知識資料函數(shù)

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。PAGE第頁/共頁函數(shù)1.1基本概念、內(nèi)容、定理、公式函數(shù)是高等數(shù)學(xué)研究的主要對象，它反映客觀世界量與量之間的互相依賴關(guān)系，是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).1．函數(shù)的概念：2．函數(shù)的性質(zhì)：（1）有界性：若對，都有，則稱在集合上有界；否則稱在集合上無界，即對，，使得成立.（2）單調(diào)性：若對于定義域上的隨意兩點，有（或）稱鄭重單調(diào)增強（或鄭重單調(diào)減少）.又倘若有（或）稱單調(diào)增強（或單調(diào)減少）.（3）奇偶性：若定義域在軸上關(guān)于原點對稱，對，都有，稱為偶函數(shù)；又對，都有，稱為奇函數(shù).（4）周期性：若，對，都有，則稱為周期函數(shù)，且稱具有上述性質(zhì)的最小正數(shù)為函數(shù)的周期.3．復(fù)合函數(shù)：設(shè)函數(shù)與且，這時通過可表示為的函數(shù)，稱為復(fù)合函數(shù)，記作，其中稱為中間變量.4．反函數(shù)設(shè)函數(shù)，倘若對于有唯一決定的，使得，則決定是的函數(shù)稱為的反函數(shù)，記作.具有鄭重單調(diào)性的函數(shù)其反函數(shù)總是存在的.5．初等函數(shù)，由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次復(fù)合步驟所構(gòu)成的由一個式子表示的函數(shù)稱為初等函數(shù).1.2例題選講例1-1求下列函數(shù)的定義域：（1）已知定義域為.（2）已知定義域為.（3）已知.(4)，已知定義域為，表示不超過的最大整數(shù)。例1-2已知，求.進一步題目改為：已知，求.進一步設(shè)，求。例1-3設(shè)，求.解：將絕對值寫成分段函數(shù)的形式：將題目進一步改為：設(shè)，且求.練習(xí)1：設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，在區(qū)間上，，若，其中是常數(shù)，（1）寫出在上的表達式；（2）問為何值時，在處可導(dǎo)？練習(xí)2：（17屆北京市數(shù)學(xué)比賽題）設(shè)且，求。分析：設(shè)，則，從而，由得故。例1-4設(shè)在上有定義，且，求證：為周期函數(shù).普通地，，同樣可以證實為周期函數(shù).例1-5若函數(shù)（）的圖形關(guān)于兩條直線和對稱（，則函數(shù)為周期函數(shù).分析：由條件知：，，于是在和的中點處有：預(yù)測：.練習(xí)1：設(shè)函數(shù)在上是奇函數(shù)，且，對，（1）試用表示和；（2）問為何值時，是以2為周期的周期函數(shù)。練習(xí)2：倘若是上延續(xù)的周期函數(shù)，且，求。練習(xí)3：（08考研）設(shè)是周期為2的延續(xù)函數(shù)，（1）證實：對，都有；（2）證實：是周期為2的周期函數(shù)。例1-6試證：定義在對稱區(qū)間內(nèi)的任何函數(shù)都可以表示為偶函數(shù)與奇函數(shù)之和的形式，并且表示法是唯一的.例1-7證實函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增強，并由此證實不等式.例1-8設(shè)，且時滿意（為常數(shù)，）證實為奇函數(shù).進一步：設(shè)除與兩點外，對全體實數(shù)存心義，且滿意，求滿意此條件的.例1-9證實若對任何實數(shù)，有且，則（1）；（2）.例1-10設(shè)在內(nèi)有定義，且對于隨意恒有，證實在內(nèi)為常數(shù).例1-11設(shè)函數(shù)在點的鄰域內(nèi)有界，且滿意方程，其中，求.1.3練習(xí)題1-1設(shè)定義于，且存在正數(shù)和使對一切都成立，證實存在正數(shù)和以為周期的函數(shù)，使得.1-2設(shè)，且，試求與.1-3設(shè)，，且，求的表達式和定義域.1-4設(shè)、及是單調(diào)增函數(shù)，且，證實.1-5設(shè)滿意，，求.1-6證實不是周期函數(shù).1-7試證定義在同一個數(shù)集上且周期是可通約的兩個周期函數(shù)的和與差也是周期函數(shù)，并求的周期.1-8設(shè)在上有定義，且在該區(qū)間上恒有，其中為正實數(shù)，試證：為周期函數(shù).1-9設(shè)對，且，，證實：.1-10設(shè)在上有定義，且，若單調(diào)減少，證實：.1.4答案與提醒1-1設(shè)，.即，故.1-2，.1-3，.1-4由，得；又是單調(diào)增函數(shù)，，故.同理可證.1-5對等式（1）中分離用代替后得：，兩邊同乘以，得（2）同理，得（3）（）（1）+（2）+，得兩邊對求極限，得，即.1-6反證法：設(shè)是以為周期的函數(shù)，則對，.即.令，，即（1）.令，，即（2）.由（1）（2）得出矛盾！1-7證實：設(shè)和是定義在同一數(shù)集上，周期分離為和的兩個周期函數(shù).因為和是可通約的，即，于是有，其中互質(zhì).設(shè)，則===.故是一個周期為的周期函數(shù)且為和的最小公倍數(shù).同理可證是一個周期為的周期函數(shù)且為和的最小公倍數(shù).故的周期為.1-8因為==，注重到，即有.1-9先證，假設(shè)，使得，取，在條件中令，得，即