2023年高考數(shù)學(xué)搶分秘籍（新高考專用）第十章 概率知識(shí)總結(jié)

第十章概率

一、思維導(dǎo)圖

有限樣本空間與隨機(jī)事件

［事件的關(guān)系和運(yùn)算

古典概型一

/泵概率的基本性質(zhì)

概率7事件的相

\J互獨(dú)立性

\頻率的穩(wěn)定性

J頻率與概率T隨機(jī)模擬

X_______________

二、知識(shí)記誦

知識(shí)點(diǎn)一：有限樣本空間與隨機(jī)事件

1.隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)

⑴試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；

（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；

（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.

2.有限樣本空間：隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，用?表示，全體樣本點(diǎn)的集合稱為

試驗(yàn)E的樣本空間，用0表示，稱樣本空間0={O1，u）2,....3"}為有限樣本空間.

3.樣本空間0的子集稱為隨機(jī)事件，稱0為必然事件，稱。為不可能事件.

知識(shí)點(diǎn)二.事件的關(guān)系與運(yùn)算

事件關(guān)系或運(yùn)算含義符號(hào)表示

包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生AQB

并事件（和事件）A與B至少一個(gè)發(fā)生AUB或A+B

交事件（積事件）A與B同時(shí)發(fā)生AcB或4B

互斥（互不相容）A與B不能同時(shí)發(fā)生4cB=0

互為對(duì)立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生4nB=0,且AUB=。

知識(shí)點(diǎn)三.概率的基本性質(zhì)

性質(zhì)1對(duì)任意事件A,都有P(A)20;

性質(zhì)2必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(0=1;P(0)=O;

性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥，那么P(AU8)=P(A)+P(B)；

性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)=1—P(A),P(A)=1—P(B)；

性質(zhì)5如果AUB,那么P(A)4P(8)；

性質(zhì)6設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有P(AUB)=P(A)+P(B)—P(AnB).

知識(shí)點(diǎn)四：古典概型

1.基本事件：

試驗(yàn)結(jié)果中不能再分的最簡單的隨機(jī)事件稱為基本事件.

基本事件的特點(diǎn)：

(1)每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的.

(2)因?yàn)樵囼?yàn)結(jié)果是有限個(gè)，所以基本事件也只有有限個(gè).

(3)任意兩個(gè)基本事件都是互斥的，一次試驗(yàn)只能出現(xiàn)一個(gè)結(jié)果，即產(chǎn)生一個(gè)基本事件.

(4)基本事件是試驗(yàn)中不能再分的最簡單的隨機(jī)事件，其他事件都可以用基本事件的和的形式來表示.

2.古典概型的定義：

(1)有限性：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；

(2)等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等；

我們把具有上述兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

3.計(jì)算古典概型的概率的基本步驟為：

(1)計(jì)算所求事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；

(2)計(jì)算基本事件的總數(shù)n；

⑶應(yīng)用公式P(A)計(jì)算概率.

n

4.古典概型的概率公式：

P(A)=5=鬻，其中打伊)和WO分別表示事件A和樣本空間Q包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).

要點(diǎn)四：隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

知識(shí)點(diǎn)五.隨機(jī)數(shù)的概念

隨機(jī)數(shù)是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù),并且得到這個(gè)范圍內(nèi)任何一個(gè)數(shù)的機(jī)會(huì)是均等的.它可以幫助我們

模擬隨機(jī)試驗(yàn)，特別是一些成本高、時(shí)間長的試驗(yàn)，用隨機(jī)模擬的方法可以起到降低成本，縮短時(shí)間的作

用.

2.隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法：

一般用試驗(yàn)的方法，如把數(shù)字標(biāo)在小球上，攪拌均勻，用統(tǒng)計(jì)中的抽簽法等抽樣方法，可以產(chǎn)生某個(gè)范

圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù).在計(jì)算器或計(jì)算機(jī)中可以應(yīng)用隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生某個(gè)范圍的偽隨機(jī)數(shù)，當(dāng)作隨機(jī)數(shù)來應(yīng)用.

3.隨機(jī)模擬法(蒙特卡羅法)：

用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬試驗(yàn)的方法，具體步驟如下：

(1)用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生某個(gè)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，并賦予每個(gè)隨機(jī)數(shù)一定的意義；

(2)統(tǒng)計(jì)代表某意義的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)M和總的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)N；

⑶計(jì)算頻率f?(A)=*作為所求概率的近似值.

三、能力培養(yǎng)

類型一隨機(jī)事件的概率

例:1?某射手在相同條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下:

射擊次數(shù)〃102050100200500

擊中靶心次數(shù)m8194492178455

擊中靶心的頻率0.80.950.880.920.890.91

(1)問該射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少？

⑵假設(shè)該射手射擊了300次，估計(jì)擊中靶心的次數(shù)是多少？

【思路點(diǎn)撥】弄清頻率和概率的含義及它們之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【解析】⑴由表可知概率約為0.9；

⑵估計(jì)擊中靶心的次數(shù)為300x0.9=270(次).

【總結(jié)升華】本題中利用概率知識(shí)估計(jì)擊中靶心的次數(shù)是一種非?？茖W(xué)的決策方法.

類型二互斥事件與對(duì)立事件

例2.某人在如圖所示的直角邊長為4m的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))

處都種了一株相同品種的作物.根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量丫(單位:kg)與它的“相

近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：

X1234

Y51484542

這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1m.

(1)完成下表，并求所種作物的平均年收獲量:

Y51484542

頻數(shù)4

(2)在所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量至少為48kg的概率.

分析:根據(jù)題意找出產(chǎn)量V對(duì)應(yīng)的“相近”作物株數(shù)的頻數(shù)，并利用加權(quán)平均數(shù)公式計(jì)算平均年收獲量；

至少為48kg的概率是指丫=51與丫=48兩種概率的和，利用互斥事件的概率公式求解.

解：⑴所種作物的總株數(shù)為1+2+3+4+5=15.其中“相近”作物株數(shù)為1的作物有2株，“相近”作

物株數(shù)為2的作物有4株,.'相近”作物株數(shù)為3的作物有6株，“相近”作物株數(shù)為4的作物有3株，列

表如下:

Y51484542

頻數(shù)2463

匕匚工山/昭恤的近3曰班51x2+48x4+45x6+42x3690以

所種作物的平均年收獲厘:為-------------------------=—=46

1515

（2）由（1）,知尸（y=51）=Z,尸（丫=48）=巴.故在所種作物中隨機(jī)選取一株，它的年收獲量至少為48

1515

242

kg的概率為p（y248）=p（y=5i）+p（y=48）=w+j^=M

解后反思:求至少為48kg的概率時(shí)，可利用互斤事件的概率公式求解，也可先求出年收獲量少于48kg

的概率，再利用對(duì)立事件的概率公式求解.

例3黃種人群中各種血型的人所占的比例如下：

血型ABAB0

該血型的人所占比例（盼2829835

已知同種血型的人可以互相輸血，0型血可以輸給任一種血型的人，其他不同血型的人不能互相輸血.小

明是B型血，若小明因病需要輸血，問：

（1）任找一個(gè)人，其血可以輸給小明的概率是多少？

（2）任找一個(gè)人，其血不能輸給小明的概率是多少？

解：⑴記“血型為A型、B型、AB型、0型”分別為事件A',8',

由已知，得尸（4）=0.28,P（B'）=0.29,尸（C'）=O.O8,P（￡）'）=O.35.

因?yàn)锽型、0型血可以輸給B型血的人，

所以“可以輸給B型血的人”為事件S'-。.

根據(jù)互斥事件的概率加法公式,有P（*（JD）=P⑻+P（D'）=0.29+0.35=0.64.

故任找一個(gè)人，其血可以輸給小明的概率是0.64.

⑵方法1:由于A型、AB型血不能輸給B型血的人，故

“不能輸給B型血的人”為事件A'C.

根據(jù)互斥事件的概率加法公式，有

P（AlC'）=P（A'）+尸（C'）=0.28+0.08=0.36.

故任找一個(gè)人，其血不能輸給小明的概率是0.64.

方法2:由（1）,知不能輸血給B型血的人的概率為

\-P{B'64=0.36.

故任找一個(gè)人，其血不能輸給小明的概率是0.36.

解后反思:帶有“不”“不大于”“至少”等字眼的問題通?？梢杂脤?duì)立事件的概率公式計(jì)算概率.

類型三古典概型及其應(yīng)用

例4甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)

動(dòng)服的概率為

解析：甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員選擇運(yùn)動(dòng)服顏色有（紅，紅），（紅，白），（紅，藍(lán)），（白，白），（白，紅），

（白，藍(lán)），（藍(lán)，藍(lán)），（藍(lán)，白），（藍(lán)，紅），共9利I

因?yàn)橥挠校t，紅），（白，白），（藍(lán)，藍(lán)），共3種，所以所求概率尸

93

答案.1

口,3

解后反思:列舉時(shí)要按照一定的順序，做到不重不漏.

例5海關(guān)對(duì)同時(shí)從A3,C三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量（單位:

件）如表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測.

地區(qū)ABC

數(shù)量50150100

⑴求這6件樣品中來自ARC各地區(qū)商品的數(shù)量；

（2）若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率.

解：（1）因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是------——=—

504-150+10050

所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是50X-L=1/50X-L=3,100X-L=2

505050

所以A3,C三個(gè)地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別為1,3,2.

⑵設(shè)6件來自A,8,C三個(gè)地區(qū)的樣品分別為A；B出B、；C,,C2.

則從這6件樣品中抽取的2件商品構(gòu)成的所有基本事件為

{A，4},{A,8J,{A，4},{A,CJ,{A,C2},

但6},{鳥?},匕,6}共15個(gè).

每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.

記事件D:“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，則事件D包含的基本事件有：

4

{用,6},{四共4個(gè)，所以p（D）=z

即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為士.

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解后反思:在P(A)='中，關(guān)鍵是確定〃，機(jī)的值，現(xiàn)階段主要是通過列舉法來解決，這種方法常采用兩

n

種途徑，一是將事件的所有情況一一列舉出來；二是利用“樹狀圖”或“圖表”將所有情況一一標(biāo)出.

例6甲、乙、丙3個(gè)盒中分別裝有大小相等、形狀相同的卡片若干張.甲盒中裝有2張卡片，分別寫有字

母A和8；乙盒中裝有3張卡片，分別寫有字母C,。和￡；丙盒中裝有2張卡片，分別寫有字母〃和