湖北省咸寧市大白中學高二數(shù)學理模擬試題含解析

湖北省咸寧市大白中學高二數(shù)學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.我國古代數(shù)學典籍《九章算術》第七章“盈不足”中有一問題：“今有蒲生一日，長三尺。莞生一日，長一尺。蒲生日自半。莞生日自倍。問幾何日而長等？”（蒲常指一種多年生草本植物，莞指水蔥一類的植物）現(xiàn)欲知幾日后，莞高超過蒲高一倍.為了解決這個新問題，設計下面的程序框圖，輸入，.那么在①處應填（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)題意由兩種植物生長長度的規(guī)律結(jié)合框圖，即可求解．【詳解】由題意，S表示莞高，T表示蒲高，現(xiàn)欲知幾日后，莞高超過蒲高一倍，故①處應填S＞2T？．故選：B．【點睛】本題考查程序框圖，考查學生的讀圖能力，比較基礎，讀懂程序的功能是關鍵.2.設為正整數(shù),計算得

觀察上述結(jié)果可推測出一般結(jié)論（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C3.點P在直線l：x﹣y﹣1=0上運動，A（4，1），B（2，0），則|PA|+|PB|的最小值是（）A． B． C．3 D．4參考答案：C【考點】點到直線的距離公式．【專題】直線與圓．【分析】求出A（4，1）關于直線x﹣y﹣1=0的對稱點為A′，|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|，當P、A′、B三點共線時，|PA|+|PB|取得最小|A′B|，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵設A（4，1）關于直線x﹣y﹣1=0的對稱點為A′（x，y），則，解得x=2，y=3，∴A′（2，3）∴|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|，當P、A′、B三點共線時，|PA|+|PB|取得最小|A′B|==3．故選：C．【點評】本題考查動點到兩定點的距離的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對稱性及兩點間距離公式的合理運用．4.已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，過F2且斜率為1的直線l交橢圓C于A、B兩點，則的內(nèi)切圓半徑為(

)A. B. C. D.參考答案：C分析：根據(jù)韋達定理結(jié)合三角形面積公式求出的面積，利用橢圓的定義求出三角形的周長，代入內(nèi)切圓半徑，從而可得結(jié)果.詳解：橢圓的左、右焦點分別為，則的坐標為(1,0)，過且斜率為1的直線為，即，代入，得，則，故的面積，的周長，故的內(nèi)切圓半徑，故選C.點睛：本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)與橢圓定義的應用，屬于中檔題.求解與橢圓性質(zhì)有關的問題時要結(jié)合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸、橢圓的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.5.某市有大、中、小型商店共1500家，它們的家數(shù)之比為1∶5∶9，要調(diào)查商店的每日零售額情況，要求從中抽取30家商店進行調(diào)查，則大、中、小商店分別抽取家數(shù)是A．2，10，18B．4，10，16C．10，10，10D．8，10，12參考答案：A6.下列四個不等式：①；②；③，④恒成立的是(

).A．3

B．2

C．1

D．0參考答案：B7.某中學興趣小組為調(diào)查該校學生對學校食堂的某種食品喜愛與否是否與性別有關，隨機詢問了100名性別不同的學生，得到如下的2×2列聯(lián)表：

男生女生總計喜愛302050不喜愛203050總計5050100附K2=P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該數(shù)學興趣小組有多大把握認為“喜愛該食品與性別有關”？（）A．99%以上 B．97.5%以上 C．95%以上 D．85%以上參考答案：C【考點】獨立性檢驗的應用．【分析】利用公式求得K2，與臨界值比較，即可得到結(jié)論．【解答】解：K2==4＞3.841，∴該數(shù)學興趣小組有95%以上把握認為“喜愛該食品與性別有關”．故選C．【點評】本題考查獨立性檢驗知識，考查學生的計算能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．8.P為正六邊形ABCDEF外一點，O為ABCDEF的中心則→PA+→PB+→PC+→PD+→PE+→PF等于（

）A.→PO

B.3→PO

C.6→PO

D.→0參考答案：C略9.F是雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點，過點F向C的一條漸近線引垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點B．若2=，則C的離心率是（）A． B．2 C． D．參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】設一漸近線OA的方程為y=x，設A（m，m），B（n，﹣），由2=，求得點A的坐標，再由FA⊥OA，斜率之積等于﹣1，求出a2=3b2，代入e==進行運算．【解答】解：由題意得右焦點F（c，0），設一漸近線OA的方程為y=x，則另一漸近線OB的方程為y=﹣x，設A（m，），B（n，﹣），∵2=，∴2（c﹣m，﹣）=（n﹣c，﹣），∴2（c﹣m）=n﹣c，﹣=﹣，∴m=c，n=，∴A（，）．由FA⊥OA可得，斜率之積等于﹣1，即?=﹣1，∴a2=3b2，∴e===．故選C．10.如圖，為測得河對岸塔AB的高，先在河岸上選一點C，使在C塔底B的正東方向上，測得點A的仰角為60°，再由點C沿北偏東15°方向走10米到位置D，測得∠BDC=45°，則塔高AB的高度為（）A．10 B．10 C．10 D．10參考答案：D【考點】解三角形的實際應用．【分析】先在△ABC中求出BC，再△BCD中利用正弦定理，即可求得結(jié)論．【解答】解：設塔高AB為x米，根據(jù)題意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，從而有BC=x，AC=x在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°由正弦定理可得，=∴BC==10∴x=10∴x=故塔高AB=二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知、、、是三棱錐內(nèi)的四點，且、、、分別是線段、、、的中點，若用表示三棱錐的體積，其余的類推．則

．參考答案：12.如圖，直三棱柱中，，，，，為線段上的一動點，則當最小時，△的面積為______。參考答案：13.已知直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)），若以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ=2sin（θ+）．則直線l和圓C的位置關系為（填相交、相切、相離）．參考答案：相交【考點】Q4：簡單曲線的極坐標方程；QH：參數(shù)方程化成普通方程．【分析】求出直線l的直角坐標方程和圓C的直角坐標方程，求出圓心C（1，1）到直線l：2x﹣y+1=0的距離d，由d小于圓半徑得到直線l和圓C相交．【解答】解：直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)），消去參數(shù)t，得直線l的直角坐標方程為：2x﹣y+1=0，圓C的極坐標方程為ρ=2sin（θ+）．∴=2sinθ+2cosθ，∴ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，∴x2+y2=2y+2x，∴（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．∵圓心C（1，1）到直線l：2x﹣y+1=0的距離d==＜1=r，∴直線l和圓C相交．故答案為：相交．14.小明所在的高二年級共有1500名同學，現(xiàn)在以簡單隨機抽樣的方式抽取30名同學來填寫調(diào)查問卷，則小明被抽到的概率為

．參考答案：用簡單隨機抽樣從含有N個個體的總體中抽取一個容量為n的樣本時,每次抽取一個個體時任一個體被抽到的概率為；在整個抽樣過程中各個個體被抽到的概率為，故答案為.

15.如下莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中有一個數(shù)字被污損，則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率是

．參考答案：16.已知向量與向量平行，則λ＝_______參考答案：17.拋物線的焦點到準線的距離是

.參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．（1）若幾何體的體積為，求實數(shù)的值；（2）若，求異面直線與所成角的余弦值；（3）是否存在實數(shù)，使得二面角的平面角是，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．

參考答案：（1）體積；

……3分（2）法一：過點作交于，連接，則或其補角即為異面直線與所成角，在中，，，；即異面直線與所成角的余弦值為?！?分法二:以為原點，以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系（圖略），則，，，，得，，，又異面直線與所成角為銳角，可得異面直線與所成角的余弦值為。

……4分（3）平面的法向量，

……1分平面的法向量，，，……1分由，可得，?！?分此時，與正視圖為直角梯形條件不符，所以舍去，因此不存在實數(shù)，使得二面角的平面角是。

……2分19.已知橢圓E：（a＞b＞0）的半焦距為c，原點O到經(jīng)過兩點（c，0），（0，b）的直線的距離為c．（Ⅰ）求橢圓E的離心率；（Ⅱ）如圖，AB是圓M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A、B兩點，求橢圓E的方程．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；曲線與方程．【專題】創(chuàng)新題型；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）求出經(jīng)過點（0，b）和（c，0）的直線方程，運用點到直線的距離公式，結(jié)合離心率公式計算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，橢圓E的方程為x2+4y2=4b2，①設出直線AB的方程，代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，結(jié)合圓的直徑和中點坐標公式，解方程可得b2=3，即可得到橢圓方程．【解答】解：（Ⅰ）經(jīng)過點（0，b）和（c，0）的直線方程為bx+cy﹣bc=0，則原點到直線的距離為d==c，即為a=2b，e===；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，橢圓E的方程為x2+4y2=4b2，①由題意可得圓心M（﹣2，1）是線段AB的中點，則|AB|=，易知AB與x軸不垂直，記其方程為y=k（x+2）+1，代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=．x1x2=，由M為AB的中點，可得x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，從而x1x2=8﹣2b2，于是|AB|=?|x1﹣x2|=?==，解得b2=3，則有橢圓E的方程為+=1．【點評】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率的求法和橢圓方程的運用，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，同時考查直線和圓的位置關系，以及中點坐標公式和點到直線的距離公式的運用，屬于中檔題．20.一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4．(1)從袋中不放回隨機抽取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求n＜m＋2的概率．參考答案：⑴

⑵.⑴從袋中隨機抽取兩個球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6個．從袋中取出的球的編號之和不大于4的事件共有1和2，1和3兩個．因此所求事件的概率p＝……6分⑵先從袋中隨機取一個球，記下編號為m，放回后，再從袋中隨機取一個球，記下編號為n，其一切可能的結(jié)果(m，n)有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16個．又滿足條件的事件為(1，3)，(1，4)，(2，4)，共3個，所以滿足條件的事件的概率為p1=故滿足條件的事件的概率為1－p1＝1－＝……12分21.已知橢圓E：過點（0，﹣1），且離心率為．（1）求橢圓E的方程；（2）如圖，A，B，D是橢圓E的頂點，M是橢圓E上除頂點外的任意一點，直線DM交x軸于點Q，直線AD交BM于點P，設BM的斜率為k，PQ的斜率為m，則點N（m，k）是否在定直線上，若是，求出該直線方程，若不是，說明理由．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）由已知得b和，結(jié)合隱含條件a2=b2+c2求得a，b的值，則橢圓方程可求；（2）由題意求出A，B，D的坐標，得到直線AD的方程，再設出直線BP方程，聯(lián)立兩直線方程求得P的坐標，聯(lián)立直線BP的方程與橢圓方程求得M的坐標，再由M，D，Q三點共線求得Q的坐標，代入兩點求斜率公式得到直線PQ的斜率，整理后即可得到關于k，m的等式，則可求得點N（m，k）所在定直線方程．【解答】解：（1）依題意，b=1，，又a2=b2+c2，∴3a2=4c2=4（a2﹣b2）=4a2﹣4，即a2=4．∴橢圓E的方程為：；（2）由（1）知，A