蘇科版八年級上冊數(shù)學第3章《勾股定理》單元測試卷（含答案解析）

第3章勾股定理（基礎(chǔ)卷）考試時間：100分鐘；滿分：100分學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的A．，，1 B．1，2，3 C．1.5，2，2.5 D．9，40，412．（3分）在中，，是高，，，則線段的長為A． B． C． D．3．（3分）滿足下列條件的，不是直角三角形的是A． B． C． D．4．（3分）如圖：在一個邊長為1的小正方形組成的方格稿紙上，有、、、、、、七個點，則在下列任選三個點的方案中可以構(gòu)成直角三角形的是A．點、點、點B．點、點、點 C．點、點、點 D．點、點、點5．（3分）如圖，在中，，，，是邊上的中線，則的面積是A． B．6．（3分）有一個面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在他的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，變成了下圖，如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了2019次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是A．1 B．2018 C．2019 D．20207．（3分）如圖，一根長5米的竹竿斜靠在一豎直的墻上，這時為4米，如果竹竿的頂端沿墻下滑1米，竹竿底端外移的距離A．等于1米 B．大于1米 C．小于1米 D．以上都不對8．（3分）如圖所示，有一個高，底面周長為的圓柱形玻璃容器，在外側(cè)距下底的點處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口處的點處有一只蒼蠅，則急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路徑的長度是A． B． C． D．9．（3分）如圖是“趙爽弦圖”，、、和是四個全等的直角三角形，四邊形和都是正方形，如果，，那么等于A．8 B．6 C．4 D．510．（3分）中，，，．動點從點開始，按的路徑運動，速度為每秒，運動的時間為秒．以下結(jié)論中正確的有①為6秒時，把的周長分成相等的兩部分②為6.5秒時，把的面積分成相等的兩部分，且此時長為③為3秒或5.4秒或6秒或6.5秒時，為等腰三角形，A．①②③ B．①② C．②③ D．①③第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）11．（3分）分別以下列四組數(shù)為一個三角形的邊長：（1）6、8、10，（2）5、12、13，（3）8、15、17，（4）4、5、6，其中能構(gòu)成直角三角形的有______________________．（填序號）12．（3分）如圖，在中，，，點為的中點，垂足為點，則等于___________．13．（3分）如圖，一棵大樹在離地3米處折斷，樹的頂端落在離樹桿底部4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是___________米．14．（3分）如圖，已知是的角平分線，，，，則___________．15．（3分）如圖所示，四邊形中，，，，，，則四邊形的面積為___________．16．（3分）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則___________（點，，是網(wǎng)格線交點）．17．（3分）在中，，，，動點從點出發(fā)沿射線以的速度移動，設(shè)運動的時間為秒，當為等腰三角形時，的值為___________．18．（3分）如圖，在中，，底邊，點是底邊上任意一點，于點，于點，則___________．三、解答題（共5小題，滿分46分）19．（8分）如圖，在中，，，，為邊上的高，點為垂足，求的面積．20．（8分）在甲村至乙村間有一條公路，在處需要爆破，已知點與公路上的?？空镜木嚯x為300米，與公路上的另一?？空镜木嚯x為400米，且，如圖所示，為了安全起見，爆破點周圍半徑250米范圍內(nèi)不得進入，問：在進行爆破時，公路段是否有危險？是否需要暫時封鎖？請用你學過的知識加以解答．21．（10分）（1）如圖，在的網(wǎng)格中，請你畫出一個格點正方形，使它的面積是10．（2）如圖，、是的網(wǎng)格中的格點，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是單位1，請在圖中清晰地標出使以、、為頂點的三角形是等腰三角形的所有格點的位置．22．（10分）觀察、思考與驗證（1）如圖1是一個重要公式的幾何解釋，請你寫出這個公式；（2）如圖2所示，，且，，在同一直線上．試說明：；（3）伽菲爾德年任美國第20屆總統(tǒng)）利用（1）中的公式和圖2證明了勾股定理（發(fā)表在1876年4月1日的《新英格蘭教育日志》上），請你寫出驗證過程．23．（10分）如圖1，，，，點為斜邊上動點．（1）如圖2，過點作交于點，連接，當平分時，求；（2）如圖3，在點的運動過程中，連接，若為等腰三角形，求．參考答案一、選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1、D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理分別對各組數(shù)據(jù)進行檢驗即可．【答案】解：A、和不是整數(shù)，此選項錯誤；B、∵12+22≠32，∴不是勾股數(shù)，此選項錯誤；C、1.5和2.5不是整數(shù)，此選項錯誤；D、∵92+402＝412，∴是勾股數(shù)，此選項正確．故選：D．【點睛】此題考查了勾股數(shù)，說明：①三個數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)．②一組勾股數(shù)擴大相同的整數(shù)倍得到三個數(shù)仍是一組勾股數(shù)．③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…2、B【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)三角形的面積公式列式計算．【答案】解：在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，△ABC的面積＝×AB×CD＝×AC×BC，即×5×CD＝×4×3，解得，CD＝，故選：B．【點睛】本題考查的是勾股定理，三角形的面積計算，掌握直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2是解題的關(guān)鍵．3、B【分析】依據(jù)勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理以及直角三角形的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．【答案】解：A、由a：b：c＝3：4：5得c2＝a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；B、由∠A：∠B：∠C＝9：12：15，及∠A+∠B+∠C＝180°得∠C＝75°≠90°，故不是直角三角形；C、由三角形三個角度數(shù)和是180°及∠C＝∠A﹣∠B解得∠A＝90°，故是直角三角形．D、由b2﹣a2＝c2得b2＝a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；故選：B．【點睛】本題考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．4、C【分析】根據(jù)勾股定理分別求得每兩個點之間的距離的平方，再進一步利用勾股定理的逆定理進行分析．【答案】解：A、AB2＝1+36＝37，AC2＝16+25＝41，BC2＝1+9＝10，37+10≠41，不可以構(gòu)成直角三角形；B、AD2＝16+16＝32，AG2＝9+36＝45，DG2＝1+4＝5，32+5≠45，不可以構(gòu)成直角三角形；C、BE2＝36+16＝52，BF2＝25+25＝50，EF2＝1+1＝2，50+2＝52，可以構(gòu)成直角三角形D、BG2＝25+9＝34，BE2＝36+16＝52，GE2＝9+1＝10，34+10≠52，不可以構(gòu)成直角三角形．故選：C．【點睛】本題考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．5、A【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．【答案】解：由勾股定理得，AC＝＝12，∵BD是AC邊上的中線，∴CD＝AD＝6，∴△BCD的面積＝×5×6＝15（cm2），故選：A．【點睛】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．6、D【分析】根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式，知“生長”1次后，以直角三角形兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積，即所有正方形的面積和是2×1＝2；“生長”2次后，所有的正方形的面積和是3×1＝3，推而廣之即可求出“生長”2019次后形成圖形中所有正方形的面積之和．【答案】解：設(shè)直角三角形的是三條邊分別是a，b，c．根據(jù)勾股定理，得a2+b2＝c2，即正方形A的面積+正方形B的面積＝正方形C的面積＝1．推而廣之，“生長”了2019次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是2020×1＝2020．故選：D．【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，以及勾股定理，其中能夠根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)每一次得到的新的正方形的面積和與原正方形的面積之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．7、A【分析】要求下滑的距離，顯然需要分別放到兩個直角三角形中，運用勾股定理求得BO和DO的長即可．【答案】解：由題意得：在Rt△AOB中，OA＝4米，AB＝5米，∴OB＝＝3米，在Rt△COD中，OC＝3米，CD＝5米，∴OD＝＝4米，∴AC＝OD﹣OB＝1米．故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，注意此題中梯子的長度是不變的．熟練運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．8、C【分析】展開后連接SF，求出SF的長就是捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路徑，過S作SE⊥CD于E，求出SE、EF，根據(jù)勾股定理求出SF即可．【答案】解：如圖展開后連接SF，求出SF的長就是捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路徑，過S作SE⊥CD于E，則SE＝BC＝×24＝12cm，EF＝18﹣1﹣1＝16cm，在Rt△FES中，由勾股定理得：SF＝＝＝20（cm），答：捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路徑的長度是20cm．故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理、平面展開﹣最大路線問題，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，題目比較典型，難度適中．9、C【分析】根據(jù)面積的差得出a+b的值，再利用a﹣b＝2，解得a，b的值代入即可．【答案】解：∵AB＝10，EF＝2，∴大正方形的面積是100，小正方形的面積是4，∴四個直角三角形面積和為100﹣4＝96，設(shè)AE為a，DE為b，即4×ab＝96，∴2ab＝96，a2+b2＝100，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，∴a+b＝14，∵a﹣b＝2，解得：a＝8，b＝6，∴AE＝8，DE＝6，∴AH＝8﹣2＝6．故選：C．【點睛】此題考查勾股定理的證明，關(guān)鍵是應用直角三角形中勾股定理的運用解得ab的值．10、A【分析】①先由勾股定理求出△ABC的斜邊AB＝10cm，則△ABC的周長為24cm，所以當CP把△ABC的周長分成相等的兩部分時，點P在AB上，此時CA+AP＝BP+BC＝12cm，再根據(jù)時間＝路程÷速度即可求解；②根據(jù)中線的性質(zhì)可知，點P在AB中點時，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分，進而求解即可；③△BCP為等腰三角形時，分點P在邊AC和邊AB上討論計算．【答案】解：△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，∴AB＝10cm，∴△ABC的周長＝8+6+10＝24cm，∴當CP把△ABC的周長分成相等的兩部分時，點P在AB上，此時CA+AP＝BP+BC＝12cm，∴t＝12÷2＝6（秒），故①正確；當點P在AB中點時，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分，此時CA+AP＝8+5＝13（cm），∴t＝13÷2＝6.5（秒），∴CP＝AB＝×10＝5cm，故②正確；依據(jù)△BCP為等腰三角形，當點P在邊AC上時，CP＝CB＝6cm，此時t＝6÷2＝3（秒）；當點P在邊AB上時．①如圖1，若CP＝CB，作AB邊上的高CD，∵AC×BC＝AB×CD．∴CD＝＝4.8，在Rt△CDP中，根據(jù)勾股定理得，DP＝＝3.6，∴BP＝2DP＝7.2，AP＝2.8，∴t＝（AC+AP）÷2＝（8+2.8）÷2＝5.4（秒）；②若BC＝BP，∴BP＝6cm，CA+AP＝8+10﹣6＝12（cm），∴t＝12÷2＝6（秒）；③若PB＝PC，∴點P在BC的垂直平分線與AB的交點處，即在AB的中點處，此時CA+AP＝8+5＝13（cm），t＝13÷2＝6.5（秒）；綜上可知，當t＝3秒或5.4秒或6秒或6.5秒時，△BCP為等腰三角形，故③正確．故選：A．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了勾股定理，三角形的面積，周長，等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線，解本題的關(guān)鍵是求出點P的運動路程．二、填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）11、（1）（2）（3）【分析】欲判斷是否可以構(gòu)成直角三角形，只需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．【答案】解：（1）62+82＝102，可以構(gòu)成直角三角形；（2）52+122＝132，能構(gòu)成直角三角形；（3）82+152＝172，能構(gòu)成直角三角形；（4）52+42≠62．不能構(gòu)成直角三角形；故答案為：（1）（2）（3）．【點睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2＝c2，則△ABC是直角三角形．12、【分析】首先連接AD，由△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D為BC中點，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，即可證得：AD⊥BC，然后利用勾股定理，即可求得AD的長，然后利用面積法來求DE的長．【答案】解：連接AD，∵△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D為BC中點，∴AD⊥BC，BD＝BC＝5，∴AD＝＝12，又∵DE⊥AB，∴BD?AD＝AB?ED，∴ED＝，故答案為：【點睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．13、8【分析】由題意得，在直角三角形中，知道了兩直角邊，運用勾股定理直接解答即可求出斜邊．【答案】解：∵AC＝4米，BC＝3米，∠ACB＝90°，∴折斷的部分長為＝5（m），∴折斷前高度為5+3＝8（米）．故答案為：8．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應用，訓練了學生對勾股定理在實際生活中的運用能力．14、5【分析】作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DC，根據(jù)勾股定理計算即可【答案】解：作DE⊥AB于E，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∵AD是角平分線，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DE＝DC，AE＝AC＝6，∴BE＝4，在Rt△DEB中，DE2＝（8﹣DE）2﹣42，解得，DC＝DE＝3，∴BD＝BC﹣DC＝8﹣3＝5，故答案為：5．【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、勾股定理，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．15、2+6【分析】先根據(jù)勾股定理求出BD的長，再由勾股定理的逆定理判斷出△BCD的形狀，根據(jù)S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BCD即可得出結(jié)論．【答案】解：∵BA⊥DA，AB＝2，AD＝2，∴BD＝＝＝4．∵CD＝3，BC＝5，32+42＝52，∴△BCD是直角三角形，∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB?AD+CD?BD＝×2×2+×3×4＝2+6．故答案為：2+6．【點睛】本題考查的是勾股定理的逆定理，勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．16、45【分析】延長AP交格點于D，連接BD，根據(jù)勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【答案】解：延長AP交格點于D，連接BD，則PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故答案為：45．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．17、【分析】當△ABP為等腰三角形時，分三種情況：①當AB＝BP時；②當AB＝AP時；③當BP＝AP時，分別求出BP的長度，繼而可求得t值．【答案】解：∵∠C＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，∴BC＝12cm．①當BP＝BA＝13時，∴t＝13s．②當AB＝AP時，BP＝2BC＝24cm，∴t＝24s．③當PB＝PA時，PB＝PA＝tcm，CP＝（12﹣t）cm，AC＝5cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，∴（t）2＝52+（12﹣t）2，解得t＝s．綜上，當△ABP為等腰三角形時，t＝13s或24s或s．【點睛】本題考查勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．18、4.8【分析】連接AP，過A作AF⊥BC于F，由圖可得：S△ABC＝S△ABP+S△ACP，代入數(shù)值，解答出即可．【答案】解：連接AP，過A作AF⊥BC于F，∵AB＝AC＝5，∴BF＝CF＝BC＝3，由勾股定理得：AF＝＝4，由圖可得，S△ABC＝S△ABP+S△ACP，∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，∴+，＝×5PE，24＝5（PD+PE），∴PD+PE＝4.8，故答案為：4.8．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，解答時注意，將一個三角形的面積轉(zhuǎn)化成兩個三角形的面積和；體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．三．解答題（共5小題，滿分46分）19、【分析】設(shè)BD為x，利用勾股定理得出方程解答即可．【答案】解：設(shè)BD＝x，則CD＝14﹣x，由勾股定理可得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，則152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，解得：x＝9，則AD＝，所以△ABC的面積＝．【點睛】本題主要考查勾股定理，關(guān)鍵是利用勾股定理得出方程解答．20、【分析】過C作CD⊥AB于D．根據(jù)BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，利用根據(jù)勾股定理有AB＝500米．利用S△ABC＝AB?CD＝BC?AC得到CD＝240米．再根據(jù)240米＜250米可以判斷有危險．【答案】解：公路AB需要暫時封鎖．理由如下：如圖，過C作CD⊥AB于D．因為BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，所以根據(jù)勾股定理有AB＝500米．因為S△ABC＝AB?CD＝BC?AC所以CD＝＝＝240（米）．由于240米＜250米，故有危險，因此AB段公路需要暫時封鎖．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，以便利用勾股定理．21、【分析】（1）根據(jù)面積求出正方形的邊長為，再勾股定理畫出符合的圖形即可；（2）分為三種情況：①AC＝BC，②AB＝BC，③AC＝AB，找出符合的點即可．【答案】解：（1）使4條邊長為，如圖所示：；（2）如圖2所示：共7個點．【點睛】本題考查了正方形，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)的應用，主要考查學生的動手操作能力，比較容易出錯．22、（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；【分析】（1）由大正方形面積的兩種計算方法即可得出結(jié)果；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠DCE，再由角的互余關(guān)系得出∠ACB+∠DCE＝90°，即可得出結(jié)論；（3）先證明四邊形ABDE是梯形，由四邊形ABDE的面積的兩種計算方法即可得出結(jié)論．【答案】（1）解：這個公式是完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2；理由如下：∵大正方形的邊長為a+b，∴大正方形的面積＝（a+b）2，又∵大正方形的面積＝兩個小正方形的面積+兩個矩形的面積＝a2+b2+ab+ab＝a2+2ab+b2，