線性代數(shù)（財經(jīng)類） 課件 1.2 n階行列式

§1.2n階行列式目錄排列及其逆序數(shù)對換n階行列式的定義Part1排列及其逆序數(shù)一、排列引例用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？解123123百位3種放法十位1231個位1232種放法1種放法種放法.共有一、排列問題把n個不同的元素排成一列,共有幾種不同的排法？排列：由n個不同數(shù)碼1

2

n組成的有序數(shù)組i1i2

in

稱為一個n級排列(或全排列).

個不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常用表示.由引例知同理二、排列的逆序數(shù)定義排列的逆序數(shù)：我們規(guī)定各元素之間有一個標準次序,

n個不同的自然數(shù),規(guī)定由小到大為標準次序.在一個n級排列中,如果,則稱這兩個數(shù)組成一個逆序.一個n級排列中逆序的總數(shù),稱為它的逆序數(shù),記為二、排列的逆序數(shù)例如排列32514

中，

32514逆序逆序逆序3251431逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.排列的奇偶性：逆序數(shù)為001奇排列故此排列的逆序數(shù)為二、排列的逆序數(shù)計算排列逆序數(shù)的方法：方法1：逐個計算每個數(shù)碼前面比它大的數(shù)碼的個數(shù),將它們連加起來即為所求排列的逆序數(shù).方法2：逐個計算每個數(shù)碼后面比它小的數(shù)碼的個數(shù),將它們連加起來即為所求排列的逆序數(shù).方法3：分別計算出排在前面比它大的數(shù)碼的個數(shù),將它們連加起來即為所求排列的逆序數(shù).練習例1求6級排列326145的逆序數(shù),并確定其奇偶性.3排在首位，沒有比它大的數(shù)碼排在前面，故逆序數(shù)為0；2前面有3比它大，故逆序數(shù)為1；6前面沒有數(shù)碼比它大，故逆序數(shù)為0；1前面有3個數(shù)碼比它大，故逆序數(shù)為3；4前面有1個數(shù)碼比它大，故逆序數(shù)為1；5前面有1個數(shù)碼比它大，故逆序數(shù)為1；所以，N(326145)=0+1+0+3+1+1=6解故該排列為偶排列.方法1練習例2計算下列排列的逆序數(shù),并討論它們的奇偶性.解(1)(2)n(n-1)…21(1)217986354N(217986354)=0+1+0+0+1+3+4+4+5=18此排列為偶排列.練習例2計算下列排列的逆序數(shù),并討論它們的奇偶性.(2)n(n-1)…21(1)217986354解(2)當時為偶排列；當時為奇排列.Part2對換一、對換對換：

在一個排列i1

is

it

in中

如果僅將它的兩個數(shù)碼is與it對調(diào)

其他數(shù)碼不變

得到另一個排列i1

it

is

in

這樣的變換稱為一個對換

記為對換(is

it)

任意一個排列經(jīng)過一個對換后奇偶性改變

定理1

n個數(shù)碼(n

1)共有n!個n級排列

其中奇偶排列各占一半

定理2對排列21354施以對換(1

4)后得到排列24351

N(21354)

2

而N(24351)

5

可見對換后奇偶性改變

例如Part3n階行列式的定義一、二階、三階行列式觀察與思考

在二階行列式和三階行列式中

(1)它們的項數(shù)與階數(shù)有什么關系?(2)各項的一般形式怎樣?(3)各項的符號與下標有怎樣的關系??一、二階、三階行列式觀察與思考

?(1)在三階行列式中,共有3!=6項；說明：

(2)每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積(3)每項的正負號都取決于位于不同行不同列的三個元素的下標排列,即當為偶數(shù)時取正號,為奇數(shù)時取負號.一、二階、三階行列式例如偶排列奇排列列標排列的逆序數(shù)為列標排列的逆序數(shù)為+正號-負號二、n階行列式的定義定義(n階行列式)行列式determinant

由n2個數(shù)組成的

n階行列式等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積的代數(shù)和記作簡記為，數(shù)aij稱為行列式det(aij)的元素.

二、n階行列式的定義其中為自然數(shù)的一個排列,N為這個排列的逆序數(shù).二、n階行列式的定義1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的;2、階行列式是項的代數(shù)和;3、階行列式的每項都是位于不同行、不同列個元素的乘積;4、一階行列式不要與絕對值記號相混淆;5、的符號為說明：

練習例如

四階行列式所表示的代數(shù)和中有項.行標排列為1234,元素取自不同的行；列標排列為1234,元素取自不同的列,且逆序數(shù)為N(1234)=0,即元素乘積前面應冠以正號,所以為D的一項.練習例如

四階行列式所表示的代數(shù)和中有項.行標排列為1234,元素取自不同的行；列標排列為4312,元素取自不同的列,且N(4312)=5,即4312為奇排列,所以元素乘積前面冠以負號,即-為D的一項.

練習例如

四階行列式所表示的代數(shù)和中有項.有兩個元素取自第四列,所以它不是D的一項.練習例3

用行列式定義計算行列式解

考察的非零項,第三行和第一列均只有一個非零元素,因此非零項必取和,

取和后，就不能取和，若取則有兩個元素取自第二行,若取則有兩個元素取自第二列，不取和則只有取和,這樣是取自不同行、不同列的元素乘積,故練習例3

用行列式定義計算行列式解

是行列式D的一項,其他項至少含有一個零元素,故有練習例4

計算n階行列式解

要使取自不同行不同列的n個元素的乘積不為零,第一行只能取,第二行只能取,第三行只能取

,,第n行只能取.這樣的乘積項只有一個,即.因此結(jié)論下三角行列式

上三角行列式

對角行列式主對角線結(jié)論

副對角線二、n階行列式的定義定理3n階行列式的一般項可以記為其中與均為n級排列.練習

由行列式定義

每一項中的元素取自不同行、不同列

故有j

3

且有i

1時k

5

或i

5時k

1

當i

1

j

3

k

5時

N(14325)

N(52314)

9

該項前應冠以負號

所以

a15a42a33a21a54為|aij|的一項

當i

5

j

3

k

1時

N(54321)

N(52314)

16

該項前應冠以正號

所以a55a42a33a21a14也為|aij|的一項

若(

1)N(i432k)

N(52j14)ai5a42a3ja21ak4是五階行列式|aij|的一項

則i

j

k應為何值？此時該項的符號是什么？例5

解練習解例6

計算對角行列式分析展開式中項的一般形式是從而這個項為零，所以只能等于,同理可得即行列式中不為零的項為練習解例