高等數(shù)學(xué)（財(cái)經(jīng)類(lèi)） 課件 2.5 函數(shù)的微分

§2.5

函數(shù)的微分

CONTENT1

微分的概念2

微分的幾何意義目錄3

微分的基本公式與運(yùn)算法則4

微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用*微分的概念Chapter1

引例引例

正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.金屬薄片原面積：受熱變形后面積：面積的改變量為：

引例引例

正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.面積的改變量為：(1)(2)(1)Δx

的線(xiàn)性函數(shù),且為ΔA的主要部分；(2)Δx

的高階無(wú)窮小,當(dāng)

很小時(shí)可忽略.

引例又如,設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

處的改變量為,

求函數(shù)的改變量.函數(shù)的改變量為：(1)(2)當(dāng)

很小時(shí),(2)是

的高階無(wú)窮小,第一部分：微分的概念定義5設(shè)函數(shù)

在某區(qū)間內(nèi)有定義,及

在這區(qū)間內(nèi),如果函數(shù)的增量

可表示為則稱(chēng)函數(shù)

在點(diǎn)

處可微,并且稱(chēng)

為函數(shù)

在點(diǎn)

處相應(yīng)于自變量的改變量

的微分,記作

或,即微分

叫做函數(shù)增量

的線(xiàn)性主部.第一部分：微分的概念說(shuō)明：

(1)是自變量的改變量

的線(xiàn)性函數(shù);(2)是比

高階的無(wú)窮小;(3)當(dāng)

時(shí),與

是等價(jià)無(wú)窮小，(4)當(dāng)

很小時(shí),(線(xiàn)性主部).定理6

函數(shù)

在點(diǎn)

處可微的充要條件是函數(shù)在點(diǎn)

處可導(dǎo),且由關(guān)系式：函數(shù)

的微分可記為：因,約定即,自變量的微分等于自變量的改變量.從而即,函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù).因此,導(dǎo)數(shù)也稱(chēng)為“微商”.第一部分：微分的概念

練習(xí)例38

設(shè)函數(shù),求函數(shù)的微分及函數(shù)在x=1處當(dāng)

時(shí)的微分.

解

當(dāng)x=1且

時(shí),微分的幾何意義Chapter2第一部分：微分的幾何意義幾何意義:當(dāng)

是曲線(xiàn)的縱坐標(biāo)增量時(shí),dy就是切線(xiàn)縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的增量.當(dāng)

很小時(shí),在點(diǎn)M的附近,切線(xiàn)段MP可近似代替曲線(xiàn)段MN.播放返回微分的基本公式與運(yùn)算法則*Chapter3基本初等函數(shù)的微分公式第二部分：微分的四則運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則微分的四則運(yùn)算法則第三部分：微分形式不變性*設(shè)

y=f(u)是可微函數(shù),若u是自變量,得若

y=f(u),u=g(x),且兩者均可導(dǎo),則由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得由上述分析可知,若函數(shù)

y=f(u)可微,則不論u是自變量還是中間變量,其微分形式保持不變,稱(chēng)這一性質(zhì)為微分形式不變性.

練習(xí)例39

設(shè)

y=f(x)由方程

確定,求微分dy.

解

方程兩邊同時(shí)微分,得

由微分形式不變性,有

解出dy得

微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用*Chapter4第一部分：微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)

y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù),且

很小時(shí),有上式也可以寫(xiě)為令,即,那么可改寫(xiě)為第一部分：微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用從導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,這也就是用曲線(xiàn)

y=f(x)在點(diǎn)

處的切線(xiàn)近似代替該曲線(xiàn)(就切點(diǎn)鄰近部分來(lái)說(shuō)).

練習(xí)例40

一個(gè)外直徑為10cm的球,球殼厚度為

cm,試求球殼體積的近似值.

解

半徑為r的球的體積為

球殼體積為,用dV作為其近似值,有

其中,故所求球殼體積

的近似

值

為

練習(xí)例41求

的近似值.

解

將該問(wèn)題看成求函數(shù)

在點(diǎn)x=1.02處

的函數(shù)值的近似值問(wèn)題