浙江省杭州地區(qū)(含周邊)重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析)

2022學(xué)年第一學(xué)期期中杭州地區(qū)(含周邊)重點(diǎn)中學(xué)高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題命題：桐廬中學(xué)王燕萍、方婷華審校：嚴(yán)州中學(xué)劉景紅審核：臨安中學(xué)邵肖華考生須知：1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.答題前，在答題卷密封區(qū)內(nèi)填寫班級(jí)、考試號(hào)和姓名；3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，，則()A. B. C. D.2.命題“，”的否定是()A.， B.，C.， D.，3.下列函數(shù)與是同一個(gè)函數(shù)的是()A B.C. D.4.若a，，則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征．我們從這個(gè)商標(biāo)中抽象出一個(gè)圖象如圖，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是()A. B.C D.6.已知函數(shù)對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有不等式成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.7.設(shè)函數(shù)，若，則的值為()A. B. C. D.8.已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，對(duì)，關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A.或 B.或C. D.或二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.若冪函數(shù)的圖象過，下列說法正確的有()A.且 B.是偶函數(shù)C.在定義域上是減函數(shù) D.的值域?yàn)?0.已知，，，則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.11.設(shè)，且，則下列結(jié)論正確的是()A.的最小值為 B.的最大值為1C.的最小值為 D.的最大值為612.一般地，若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則稱為的“k倍美好區(qū)間”.特別地，若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域也為，則稱為的“完美區(qū)間”.下列結(jié)論正確的是()A.若為的“完美區(qū)間”，則B.函數(shù)存在“完美區(qū)間”C.二次函數(shù)存在“2倍美好區(qū)間”D.函數(shù)存在“完美區(qū)間”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.計(jì)算：__________.14.秋冬季是流感的高發(fā)季節(jié)，為了預(yù)防流感，某學(xué)校決定用藥熏消毒法對(duì)所有教室進(jìn)行消毒.如圖所示，已知藥物釋放過程中，室內(nèi)空氣中的含藥量()與時(shí)間()()成正比；藥物釋放完畢后，與t的函數(shù)關(guān)系式為(為常數(shù)，)，據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到()以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，則學(xué)校應(yīng)安排工作人員至少提前__________小時(shí)進(jìn)行消毒工作.15.已知定義在R上的函數(shù)滿足，若與的交點(diǎn)為，，則___________.16.若不等式對(duì)任意的恒成立，則的最大值為__________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知.(1)當(dāng)時(shí)，求不等式解集；(2)若命題，使得為假命題.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18.已知全集U為全體實(shí)數(shù)，集合，(1)在①，②，③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)合適的條件，使得，并求和；(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19.已知定義在R奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，(1)求的值；(2)求在R上的解析式；(3)若方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.20.截至2022年10月，杭州地鐵運(yùn)營(yíng)線路共12條.杭州地鐵經(jīng)歷了從無到有，從單線到多線，從點(diǎn)到面，從面到網(wǎng)，形成網(wǎng)格化運(yùn)營(yíng)，分擔(dān)了公交客流，緩解了城市交通壓力，激發(fā)出城市新活力.已知某條線路通車后，列車的發(fā)車時(shí)間間隔(單位：分鐘)滿足，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算，列車的載客量與發(fā)車時(shí)間間隔t相關(guān)，當(dāng)時(shí)，列車為滿載狀態(tài)，載客量為600人，當(dāng)時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為3分鐘時(shí)的載客量為502人，記列車載客量為(1)求的表達(dá)式，并求當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)的載客量；(2)若該線路每分鐘凈收益為(單位：元)，則當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，并求出最大值.21.已知函數(shù).(1)若為偶函數(shù)，求k的值并證明函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)在(1)的條件下，若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求實(shí)數(shù)m的值；(3)若為奇函數(shù)，不等式在上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.22.已知.(1)若在區(qū)間上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若在區(qū)間上最大值為M，最小值為N，且的最小值為1，求實(shí)數(shù)a的值；(3)若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2022學(xué)年第一學(xué)期期中杭州地區(qū)(含周邊)重點(diǎn)中學(xué)高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題命題：桐廬中學(xué)王燕萍、方婷華審校：嚴(yán)州中學(xué)劉景紅審核：臨安中學(xué)邵肖華考生須知：1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.答題前，在答題卷密封區(qū)內(nèi)填寫班級(jí)、考試號(hào)和姓名；3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用補(bǔ)集和交集的定義可求得集合.【詳解】由已知可得，因?yàn)?故選：C.2.命題“，”的否定是()A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因?yàn)槊}“，”是存在量詞命題，所以其否定是全稱量詞命題，即，，故選：A.3.下列函數(shù)與是同一個(gè)函數(shù)的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】判斷函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系是否完全相同即可得答案【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一函數(shù)；對(duì)于B，，兩個(gè)函數(shù)定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一函數(shù)；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域不同，與不是同一函數(shù)；對(duì)于D，，對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同，不是同一函數(shù).故選：B4.若a，，則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】對(duì)于充分性，利用基本不等式，可得證；對(duì)于必要性，可舉反例，可得答案.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即；當(dāng)時(shí)，，但，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征．我們從這個(gè)商標(biāo)中抽象出一個(gè)圖象如圖，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由圖象知函數(shù)的定義域排除選項(xiàng)選項(xiàng)A、D，再根據(jù)不成立排除選項(xiàng)C，即可得正確選項(xiàng).【詳解】由圖知的定義域?yàn)椋懦x項(xiàng)A、D，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，不符合圖象，所以排除選項(xiàng)C，故選：B.6.已知函數(shù)對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有不等式成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意知f(x)在上是增函數(shù)，令，則函數(shù)t為二次函數(shù)，且在時(shí)為增函數(shù)，且在時(shí)恒成立，據(jù)此列出不等式組即可求解．【詳解】由題意可知在上為單調(diào)增函數(shù)，令，則函數(shù)t為二次函數(shù)，且在時(shí)為增函數(shù)，且在時(shí)恒成立，∴，解得故選：C．7.設(shè)函數(shù)，若，則的值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由得出的關(guān)系式，計(jì)算后代入上面得出的關(guān)系式即可．【詳解】由題意，則，所以故選：B.8.已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，對(duì)，關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A.或 B.或C. D.或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)和奇偶性，將不等式轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，在成立，上有解，結(jié)合主元變更求實(shí)數(shù)的取值范圍，同樣當(dāng)時(shí)，在成立，上有解，結(jié)合主元變更求實(shí)數(shù)的取值范圍即可.【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，可以轉(zhuǎn)換為，因?yàn)槠婧瘮?shù)在上單調(diào)遞增，，則，∴在成立，則，由于，∴在遞減，則，又在上有解，則，∴；②當(dāng)時(shí)，由單調(diào)性和奇偶性可轉(zhuǎn)換為：，∴，在成立，則，當(dāng)時(shí)，在，遞增，則，又在有解，則，∴，當(dāng)時(shí)，在，遞減，則，又在有解，則，∴，綜合得.綜上，或.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.若冪函數(shù)的圖象過，下列說法正確的有()A.且 B.是偶函數(shù)C.在定義域上是減函數(shù) D.的值域?yàn)椤敬鸢浮緼B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義可得，由經(jīng)過可得，進(jìn)而得，結(jié)合選項(xiàng)即可根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)逐一求解.【詳解】對(duì)于A;由冪函數(shù)定義知，將代入解析式得，A項(xiàng)正確；對(duì)于B;函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)定義域內(nèi)的任意x滿足，故是偶函數(shù)，B項(xiàng)正確；對(duì)于C;在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤；對(duì)于D;的值域不可能取到0，D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB10.已知，，，則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】將c改寫成，利用和的單調(diào)性，分別與a，b比較大小.【詳解】因?yàn)椋?，又，是減函數(shù)，所以，即，故A正確；因?yàn)?，又，是增函?shù)，所以，即，故B不正確；由于，所以，故C正確；由前面的分析知，所以，而，所以，故D正確.故選：ACD.11.設(shè)，且，則下列結(jié)論正確的是()A.的最小值為 B.的最大值為1C.最小值為 D.的最大值為6【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)，且，結(jié)合基本不等式逐項(xiàng)求解最值即可判斷正誤.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)：，當(dāng)成立，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)：，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)成立，故無最大值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，又能取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，當(dāng)成立，故最小值為6，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12.一般地，若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒t稱為的“k倍美好區(qū)間”.特別地，若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域也為，則稱為的“完美區(qū)間”.下列結(jié)論正確的是()A.若為的“完美區(qū)間”，則B.函數(shù)存在“完美區(qū)間”C.二次函數(shù)存在“2倍美好區(qū)間”D.函數(shù)存在“完美區(qū)間”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】分析每個(gè)函數(shù)的定義域及其在相應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性，按“k倍美好區(qū)間”，“完美區(qū)間”的定義，列出相應(yīng)方程，再根據(jù)方程解的情況，判斷正誤.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為，故函數(shù)在上單增，所以其值域?yàn)?，又因?yàn)闉榈耐昝绤^(qū)間，所以，解得或，因?yàn)?，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)在和都單調(diào)遞減，假設(shè)函數(shù)存在完美區(qū)間，則，即a，b互倒數(shù)且，故函數(shù)存在完美區(qū)間，B正確；對(duì)于C，若存在“2倍美好區(qū)間”，則設(shè)定義域?yàn)椋涤驗(yàn)楫?dāng)時(shí)，易得在區(qū)間上單調(diào)遞減，，兩式相減，得，代入方程組解得，，C正確.對(duì)于D，的定義域?yàn)?，假設(shè)函數(shù)存在“完美區(qū)間”，若，由函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，則，解得；若，由函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即在有兩解a，b，得，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為，D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】抓住“k倍美好區(qū)間”，“完美區(qū)間”的定義，在已知單調(diào)性的前提下，即可通過分析函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處a，b的取值，列出方程組.非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.計(jì)算：__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則，直接求解即可.【詳解】故答案為：.14.秋冬季是流感的高發(fā)季節(jié)，為了預(yù)防流感，某學(xué)校決定用藥熏消毒法對(duì)所有教室進(jìn)行消毒.如圖所示，已知藥物釋放過程中，室內(nèi)空氣中的含藥量()與時(shí)間()()成正比；藥物釋放完畢后，與t的函數(shù)關(guān)系式為(為常數(shù)，)，據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到()以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，則學(xué)校應(yīng)安排工作人員至少提前__________小時(shí)進(jìn)行消毒工作.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)題意求出參數(shù)a，當(dāng)時(shí),令，解不等式即可.【詳解】由圖中一次函數(shù)圖象可得，圖象中線段所在直線的方程為，又點(diǎn)在曲線上，所以，解得，因此含藥量與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，令，即，即，解得故答案：1.15.已知定義在R上的函數(shù)滿足，若與的交點(diǎn)為，，則___________.【答案】10【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱性可得圖象的對(duì)稱軸為直線，同樣可得，則函數(shù)的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱，故與的交點(diǎn)也滿足對(duì)稱性，即可得的值.【詳解】解：由，得圖象的對(duì)稱軸為直線，又，即，所以函數(shù)的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱，如圖函數(shù)和函數(shù)的圖象的5個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)關(guān)于直線對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性可得

故答案為：1016.若不等式對(duì)任意的恒成立，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)不等式對(duì)和分類討論，分別滿足不等式對(duì)任意的恒成立，列式求解即可.【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，由得到在上恒成立，顯然a不存在；②當(dāng)時(shí)，由，可設(shè)，由的大致圖象，可得的大致圖象，如圖所示，由題意可知?jiǎng)t，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最大值為綜上，的最大值為故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知.(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若命題，使得為假命題.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)或(2)【解析】【分析】(1)按不含參的一元二次不等式求解；(2)轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立問題求解，要注意討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，原不等式為，令得，，又因?yàn)殚_口向上，所以不等式解集為或【小問2詳解】命題，使得為假命題，，恒成立為真命題即：對(duì)恒成立①當(dāng)即時(shí)，恒成立，符合題意；②當(dāng)即時(shí)，應(yīng)滿足，，綜上所述：.18.已知全集U為全體實(shí)數(shù)，集合，(1)在①，②，③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)合適的條件，使得，并求和；(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)選條件③，或，(2)【解析】【分析】(1)求出集合，再得出三個(gè)條件下集合，由，確定選條件③，然后由集合的運(yùn)算法則計(jì)算；(2)根據(jù)必要不充分條件的定義求解．【小問1詳解】由題知：集合，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，，需選條件③，此時(shí)，或，，【小問2詳解】∵“”是“”的必要不充分條件是B的真子集，∴且等號(hào)不同時(shí)取得，解得．19.已知定義在R的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，(1)求的值；(2)求在R上的解析式；(3)若方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可代入求解，(2)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解的解析式，進(jìn)而可求上的解析式，(3)根據(jù)函數(shù)圖象即可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而列不等式求解即可.【小問1詳解】由于是奇函數(shù)，所以小問2詳解】當(dāng),則，，由于是奇函數(shù)，所以，故當(dāng)時(shí)，，因此【小問3詳解】畫出的圖象如圖1，進(jìn)而可得的圖象如圖2，由圖知：，解得或，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是20.截至2022年10月，杭州地鐵運(yùn)營(yíng)線路共12條.杭州地鐵經(jīng)歷了從無到有，從單線到多線，從點(diǎn)到面，從面到網(wǎng)，形成網(wǎng)格化運(yùn)營(yíng)，分擔(dān)了公交客流，緩解了城市交通壓力，激發(fā)出城市新活力.已知某條線路通車后，列車的發(fā)車時(shí)間間隔(單位：分鐘)滿足，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算，列車的載客量與發(fā)車時(shí)間間隔t相關(guān)，當(dāng)時(shí)，列車為滿載狀態(tài)，載客量為600人，當(dāng)時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為3分鐘時(shí)的載客量為502人，記列車載客量為(1)求的表達(dá)式，并求當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)的載客量；(2)若該線路每分鐘凈收益為(單位：元)，則當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，并求出最大值.【答案】(1)，發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)的載客量為550人(2)當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，最大值為116元【解析】【分析】(1)由已知函數(shù)模型求出解析式，然后計(jì)算時(shí)的發(fā)車量；(2)由(1)的函數(shù)式求出該線路每分鐘凈收益，然后分段求最大值，一段利用基本不等式，一段利用函數(shù)的單調(diào)性求解后比較可得．【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，設(shè)而，，∴，，即發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)的載客量為550人.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取到最大為當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為