第六章短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型

第六章短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型第1頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月引言短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型是討論保單組合的總損失模型：S＝C1+C2+…+CN其中：Ci是第i次理賠的理賠額，N是單位時(shí)間內(nèi)理賠次數(shù)。通常假定：1.C1，C2，…，Cn獨(dú)立同分布，2.N與{Ci}獨(dú)立。第2頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型是討論保單組合的總損失模型：S＝C1+C2+…+CN短期個(gè)別風(fēng)險(xiǎn)模型與短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型的區(qū)別：假設(shè)有10個(gè)風(fēng)險(xiǎn)載體，標(biāo)號分別為#1、#2、…、#10。在1年內(nèi)共發(fā)生5次損失事故。

第i次事故12345

損失0.651.241.190.302.47風(fēng)險(xiǎn)載體標(biāo)號#7#2#3#5#8

試計(jì)算總損失量S。第3頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月個(gè)體模型：S=X1+X2+…+X10其中Xi為第i個(gè)風(fēng)險(xiǎn)載體的損失量。S=第1號個(gè)體損失+第2號個(gè)體損失+……+第10號個(gè)體損失=0+1.24+1.19+0+0.30+0+0.65+2.47+0+0=5.85聚合模型:S=C1+C2+…+C5其中Ci為第i次事故導(dǎo)致的損失量；S=第1次事故損失+第2次事故損失+…+第5次事故損失=0.65+1.24+1.19+0.30+2.47=5.85

第i次事故12345

損失0.651.241.190.302.47風(fēng)險(xiǎn)載體標(biāo)號#7#2#3#5#8第4頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型是討論保單組合的總損失模型：S＝C1+C2+…+CNN一般為事先確定的隨機(jī)變量，如N服從泊松分布等(此時(shí)S稱為復(fù)合泊松分布)，可作如下解釋：＊在單位時(shí)間內(nèi)，有新加入或退保的(開放式風(fēng)險(xiǎn)模型)＊單張保單可以發(fā)生若干次理賠(個(gè)體模型中之多出現(xiàn)一次)第5頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月教材P81頁習(xí)題1X=拋5次硬幣獲得的正面朝上數(shù)；Y=拋X個(gè)骰子獲得的點(diǎn)數(shù)；求：E[Y]和Var[Y]第6頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月解1：利用短期個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)模型理解為：分別拋5個(gè)硬幣，對于所拋的每個(gè)硬幣，如果朝上就拋一個(gè)骰子，記下點(diǎn)數(shù)W。于是Y=W1+W2+W3+W4+W5。其中，Wi是第i個(gè)硬幣朝上時(shí)拋骰子所獲得的點(diǎn)數(shù)。W=IB，I=硬幣朝上的值（0或1），q=P(I=0)=P(I=1)=1/2B=骰子的點(diǎn)數(shù)（1~6），P(B=j|I=1)=1/6,j=1,2,…,6

μ=E[B|I=1]=(1+2+3+4+5+6)/6=7/2E[B2|I=1]=(1+4+9+16+25+36)/6=91/6

σ2=Var[B|I=1]=35/12E[Y]=5μq=5(7/2)(1/2)=35/4Var[Y]=5[μq(1-q)+σ2q]=5[(47/4)(1/2)(1/2)+(35/12)(1/2)]=1085/48第7頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月解2：利用短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型C為一顆骰子的點(diǎn)數(shù)，X為連仍5次硬幣，“國徽”面朝上的次數(shù)，則X為~b(5,?),E(X)=5/2,Var(X)=5/4第8頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型是討論保單組合的總損失模型：S＝C1+C2+…+CN主要內(nèi)容：＊理賠總量S的分布

S的期望、方差和矩母函數(shù)

S的分布(矩母函數(shù)法、卷積法)＊復(fù)合泊松分布＊理賠S的近似逼近第9頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月一、理賠總量S的分布S＝C1+C2+…+CN一、S的期望、方差和矩母函數(shù)第10頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月S＝C1+C2+…+CN一、S的期望、方差和矩母函數(shù)第11頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例1已知N服從參數(shù)為p=1/4幾何分布，即N的概率函數(shù)為Ci服從(0,1)區(qū)間上的均勻分布，其概率密度為求S的期望、方差和矩母函數(shù)。解：由已知可得第12頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月解：由已知可得第13頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例2已知N服從參數(shù)為1/4幾何分布，即N的概率函數(shù)為Ci服從參數(shù)為1的指數(shù)分布的均勻分布，其分布函數(shù)為求S的矩母函數(shù)與分布函數(shù)。解：由已知可得第14頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月解：由已知可得單點(diǎn)分布:P(X=0)=1的矩母函數(shù)為MX(t)=1參數(shù)為1/4的指數(shù)分布所以S的分布函數(shù)為第15頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月分布函數(shù)FS(x)p=1/41S0F(x)所以S的分布函數(shù)為S的為混合分布，概率密度在x=0處有一個(gè)集中值。分布密度fS(x)p=1/4S0f(x)第16頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例3設(shè)有一個(gè)保險(xiǎn)公司，在某一年度內(nèi)的某種壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)適合開放式模型，其中保單個(gè)數(shù)N服從參數(shù)為l的泊松分布，若每一保險(xiǎn)標(biāo)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任事故，則賠付一個(gè)單位的金額，并且每一保險(xiǎn)標(biāo)的發(fā)生事故次數(shù)服從參數(shù)為p的0-1分布，求這種壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)總賠付額的概率分布。解：每次賠付都為1個(gè)單位額，故C01P(C=k)1-pp從而有MC(t)=pet+(1-p)又N服從參數(shù)為l的泊松分布，故所以，這種壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)總賠付額也服從泊松分布，參數(shù)為lp。第17頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月卷積公式

二、理賠總量S的概率分布(卷積方法)S的分布函數(shù)為全概率公式S的分布密度為第18頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例4假設(shè)有一組保單組合，在單位時(shí)間內(nèi)可能發(fā)生的理賠次數(shù)為0，1，2和3，相應(yīng)的概率為0.1，0.3，0.4和0.2，每一張保單可能產(chǎn)生的理賠額為1，2，3，相應(yīng)的概率為0.5，0.4和0.1，試計(jì)算理賠總量S的概率分布。解：設(shè)N表示理賠次數(shù)，C表示每張保單產(chǎn)生的理賠額，則因此其中S的取值范圍是：1，2，…，9第19頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月xf*0(x)f*1(x)f*2(x)f*3(x)fS(x)FS(x)010.10.110.50.150.2520.40.25?0.4730.10.4?0.2150.6854??0.1640.84950.080.3150.0950.94460.010.1840.04080.984870..630.01260.997480.0120.00240.999890.0010.00021N0123P0.10.30.40.2請大家計(jì)算：f*2(4),f*3(3),f*3(4),fS(2)。0.260.1250.30.22第20頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月二、復(fù)合泊松分布S＝C1+C2+…+CN若N服從泊松分布，則稱聚合理賠量模型為復(fù)合泊松模型(S服從復(fù)合泊松分布)。滿足：1.

N服從參數(shù)為l>0的泊松分布；2.理賠額變量C1，C2，…獨(dú)立同分布；3.N與C1，C2，…獨(dú)立。第21頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月一、復(fù)合泊松模型常規(guī)性質(zhì)S的期望：S的方差：S的矩母函數(shù)：卷積公式(密度)：第22頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月二、復(fù)合泊松模型特殊性質(zhì)1、求和的封閉性(疊加性)定理：已知S1,S2,…,Sm是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且Si為參數(shù)為li的復(fù)合泊松分布，個(gè)體索賠(理賠額)的分布函數(shù)為Pi(x),i=1,2,…,m，則S=S1+S2+…+Sm服從參數(shù)為l=∑li的復(fù)合泊松分布，且個(gè)體索賠(理賠額)C的分布函數(shù)為：背景：

＊

m可看成m個(gè)保險(xiǎn)保單組合，S則是這m個(gè)保單組合的總索賠額。＊

S也可以看作同一個(gè)保單組合在m個(gè)不同年度內(nèi)的總索賠額第23頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：Si的矩母函數(shù)為由于S1,S2,…,Sm為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，因此S的矩母函數(shù)為：因此所以S為參數(shù)為l，個(gè)體索賠分布函數(shù)為P(x)的復(fù)合泊松分布。第24頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例5S1為復(fù)合泊松分布，l1＝2，S2為復(fù)合泊松分布，l2＝3，若S1與S2獨(dú)立，試計(jì)算理賠總量S=S1+S2的方差及其理賠額C的方差。解：Var(S)=Var(S1)+Var(S2)第25頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月S1：l1＝2，S2：l2＝3，由題意可知S服從復(fù)合泊松分布，泊松參數(shù)l=2+3=5理賠額C的分布為第26頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)然也有Var(S)=lE(C2)=5*5.32=26.6第27頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)：設(shè)S1服從復(fù)合泊松分布，S2也服從復(fù)合泊松分布，若S1和S2相互獨(dú)立，求S＝S1＋S2的分布。解：S服從復(fù)合泊松分布，參數(shù)l＝25，個(gè)別理賠額變量分布為：第28頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例6設(shè)x1,x2,…,xm是m個(gè)不同實(shí)數(shù)，N1,N2,…,Nm是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，假如Ni服從參數(shù)為li的泊松分布，求S=x1N1＋x2N2＋…xmNm的分布。解：xiNi可看作服從參數(shù)為li的復(fù)合泊松分布，其中理賠額變量(單次索賠額)的分布為xi處的單點(diǎn)分布由定理可得S服從參數(shù)為的復(fù)合泊松分布，且理賠額變量的分布為第29頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月從而，對于任何離散型理賠額變量的復(fù)合泊松分布都可以寫成

x1N1＋x2N2＋…xmNm

的形式。這里：xi為理賠額變量的離散值，

Ni為理賠額xi發(fā)生的次數(shù)。即將S＝C1+C2+…+CN重新組合后，有S＝x1N1＋x2N2＋…xmNm第30頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月二、復(fù)合泊松模型特殊性質(zhì)2、可分解性定理：設(shè)S服從參數(shù)為l的復(fù)合泊松分布，個(gè)體索賠(理賠額)的分布為P(C=xi)=πi,i=1,2,…,m，且取值xi的索賠次數(shù)為

Ni，則有S＝x1N1＋x2N2＋…xmNm其中N＝N1＋N2＋…Nm為理賠次數(shù)且1）N1,N2,…,Nm相互獨(dú)立；2）Ni服從參數(shù)為li=lπi的泊松分布，i=1,2,…,m即：

Si＝xiNi=xi＋xi＋…xi(Nm個(gè))服從參數(shù)為li的復(fù)合泊松分布，且S1,S2,…,Sm相互獨(dú)立；第31頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月定理說明，結(jié)論2（1）N的分布：泊松分布，參數(shù)為。MN(t)=exp[(et-1)]（2）Ni的分布：Ni含義是N次事故中，發(fā)生損失量為xi的次數(shù)。顯然，Ni服從二項(xiàng)分布。但注意N是隨機(jī)變量，所以實(shí)際上Ni在N確定的條件下才服從二項(xiàng)分布。即Ni|N=n~b（n，pi）。pi=p(C=xi)第32頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月定理說明，結(jié)論2于是，到底Ni服從什么分布？回答：Ni以N為條件服從二項(xiàng)分布；Ni獨(dú)立服從泊松分布；第33頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)S服從參數(shù)為l的復(fù)合泊松分布，個(gè)體索賠N表示總的損失次數(shù)，N~P(l);Ni表示損失額為xi的損失次數(shù)，Ni~P(lpi);則N=N1+N2+…+Nm以下兩式以不同方式度量總損失S=C1+C2+…+CNS＝x1N1＋x2N2＋…xmNm復(fù)合泊松的兩種度量方式第34頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月三、復(fù)合泊松模型的迭代公式前提：假設(shè)理賠額變量的值均為正整數(shù)記li=lp(i)則有如下遞推公式：利用初值可依次計(jì)算出f(1),f(2),…注：公式中只有有限個(gè)非零項(xiàng)。因?yàn)?)若i>x,則f(x-i)=0;2)若最大理賠量為m，則對于i>m，有l(wèi)i＝0。這里p(i)=P(C=xi)第35頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例7假設(shè)S為復(fù)合泊松分布，參數(shù)為l＝1，個(gè)體理賠額變量為1，2的概率為0.25，0.75。計(jì)算S的概率分布fS(x)=P(S=x)在x=0,1,2的值。解：方法一:利用模型S=C1+C2+…+CN直接使用卷積公式f(0)=P(N=0)=e-1f(1)=P(N=1)P(C=1)=0.25e-1f(2)=P(N=1)P(C=2)+P(N=2)P(C=1)P(C=1)=e-1*0.75+0.5e-1*0.25*0.25=0.78125e-1第36頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例7假設(shè)S為復(fù)合泊松分布，參數(shù)為l＝1，個(gè)體理賠額變量為1，2的概率為0.25，0.75。計(jì)算S的概率分布fS(x)=P(S=x)在x=0,1,2的值。解：方法二:利用模型S=N1+2N2

再使用卷積公式

1=p(1)=1/4;2=p(2)=3/4

f(0)=P(N1=0)P(2N2=0)=e-1/4e-3/4=e-1f(1)=P(N1=1)P(2N2=0)=(1/4)e-1/4e-3/4=(1/4)e-1f(2)=P(N1=0)P(2N2=2)+P(N1=2)P(2N2=0)=e-1/4(3/4)e-3/4+(1/32)e-1/4

e-3/4=(25/32)e-1第37頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例7假設(shè)S為復(fù)合泊松分布，參數(shù)為l＝1，個(gè)體理賠額變量為1，2的概率為0.25，0.75。計(jì)算S的概率分布fS(x)=P(S=x)在x=0,1,2的值。解：方法三:利用迭代公式

1=p(1)=1/4;2=p(2)=3/4f(0)=P(N=0)=e-1f(1)=

1f(0)=(1/4)e-1f(2)=(1/2)

1f(1)+2f(0)=(25/32)e-1第38頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月P95頁例6-6假設(shè)S為復(fù)合泊松分布，l＝0.8，理賠額變量為1，2，3和相應(yīng)的概率為0.25，0.375，0.375。計(jì)算S的概率分布fS(x)=P(S=x)在x=0,1,2,3,4,5,6的值。解：方法一:直接使用卷積公式第39頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第40頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月P95頁例6-6假設(shè)S為復(fù)合泊松分布，l＝0.8，理賠額變量為1，2，3和相應(yīng)的概率為0.25，0.375，0.375。計(jì)算S的概率密度fS(x)=P(S=x)在x=0,1,2,3,4,5,6的值。解：方法二:

理賠額變量的取值僅有1，2，3三種情況于是S＝1N1＋2N2＋3N3其中N1,N2,N3相互獨(dú)立，且服從參數(shù)為：l1=lp(1)=0.8*0.25=0.2,l2=lp(2)=0.8*0.375=0.3,l3=lp(3)=0.8*0.375=0.3,的泊松分布。第41頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月l1=0.2l2=0.3l3=0.32列*3列4*5=2*3*4方法二:僅需要做兩次卷積就得到相同的結(jié)果。第42頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月P95頁例6-6假設(shè)S為復(fù)合泊松分布，l＝0.8，理賠額變量為1，2，3和相應(yīng)的概率為0.25，0.375，0.375。計(jì)算S的概率密度fS(x)=P(S=x)在x=0,1,2,3,4,5,6的值。解：方法三:利用迭代公式其中l(wèi)i＝lp(i)故，l1=lp(1)=0.8*0.25=0.2,l2=lp(2)=0.8*0.375=0.3,l3=lp(3)=0.8*0.375=0.3,所以第43頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月解：方法三:第44頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月四、迭代公式的一般情形設(shè)個(gè)體保單索賠額C取值0，1，2，…，r，這r個(gè)值表示貨幣單位的整數(shù)倍，表示最大的賠付額，r可以取值無窮。假設(shè)索賠次數(shù)N屬于（a,b）分布族,即分布列滿足下面關(guān)系式定理如果理賠次數(shù)N的分布屬于（a,b）分布族，索賠額C取有限個(gè)整數(shù)值，則總索賠額的分布為第45頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月常見的（a,b）類分布P(N=n)參數(shù)a參數(shù)ｂ泊松

ne-/n!;n=0,1,…0

二項(xiàng)(mn)pn(1-p)m-n;n=0,1,...-p/(1-p)(m+1)p/(1-p)幾何(1-p)np;n=0,1,…1-p0負(fù)二項(xiàng)(r+n-1n)pr(1-p)n;n=0,1,…1-p(r-1)(1-p)第46頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月五、常見部分賠償形式———免賠額含義：當(dāng)損失額低于某一限額時(shí)不做賠償，這一限額稱為免賠額（或自付額），當(dāng)損失額高于免賠額，只賠償高出的部分。例如，免賠額為50元。請問：Y和Y*的區(qū)別是什么？數(shù)學(xué)形式：第47頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月Y*的分布容易計(jì)算，Y的分布是在X>d的條件下,

X－d的條件分布。記Y的分布函數(shù)記為FY(y)，當(dāng)y>0時(shí)，當(dāng)y＝0時(shí)，第48頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例8：設(shè)某保險(xiǎn)公司承保醫(yī)療保險(xiǎn)，X表示一次醫(yī)療費(fèi)用，N表示看病的次數(shù)，服從泊松分布，參數(shù)l＝100，S表示該醫(yī)療保險(xiǎn)的總費(fèi)用，設(shè)X的分布密度為解：求：1）保險(xiǎn)公司總理賠額的期望和方差；2）若免賠額d＝50，則總理賠額的期望和方差。1)總理賠額的期望和方差為E(S)=8333.3Var(S)=1041666.72)若免賠額d=50，則總理賠額的期望和方差為E(S)=4266.7Var(S)=426666.7第49頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月三、聚合理賠量的近似模型S＝X1+X2+…+Xn曾用正態(tài)分布來近似短期個(gè)別風(fēng)險(xiǎn)模型的理賠總量。S＝C1+C2+…+CN在聚合風(fēng)險(xiǎn)模型中，正態(tài)分布也是首先考慮的近似模型，主要用來討論理賠分布基本對稱的情形；在理賠分布有偏斜的情況下，用平移伽瑪分布近似。第50頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月一、正態(tài)近似定理

設(shè)理賠額變量C的分布函數(shù)為F(x),p1=E(C),p2=E(C2)（1）如果S是復(fù)合泊松分布，參數(shù)為l，則當(dāng)l→∞時(shí)，有的分布趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。（2）如果S是復(fù)合負(fù)二項(xiàng)式分布，參數(shù)為r和p，則當(dāng)l→∞時(shí)，有的分布趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。第51頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：

通過矩母函數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的矩母函數(shù))(1)由于這里p1=E(C),p2=E(C2)故第52頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：

通過矩母函數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的矩母函數(shù))(1)由于這里p1=E(C),p2=E(C2)故由矩母函數(shù)級數(shù)展開式將替換t，代入上式，得當(dāng)l→∞時(shí)即Z的極限分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。第53頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)對于負(fù)二項(xiàng)分布，令再用類似的方法，證明Z分布在r→∞時(shí)，時(shí)趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。此處不再敘述。第54頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)為gamma分布的分布函數(shù)，若設(shè)h(x)和g(x)為H(x,a,b,x0)和G(x,a,b,)的分布函數(shù)密度，則從圖形上H和G只差了一個(gè)平移變換。二、平移伽瑪近似對任意一點(diǎn)x0，定義一個(gè)新的分布函數(shù)：H(x,a,b,x0)=G(x-x0;a,b,)第55頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月下面我們用h(x)來描述總索賠S的分布密度。因?yàn)閔(x)有三個(gè)參數(shù)，所以只需根據(jù)S的均值、方差和三階中心矩定出h(x)的形狀和位置。又因?yàn)镠的均值，方差和三階中心矩分別為所以用h(x)來描述S的分布時(shí)，下面三個(gè)等式近似成立。這是一方程組，解出x0,a,b

這樣就可以得到一個(gè)平移gamma分布。

第56頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月

這樣就可以得到一個(gè)平移gamma分布。

當(dāng)S為復(fù)合泊松分布時(shí)，可簡化為其中若，則當(dāng)時(shí)可以證明H(x,a,b,x0)趨于正態(tài)分布N(m,s2)。因此，正態(tài)分布可以看作是這種三參數(shù)分布的一種極限情況。從這個(gè)意義上來說，平移gamma分布近似是正態(tài)近似的推廣。第57頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例9設(shè)S為復(fù)合泊松分布,參數(shù)l=12,當(dāng)理賠額變量C服從[0,1]上的均勻分布，試分別用（1）正態(tài)近似（2）平移gamma近似計(jì)算P(S<10)。解：（1）由條件易知于是得到E(S)=所以，（2）令則解方程組得因此S的分布函數(shù)為lp1=6Var(S)=lp2=4E(S-E(S))3=lp3=3所以，第58頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例10考慮參數(shù)l=12的泊松分布，分別用正態(tài)近似和平移gamma近似計(jì)算x=5,10,15,20,25,30,35,40的分布函數(shù)值，并比較那個(gè)近似效果更好。解：泊松分布可以一種復(fù)合泊松分布，其中理賠額變量C退化為1個(gè)貨幣單位的單點(diǎn)分布，理賠次數(shù)N為參數(shù)為l的泊松分布。精確分布近似分布xP(l)gamma近似正態(tài)近似50.0013840.0016360.004332100.0773960.0777390.084566150.4667450.4665600.450262200.8681680.8680930.869705250.9868810.9866040.991226300.9994330.9993780.999856350.9999880.9999850.99999940111第59頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)S1服從復(fù)合泊松分布，參數(shù)

1=1,f1(1)=0.75,f1(5)=0.25;S2服從復(fù)合泊松分布，參數(shù)

2=1，f2(3)=0.5,f2(7)=0.5;S1、S2相互獨(dú)立。求P(S1+S2≤3)解：S=S1+S2，S也服從復(fù)合泊松分布，參數(shù)為=1+1=2。對應(yīng)個(gè)別損失量的分布為f(1)=(1/2)(0.75)=3/8