人教版七年級數(shù)學下冊?？键c微專題提分精練 專題21 二元一次方程組的實際應用之幾何圖形問題（原卷版+解析）

專題21二元一次方程組的實際應用之幾何圖形問題【例題講解】（1）一個長方形紙片的長減少3cm，寬增加2cm，就成為一個正方形紙片，并且長方形紙片周長的3倍比正方形紙片周長的2倍多30cm．這個長方形紙片的長、寬各是多少？（2）小明同學想用（1）中得到的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為30cm2的長方形紙片，使它的長寬之比為3∶2．請問小明能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？請說明理由．【答案】（1）長是9cm，寬是4cm；（2）不能，理由見解析【分析】（1）根據(jù)長方形、正方形的概念以及面積公式列出方程組，解方程組即可；（2）根據(jù)長方形的面積公式列出方程，根據(jù)實際情況判斷即可．【詳解】解：（1）設長方形的長為xcm，寬為ycm，則，解得．答：這個長方形的長是9cm、寬是4cm；（2）小明不能用這塊紙片裁出符合要求的紙片．設裁出的長為3acm，寬為2acm，則3a?2a＝30，解得a＝，∴裁出長方形的的長為3cm，寬為2cm，∵3＞6，∴小明不能用這塊紙片裁出符合要求的紙片．【綜合解答】1．如圖，長方形ABCD中放有6個形狀、大小相同的長方形（空白區(qū)域），求圖中陰影部分的面積．2．如圖，三個一樣大小的小長方形沿“橫-豎-橫”排列在一個長為，寬為的大長方形中，求圖中一個小長方形的面積．3．小明在拼圖時，發(fā)現(xiàn)8個一樣大小的長方形如圖1那樣，恰好可以拼成一個大的長方形.小紅看見了，說：“我來試一試.”結(jié)果小紅七拼八湊，拼成如圖2那樣的一個洞，恰好是邊長為2mm的小正方形！求每個長方形的長、寬.4．如圖（1），將邊長為xcm的大正方形剪去一個邊長為ycm的小正方形，剩余部分的面積為21cm2，并將剩余部分沿虛線剪開得到兩個長方形，再將這兩個長方形拼成如圖（2），且寬為3cm的長方形，請你求出大正方形和小正方形的邊長．5．數(shù)學活動課上，小新和小葵各自拿著不同的長方形紙片在做數(shù)學問題探究．（1）小新經(jīng)過測量和計算得到長方形紙片的長寬之比為3：2，面積為30，請求出該長方形紙片的長和寬；（2）小葵在長方形內(nèi)畫出邊長為a，b的兩個正方形（如圖所示），其中小正方形的一條邊在大正方形的一條邊上，她經(jīng)過測量和計算得到長方形紙片的周長為50，陰影部分兩個長方形的周長之和為30，由此她判斷大正方形的面積為100，間小葵的判斷正確嗎？請說明理由．6．如圖，8塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，（1）每塊小長方形地磚的長和寬分別是多少?(要求列方程組進行解答)（2）小明想用一塊面積為7平方米的正方形桌布，沿著邊的方向裁剪出一塊新的長方形桌布，用來蓋住這塊長方形木桌，你幫小明算一算，他能剪出符合要求的桌布嗎？7．某校規(guī)劃在一塊長AD為18m、寬AB為13m的長方形場地ABCD上，設計分別與AD，AB平行的橫向通道和縱向通道，其余部分鋪上草皮，如圖所示，若設計三條通道，一條橫向，兩條縱向，且它們的寬度相等，其余六塊草坪相同，其中一塊草坪兩邊之比AM∶AN＝8∶9，問通道的寬是多少？8．小明和小華分別用四個完全相同的，直角邊為a，b（a＜b）的三角形拼圖，小華拼成的長方形（如圖①）的周長為20．小明拼成的正方形（如圖②）中間有一個邊長為1的正方形小孔．（1）能否求出圖中一個直角三角形的面積？___（填“能”或“否”）；（2）若能，請你寫出一個直角三角形的面積；若不能，請說明理由．9．為了慶祝建黨100周年，某區(qū)在文化廣場的一塊長方形ABCD的空地上，用花卉擺放“100”字樣和四個相同的小正方形（如圖），其中米，米，三個數(shù)之間擺放的距離與四個小正方形的邊長相等．設小正方形的邊長為x米，數(shù)字的寬度均為y米．（1）請用關(guān)于x，y的代數(shù)式表示“0”內(nèi)部小長方形的長和寬．（2）若“0”內(nèi)部小長方形的長和寬分別是米和米．①求x，y的值；②為了整體美觀，將在四個正方形、“100”及“0”的內(nèi)部小長方形分別擺放甲、乙、丙三種花卉，三種花卉的單價都為整數(shù)，其中甲花卉的單價在元米之間含95和，乙、丙兩種花卉的單價之和為300元米已知三種花卉總價為6200元，則丙花卉的單價是________元米．10．小語爸爸開了一家茶葉專賣店，包裝設計專業(yè)畢業(yè)的小語為爸爸設計了一款紙質(zhì)長方體茶葉包包裝盒（紙片厚度不計）．如圖，陰影部分是裁剪掉的部分，沿圖中實線折疊做成的長方體紙盒的上下底面是正方形，有三處長方形形狀的“接口”用來折疊后粘貼或封蓋．（1）若小語用長，寬的長方形紙片，恰好能做成一個符合要求的包裝盒，盒高是盒底邊長的倍，三處“接口”的寬度相等．則該茶葉盒的容積是多少？（2）小語爸爸的茶葉專賣店以每盒元購進一批茶葉，按進價增加作為售價，第一個月由于包裝粗糙，只售出不到一半但超過三分之一的量；第二個月采用了小語的包裝后，馬上售完了余下的茶葉，但每盒成本增加了元，售價仍不變，已知在整個買賣過程中共盈利元，求這批茶葉共進了多少盒？11．如圖，在數(shù)軸上有A，B兩點，其中點A在點B的左側(cè)，已知點B對應的數(shù)為4，點A對應的數(shù)為a．(1)若，則線段的長為______（直接寫出結(jié)果）；(2)若點C在射線上（不與A，B重合），且，求點C對應的數(shù)；（結(jié)果用含a的式子表示）(3)若點M在線段之間，點N在點A的左側(cè)（M、N均不與A、B重合），且，當，時，求a的值．12．有一個長方形，若它的長增加9cm，則變?yōu)閷挼膬杀?；若它的寬增?cm，則只比長少1cm.(1)這個長方形的長和寬各是多少cm？(2)將這個長方形的長減少acm，寬增加bcm，使它變成一個正方形，若a，b均為正整數(shù)，所得正方形的周長不大于原長方形的周長，求這個正方形的最大面積.13．如圖，在四邊形中，．(1)如圖①，點P在線段上，連接，若，且，求度數(shù)；(2)如圖②，，點P，Q分別在線段上，連接，，且滿足，求的長；(3)點P，Q分別在線段，的延長線上，點M在線段上，，，且，，請補全圖形并求出k的值．14．如圖1，已知數(shù)軸上的點A、B對應的數(shù)分別是﹣5和1．（1）若P到點A、B的距離相等，求點P對應的數(shù)；（2）動點P從點A出發(fā)，以2個單位/秒的速度向右運動，設運動時間為t秒，問：是否存在某個時刻t，恰好使得P到點A的距離是點P到點B的距離的2倍？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；（3）如圖2在數(shù)軸上的點M和點N處各豎立一個擋板（點M在原點左側(cè)，點N在原點右側(cè)且OM＞ON），數(shù)軸上甲、乙兩個彈珠同時從原點出發(fā)，甲彈珠以2個單位/秒的速度沿數(shù)軸向右運動，乙彈珠以5個單位/秒的速度沿數(shù)軸向左運動．當彈珠遇到擋板后立即以原速度向反方向運動，若甲、乙兩個彈珠相遇的位置恰好到點M和點N的距離相等，試探究點M對應的數(shù)m與點N對應的數(shù)n是否滿足某種數(shù)量關(guān)系，請寫出它們的關(guān)系式，并說明理由．專題21二元一次方程組的實際應用之幾何圖形問題【例題講解】（1）一個長方形紙片的長減少3cm，寬增加2cm，就成為一個正方形紙片，并且長方形紙片周長的3倍比正方形紙片周長的2倍多30cm．這個長方形紙片的長、寬各是多少？（2）小明同學想用（1）中得到的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為30cm2的長方形紙片，使它的長寬之比為3∶2．請問小明能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？請說明理由．【答案】（1）長是9cm，寬是4cm；（2）不能，理由見解析【分析】（1）根據(jù)長方形、正方形的概念以及面積公式列出方程組，解方程組即可；（2）根據(jù)長方形的面積公式列出方程，根據(jù)實際情況判斷即可．【詳解】解：（1）設長方形的長為xcm，寬為ycm，則，解得．答：這個長方形的長是9cm、寬是4cm；（2）小明不能用這塊紙片裁出符合要求的紙片．設裁出的長為3acm，寬為2acm，則3a?2a＝30，解得a＝，∴裁出長方形的的長為3cm，寬為2cm，∵3＞6，∴小明不能用這塊紙片裁出符合要求的紙片．【綜合解答】1．如圖，長方形ABCD中放有6個形狀、大小相同的長方形（空白區(qū)域），求圖中陰影部分的面積．【答案】72cm2【分析】設小長方形的長、寬分別為xcm，ycm，根據(jù)所給出的圖形列出方程組，求出x，y的值，再根據(jù)長方形的面積公式即可得出答案．【詳解】解：設小長方形的長、寬分別為xcm，ycm，依題意得：，解得：，則小長方形的長、寬分別為10cm，2cm，圖中陰影部分的面積是：S陰影部分=S四邊形ABCD-6×S小長方形=16×（8+2+2）-6×2×10=72(cm2)．【點睛】此題考查了二元一次方程組的應用，此題是一個信息題目，要求學生會根據(jù)圖示找出數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)量關(guān)系列出方程組．2．如圖，三個一樣大小的小長方形沿“橫-豎-橫”排列在一個長為，寬為的大長方形中，求圖中一個小長方形的面積．【答案】8【分析】設小長方形的長為x，寬為y，根據(jù)大長方形的長和寬，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值，再利用長方形的面積計算公式即可求出結(jié)論．【詳解】解：設小長方形的長為x，寬為y，依題意得：，解得：，∴xy=4×2=8．答：圖中一個小長方形的面積為8．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及生活中的平移現(xiàn)象，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．3．小明在拼圖時，發(fā)現(xiàn)8個一樣大小的長方形如圖1那樣，恰好可以拼成一個大的長方形.小紅看見了，說：“我來試一試.”結(jié)果小紅七拼八湊，拼成如圖2那樣的一個洞，恰好是邊長為2mm的小正方形！求每個長方形的長、寬.【答案】長是10mm，寬是6mm【分析】設每個小長方形的長為xmm，寬為ymm，根據(jù)圖形給出的信息可知，長方形的5個寬與其3個長相等，兩個加2長的和等于一個長與兩個寬的和，于是得方程組，解出即可．【詳解】設長方形的長為x，寬為y，則解得：所以每個小長方形的長是10mm，寬是6mm．【點睛】考查了列二元一次方程組解實際問題的運用，二元一次方程組的解法的運用，解答時根據(jù)矩形和正方形的長與寬的關(guān)系建立方程組是關(guān)鍵．4．如圖（1），將邊長為xcm的大正方形剪去一個邊長為ycm的小正方形，剩余部分的面積為21cm2，并將剩余部分沿虛線剪開得到兩個長方形，再將這兩個長方形拼成如圖（2），且寬為3cm的長方形，請你求出大正方形和小正方形的邊長．【答案】大正方形的邊長為5cm，小正方形的邊長為2cm【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖形列出二元一次方程組即可求解．【詳解】解：依題意得：，解得：，答：大正方形的邊長為5cm，小正方形的邊長為2cm．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，根據(jù)題意列出二元一次方程組是解答本題的關(guān)鍵．5．數(shù)學活動課上，小新和小葵各自拿著不同的長方形紙片在做數(shù)學問題探究．（1）小新經(jīng)過測量和計算得到長方形紙片的長寬之比為3：2，面積為30，請求出該長方形紙片的長和寬；（2）小葵在長方形內(nèi)畫出邊長為a，b的兩個正方形（如圖所示），其中小正方形的一條邊在大正方形的一條邊上，她經(jīng)過測量和計算得到長方形紙片的周長為50，陰影部分兩個長方形的周長之和為30，由此她判斷大正方形的面積為100，間小葵的判斷正確嗎？請說明理由．【答案】（1）長為，寬為；（2）正確，理由見解析【分析】（1）設長為3x，寬為2x，根據(jù)長方形的面積為30列方程，解方程即可；（2）根據(jù)長方形紙片的周長為50，陰影部分兩個長方形的周長之和為30列方程組，解方程組求出a即可得到大正方形的面積．【詳解】解：（1）設長為3x，寬為2x，則：3x?2x=30，∴x=（負值舍去），∴3x=，2x=，答：這個長方形紙片的長為，寬為；（2）正確．理由如下：根據(jù)題意得：，解得：，∴大正方形的面積為102=100．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根，二元一次方程組，解二元一次方程組的基本思路是消元，把二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程是解題的關(guān)鍵．6．如圖，8塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，（1）每塊小長方形地磚的長和寬分別是多少?(要求列方程組進行解答)（2）小明想用一塊面積為7平方米的正方形桌布，沿著邊的方向裁剪出一塊新的長方形桌布，用來蓋住這塊長方形木桌，你幫小明算一算，他能剪出符合要求的桌布嗎？【答案】(1)長是1.5m，寬是0.5m；（2）不能【分析】（1）設每塊小長方形地磚的長為xm,寬為ym,列方程組求解即可；（2）把正方形的邊長與大長方形的長比較即可．【詳解】解:（1）設每塊小長方形地磚的長為xm,寬為ym，由題意得：解得:∴長是1.5m，寬是0.5m．（2）∵正方形的面積為7平方米，∴正方形的邊長是米，∵<3∴他不能剪出符合要求的桌布【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，算術(shù)平方根的應用，找出等量關(guān)系列出方程組是解（1）的關(guān)鍵，求出正方形的邊長是解（2）的關(guān)鍵．7．某校規(guī)劃在一塊長AD為18m、寬AB為13m的長方形場地ABCD上，設計分別與AD，AB平行的橫向通道和縱向通道，其余部分鋪上草皮，如圖所示，若設計三條通道，一條橫向，兩條縱向，且它們的寬度相等，其余六塊草坪相同，其中一塊草坪兩邊之比AM∶AN＝8∶9，問通道的寬是多少？【答案】1【分析】利用AM:AN=8:9，設通道的寬為xm，AM=8ym，則AN=9ym，進而利用AD為18m，AB為13m，得出等式求出即可.【詳解】設通道的寬是xm，AM＝8ym.因為AM∶AN＝8∶9，所以AN＝9ym.所以解得答：通道的寬是1m.故答案為1.【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用.8．小明和小華分別用四個完全相同的，直角邊為a，b（a＜b）的三角形拼圖，小華拼成的長方形（如圖①）的周長為20．小明拼成的正方形（如圖②）中間有一個邊長為1的正方形小孔．（1）能否求出圖中一個直角三角形的面積？___（填“能”或“否”）；（2）若能，請你寫出一個直角三角形的面積；若不能，請說明理由．【答案】（1）能；（2）S＝6．【分析】可結(jié)合圖②得到a，b邊的數(shù)量關(guān)系，再通過圖①中的長方形的邊長即周長聯(lián)立關(guān)系式即可求出a，b的值，即可求出一個直角三角形的面積.【詳解】（1）能；故答案為：能；（2）由題意得：在圖①中可根據(jù)周長得到關(guān)于a，b的等式；在圖②中可得到a，b邊的數(shù)量關(guān)系，聯(lián)立可得：，解得：，∴．【點睛】本題主要考查二元一次方程組的實際應用，解題的關(guān)鍵是在圖形結(jié)合題目找到關(guān)系式，最后求解得出數(shù)據(jù)即可.9．為了慶祝建黨100周年，某區(qū)在文化廣場的一塊長方形ABCD的空地上，用花卉擺放“100”字樣和四個相同的小正方形（如圖），其中米，米，三個數(shù)之間擺放的距離與四個小正方形的邊長相等．設小正方形的邊長為x米，數(shù)字的寬度均為y米．（1）請用關(guān)于x，y的代數(shù)式表示“0”內(nèi)部小長方形的長和寬．（2）若“0”內(nèi)部小長方形的長和寬分別是米和米．①求x，y的值；②為了整體美觀，將在四個正方形、“100”及“0”的內(nèi)部小長方形分別擺放甲、乙、丙三種花卉，三種花卉的單價都為整數(shù)，其中甲花卉的單價在元米之間含95和，乙、丙兩種花卉的單價之和為300元米已知三種花卉總價為6200元，則丙花卉的單價是________元米．【答案】（1）米和米；（2）①，；②120【分析】（1）利用“0”內(nèi)部小長方形的長=AB的長-2×小正方形的邊長-2×數(shù)字的寬度，即可用含x，y的代數(shù)式表示出“0”內(nèi)部小長方形的長；利用“0”內(nèi)部小長方形的寬=（AD的長-4×小正方形的邊長-5×數(shù)字的寬度）÷2，即可用含x，y的代數(shù)式表示出“0”內(nèi)部小長方形的寬；（2）①由（1）的結(jié)論結(jié)合“0”內(nèi)部小長方形的長和寬分別是3.6米和1.4米，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；②設甲花卉的單價是a元/米2，丙花卉的單價是b元/米2，則乙花卉的單價是（300-b）元/米2，利用總價=單價×數(shù)量，結(jié)合三種花卉總價為6200元，即可得出關(guān)于a，b的二元一次方程，化簡后可得a=b-346，結(jié)合a，b均為整數(shù)可得出b為5的倍數(shù)，由甲花卉的單價在95～125元/米2之間（含95和125），可得出關(guān)于b的一元一次不等式組，解之即可得出b的取值范圍，再結(jié)合b為5的倍數(shù)即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）“0”內(nèi)部小長方形的長為（7.2-2x-2y）米，寬為=（5.4-2x-2.5y）米．（2）①依題意得：，解得：．答：x的值為1，y的值為0.8．②設甲花卉的單價是a元/米2，丙花卉的單價是b元/米2，則乙花卉的單價是（300-b）元/米2，依題意得：4a+[5×（7.2-2）+4×1.4]×0.8（300-b）+2×3.6×1.4b=6200，化簡得：a=b-346．∵a，b均為整數(shù)，∴b為5的倍數(shù)．又∵甲花卉的單價在95～125元/米2之間（含95和125），∴，解得：116≤b≤123，∴b=120．故答案為：120．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用、二元一次方程的應用、列代數(shù)式以及一元一次不等式組的應用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各邊之間的關(guān)系，用含x，y的代數(shù)式表示出“0”內(nèi)部小長方形的長和寬；（2）①找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；②找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．10．小語爸爸開了一家茶葉專賣店，包裝設計專業(yè)畢業(yè)的小語為爸爸設計了一款紙質(zhì)長方體茶葉包包裝盒（紙片厚度不計）．如圖，陰影部分是裁剪掉的部分，沿圖中實線折疊做成的長方體紙盒的上下底面是正方形，有三處長方形形狀的“接口”用來折疊后粘貼或封蓋．（1）若小語用長，寬的長方形紙片，恰好能做成一個符合要求的包裝盒，盒高是盒底邊長的倍，三處“接口”的寬度相等．則該茶葉盒的容積是多少？（2）小語爸爸的茶葉專賣店以每盒元購進一批茶葉，按進價增加作為售價，第一個月由于包裝粗糙，只售出不到一半但超過三分之一的量；第二個月采用了小語的包裝后，馬上售完了余下的茶葉，但每盒成本增加了元，售價仍不變，已知在整個買賣過程中共盈利元，求這批茶葉共進了多少盒？【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)題意設盒底邊長，接口的寬度，分別為，,根據(jù)題意列方程組，再根據(jù)長寬高求得體積；（2）分別設第一個月和第二個月的銷售量為盒，根據(jù)題意列出方程和不等式組，根據(jù)不等式確定二元一次方程的解，兩個月的銷售總量為盒【詳解】（1）設設盒底邊長為，接口的寬度為，則盒高是，根據(jù)題意得：解得：茶葉盒的容積是：答：該茶葉盒的容積是（2）設第一個月銷售了盒，第二個月銷售了盒，根據(jù)題意得：化簡得：①第一個月只售出不到一半但超過三分之一的量即由①得：解得：是整數(shù)，所以為5的倍數(shù)或者或者答：這批茶葉共進了或者盒．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式組的求解，理解題意列出方程組和不等式組是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在數(shù)軸上有A，B兩點，其中點A在點B的左側(cè)，已知點B對應的數(shù)為4，點A對應的數(shù)為a．(1)若，則線段的長為______（直接寫出結(jié)果）；(2)若點C在射線上（不與A，B重合），且，求點C對應的數(shù)；（結(jié)果用含a的式子表示）(3)若點M在線段之間，點N在點A的左側(cè)（M、N均不與A、B重合），且，當，時，求a的值．【答案】(1)9；(2)或（6-2a）；(3)【分析】（1）利用有理數(shù)混合運算的法則計算出a的值，結(jié)合數(shù)軸即可求得結(jié)論；（2）分兩種情況討論解答：①點C在A，B之間；②點C在B點的右側(cè)；設點C對應的數(shù)字為x，依據(jù)已知條件列出等式后化簡即可得出結(jié)論；（3）設點M對應的數(shù)字為m，點N對應的數(shù)字為n，利用依據(jù)已知條件列出等式后化簡即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵=-5，∴AB=4-（-5）=4+5=9，故答案為：9．（2）解：設點C對應的數(shù)字為x，①點C在A，B之間時，∵2AC-3BC=6，∴2（x-a）-3（4-x）=6．化簡得：5x=18+2a．∴x=．②點C在B點的右側(cè)時，∵2AC-3BC=6，∴2（x-a）-3（x-4）=6．化簡得：-x=-6+2a．∴x=6-2a．綜上，點C對應的數(shù)為或6-2a．（3）解：設點M對應的數(shù)字為m，點N對應的數(shù)字為n，由題意得：AM=m-a，AN=a-n，BM=4-m，BN=4-n，∵AM-BM=2，∴（m-a）-（4-m）=2．∴2m-a=6①．∵當=3時，BN=6BM，∴=3，4-n=6（4-m）．∴m+3n=4a②，6m-n=20③，③×3+②得：19m=60+4a④，將④代入①得：2×-a=6．∴a=．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，二元一次方程組的應用，數(shù)軸，數(shù)軸上的點對應的數(shù)字的特征，利用數(shù)軸上的點對應的數(shù)字表示出對應線段的長度是解題的關(guān)鍵．12．有一個長方形，若它的長增加9cm，則變?yōu)閷挼膬杀?；若它的寬增?cm，則只比長少1cm.(1)這個長方形的長和寬各是多少cm？(2)將這個長方形的長減少acm，寬增加bcm，使它變成一個正方形，若a，b均為正整數(shù)，所得正方形的周長不大于原長方形的周長，求這個正方形的最大面積.【答案】(1)長為21cm，寬為15cm;(2)324cm2.【詳解】分析：（1）設該長方形的長為，寬為，根據(jù)若它的長增加9cm，則變?yōu)閷挼膬杀逗腿羲膶捲黾?cm，則只比長少1cm各列一個方程，組成方程組求解即可；（2）由題意得，，即,然后根據(jù)a，b均為正整數(shù)和所得正方形的周長不大于原長方形的周長列不等式組求解即可.詳解：（1）設該長方形的長為，寬為，依題意得:，解得:，答:該長方形的長為21cm，寬為15cm.（2）依題意：，∴,又

，

∴,∵a為整數(shù)，所以3，4，5,對應正方形面積分別為324cm2，289cm2，256cm2，∴這個正方形的最大面積為324cm2.點睛：本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式組的幾何應用，仔細審題，從中找出列方程組和不等式組所需的等量關(guān)系和不等量關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵.13．如圖，在四邊形中，．(1)如圖①，點P在線段上，連接，若，且，求度數(shù)；(2)如圖②，，點P，Q分別在線段上，連接，，且滿足，求的長；(3)點P，Q分別在線段，的延長線上，點M在線段上，，，且，，請補全圖形并求出k的值．【答案】(1)27°(2)2(3)圖見解析，【分析】（1）根據(jù)，設，則，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，可得，解方程即可求解；（2）設，則，則，根據(jù)建立方程，解方程即可求解；（3）過點M作，過點Q作，設，，則，，，，可得，解二元一次方程組即可求解．（1）∵，∴設，則，∵∴∴∴

∴∴∴（2）如圖②，設，則，則∴5分

,∵∴

解得（3）如圖過點M作，過點Q作由（1）知∴，∴，，

設