湖南省張家界市廖家村中學2022年高二數(shù)學理上學期摸底試題含解析

湖南省張家界市廖家村中學2022年高二數(shù)學理上學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖所示的圓盤由八個全等的扇形構成，指針繞中心旋轉，可能隨機停止，則指針停止在陰影部分的概率為(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點】幾何概型．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】確定陰影部分的面積在整個轉盤中占的比例，根據(jù)這個比例即可求出則指針停止在陰影部分的概率．【解答】解：如圖：轉動轉盤被均勻分成8部分，陰影部分占1份，則指針停止在陰影部分的概率是P=．故選D．【點評】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件（A）；然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件（A）發(fā)生的概率，將概率的求解設置于幾何圖象或游戲中，考查學生對簡單幾何概型的掌握情況，既避免了單純依靠公式機械計算的做法，又體現(xiàn)了數(shù)學知識在現(xiàn)實生活、甚至娛樂中的運用，體現(xiàn)了數(shù)學學科的基礎性．2.已知△ABC的三內角A，B，C成等差數(shù)列，且AB=1，BC=4，則該三角形面積為A．

B．2

C．2

D．4參考答案：A略3.設曲線在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為,則的值為（

）A.

B.

C.

D.1參考答案：C略4.已知下列命題：①命題“?x∈R，x2+1＞3x”的否定是“?x∈R，x2+1＜3x”；②已知p，q為兩個命題，若“p∨q”為假命題，則“（￢p）∧（￢q）為真命題”；③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要條件；④“若xy=0，則x=0且y=0”的逆否命題為真命題．其中真命題有（）個．A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：D【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】寫出原命題的否定，可判斷①；根據(jù)復合命題真假判斷的真值表，可判斷②；根據(jù)充要條件的定義，可判斷③；判斷原命題的真假，進而可判斷④．【解答】解：命題“?x∈R，x2+1＞3x”的否定是“?x∈R，x2+1≤3x”，故①錯誤；已知p，q為兩個命題，若“p∨q”為假命題，則命題p，q均為假命題，則￢p，￢q均為真命題，則“（￢p）∧（￢q）為真命題”，故②正確；“a＞2”是“a＞5”的必要不充分條件，故③錯誤；“若xy=0，則x=0且y=0”為假命題，故其逆否命題為假命題，故④錯誤．故選：D【點評】本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了命題的否定，充要條件，四種命題，復合命題，難度中檔．5.復數(shù)（i是虛數(shù)單位）的虛部為（）A．﹣i B．﹣2i C．﹣1 D．﹣2參考答案：C【考點】A5：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡復數(shù)得答案．【解答】解：由=，得復數(shù)的虛部為：﹣1．故選：C．6.如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，已知，，，則用向量，，可表示向量=（）A． B． C． D．﹣參考答案：D【考點】空間向量的基本定理及其意義．【分析】從要表示的向量的起點出發(fā)，沿著平行六面體的棱把向量順次首尾相連，寫出結果，這樣三個向量都是指定的基底中的向量，得到結果．【解答】解：=﹣故選D．7.設命題P：?x∈R，x2+2＞0．則￢P為（）A． B．C． D．?x∈R，x2+2≤0參考答案：B【考點】命題的否定．【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進行判斷即可．【解答】解：命題是全稱命題，則命題的否定是特稱命題，即￢P：，故選：B【點評】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎．8.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，頂點P在底面的射影是底面的中心，且各頂點都在同一球面上，若該四棱錐的側棱長為，體積為4，且四棱錐的高為整數(shù)，則此球的半徑等于（

）（參考公式：）A.2 B. C.4 D.參考答案：B【分析】如圖所示，設底面正方形的中心為，正四棱錐的外接球的球心為，半徑為.則在中，有，再根據(jù)體積為可求及，在中，有，解出后可得正確的選項.【詳解】如圖所示，設底面正方形的中心為，正四棱錐的外接球的球心為，半徑為.設底面正方形的邊長為，正四凌錐的高為，則.因為該正四棱錐的側棱長為，所以，即……①又因為正四棱錐的體積為4，所以……②由①得，代入②得，配湊得，，即，得或.因為，所以，再將代入①中，解得，所以，所以.在中，由勾股定理，得，即，解得，所以此球的半徑等于.故選B.【點睛】正棱錐中，棱錐的高、斜高、側棱和底面外接圓的半徑可構成四個直角三角形，它們溝通了棱錐各個幾何量之間的關系，解題中注意利用它們實現(xiàn)不同幾何量之間的聯(lián)系.9.在邊長為2的正方形ABCD內隨機取一點E，則點E滿足AE＜2的概率為

A.

B.

C.

D.參考答案：A10.在曲線的所有切線中，斜率最小的切線方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.有一個底面半徑為1、高為2的圓柱，點為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內隨機取一點，則點到點的距離大于1的概率為

．參考答案：12.執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入x，y∈R，那么輸出的S的最大值為

．參考答案：2【考點】EF：程序框圖；7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】算法的功能是求可行域內，目標還是S=2x+y的最大值，畫出可行域，求得取得最大值的點的坐標，求出最大值．【解答】解：由程序框圖知：算法的功能是求可行域內，目標還是S=2x+y的最大值，畫出可行域如圖：當時，S=2x+y的值最大，且最大值為2．故答案為：2．【點評】本題借助選擇結構的程序框圖考查了線性規(guī)劃問題的解法，根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是解題的關鍵，屬于基本知識的考查．13.二項式（9x+）18的展開式的常數(shù)項為

（用數(shù)字作答）．參考答案：18564【考點】二項式定理的應用．【分析】首先寫出展開式的通項并整理，從未知數(shù)的指數(shù)找出滿足條件的常數(shù)項．【解答】解：由已知得到展開式的通項為：=，令r=12，得到常數(shù)項為=18564；故答案為：18564．14.得，則推測當時有

參考答案：略15.曲線㏑x在點（1，k）處的切線平行于x軸，則k=

。參考答案：略16.三棱柱中，底面邊長和側棱長都相等，，則異面直線與所成角的余弦值為

．參考答案：略17.根據(jù)流程圖，若函數(shù)g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，0）∪（1，4）【考點】程序框圖．【專題】計算題；圖表型；分類討論；函數(shù)的性質及應用．【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計算分段函數(shù)f（x）=的函數(shù)值；函數(shù)g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有兩個零點，則我們可以在同一平面直角坐標系中畫出y=f（x）與y=m的圖象進行分析．【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計算分段函數(shù)f（x）=的函數(shù)值；其函數(shù)圖象如圖所示：又∵函數(shù)g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有兩個零點，則由圖可得m＜0或1＜m＜4，故答案為：（﹣∞，0）∪（1，4）．【點評】本題考查程序框圖以及函數(shù)的零點，通過對程序框圖的理解，轉化為函數(shù)圖象，然后把函數(shù)零點轉化為交點個數(shù)問題，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分14分）如圖，在四面體中，平面，是的中點,分別是的中點，（Ⅰ）求證:平面；（Ⅱ）若,求與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在(II)的條件下，線段上是否存在點，使得平面平面？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由.參考答案：19.如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處(－1)海里的B處有一艘走私船在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船，奉命以10海里／時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里／時的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄問：輯私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時間參考答案：解：設輯私船應沿CD方向行駛ｔ小時，才能最快截獲(在D點)走私船，則CD＝10ｔ海里，BD＝10ｔ海里∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝（－1）2＋22－2（－1）·2cos120°＝6,

∴BC＝∴∠ABC＝45°，∴B點在C點的正東方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°∴∠BCD＝30°,∴∠DCE＝90°－30°＝60°由∠CBD＝120°，∠BCD＝30°得∠D＝30°∴BD＝BC，即10ｔ＝∴ｔ＝

(小時)答：輯私船沿北偏東60°的方向行駛，才能最快截獲走私船，需時

小時.20.某電視臺“挑戰(zhàn)主持人”節(jié)目的挑戰(zhàn)者闖第一關需要回答三個問題，其中前兩個問題回答正確各得10分，回答不正確得0分，第三個問題回答正確得20分，回答不正確得－10分．如果一位挑戰(zhàn)者回答前兩個問題正確的概率都是，回答第三個問題正確的概率為，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．若這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總分不低于10分就算闖關成功．（1）求至少回答對一個問題的概率．（2）求這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總得分X的分布列．（3）求這位挑戰(zhàn)者闖關成功的概率．參考答案：（1）；（2）見解析；（3）.試題分析：（1）由題意結合對立事件概率公式可得至少回答對一個問題的概率為.（2）這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總得分的所有可能取值為.計算各個分值相應的概率值即可求得總得分X的分布列；（3）結合(Ⅱ)中計算得出的概率值可得這位挑戰(zhàn)者闖關成功的概率值為.試題解析：（1）設至少回答對一個問題為事件,則.（2）這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總得分的所有可能取值為.根據(jù)題意,,,,,,.隨機變量的分布列是:（3）設這位挑戰(zhàn)者闖關成功為事件,則.21.已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R），g（x）=x2﹣2x+2（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；（Ⅱ）若?x1∈（0，+∞），均?x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范圍．參考答案：【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；6E：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；（Ⅱ）問題可轉化為f（x）max＜g（x）max，根據(jù)函數(shù)的單調性分別求出f（x）的最大值和g（x）的最大值，求出a的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ），①當a≥0時，∵x＞0，∴f'（x）＞0，所以f（x）的單調增區(qū)間為（0，+∞），②當a＜0時，令f'（x）＞0，得，令f'（x）＜0，得，所以f（x）的單調增區(qū)間為（0，），單調減區(qū)間為（，+∞）；（Ⅱ）問題可轉化為f（x）max＜g（x）max，已知g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g（x）max=2，由（Ⅰ）知，當a≥0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，值域為R，故不符合題意；當a＜0時，所以f（x）在（0，）上單調遞增，在（，+∞）單調遞減，故f（x）max=f（﹣）=﹣1+ln（﹣）=﹣1﹣ln（﹣a），所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得：a＜﹣e﹣3．【點評】本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．22.已知函數(shù)f（x）=x3﹣x2+bx+c（1）若f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函數(shù)，求b的取值范圍（2）若f（x）在x=1處取得極值，且x∈[﹣1，2]時，f（x）＜c2恒成立，求c的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉化為b≥（x﹣x2）max，求出b的范圍即可；（2）求出b的值，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)在[﹣1，2]的最大值，解關于c的不等式即可．【解答】解：（1）∵f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函數(shù)，∴f′（x）=x2﹣x+b≥0在R恒成立，∴b≥（x﹣x2）max，x∈R，而x∈R