江蘇省鎮(zhèn)江市第七中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

江蘇省鎮(zhèn)江市第七中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.為了測(cè)算如圖陰影部分的面積,作一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形將其包含在內(nèi),并向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲800個(gè)點(diǎn),已知恰有200個(gè)點(diǎn)落在陰影部分內(nèi),據(jù)此,可估計(jì)陰影部分的面積是()A．12

B．9C．8

D．6111]參考答案：B試題分析：根據(jù)題意，設(shè)陰影部分的面積為S，則正方形的面積為36，向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲800個(gè)點(diǎn)，已知恰有200個(gè)點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)，則向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，其落到陰影部分的概率P=；而，則，解可得，S=9；1考點(diǎn)：模擬方法估計(jì)概率2.已知m，n是兩條直線，α，β是兩個(gè)平面，有以下命題：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，則α∥β；②若m∥α，m∥β，則α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β．其中正確命題的個(gè)數(shù)是(

)A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：B【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解．【解答】解：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，則由平面與平面平行的判定定理得α∥β，故①正確；②若m∥α，m∥β，則α與β相交或平行，故②錯(cuò)誤；③若m∥α，n∥β，m∥n，則α與β相交或平行，故③錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．3.某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法，抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1，2，…，840隨機(jī)編號(hào)，則抽取的42人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間的人數(shù)為(

)A．11 B．12 C．13 D．14參考答案：B【考點(diǎn)】系統(tǒng)抽樣方法．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣方法，從840人中抽取42人，那么從20人抽取1人．從而得出從編號(hào)481～720共240人中抽取的人數(shù)即可．【解答】解：使用系統(tǒng)抽樣方法，從840人中抽取42人，即從20人抽取1人．所以從編號(hào)1～480的人中，恰好抽取=24人，接著從編號(hào)481～720共240人中抽取=12人．故：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法，屬于基礎(chǔ)題．4.l1、l2是兩條異面直線，直線m1、m2與l1、l2都相交，則m1、m2的位置關(guān)系是()A．異面或平行B．相交

C．異面

D．相交或異面參考答案：D略5.設(shè)隨機(jī)變量，若，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C6.設(shè)和為雙曲線()的兩個(gè)焦點(diǎn),若點(diǎn)和點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則雙曲線的離心率為(

)。

A．

B．

C．

D．3參考答案：C略7.已知點(diǎn)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若△ABF2為正三角形，則該橢圓的離心率為

（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D8.工人月工資（元）依勞動(dòng)生產(chǎn)率（千元）變化的回歸直線方程為=60+90x，下列判斷正確的是（）A．勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí)，工資為50元B．勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工資提高150元C．勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工資提高90元D．勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí)，工資為90元參考答案：C【考點(diǎn)】線性回歸方程．【專題】常規(guī)題型．【分析】根據(jù)所給的線性回歸方程，當(dāng)x增加1時(shí)，y要增加90元，當(dāng)勞動(dòng)效率增加1000元時(shí)，工資提高90元，這里的值是平均增加90元．【解答】解：∵回歸直線方程為，∴當(dāng)x增加1時(shí)，y要增加90元，∴當(dāng)勞動(dòng)效率增加1000元時(shí)，工資提高90元，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性回歸方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是看清題目中自變量的值每增加1個(gè)單位，y的值就平均增加90，注意平均一詞．9.設(shè)，則是的（

） A．充分但不必要條件

B．必要但不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A略10.函數(shù)上的最大值和最小值之和為，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f′（x）﹣f（x）=（1﹣2x）e﹣x，且f（0）=0則下列命題正確的是．（寫出所有正確命題的序號(hào)）①f（x）有極大值，沒有極小值；②設(shè)曲線f（x）上存在不同兩點(diǎn)A，B處的切線斜率均為k，則k的取值范圍是；③對(duì)任意x1，x2∈（2，+∞），都有恒成立；④當(dāng)a≠b時(shí)，方程f（a）=f（b）有且僅有兩對(duì)不同的實(shí)數(shù)解（a，b）滿足ea，eb均為整數(shù)．參考答案：①②③④【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】由已知中函數(shù)f（x）滿足f′（x）﹣f（x）=（1﹣2x）e﹣x，可得f（x）=xe﹣x，f′（x）=（1﹣x）e﹣x，逐一分析四個(gè)命題的真假，可得答案．【解答】解：①∵f′（x）﹣f（x）=（1﹣2x）e﹣x，∴f（x）=xe﹣x，f′（x）=（1﹣x）e﹣x，令f′（x）＞0，解得：x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，∴函數(shù)f（x）在（﹣∞，1）遞增，在（1，+∞）遞減，∴函數(shù)f（x）的極大值是f（1），沒有極小值；故①正確；②∵k=f′（x）=（1﹣x）e﹣x，∴f″（x）=e﹣x（x﹣2），令f″（x）＞0，解得：x＞2，令f″（x）＜0，解得：x＜2，∴f′（x）在（﹣∞，2）遞減，在（2，+∞）遞增，∴f′（x）最小值=f′（x）極小值=f′（2）=﹣，而x→∞時(shí)，f′（x）→0，∴k的取值范圍是；故②正確；③結(jié)合①②函數(shù)f（x）在（2，+∞）上是凹函數(shù)，∴恒成立，故③正確；④當(dāng)a≠b時(shí)，方程f（a）=f（b），不妨令a＜b，則a∈（0，1），則ea∈（1，e），又有ea為整數(shù)．故ea=eb=2，同理a＞b時(shí)，也存在一對(duì)實(shí)數(shù)（a，b）使ea=eb=2，故有兩對(duì)不同的實(shí)數(shù)解（a，b）滿足ea，eb均為整數(shù)．故④正確；故答案為：①②③④12.已知集合，試用列舉法表示集合=

參考答案：13.若曲線與曲線存在唯一條公共切線，則a的取值范圍為．參考答案：a＜0或a=【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】分別求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由兩函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)相等，并由斜率公式，得到由此得到m=2n﹣2，則4n﹣4=aen有唯一解．再由導(dǎo)數(shù)即可進(jìn)一步求得a的取值．【解答】解：y=x2在點(diǎn)（m，m2）的切線斜率為2m，y=aex在點(diǎn)（n，aen）的切線斜率為aen，如果兩個(gè)曲線存在唯一一條公共切線，那么：2m=aen．又由斜率公式得到，2m=，由此得到m=2n﹣2，則4n﹣4=aen有唯一解．由y=4x﹣4，y=aex的圖象有唯一交點(diǎn)即可．a(chǎn)＜0，顯然滿足，a＞0，設(shè)切點(diǎn)為（s，t），則aes=4，且t=4s﹣4=aes，即有切點(diǎn)（2，4），a=，故答案為a＜0或a=．14.已知0＜x＜1則x（3-3x）取最大值時(shí)x的值為__________．參考答案：略15.已知關(guān)于x的不等式（x﹣a）（x+1﹣a）≥0的解集為P，若1?P，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

．參考答案：（1，2）【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法；其他不等式的解法．【分析】根據(jù)題意，1?P時(shí)（1﹣a）（1+1﹣a）＜0成立，求出解集即可．【解答】解：不等式（x﹣a）（x+1﹣a）≥0的解集為P，當(dāng)1?P時(shí)，（1﹣a）（1+1﹣a）＜0，即（a﹣1）（a﹣2）＜0，解得1＜a＜2；所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，2）．故答案為：（1，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．16.如圖所示的莖葉圖表示甲、乙兩人在5次綜合測(cè)評(píng)中的成績(jī)，其中一個(gè)數(shù)字被污損，則甲的平均成績(jī)不低于乙的平均成績(jī)的概率為

．參考答案：

17.36的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因?yàn)?6=22×32，所以36的所有正約數(shù)之和為（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，參照上述方法，可求得200的所有正約數(shù)之和為

．參考答案：465【考點(diǎn)】F4：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理．【分析】這是一個(gè)類比推理的問題，在類比推理中，參照上述方法，200的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因?yàn)?00=23×52，所以200的所有正約數(shù)之和為（1+2+22+23）（1+5+52），即可得出答案．【解答】解：類比36的所有正約數(shù)之和的方法，有：200的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因?yàn)?00=23×52，所以200的所有正約數(shù)之和為（1+2+22+23）（1+5+52）=465．可求得200的所有正約數(shù)之和為465．故答案為：465．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本題滿分12分)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），右頂點(diǎn)為

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若直線與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且（其中O為原點(diǎn)）.求k的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線方程為

由已知得故雙曲線C的方程為……….4分（Ⅱ）將

由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得即①……………6分

設(shè)，則而………8分于是

②……………10分由①、②得

故k的取值范圍為…………12分19.二次函數(shù)f（x）的圖象頂點(diǎn)為A（1，16），且圖象在x軸上截得線段長(zhǎng)為8．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）令g（x）=（2﹣2a）x﹣f（x）；①若函數(shù)g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②求函數(shù)g（x）在x∈[0，2]的最小值．參考答案：（1）由條件設(shè)二次函數(shù)f（x）=a（x﹣1）2+16=ax2﹣2ax+a+16，設(shè)f（x）=0的兩根為：x1，x2，令x1＜x2，∵圖象在x軸上截得線段長(zhǎng)為8，由韋達(dá)定理得：（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x2x1=（﹣2）2﹣4×a+16a=64解得a=﹣1，∴函數(shù)的解析式為f（x）=﹣x2+2x+15．

（2）①∵f（x）=﹣x2+2x+15，∴g（x）=（2﹣2a）x﹣f（x）=x2﹣2ax﹣15，而g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，∴對(duì)稱軸x=a在[0，2]的左側(cè)，∴a≤0．所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≤0}．②g（x）=x2﹣2ax﹣15，x∈[0，2]，對(duì)稱軸x=a，綜上f(x)最小值.當(dāng)a＞2時(shí)，g（x）min=g（2）=4﹣4a﹣15=﹣4a﹣15，當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）min=g（0）=﹣15，當(dāng)0≤a≤2時(shí)，g（x）min=g（a）=a2﹣2a2﹣15=﹣a2﹣15．20.過(guò)點(diǎn)C（0，1）的橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，橢圓與x軸交于兩點(diǎn)A（a，0）、B（﹣a，0），過(guò)點(diǎn)C的直線l與橢圓交于另一點(diǎn)D，并與x軸交于點(diǎn)P，直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q．（I）當(dāng)直線l過(guò)橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，求線段CD的長(zhǎng)；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí)，求證：為定值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；證明題；綜合題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合．【分析】（I）當(dāng)直線l過(guò)橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，寫出直線l的方程，并和橢圓聯(lián)立方程，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式即可求得線段CD的長(zhǎng)；（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程，并和橢圓聯(lián)立方程，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，寫出直線AC與直線BD的方程，并解此方程組，求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)，代入即可證明結(jié)論．【解答】解：（I）由已知得b=1，，解得a=2，所以橢圓的方程為．橢圓的右焦點(diǎn)為（，0），此時(shí)直線l的方程為y=﹣x+1，代入橢圓方程化簡(jiǎn)得7x2﹣8x=0．解得x1=0，x2=，代入直線l的方程得y1=1，y2=﹣，所以D點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）故|CD|=；（Ⅱ）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)與題意不符，設(shè)直線l的方程為y=kx+1（k≠0，k≠）代入橢圓方程化簡(jiǎn)得（4k2+1）x2+8kx=0，解得x1=0，x2=，代入直線l的方程得y1=1，y2=，所以D點(diǎn)坐標(biāo)為（，），又直線AC的方程為，直線BD的方程為y=，聯(lián)立解得，因此Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4k，2k+1），又P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，0），∴=（﹣，0）?（﹣4k，2k+1）=4，故為定值．【點(diǎn)評(píng)】此題是個(gè)難題．本題考查了、直線與橢圓的位置關(guān)系及弦長(zhǎng)公式，和有關(guān)定值定點(diǎn)問題，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力．其中問題（II）考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力，21.已知是整數(shù)組成的數(shù)列，，且點(diǎn)在函數(shù)的圖像上：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2）若數(shù)列滿足，求證：參考答案：解析：（1）由已知得：，

所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列；即

（2）由（1）知

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

所以：22.設(shè)命題p：“?x∈R，x2+2x＞m”；命