2023屆高考全國甲卷乙卷全真模擬(四)數(shù)學(xué)試卷及答案

2023年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷四（全國卷）

理科數(shù)學(xué)

（考試時間：120分鐘；試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

一、單選題（本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項符合題目要求）

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z-2zi-3+i=0,貝”的共輸復(fù)數(shù)3=（）

1.1.

A.1+iB.1-iC.-+iD.j-i

2.設(shè)集合”={（x,y）|y=x},B=y）|y=xs},則的元素個數(shù)是（）

A.1B.2

C.3D.4

3.設(shè)命題P：若x,ycR,則“x＞y＞0”是“X2＞產(chǎn)”的必要不充分條件;命題"：liVx＞0,

2*＞1”的否定是“太VO,2x＜T\則下列命題為真命題的是（）

A.P八夕B.（「P）八DC.pvqD.P八（-1夕）

4.已知/Q）是偶函數(shù)，在（-00,0）上滿足獷'（》）＞0恒成立，則下列不等式成立的是

（）

A./（-3）＜/（4）＜/（-5）B./（4）＜/（-3）＞/（-5）

C./（-5）＜/（-3）＜/（4）D./（4）＜/（-5）＜/（-3）

5.在長方體48coTRCR中，點E為平的中點，AB=AA=2,且/。=2向，則

異面直線/E與BC所成角的余弦值為（）

A.昱B.直C.2D.直

3322

6.美國在今年對華為實行了禁令，為了突圍實現(xiàn)技術(shù)自主，華為某分公司抽調(diào)了含甲

乙的5個工程師到華為總部的4個不同的技術(shù)部門參與研發(fā)，要求每個工程師只能去一

個部門，每個部門至少去一個工程師，且甲乙兩人不能去同一個部門，則不同的安排方

式一共有（）種

A.96B.120C.180D.216

7.將函數(shù)V=sin2x的圖象向左平移中仰＞0）個單位長度后，所得圖象經(jīng)過點,

則4P的最小值為（）

試卷第1頁，共4頁

8.在區(qū)間匚2,21上隨機取一個數(shù)人,使直線y=k（x+2）與圓4+y2=1相交的概率為（）

A.0B.9C.正D.9

31264

9.某班同學(xué)利用課外實踐課，測量北京延慶會展中心冬奧會火炬臺“大雪花'’的垂直高

度MN.在過N點的水平面上確定兩觀測點4B，在A處測得M的仰角為30°,N在A的

北偏東60。方向上，8在A的正東方向30米處，在5處測得N在北偏西60。方向上，則

MN=（）

A.10米B.12米C.16米D.18米

10.已知函數(shù)/（x）=X3+bx2+cx+b2a<0）在x=-1處有極值，且極值為8,則/G）的

零點個數(shù)為（）

A.IB.2C.3D.4

11.兩個長軸在x軸上、中心在坐標原點且離心率相同的橢圓.若48分別為外層橢圓

的左頂點和上頂點，分別向內(nèi)層橢圓作切線力C,BD,切點分別為C,D,且兩切線斜

2

率之積等于則橢圓的離心率為（）

A.1B.立C.9D.正

3323

12.已知〃=e-3,b=lnl.01,c=sin0.02,貝ij（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.h<c<a

第II卷（非選擇題）

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.若雙曲線》2+〃2歹2=1的焦距等于虛軸長的3倍，則加的值為.

14.向量；=（-2,1）,力=（一2,3）,c=（w,-l）,clb,則卜-可=—.

15.在N8C中，角48,C所對的邊分別為〃，仇c,已知向量而=卜。$4乎,1],且

試卷第2頁，共4頁

麗2=[.若c=2,且/8C是銳角三角形，則①+慶的取值范圍為.

16.如圖，EO是邊長為2的正三角形/8C的一條中位線，將V/OE沿

OE折起，構(gòu)成四棱錐尸-8CAE,若EF工CD,則四棱錐F-8COE外

接球的表面積為.

三、解答題(本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第

17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答)

(一)必考題：共60分

17.2022年卡塔爾世界杯開幕式在美麗的海灣球場舉行，中國制造在這屆世界杯中閃

亮登場，由中國鐵建承建的盧賽爾球場是全球首個在全生命周期深入應(yīng)用建筑信息模型

技術(shù)的世界杯主場館項目.場館的空調(diào)是我們國家的海信空調(diào)，海信空調(diào)為了了解市場

情況，隨機調(diào)查了某個銷售點五天空調(diào)銷售量y(單位：臺)和銷售價格x(單位：百

元)之間的關(guān)系，得到如下的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

銷售價格X2428303236

銷售量y340330300270260

(1)通過散點圖發(fā)現(xiàn)銷售量V與銷售價格x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，求出y關(guān)于x的

線性回歸方程？=&+&?

(2)若公司希望每天的銷售額到達最大，請你利用所學(xué)知識幫公司制定一個銷售價格(注:

銷售額=銷售價格x銷售量).

S(x-T)(y-7)

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：^=-*7=--------：——，

i=l

Q=y—bx~.

18.已知數(shù)列M｝的前〃項和為S,且S=S+%+3,a=1.

nnnn1

(1)證明：數(shù)列｛q+3｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列L｝的通項公式；

nn

(2)若6=alog(a+3),求數(shù)列％｝的前〃項和7.

nn2nnn

試卷第3頁，共4頁

M

19.如圖，在四棱錐A/-48CZ)中，底面/8CD是平行四

邊形，45=4,4。=2石，MC=2^,NNDC=45。，點

D

M在底面ABCD上的射影為CO的中點O,E為線段AD上

的點(含端點).

(1)若E為線段的中點，證明：平面M0E1平面M4D；

(2)若3/E=OE,求二面角。-ME-O的余弦值.

20.已知函數(shù)/(丫)=(*-4)*-工2+6》，g(x)=lnx-G+l)x,a>-\.

(i)求/G)的極值；

(2)若存在xyh,31，對任意的5e［e2,e3］,使得不等式g({)>/(：)成立，求實數(shù)。的

取值范圍.(e3?20.09)

21.已知拋物線C：X2=2py(p>0)的焦點為尸，準線為，，點P是直線(y=x-2上一

動點，直線/與直線1交于點。，|。尸|=君.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過點p作拋物線C的兩條切線尸4尸8,切點為48,且求P48面

積的取值范圍.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做

的第一題計分.

［選修4Y：坐標系與參數(shù)方程］

fx=2cos(n

22.在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為Jp_sin(p(中為參數(shù))?

(1)在以。為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，求曲線C極坐標方程；

(2)若點/,8為曲線C上的兩個點且ONLOB,求證：「為定值.

I(JA\2IOD|2

［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)〃x)=|2x|+|x+3］.

⑴求函數(shù)y=/(x)的最小值四；

11

(2)若。＞0力＞0且a+b=M,求不+了的最小值.

試卷第4頁，共4頁

2023年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷四（全國卷）

理科數(shù)學(xué)

（考試時間：120分鐘；試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

一、單選題（本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項符合題目要求）

1.己知復(fù)數(shù)z滿足z-2zi-3+i=0,則z的共朝復(fù)數(shù)一（）

八1?1?

A.1+iB.1—iC.—+iD.——i

【答案】B

【分析】由復(fù)數(shù)的除法運算求出2,再根據(jù)共朝復(fù)數(shù)的概念可得〒.

3_i（3-i）（l+2i）5+5i,.

【詳解】由z-2zi-3+i=0,得二=號=7r■和+

1-21（1-21）（14-21）5

所以彳=l-i.故選：B

2.設(shè)集合4={Q,y）|y=J,8=?x,y）|y=*},則的元素個數(shù)是（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【分析】聯(lián)立y=x,y=*求出交點坐標，從而得到答案.

\y=x

【詳解】聯(lián)立1，=戈3,即x=x3,解得：x=0或±1，

即45={（0,0）,（1-1）,（-1-1）},故/C8的元素個數(shù)為3.故選：C

3.設(shè)命題P：若貝?。荨皒>y>0"是“X2>門”的必要不充分條件：命題"："Vx>0,

2x〉1"的否定是"HxWO,2.v<19，?則下列命題為真命題的是（）

A.P八夕B.Jp）八5）C.P~qD.p八（一1夕）

【答案】B

【分析】先判斷命題P和命題"的真假，再根據(jù)復(fù)合命題真假的判定方法，即可得出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)不等式的性質(zhì)，若則4>/；

反之，若》2>/，則X2-戶>0,即G+y）Q-y）>0,因為x，y正負不確定，所以不能推

出X＞夕＞0,

試卷第1頁，共17頁

因此“x＞y＞0”是“》2＞門”的充分不必要條件，即命題P為假命題；所以為真命題；

命題3"Vx＞0,2.、＞1”的否定是“玉＞0,2"1”，故命題“為假命題；「夕為真命題；

所以。人q為假，為假，。人（-'?）為假，（rOAjq）為真.

即ACD錯，B正確.故選：B.

4.已知/Q）是偶函數(shù)，在（一8,0）上滿足切'G）＞0恒成立，則下列不等式成立的是（）

A./（-3）＜/（4）＜/（-5）B./（4）＜/（-3）＞/（-5）

C./（-5）＜/（-3）＜/（4）D,/（4）＜/（-5）＜/（-3）

【答案】A

【分析】由題干條件得到xe（-8,0）時，故/G）在（=0,0）上單調(diào)遞減，結(jié)合

/Q）為偶函數(shù)，得到/G）在（0,討）上單調(diào)遞增，從而判斷出大小關(guān)系.

【詳解】xejo,0）時,礦（x）＞0即r（x）＜0,

.?./（》）在（q,0）上單調(diào)遞減，又/Q）為偶函數(shù)，

.?./G）在（0,例）上單調(diào)遞增.

"（3）＜/（4）＜/G）,3）＜/（4）v/（-5）.故選:A.

5.在長方體/8。＞_《8￡勺中，點E為力卜的中點，AB=AA=2,且1o=26，則異

面直線ZE與8c所成角的余弦值為（）

A.旦B.在C.史D.立

3322

【答案】C

【分析】將異面直線AE與BC所成角轉(zhuǎn)化為NE/?；蚱溲a角，再通過邊的計算得到

RD吟,即可求解.

連接。由8。〃/。可得NE/。或其補角即為異面直線AE與BC所成角，又

ABCD,ACa^ABCD,則//_LNC,

1I

試卷第2頁，共17頁

則ZE=pC=3,22+2?+（2豆=2,同理可得?￡>_L￡>C,DEAC=2,貝!!

JT

AEi+DEi=ADi,AEAD=-,

4

則異面直線AE與BC所成角的余弦值為cos：=乎.故選：C.

6.美國在今年對華為實行了禁令，為了突圍實現(xiàn)技術(shù)自主，華為某分公司抽調(diào)了含甲乙

的5個工程師到華為總部的4個不同的技術(shù)部門參與研發(fā)，要求每個工程師只能去一個部

門，每個部門至少去一個工程師，且甲乙兩人不能去同一個部門，則不同的安排方式一共

有（）種

A.96B.120C.180D.216

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，先將5人分成4組，減去甲乙在一起的1組，然后4組再安排到4個

不同的部門可得答案.

【詳解】由（。廣1）%=216故選：立

54

7.將函數(shù)尸sin2x的圖象向左平移叭（p>0）個單位長度后，所得圖象經(jīng)過點停,1）,則）

的最小值為（）

71C兀-3兀e11幾

A.—B.-C.—D.—

124412

【答案】C

【分析】利用三角函數(shù)圖象平移規(guī)律得到函數(shù)了=5畝［2（工+中）］的圖象，由所得圖象經(jīng)過點

任,1）和e的范圍可得答案.

【詳解】將函數(shù)y=Sin2x的圖象向左平移中仰>0）個單位長度后，

得到函數(shù)'=疝［2。+P）］的圖象，由所得圖象經(jīng)過點仁,1］,可得sin（兀+2（p）=l,

兀3TT

則兀+2<p=,+2攵兀，kEZJ9則9=一彳+左兀，keZ,又中>0,所以①的最小值為工~.

故選：C.

8.在區(qū)間［-2,2］上隨機取一個數(shù)”，使直線y=〃（x+2）與圓X2+”=1相交的概率為（）

A.正B.立C.正D.立

31264

【答案】C

【分析】求出直線與圓相交時發(fā)的取值范圍，利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的

概率.

【詳解】因為圓X2-by2=1的圓心為（0,0）,半徑"1,

試卷第3頁，共17頁

直線V=A（x+2）與圓X2+產(chǎn)=1相交,

所以圓心到直線夕=/仁+2）的距離不<1,解得

3+4233

2^3

所以，直線y=&（x+2）與圓X2+”=1相交的概率為？=工=由，故選：C.

~~r

9.某班同學(xué)利用課外實踐課，測量北京延慶會展中心冬奧會火炬臺“大雪花''的垂直高度

MN.在過N點的水平面上確定兩觀測點48,在A處測得M的仰角為30。，N在A的北

偏東60。方向上，8在A的正東方向30米處，在B處測得N在北偏西60。方向上，則MN=

()

A.10米B.12米C.16米D.18米

【答案】A

【分析】由已知分析數(shù)據(jù)，在△可"中，由正弦定理可求得附，在直角中，可求

得MN.

【詳解】由已知得，NMAN=3。。,NNAB=NNBA=30°,/8=30米

30NA廠

在△心18中，由正弦定理可得”]["（；=求得四=106米

sin120°sm30°

在直角中，MN=M4-tan3（r=10/x￥=10米故選：A

10.已知函數(shù)/（x）=x3+bx2+cx+62G<0）在》=一1處有極值，且極值為8,則/Q）的零

點個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

（b=-2

【分析】根據(jù)題意求導(dǎo)后結(jié)合已知極值，得出,=_7,即可根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性，再

結(jié)合特值得出其零點個數(shù).

【詳解】由題意得.那G）=3x2+2bx+c,

因為函數(shù).f（x）=x}+hx2+cx+/n（6<0）在x=—I處有極值，且極值為8,

試卷第4頁，共17頁

貝！I/(T)=_]+6-°+力2=8,/'(-1)=3-2/?+c=0,

fZ?=_2（h=3

解得（經(jīng)檢驗適合題意），或q（經(jīng)檢驗不合題意舍去）

|C=—/|C=D

故/(x)=-2x2-7x+4,/r(x)=3x2-4x-7=(x+l)(3x-7),

當xe（-8,-l）或（：,+＜?）時，*。＞0,即函數(shù)/（x）單調(diào)遞增，

當時，rG）＜o,即函數(shù)/Q）單調(diào)遞減，

又因為/（-3）＜0,/（-1）＞0,/（1）＜0,/（4）＞0,則/G）有3個零點，故選：C.

11.兩個長軸在x軸上、中心在坐標原點且離心率相同的橢圓.若/,B分別為外層橢圓的

左頂點和上頂點，分別向內(nèi)層橢圓作切線ZC,BD,切點分別為C,D,且兩切線斜率之

2

積等于-與，則橢圓的離心率為（）

A.-B.立C.巫D.皿

3323

【答案】B

【分析】法一，用判別式等于零求兩條切線得斜率，因為它們相乘等于可得小=：,

3ai3

所以橢圓的離心率為e=半；法二，用極點極線得方法得到兩條切線得斜率，再根據(jù)條件

即得.

【詳解】法一：設(shè)內(nèi)橢圓方程為止+4=1（。＞6＞0）,外橢圓為二+二=加2（加＞0）,

4202aiD2

切線ZC的方程為V=勺（x+機。），

y=k\x.\-ma),(\

聯(lián)立…一小消去》可得：如+a2kz)x2+2ma3kzx+mia^ki—a2b2=0

bixi-\-a2y2=aibi,111

因為直線/C為橢圓的切線，所以A=4掰24644-4G2+a2k2)。2a4k2-4262)=0,

化簡可得：后=竺.—二，設(shè)直線80的方程為：y=kx+mb,同理可得依=巴（巾_1）,

Iaim22202

因為兩切線斜率之積等于-彳2，所以h一i=彳2，所以橢圓的離心率為e=字.故選：B.

3a233

法二；設(shè)內(nèi)層橢圓：一+7=1，外層橢圓：=+1=m2.

aibiai02

設(shè)切點4GH），PSx^y）94（ma,0）,

切線《：W+務(wù)=i,切線4：A務(wù)=1,

1a2hi2aibi

試卷第5頁，共17頁

bix.bix

?k:-------1?①，k------^②,

?aiy2aiy

2

j,bixy

又??k=k即------?■,BP-bixi+b2m2ax=aiyi,即

x-mai

ii

b2m2ax=aiyi+bixi=aib2,

iii

；?〃「,同理￡=%二二%.《J,

i

將J。代入橢圓齊*1中得：去=，經(jīng)分析得:yb

-1-=--

xa

22

由①②可知心=[—,2xxbibi2bi1:.e=￥.故選：B.

/.e2=l_

I242yyaiai3石一丁?

I2

12.已知a=e-3,h=lnl.01,c=sin0.02,則()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.b<c<a

【答案】D

【分析】先利用不等式x>sinx（x>0）比較a,c的大小，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性

比較b,c的大小，即可得到結(jié)果.

【詳解】如圖，單位圓A中，NBAC=6,8OJ./C于D,

則3C的長度/=6,|即卜sin*則由圖易得，/>|3C|>口。即0>sinO,

111

所以a=e_3—>—>—=0.02>sin0.02=

e33250

11

,貝[]/，(?￥)=2cos2x.1-°，所以/（X）

T77〉

貝IJ/(0.0D>0,即sin0.02>lnl.01,即6<c.綜上，Xc<a.故選：D.

第n卷（非選擇題）

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

試卷第6頁，共17頁

13.若雙曲線X2+M7產(chǎn)=1的焦距等于虛軸長的3倍，則用的值為.

【答案】-8

【分析】先將雙曲線化為標準形式，進而得到。2=1/2=-J_,C2=l-1,根據(jù)題意列出

mm

方程，求出川的值.

二

Y2=1

【詳解】X2+myi=1化為標準方程：X2--r,

2J1---=6./---,解得：加=-8,

則Q2=l力2=—―,故C2=l—一,則可得:

ym'm

故答案為：-8

14.向量；=(-2,1),ft=(-2,3),c=(w,-l),clb,則5T=

【分析】利用平面向量垂直的坐標表示可求得實數(shù)m的值，再利用平面向量的坐標運算以

及向量模的坐標運算可求得結(jié)果.

【詳解】由已知可得鼠5=-2胴-3=0,解得加=弓，貝壯=卜|■，-1),

2z=叵.故答案為：叵

所以，一一,2,因此,

2

15.在力8c中，角4民。所對的邊分別為。也c,已知向量而=(cos￡乎,1｝且

而2=].若c=2,且/8C是銳角三角形，則az+4的取值范圍為.

【答案】[<2亍0，8cl

【分析】化簡""=4可得'+8=，即C=由正弦定理可得

sm24__I再結(jié)合/8C是銳角三角形，即可求出〈弓，則可寫出

3+3I6J62

42+慶的取值范圍.

【詳解】由題意得m2=cos2——+1=-----h-----H-1=

所以cos(4+5)=-g,

因為0<%+8<兀，所以4+8=：,所以C=7t_(z+8)=g,

所以"WsinX，6=竽或118=￥出泊(母-/),

試卷第7頁，共17頁

,16?4?

貝（]。2+①=?sinsA+siir

空耳…

cos2A

33

_168]J3

cos24-cos24一"sin2A

=3322

168sinf2/_左）.

~—~

33

1

因為45c是銳角三角形，所以0<B<L9又B=$A,

所以即視<24-：<福，

62666

1?(一哈?20168.(〃吟。

所以2<sin[2"一石所以手<y+彳5111[24一左18,

故?<B+b2<8.故答案為：仁,8.

16.如圖，E。是邊長為2的正三角形/8C的一條中位線，將V/10E沿。E折起，構(gòu)成四

棱錐尸-8CDE,若EFLCD,則四棱錐F-8CDE外接球的表面積為

【分析】根據(jù)給定的幾何體，確定四邊形5CDE外接圓圓心，進而求出外接球半徑即可計

算作答.

【詳解】取8c中點G,連接NG交?！暧贖,連接FH,EG,DG,FG,如圖,

試卷第8頁，共17頁

因為ED是邊長為2的正/8C平行于8c的中位線，則H是AG中

點，

/GD"/u平面4FG,則有EDJ.平面/尸G,u平面8CDE,有平面

WG_L平面8cDE,

顯然有GE=GD=GC=GB=；BC=1,則G是四邊形88E外接圓圓心，

在平面/FG內(nèi)過G作直線/_L/G,因為平面/尸Gc平面8CDE=/G,因此/_L平面

BCDE,

則四棱錐F-BCDE的外接球球心O在直線/上，過F作尸。_LNG于Q,尸。u平面4尸G,

有3平面BCDE,

則有°G〃F。，連接尸0,80,四邊形尸OG。為直角梯形,

因為EG//CD,FELCD,則有五EJ.EG,FG=R,在WG中，F(xiàn)H=AH=HG,則

ZFG是直角三角形,

N/FG=90,,而4G=出，則〃"=1,于是得也匕，L亭，過。作。尸門。于P,

AG3

有PQ=0G,OP=GQ=^=$

7?2=1+OGi

OB2=BGIOG2

OB=0F=R,RtAOBG與RtOFP中,+,

OFI^OPI+FPI'即R2=^+(^-0G)2

解得OG=亞,&=叵，所以四棱錐F-BCDE外接球的表面積為S=4兀&=坐.

442

11兀

故答案為：—

三、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第

17?21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作

答）

（一）必考題：共60分

試卷第9頁，共17頁

三、解答題

17.2022年卡塔爾世界杯開幕式在美麗的海灣球場舉行，中國制造在這屆世界杯中閃亮登

場，由中國鐵建承建的盧賽爾球場是全球首個在全生命周期深入應(yīng)用建筑信息模型技術(shù)的

世界杯主場館項目.場館的空調(diào)是我們國家的海信空調(diào)，海信空調(diào)為了了解市場情況，隨

機調(diào)查了某個銷售點五天空調(diào)銷售量y(單位：臺)和銷售價格x(單位：百元)之間的

關(guān)系，得到如下的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

銷售價格X2428303236

銷售量N340330300270260

(1)通過散點圖發(fā)現(xiàn)銷售量y與銷售價格x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，求出y關(guān)于x的線

性回歸方程夕=以+人

(2)若公司希望每天的銷售額到達最大，請你利用所學(xué)知識幫公司制定一個銷售價格(注：

銷售額=銷售價格x銷售量).

S(x-r)G-7)

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：A=------：——,a=y-br.

S(x-r>

【答案】(1)3=-7.5X+525

(2)35百元

【分析】(1)根據(jù)已知求得回歸方程的系數(shù)，即可得回歸方程;

(2)利用銷售額的公式可得到2=-7.5(x-351+9187.5,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解

24+28+30+32+36*34。+33。+3。。+27。+26。=30°,

【詳解】(1)丫=

5

r_6x40_2x302x(-30)6x(-40)_.

D-----------------+----------+---------=—/

36+4+4+36

(5=300+7.5*30=525,

...y關(guān)于x的線性回歸方程為=々J+525

(2)設(shè)銷售額為2=xg=-7.5x2+525x=-7.5(r-351+9187.5,0<x<70,

當x=35百元時，此時銷售額到達最大，該值為z=9187.5百元

max

18.已知數(shù)列M｝的前〃項和為S,且S=S+2a+3,a=1.

iiH"+】nn1

(1)證明：數(shù)列3+3｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛。｝的通項公式；

nn

試卷第10頁，共17頁

(2)若，=a-logG+3),求數(shù)列也｝的前加項和7.

nn2nn”

【答案】(1)證明過程見詳解，。=2“+J3

39

(2)7=n?2/t+2——〃2——〃

?22

【分析】(1)先利用〃與$之間的關(guān)系化簡已知等式，得到。,,a間的關(guān)系，從而可

nn"+1n

求得數(shù)列｛〃+3｝的首項和公比，即可求得數(shù)列卜｝的通項公式；

nn

(2)先求得數(shù)列內(nèi)｝的通項公式，再根據(jù)分組求和和錯位相減即可求得T.

nn

【詳解】(1)因為S=S+2a+3,所以S-S=2。+3,得“=2。+3,即

n+1nnn+lnn〃+ln

a+3=2(a+3),

”+ln

又彳=】，所以數(shù)列3+3｝是首項為4,公比為2的等比數(shù)列，

In

所以。+3=4.2?-i=2”+】，得ci—2”+i—3.

nn

(2)由題意得，=(2，+i-3).k?g2,+1=("+l).(2"+i_3)=("+l)2，+i_3(〃+1),

n2

所以7=2x22+3x29…+Q+1包±±也.

令P=2x22+3x23+…+(〃+1)x2〃+】，

n

則2P=2x23+3x24---卜(〃+1)乂2〃+2,

兩式相減，得

22(2“_1)

-P=2x22+23+24+…+2Z】一6+1)<2〃1?+2=4+4+1乂2“a=—n?2〃a>HK

P=n.2n+29

n

39

所以7=n.2?+2—m—n.

〃22

19.如圖，在四棱錐M-48C。中，底面是平行四邊形，AB=4,AD=26,MC=M,

N4)C=45。，點M在底面ABCD上的射影為CD的中點O,E為線段AD上的點(含端點).

(1)若E為線段的中點，證明：平面M0E1平面

試卷第11頁，共17頁

(2)若3ZE=￡)E,求二面角。-ME-0的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵器

【分析】(1)在△ADO中，利用勾股定理證明ED1_EO,再結(jié)合EDJ_M。即可證明/￡)，

平面MOE,從而可證明平面"OE_L平面MAD；

(2)連接OA,證明。以O(shè)為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量即

可求解二面角的余弦值.

【詳解】(1)T4Ou平面ABCD,平面ABCD,：.MOLAD.

為線段CD的中點，E為線段AD的中點，。。=2,DE=y/2,

VZADC=45°,由余弦定理得EO2=22+(#2-2X2X^X￥=2，

則EO2+DEi=DOi,則。E_L￡。.

,：MOnEO=O,/O，E°u平面MOE,，平面MOE,

又?:ADu平面MAD,二平面MOE±平面MAD.

(2)連接OA,由(1)知當E為線段AD的中點時，AE=DE=EO3,

則A、O、D三點在以AD為直徑的圓上，故。O，。/.

故以。為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

又MC=2j.,貝!|欣9=2,

二0(0,0,0),0(2,0,0),N(0,2,0),M(0,0,2).

又34E=DE,則%，|，0),

/.OM=(0,0,2),DM=(-2,0,2),次=(-2,2,0),班

DM.m=-2x+2z=0,(x=z,

設(shè)平面MAD的法向量為所=(：，4，：),貝/E''解得JJ

DA.m=-2x+2y=0n,[x=V,

i?11

取［=1,則平面MAD的一個法向量為正=(1,1,1).

試卷第12頁，共17頁

k13八

OE?n——x+y—0,X=-3y,

設(shè)平面MEO的法向量為何=(七匕￡)，貝小2222解得22

Z=0,

()M.n=2z=0,-2

2

取x?=3,則平面MEO的一個法向量為3=(3,-1,0).

m.n2^/30

網(wǎng)卡「了乂曬=—

則二面角D-ME-O的余弦值為善.

20.已知函數(shù)/(幻=(*-4)N-》2+6*,g(x)=lnx-(a+l)x

a>-\.

(i)求/Q)的極值；

(2)若存在［G［1,3］，對任意的使得不等式g(x,)>/(1)成立，求實數(shù)。的取

值范圍.(63?20.09)

【答案】⑴極大值-Qn21+81n2-8,極小值為9-es

【分析】(1)求出/?),令，'(x)=0,得x=3或x=ln2,再列出x/(x)J(x)的變化關(guān)

系表，根據(jù)表格和極值的概念可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)(1)求出/G)在［1,3］上的最小值為"3)=9-es,則將若存在［1,3］，對任

意的使得不等式g(\)>/(1)成立，轉(zhuǎn)化為0+1<四=±￡在卜2?］上恒

成立，再構(gòu)造函數(shù)/心)=竺二三,xc［e2,e3］,轉(zhuǎn)化為“+l<〃(x),利用導(dǎo)數(shù)求出

X」」min

〃(x)m酒入可得解

【詳解】(1)由/(x)=(x-4)e*-X2+6x,

得/'(X)=QX+(x_4)e*_2%+6=(%一3)e?-2%+6=(工一3)(x_2),

令/O=0,得x=3或x=ln2,

x,/(x),/(x)的變化關(guān)系如下表:

(-co,In2)(3,+oo)

XIn2(in2,3)3

((X)+0—0+

試卷第13頁，共17頁

/(X)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

由表可知，當x=ln2時，/(X)取得極大值，為

/(ln2)=Qn2-4)em2-(ln21+61n2=-(ln21+8In2-8,當x=3時，取得極小值，

為/(3)=(3-4)e3-32+18=9-e3.

(2)由(1)知，/Q)在[1,31上單調(diào)遞減，所以當xe[l,3]時，〃x)=/(3)=9-

min

于是若存在對任意的二€F2?],使得不等式g(x2)>/(