解析式，即可證明；（3）分和兩種情況討論，求出在附近的單調(diào)區(qū)間，即可求解.【詳解】（1）設(shè)，則.當時，：當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因此，，即.（2）由泰勒公式知，①于是，②由①②得所以即.（3），則，設(shè)，由基本不等式知，，當且僅當時等號成立.所以當時，，所以在上單調(diào)遞增.又因為是奇函數(shù)，且，所以當時，；當時，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因此，是的極小值點.下面證明：當時，不是的極小值點.當時，，又因為是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增,所以當時，.因此，在上單調(diào)遞減.又因為是奇函數(shù)，且，所以當時，；當時，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因此，是的極大值點，不是的極小值點.綜上，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問是本題的難點，關(guān)鍵是分和兩種情況，利用導數(shù)判斷附近的單調(diào)性.30．（福建省福州第一中學2021-2022學年高一上學期期末考試數(shù)學試題）英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當時，，.(1)證明：當時，；(2)設(shè)，若區(qū)間滿足當定義域為時，值域也為，則稱為的“和諧區(qū)間”.（i）時，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由；（ii）時，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)（i）不存在“和諧區(qū)間”，理由見解析（ii）存在，有唯一的“和諧區(qū)間”【分析】（1）利用來證得結(jié)論成立.（2）（i）通過證明方程只有一個實根來判斷出此時不存在“和諧區(qū)間”.（ii）對的取值進行分類討論，結(jié)合的單調(diào)性以及（1）的結(jié)論求得唯一的“和諧區(qū)間”.【詳解】（1）由已知當時，，得，所以當時，.（2）（i）時，假設(shè)存在，則由知，注意到，故，所以在單調(diào)遞增，于是，即是方程的兩個不等實根，易知不是方程的根，由已知，當時，，令，則有時，，即，故方程只有一個實根0，故不存在“和諧區(qū)間”.（ii）時，假設(shè)存在，則由知若，則由，知，與值域是矛盾，故不存在“和諧區(qū)間”，同理，時，也不存在，下面討論，若，則，故最小值為，于是，所以，所以最大值為2，故，此時的定義域為，值域為，符合題意.若，當時，同理可得，舍去，當時，在上單調(diào)遞減，所以，于是，若即，則，故，與矛盾；若，同理，矛盾，所以，即，由（1）知當時，，因為，所以，從而，，從而，矛盾，綜上所述，有唯一的“和諧區(qū)間”.【點睛】對于“新定義”的題目，關(guān)鍵是要運用新定義的知識以及原有的數(shù)學知識來進行求解.本題有兩個“新定義”，一個是泰勒發(fā)現(xiàn)的公式，另一個是“和諧區(qū)間”.泰勒發(fā)現(xiàn)的公式可以直接用于證明，“和諧區(qū)間”可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性來求解.31．（北京市第四中學2021-2022學年高二上學期期中考試數(shù)學試題）對于給定的正整數(shù)n，記集合，其中元素稱為一個n維向量．特別地，稱為零向量．設(shè)，，，定義加法和數(shù)乘：，．對一組向量，，…，（，），若存在一組不全為零的實數(shù)，，…，，使得，則稱這組向量線性相關(guān)．否則，稱為線性無關(guān)．(1)對，判斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由．①，；②，，；③，，，．(2)已知向量，，線性無關(guān)，判斷向量，，是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由．(3)已知個向量，，…，線性相關(guān)，但其中任意個都線性無關(guān)，證明下列結(jié)論：①如果存在等式（，），則這些系數(shù)，，…，或者全為零，或者全不為零；②如果兩個等式，（，，）同時成立，其中，則．【答案】(1)①線性相關(guān)，②線性相關(guān)，③線性相關(guān)(2)向量，，線性無關(guān)，理由見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)定義逐一判斷即可；（2）設(shè)，則，然后由條件得到即可；（3）①如果某個，，然后證明都等于0即可；②由可得，然后代入證明即可.【詳解】（1）對于①，設(shè)，則可得，所以線性相關(guān)；對于②，設(shè)，則可得，所以，所以線性相關(guān)；對于③，設(shè)，則可得，可取符合該方程，所以線性相關(guān)；（2）設(shè)，則因為向量，，線性無關(guān)，所以，解得所以向量，，線性無關(guān)（3）證明：①，如果某個，則因為任意個都線性無關(guān)，所以都等于0所以這些系數(shù)，，…，或者全為零，或者全不為零②因為，所以全不為零所以由可得代入可得所以所以，，所以32．（云南省昆明市西山區(qū)2024屆高三第三次教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題）我們把（其中，）稱為一元n次多項式方程．代數(shù)基本定理：任何復系數(shù)一元次多項式方程（即，，，…，為實數(shù)）在復數(shù)集內(nèi)至少有一個復數(shù)根；由此推得，任何復系數(shù)一元次多項式方程在復數(shù)集內(nèi)有且僅有n個復數(shù)根（重根按重數(shù)計算）．那么我們由代數(shù)基本定理可知：任何復系數(shù)一元次多項式在復數(shù)集內(nèi)一定可以分解因式，轉(zhuǎn)化為n個一元一次多項式的積．即，其中k，，，，，……，為方程的根．進一步可以推出：在實系數(shù)范圍內(nèi)（即，，，…，為實數(shù)），方程的有實數(shù)根，則多項式必可分解因式．例如：觀察可知，是方程的一個根，則一定是多項式的一個因式，即，由待定系數(shù)法可知，．(1)解方程：；(2)設(shè)，其中，，，，且．（i）分解因式：；（ii）記點是的圖象與直線在第一象限內(nèi)離原點最近的交點．求證：當時，．【答案】(1)，，(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）觀察得到是方程的一個根，從而設(shè)，對照系數(shù)得到，，，得到，求出方程的根；（2）（i）是方程的一個根，設(shè)，對照系數(shù)得到，，，從而得到答案；（ii）令，故是方程的最小正實根，由（i）知：，設(shè)，根據(jù)的開口方向，結(jié)合，則一定有一正一負兩個實根，設(shè)正實根為t，結(jié)合得到，故，得到.【詳解】（1）觀察可知：是方程的一個根；所以，由待定系數(shù)法可知，，解得，，；所以，即或，則方程的根為，，．（2）（i）由可知，是方程的一個根；所以，即，對照系數(shù)得，，，，故，，；所以．（ii）令，即，點是的圖象與直線在第一象限內(nèi)離原點最近的交點，等價于是方程的最小正實根；由（i）知：是方程的一個正實根，且，設(shè)，由，，，可知為開口向上的二次函數(shù)；又因為，則一定有一正一負兩個實根，設(shè)正實根為t；又，可得，所以；當時，，由二次函數(shù)單調(diào)性可知，即是方程的最小正實根．【點睛】方法點睛：三次函數(shù)是近兩年高考?？伎键c，需要對三次函數(shù)理解到位，求解三次函數(shù)的零點，常常需要先觀察函數(shù)，直接法得到其中一個零點，將三次函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，故常常利用二次函數(shù)的性質(zhì)來研究三次函數(shù)的性質(zhì).33．（山東省菏澤市2024屆高三下學期一?？荚嚁?shù)學試題）帕德近似是法國數(shù)學家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，．（注：，，，，…；為的導數(shù)）已知在處的階帕德近似為．(1)求實數(shù)a，b的值；(2)比較與的大??；(3)若在上存在極值，求的取值范圍．【答案】(1)，；(2)答案見解析；(3)．【分析】（1）由，，列方程組求實數(shù)a，b的值；（2）令利用導數(shù)研究單調(diào)性，又，可比較與的大?。唬?）由在上存在極值，所以在上存在變號零點，通過構(gòu)造函數(shù)分類討論，對的零點進行分析．【詳解】（1）由，，有，可知，，，，由題意，，，所以，所以，．（2）由（1）知，，令，則，所以在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，又，時，；時，；所以時，；時，．（3）由，．由在上存在極值，所以在上存在變號零點．令，則，．①時，，為減函數(shù)，，在上為減函數(shù)，，無零點，不滿足條件．②當，即時，，為增函數(shù)，，在上為增函數(shù)，，無零點，不滿足條件．③當，即時，令即，．當時，，為減函數(shù)；時，，為增函數(shù)，；令，，，在時恒成立，在上單調(diào)遞增，，恒成立；，，，則，，；，令，令，，則在是單調(diào)遞減，，所以，，令，則，，．，即．由零點存在定理可知，在上存在唯一零點，又由③知，當時，，為減函數(shù)，，所以此時，，在內(nèi)無零點，在上存在變號零點，綜上所述實數(shù)m的取值范圍為．【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，而構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.34．（重慶市求精中學校2023-2024學年高二下學期階段測試數(shù)學試題）“費馬點”是由十七世紀法國數(shù)學家費馬提出并征解的一個問題．該問題是：“在一個三角形內(nèi)求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最?。币獯罄麛?shù)學家托里拆利給出了解答，當?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，使得的點即為費馬點；當有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點為費馬點．試用以上知識解決下面問題：已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且(1)求；(2)若，設(shè)點為的費馬點，求；(3)設(shè)點為的費馬點，，求實數(shù)的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)二倍角公式結(jié)合正弦定理角化邊化簡可得，即可求得答案；（2）利用等面積法列方程，結(jié)合向量數(shù)量積運算求得正確答案.（3）由（1）結(jié)論可得，設(shè)，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】（1）由已知中，即，故，由正弦定理可得，故直角三角形，即.（2）由（1），所以三角形的三個角都小于，則由費馬點定義可知：，設(shè)，由得：，整理得，則.（3）點為的費馬點，則，設(shè)，則由得；由余弦定理得，，，故由得，即，而，故，當且僅當，結(jié)合，解得時，等號成立，又，即有，解得或（舍去），故實數(shù)的最小值為.【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題首先要理解費馬點的含義，從而結(jié)合（1）的結(jié)論可解答第二問，解答第二問的關(guān)鍵在于設(shè)，推出，結(jié)合費馬點含義，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解.35．（東北三省三校（哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實驗中學）2023-2024學年高三下學期第一次聯(lián)合模擬考數(shù)學試題）十七世紀至十八世紀的德國數(shù)學家萊布尼茲是世界上第一個提出二進制記數(shù)法的人，用二進制記數(shù)只需數(shù)字0和1，對于整數(shù)可理解為逢二進一，例如：自然數(shù)1在二進制中就表示為，2表示為，3表示為，5表示為，發(fā)現(xiàn)若可表示為二進制表達式，則，其中，或1（）.(1)記，求證：；(2)記為整數(shù)的二進制表達式中的0的個數(shù)，如，.（ⅰ）求；（ⅱ）求（用數(shù)字作答）.【答案】(1)證明見解析(2)（?。?；（ⅱ）9841【分析】（1）借助二進制的定義計算可得，，即可得證；（2）（?。┙柚M制的定義可計算出，即可得表達式中的0的個數(shù)；（ⅱ）計算出從到中，、、，的個數(shù)，即可得.【詳解】（1），，，，；（2）（?。?，（ⅱ），，故從到中，有、、、共9個，有個，由，即共有個有個，由，即共有個……，有個，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本體最后一小問關(guān)鍵點在于結(jié)合二進制的定義，得到，，通過組合數(shù)的計算得到、、、的個數(shù)，再結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)計算得到結(jié)果.36．（2024屆廣東?。ǚ鹕绞械谝恢袑W、廣州市第六中學、汕頭市金山中學、）高三六校2月聯(lián)考數(shù)學試卷）如圖，已知橢圓的短軸長為，焦點與雙曲線的焦點重合.點，斜率為的直線與橢圓交于兩點.

(1)求常數(shù)的取值范圍，并求橢圓的方程.(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結(jié)論進行解答)極點與極線是法國數(shù)學家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對于橢圓，極點（不是原點）對應(yīng)的極線為，且若極點在軸上，則過點作橢圓的割線交于點，則對于上任意一點，均有（當斜率均存在時）.已知點是直線上的一點，且點的橫坐標為2.連接交軸于點.連接分別交橢圓于兩點.①設(shè)直線、分別交軸于點、點，證明：點為、的中點；②證明直線：恒過定點，并求出定點的坐標.【答案】(1)，(2)①證明過程見解析②證明過程見解析，定點坐標為【分析】（1）由橢圓焦點在軸上面，列出不等式組即可得的范圍，由的關(guān)系以及短軸長列出方程組即可得，由此即可得橢圓方程.（2）為了說明結(jié)論的驗證性，首先證明一下題述引理（用解析幾何方法），即聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由韋達定理以及斜率公式證明即可，從而對于①由結(jié)論法說明Q是和的交點，且，結(jié)合由此即可進一步得證；對于②由結(jié)論法可表示出的方程，由此整理即可得解.【詳解】（1）由題意焦點在軸上，所以，解得，即的范圍為，且，解得，所以橢圓方程為.（2）我們首先給出題目給出的引理的證明：設(shè)，則Q在P的極線上，現(xiàn)在如果經(jīng)過P的直線交橢圓于：那么，代入橢圓就得到，所以，由韋達定理有，此時要證明的是：，也就是，也就是，也就是，

也就是，也就是，

也就是，也就是，也就是，也就是，也就是，這顯然成立，所以結(jié)論得證.接下來我們回到原題，

①首先由于Q在P的極線上，故由引理有，，而，所以，這表明Q是和的交點，又由于，故，設(shè)，而，，，所以，也就是E是的中點；②設(shè)，那么，所以，這表明的方程是，即，所以恒過點.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問的關(guān)鍵是用解析幾何證明題述引理的正確性，由此即可利用結(jié)論法進一步求解.37．（2024年九省聯(lián)考數(shù)學模擬試卷）拓撲學是一個研究圖形（或集合）整體結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的一門幾何學，以抽象而嚴謹?shù)恼Z言將幾何與集合聯(lián)系起來，富有直觀和邏輯．已知平面，定義對，，其度量（距離）并稱為一度量平面．設(shè)，，稱平面區(qū)域為以為心，為半徑的球形鄰域．(1)試用集合語言描述兩個球形鄰域的交集；(2)證明：中的任意兩個球形鄰域的交集是若干個球形鄰域的并集；(3)一個集合稱作“開集”當且僅當其是一個無邊界的點集．證明：的一個子集是開集當且僅當其可被表示為若干個球形鄰域的并集．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由交集的定義可解；（2）結(jié)合題意，利用并集的定義證明；（3）利用題目定義分別證明充分性和必要性.【詳解】（1）設(shè)這兩個球形鄰域分別為，，為和的交集．①若與不相交，則；②若與相交，則且故或且．（2）我們約定集合族是指以集合為元素的集合，其并運算為表示集合族的所有集合的并集回到原題，設(shè)這兩個球形鄰域分別為，，為和的交集．①若與不相交，則，即可以看作零個球形鄰域的并集；②若與相交，則取，令，構(gòu)造球形鄰域．因為對于，有故，這說明．由于是中任取的一點，這說明，繼而即可被表示為若干個球形鄰域的并集．命題得證．（3）①先證充分性：當?shù)囊粋€子集可以寫為若干球形鄰域的并時，其必為開集．設(shè)，由（2）可知可看作若干個球形鄰域的并集，即則，使得，故是開集．充分性證畢．②再證必要性：若的一個子集是開集，則其可被表示為若干個球形鄰域的并集．設(shè)是一個開集，由情況①得，使得，所以即故可被表示為若干個球形鄰域的并集．必要性證畢．【點睛】思路點睛：利用集合的運算和題干中的定義完成問題.38．（安徽省黃山市2024屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測數(shù)學試題）隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，離散數(shù)學的應(yīng)用越來越廣泛．差分和差分方程是描述離散變量變化的重要工具，并且有廣泛的應(yīng)用．對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分數(shù)列，其中，規(guī)定為數(shù)列的二階差分數(shù)列，其中．(1)數(shù)列的通項公式為，試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，請說明理由？(2)數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且，對于任意的，都存在，使得，求的值；(3)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且為常數(shù)列，對滿足，的任意正整數(shù)都有，且不等式恒成立，求實數(shù)的最大值．【答案】(1)不是等差數(shù)列，是等差數(shù)列(2)(3)2【分析】（1）理清條件的新定義，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)進行判斷；（2）根據(jù)新定義和等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)等進行分類討論求解；（3）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及新定義求解出，運用均值不等式求解出的范圍，從而得出的最值.【詳解】（1）因為，所以，因為，，，故，，顯然，所以不是等差數(shù)列；因為，則，，所以是首項為12，公差為6的等差數(shù)列.（2）因為數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，所以，故，所以數(shù)列是以公比為的正項等比數(shù)列，，所以，且對任意的，都存在，使得，即，所以，因為，所以，①若，則，解得（舍），或，即當時，對任意的，都存在，使得.②若，則，對任意的，不存在，使得.綜上所述，.（3）因為為常數(shù)列，則是等差數(shù)列，設(shè)的公差為，則，若，則，與題意不符；若，所以當時，，與數(shù)列的各項均為正數(shù)矛盾，所以，由等差數(shù)列前項和公式可得，所以，因為，所以，因為，故，所以則當時，不等式恒成立，另一方面，當時，令，，，則，，則，因為，，當時，，即，不滿足不等式恒成立，綜上，的最大值為2.【點睛】思路點睛：本題考查數(shù)列的新定義問題，關(guān)于新定義問題的常見思路為：（1）理解新定義，明確新定義中的條件、原理、方法與結(jié)論等；（2）新定義問題要與平時所學知識相結(jié)合運用；（3）對于不等式恒成立問題要結(jié)合均值不等式進行求解最值，把握好分類討論的時機.39．（云南省昆明市第一中學2024屆高三上學期第六次考前基礎(chǔ)強化數(shù)學試題）懸鏈線的原理運用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．通過適當建立坐標系，懸鏈線可為雙曲余弦函數(shù)的圖象，類比三角函數(shù)的三種性質(zhì)：①平方關(guān)系：①，②和角公式：，③導數(shù)：定義雙曲正弦函數(shù)．(1)直接寫出，具有的類似①、②、③的三種性質(zhì)（不需要證明）；(2)若當時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)求的最小值．【答案】(1)答案見解析(2)(3)0【分析】（1）類比，寫出平方關(guān)系，和角關(guān)系和導數(shù)關(guān)系，并進行證明；（2）構(gòu)造函數(shù)，，求導，分和兩種情況，結(jié)合基本不等式，隱零點，得到函數(shù)單調(diào)性，進而得到答案；（3）多次求導，結(jié)合（2）中結(jié)論，先得到在內(nèi)單調(diào)遞增，再求出為偶函數(shù)，從而得到在內(nèi)單調(diào)遞減，求出.【詳解】（1）平方關(guān)系：；和角公式：；導數(shù)：．理由如下：平方關(guān)系，；，和角公式：故；導數(shù)：，；（2）構(gòu)造函數(shù)，，由（1）可知，i．當時，由可知，故，故單調(diào)遞增，此時，故對任意，恒成立，滿足題意；ii．當時，令，，則，可知單調(diào)遞增，由與可知，存在唯一，使得，故當時，，則在內(nèi)單調(diào)遞減，故對任意，，即，矛盾；綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．（3），，令，則，令，則，當時，由（2）可知，，則，令，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，因為，即為偶函數(shù)，故在內(nèi)單調(diào)遞減，則，故當且僅當時，取得最小值0.【點睛】對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.40．（2024屆高三新高考改革數(shù)學適應(yīng)性練習（九省聯(lián)考題型））對于非空集合，定義其在某一運算（統(tǒng)稱乘法）“×”下的代數(shù)結(jié)構(gòu)稱為“群”，簡記為．而判斷是否為一個群，需驗證以下三點：1.（封閉性）對于規(guī)定的“×”運算，對任意，都須滿足；2.（結(jié)合律）對于規(guī)定的“×”運算，對任意，都須滿足；3.（恒等元）存在，使得對任意，；4.（逆的存在性）對任意，都存在，使得．記群所含的元素個數(shù)為，則群也稱作“階群”．若群的“×”運算滿足交換律，即對任意，，我們稱為一個阿貝爾群（或交換群）．(1)證明：所有實數(shù)在普通加法運算下構(gòu)成群；(2)記為所有模長為1的復數(shù)構(gòu)成的集合，請找出一個合適的“×”運算使得在該運算下構(gòu)成一個群，并說明理由；(3)所有階數(shù)小于等于四的群是否都是阿貝爾群？請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)在復數(shù)的乘法運算下構(gòu)成一個群，理由見解析(3)所有階數(shù)小于等于四的群都是阿貝爾群，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合實數(shù)運算分析證明；（2）根據(jù)題意結(jié)合復數(shù)運算分析證明；（3）分類討論群的階數(shù)，根據(jù)題意結(jié)合反證法分析證明.【詳解】（1）我們需證在普通加法下可構(gòu)成一個群，需從以下四個方面進行驗證：①封閉性：對，則，封閉性成立；②結(jié)合律：對，，結(jié)合律成立；③恒等元：取，則對任意，．符合恒等元要求；④逆的存在性：對任意，，且，滿足逆的存在性．綜上所述，所有實數(shù)在普通加法運算下可構(gòu)成群．（2）首先提出，的“×”運算可以是復數(shù)的乘法：，理由如下．即證明在普