A1從歐氏幾何到解析幾何(第一次課)

從歐氏幾何到解析幾何

湖南大學(xué)

數(shù)學(xué)與計量經(jīng)濟(jì)學(xué)院前言幾何學(xué)的起源

幾何學(xué)的起源十分久遠(yuǎn)，它產(chǎn)生于早期人類的社會實踐，從人類對實物形狀的認(rèn)識開始。而促進(jìn)幾何學(xué)產(chǎn)生的直接原因與土地測量及天文活動有關(guān)。在古埃及，由于尼羅河每年泛濫一次，每次泛濫，洪水會淹沒兩岸的土地，一旦洪水退卻，需要重新測量土地。因此便逐漸產(chǎn)生了關(guān)于幾何形體的概念、性質(zhì)及其度量方面的知識。埃及人在劃分土地時，發(fā)現(xiàn)很多不同形狀的農(nóng)田，都可以分割為幾塊較細(xì)小的三角形農(nóng)田，例：

長方形農(nóng)田兩塊面積相等的三角形農(nóng)田梯形農(nóng)田三塊三角形農(nóng)田埃及數(shù)學(xué)文獻(xiàn)“莫斯科紙草書”與“蘭德紙草書”中計有110個數(shù)學(xué)問題，其中有26個屬于幾何問題，主要是計算土地面積、谷物體積等公式。由此可見，埃及人當(dāng)時已掌握了圓周長、面積的近似公式，還知道三角形、圓柱體的求積公式。這些知識也在其它古老文明中出現(xiàn)，巴比倫人在公元前2000年—前1600年，已熟悉計算長方形、直角三角形、等腰三角形的面積，以及一些形體的體積，還掌握了勾股定理的特殊情況。中國秦漢以前的幾何學(xué)內(nèi)容，沒有留下文字性材料，詳細(xì)情況不得而知，但從西漢成書的《九章算術(shù)》，以及農(nóng)業(yè)社會的社會形態(tài)上看，這些幾何知識也相當(dāng)興旺。歷史上，幾何學(xué)在很長的一段時間里面是一門高度理論化的學(xué)科,在假設(shè)干世紀(jì)里,歐幾里得幾何控制著數(shù)學(xué)的舞臺.一、歐氏幾何和歐氏空間歐幾里得〔Euclid,公元前330—公元前275〕是希臘亞歷山大的數(shù)學(xué)教師。于十幾歲的少年時，進(jìn)入“柏拉圖學(xué)園”學(xué)習(xí)。著名的古希臘學(xué)者阿基米德，是他“學(xué)生的學(xué)生”——卡農(nóng)是阿基米德的老師，而歐幾里得是卡農(nóng)的老師。歐幾里得將公元前七世紀(jì)以來希臘幾何積累起來的豐富成果，整理在嚴(yán)密的邏輯系統(tǒng)運算之中，使幾何學(xué)成為一門獨立的、演繹的科學(xué)。歐幾里得最著名的著作《幾何原本》是歐洲數(shù)學(xué)的根底，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛的認(rèn)為是歷史上最成功的教科書。幾何，英文為“Geometry”，是由希臘文演變而來的，其原意為“土地測量”。我國明代徐光啟翻譯《幾何原本》時，將“Geometry”一詞譯為“幾何學(xué)”，就是從其音譯而來。歐幾里得不僅是一位學(xué)識淵博的數(shù)學(xué)家，同時還是一位有“溫和仁慈的藹然長者”之稱的教育家。在著書育人過程中，他始終牢記著柏拉圖學(xué)派自古承襲的嚴(yán)謹(jǐn)、求實的傳統(tǒng)學(xué)風(fēng)。他對待學(xué)生既和藹又嚴(yán)格，自己卻從來不宣揚有什么奉獻(xiàn)。對于那些有志于窮盡數(shù)學(xué)奧秘的學(xué)生，他總是循循善誘地予以啟發(fā)和教育，而對于那些急功近利、在學(xué)習(xí)上不肯刻苦鉆研的人，那么毫不客氣地予以批評。1.《幾何原本》介紹

《幾何原本》共分十三卷，給出了467個命題，幾乎涵蓋了前人所有的數(shù)學(xué)成果。全書精心編排，把命題依照彼此的邏輯關(guān)系，從簡單到復(fù)雜，將內(nèi)容按照順序排列起來是歐幾里得最成功的創(chuàng)造。1.《幾何原本》介紹第一卷是全書邏輯推理的根底，給出了什么是點、線、面等23個定義，5條公設(shè)，5個公理，由此討論三角形全等、邊角關(guān)系、垂線、平行線、平行四邊形、多邊形、勾股定理等。五條公設(shè)：〔1〕從每個點到每個別的點必定可引直線；〔2〕直線可以無限延長；〔3〕以任一點為中心，任意長為半徑可以作圓；〔4〕所有直角都相等；〔5〕假設(shè)一直線與兩條直線相交，且同側(cè)內(nèi)角和小于兩直角，那么此兩直線必在該側(cè)相交。五條公理：〔1〕等于同量的量相等；〔2〕等量加等量，和相等；〔3〕等量減等量，差相等；〔4〕彼此重合的東西是相等的；〔5〕整體大于局部。以下圖是目前發(fā)現(xiàn)的最早的歐幾里得《幾何原本》中的一頁1896-97由兩個探險家〔B.P.GrenfellandA.S.Hunt〕在俄克喜林庫斯(Oxyrhynchus)發(fā)現(xiàn)的紙莎草紙〔公元75年-125年，現(xiàn)存于賓夕法尼亞大學(xué)〕.BookII:Proposition5:Ifastraightlineiscutintoequalandunequal

segments,thentherectanglecontainedbytheunequalsegmentsofthewholetogetherwiththesquareonthelinebetween

thepointsofsectionequalsthesquareonthehalf(fromtheclassictranslationofT.L.Heath).命題：如圖,設(shè)C是線段AB的中點，那么歐氏空間

后人把歐幾里得建立的幾何理論稱為“歐氏幾何”；成立歐氏幾何的平面稱為“歐氏平面”；成立歐氏幾何的空間稱為“歐氏空間”。公理法歐幾里得在《幾何原本》使用的這種建立理論體系的方法稱為“公理法〔原始公理法〕”。第Ⅴ〔五〕公設(shè)第Ⅴ公設(shè)等價于：過直線外一點只可作一直線平行于直線。在《幾何原本》問世的兩千年中，不少人試圖去修正，尤其是第Ⅴ公設(shè)，被認(rèn)為可由其余九條所證出，或用更簡單或更直觀的公理來代替。羅氏幾何俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基〔Lobatchevsky，1793-1856〕也希望能證明第Ⅴ公設(shè)，他企圖通過否認(rèn)第Ⅴ公設(shè)的等價命題來引出矛盾。但他推出了一個又一個新奇的結(jié)論后仍找不到邏輯上的矛盾，這些新的結(jié)論構(gòu)成了一個不同的幾何體系，后來被稱為羅氏幾何。2.希爾伯特與《幾何根底》1899年德國數(shù)學(xué)家希爾伯特〔Hilbert,1862-1943〕發(fā)表了著作《幾何根底》。希爾伯特在這書中對歐幾里得幾何及有關(guān)幾何的公理系統(tǒng)進(jìn)行了深入的研究。他不僅對歐幾里得幾何提供了完善的公理體系，還給出證明一個公理對別的公理的獨立性以及一個公理體系確實為完備的普遍原那么。三個根本對象：點、直線、平面三種根本關(guān)系：“在……之上”、“在……中間”、“合同于”2.希爾伯特與《幾何根底》五組公理共20條：第一組關(guān)聯(lián)公理，共8條；第二組順序公理，共4條；第三組合同公理，共5條；第四組連續(xù)公理，共2條；第五組平行公理，共1條。這五組公理滿足了公理體系的三個根本要求，即相容性、獨立性和完備性。如果把這五組的公理稍作增減，便得出其他不同的幾何空間，例如把平行公理中的歐幾里得平行公理換為羅巴切夫斯基平行公理，那便把「歐幾里得空間」換為「羅巴切夫斯基空間」?，F(xiàn)代公理法：以五組公理為根底，陸續(xù)定義了一些新的概念和證明一些新的結(jié)論〔定理〕，這樣建立起了一個依照邏輯關(guān)系，排列順序井然的體系，稱為現(xiàn)代公理法。3.公理系統(tǒng)的三個問題構(gòu)造一個公理體系并不容易，要求滿足以下條件：〔1〕無矛盾性：即所有的公理彼此不產(chǎn)生矛盾，也稱相容性；〔2〕獨立性：即每一條公理都不能由其它公理推出，也就是公理組有最少個數(shù)，不能有多余的；〔3〕完備性：即已有的公理已足夠了，不能再增加與公理組都相容的新公理。在數(shù)學(xué)及其它領(lǐng)域，利用公理法思想的地方很多，但一般并未形成歐氏幾何公理系統(tǒng)這樣嚴(yán)格的理論體系。一般地，任何一個公理系統(tǒng)必須是相容的，但未必是獨立的，完備性更不是必需的。3.公理系統(tǒng)的三個問題

除了歐氏幾何，羅氏幾何與射影幾何的公理系統(tǒng)也具備以上三個條件。任何一個公理體系都不可能在本系統(tǒng)內(nèi)證明它的無矛盾性，也就是說任何一個理論系統(tǒng)最終還是要靠實踐來檢驗它的真?zhèn)闻c價值。3.公理系統(tǒng)的三個問題自從歐幾里得的《幾何原本》問世以來，人們一直把代數(shù)限定在研究數(shù)及其關(guān)系的范疇內(nèi)，把幾何限定在研究位置和圖形的范疇內(nèi)。代數(shù)和幾何截然分家持續(xù)了幾千年，猶如兩座高山被萬丈深淵分割.二、解析幾何二、解析幾何到了文藝復(fù)興時期，代數(shù)學(xué)從阿拉伯傳到歐洲以后，數(shù)學(xué)家笛卡爾和費爾瑪受代數(shù)學(xué)的啟發(fā)，有了用代數(shù)的方法來研究幾何的思想，從而產(chǎn)生了連接代數(shù)和幾何的橋梁，將“數(shù)”和“形”緊密聯(lián)系在一起的科學(xué)，解析幾何學(xué)，又名坐標(biāo)幾何學(xué)。二、解析幾何法國數(shù)學(xué)家笛卡爾〔R.Descartes1596-1650〕于1637年發(fā)表長篇著作《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》，該書三個附錄之一《幾何學(xué)》闡述了他的坐標(biāo)幾何的思想，標(biāo)志著解析幾何的誕生。笛卡兒在《幾何學(xué)》里，創(chuàng)立了直角坐標(biāo)系。他用平面上的一點到兩條固定直線的距離來確定點的位置，用坐標(biāo)來描述空間上的點。他進(jìn)而又創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，說明了幾何問題不僅可以歸結(jié)成為代數(shù)形式，而且可以通過代數(shù)變換來實現(xiàn)發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，證明幾何性質(zhì)。解析幾何的出現(xiàn)，改變了自古希臘以來代數(shù)和幾何別離的趨向，把相互對立著的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一了起來，使幾何曲線與代數(shù)方程相結(jié)合。笛卡兒的創(chuàng)見，為微積分的創(chuàng)立奠定了根底，從而開拓了變量數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域。最為可貴的是，笛卡兒用運動的觀點，把曲線看成點的運動的軌跡，不僅建立了點與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，而且把形〔包括點、線、面〕和“數(shù)”兩個對立的對象統(tǒng)一起來，建立了曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系。這種對應(yīng)關(guān)系的建立，不僅標(biāo)志著函數(shù)概念的萌芽，而且標(biāo)明變數(shù)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)在思想方法上發(fā)生了偉大的轉(zhuǎn)折--由常量數(shù)學(xué)進(jìn)入變量數(shù)學(xué)的時期。恩格斯評價：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了數(shù)學(xué)，微分和積分也立刻成為必要的了”〔《自然辯證法》〕。笛卡兒的思想核心是：把幾何學(xué)的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，用代數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行計算、證明，從而到達(dá)最終解決幾何問題的目的。1.笛卡爾的思想核心2.笛卡爾的兩個根本觀念〔1〕坐標(biāo)觀念：其作用是把歐氏平面上的點與一對有序的實數(shù)對應(yīng)起來。2.笛卡爾的兩個根本觀念〔2〕將帶兩個未知數(shù)的方程和平面上的曲線相比照的觀念：例如二元方程，這種通常有無窮多組解的所謂“不定方程”對代數(shù)學(xué)家來說是索然無趣的，但笛卡爾注意到當(dāng)x連續(xù)地改變時，方程相應(yīng)確定的y，于是兩個變量x,y可以看作是平面上運動著的點的坐標(biāo)，于是這樣的點組成一條平面曲線。2.笛卡爾的兩個根本觀念以上兩個觀念概括來講，就是用代數(shù)方法去解決幾何問題，這就是解析幾何的根本思想。具體地，借助坐標(biāo)系，把幾何對象，幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化，從而用代數(shù)的方法研究幾何問題。3.空間解析幾何1731年，法國人克雷洛〔Clairant1713-1765〕出版了《關(guān)于雙重曲率的曲線的研究》一書。這是一個最早的空間解析幾何著作，同時也研究了微分幾何學(xué)。

在空間建立坐標(biāo)系，可以把點與有序三實數(shù)組建立對應(yīng)。從而，可用方程表示曲面，用方程組：

表示空間的曲線。3.空間解析幾何空間解析幾何主要研究二次曲面，如：橢球面、雙曲面、拋物面及二次柱面等三、幾何學(xué)在古代工程測量中的應(yīng)用(一)海船測距〔二〕金字塔測高泰勒斯〔Thales〕的二個問題泰勒斯〔Thales，約公元前600年〕，是希臘哲學(xué)的奠基人之一，并被希臘人和羅馬人尊為“希臘七賢”之一，是他最早將幾何研究引進(jìn)希臘，人們稱之為演繹推理之父。他既是一位數(shù)學(xué)家，又是一名教師，一名哲學(xué)家，一名天文學(xué)家，一個精明的商人，而且是第一個采用一步步證實的方法來證明自己結(jié)論的幾何學(xué)家。(一)海船測距這個問題是泰勒斯〔Thales〕提出的，他還提出勒金字塔的測高問題，對于生活在2600余年〔公元前約600年〕前的泰勒斯，至今人們所知甚少，只知道是希臘哲學(xué)的奠基人之一，并被希臘人和羅馬人尊為“希臘七賢”之一。那時沒有任何平面幾何，當(dāng)然更沒有全等三角形的概念，時間是公元前600年。在那個時代，他能夠想到利用這種方法進(jìn)行測量已經(jīng)使很偉大的了！〔二〕金字塔測高

公元前585年，泰勒斯正確地預(yù)言了當(dāng)時的日蝕。他還利用影子和相似三角形來計算大金字塔地高度，并使埃及人為之震驚！圖中的四棱錐為金字塔，左邊的小三角形表示一個裝置，即在平地上樹起一根3米的桿子，在某一時刻，它在太陽光底下的影子比方說是4.8米。泰勒斯在同一時刻測得金字塔在太陽光底下的影子是235米。因為這數(shù)字是在同一時刻測出的，故由于那兩個粗線三角形相似，從而泰勒斯測得的塔高應(yīng)從下式來計算：金字塔高=235×3/4.8=146.875〔米〕要注意的是，此處比例值〔桿高/桿影長〕是解決問題的關(guān)鍵。其實這個數(shù)在一天里的不同時刻有著不同的值，因為這個數(shù)來自太陽在地平線上升起的角度。泰勒斯特地根