高中數(shù)學(xué)排列組合題型歸納總結(jié)2

排列組合

L分類(lèi)計(jì)數(shù)原理（加法原理）

完成一件事，有”類(lèi)辦法，在第1類(lèi)辦法中有町種不同的方法，在第2類(lèi)辦法中有加2種不同的

方法，…，在第"類(lèi)辦法中有“，種不同的方法，那么完成這件事共有：.=町+??；常種

不同的方法.

2.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成〃個(gè)步驟，做第1步有犯種不同的方法，做第2步有鈾種不同的方法，…,

做第"步有”種不同的方法，那么完成這件事共有：|N=//x牙x兩種不同的方法.

3.分類(lèi)計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理區(qū)別

分類(lèi)計(jì)數(shù)原理方法相互獨(dú)立，任何一種方法都可以獨(dú)立地完成這件事。

分步計(jì)數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個(gè)階段，不能完成整個(gè)事件.

一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略

例1、.由0』,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).

解：由分步計(jì)數(shù)原理得C：C；A：=288

練習(xí)題：7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里,

問(wèn)有多少不同的種法？

二.相鄰元素捆綁策略

例2、7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法.

解：&&&=480

要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題，可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題.即將需要相鄰的元素

合并為一個(gè)元素，再與其它元素一起作排列，同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.

練習(xí)題：某人射擊8槍?zhuān)?槍?zhuān)?槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為20

三.不相鄰問(wèn)題插空策略

例3.、一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng)，則節(jié)目的出場(chǎng)順序

有多少種？

解84：元素相離問(wèn)題可先把沒(méi)有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端

練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩

個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為30

四.定序問(wèn)題倍縮空位插入策略

例4.、7人排隊(duì)，其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法

解:（倍縮法）對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列，然

后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù)，則共有不同排法種數(shù)是：

（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有用種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙

共有」_種坐法，則共有用種方法。思考:可獲讓甲乙丙就坐嗎？

（插入法）先排甲乙丙三個(gè)人，共有71中排法，再把其余4四人依次插入共有方法

定序問(wèn)題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理

練習(xí)題：10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法?

五.重排問(wèn)題求募策略

例5.、把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車(chē)間實(shí)習(xí)，共有多少種不同的分法

允許重復(fù)的排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的約束，可以逐一安排

各個(gè)元素的位置，一般地n不同的元素沒(méi)有限制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為M種

練習(xí)題：

1.某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)

目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為42

2.某8層大樓一樓電梯上來(lái)8名乘客人，他們到各自的一層下電梯，下電梯的方法

六.環(huán)排問(wèn)題線(xiàn)排策略

例6.、8人圍桌而坐，共有多少種坐法？

解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒(méi)有首尾之分，所以固定一人并從此位置把

圓形展成直線(xiàn)其余7人共有(8-1)!種排法即7!

C

一般地,n個(gè)不同元素作圓形排列，共有(n-1)!種排法.如果從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素

作圓形排列共有

練習(xí)題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈120

七.多排問(wèn)題直排策略

例7.、8人排成前后兩排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排,共有多少排法

解:,則共有種

練習(xí)題：有兩排座位，前排11個(gè)座位,后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個(gè)座

位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是346

八.排列組合混合問(wèn)題先選后排策略

例8.、有5個(gè)不同的小球，裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個(gè)球，共有多少不同的裝法.

苑頻:一個(gè)班有6名戰(zhàn)士，其中正副班長(zhǎng)各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種

任務(wù),且正副班長(zhǎng)有且只有1人參力口.則不同的選法有192種

九.小集團(tuán)問(wèn)題先整體后局部策略

例9.用123,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾1,5在兩個(gè)奇數(shù)之間，這樣的五位

數(shù)有多少個(gè)？

解：共有A3㈤種排法

練習(xí)題：

1、計(jì)劃展出10幅不同的畫(huà)，其中1幅水彩畫(huà)，4幅油畫(huà)，5幅國(guó)畫(huà)，排成一行陳列，要求同一

品種的必須連在一起，并且水彩畫(huà)不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為

2、5男生和5女生站成一排照像，男生相鄰,女生也相鄰的排法有種’

十.元素相同問(wèn)題隔板策略

例10.、有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給7個(gè)班，每班至少一個(gè)，有多少種分配方案？

o|oololoololoo|o

IIIIiIi

將n個(gè)相同的元素分成m份（n,m為正整數(shù)），每份至少一個(gè)元素，可以用m-1塊隔板，插

入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為

練習(xí)題：1、10個(gè)相同的球裝5個(gè)盒中，每盒至少一有多少裝法？

2、x+y+z+卬=100求這個(gè)方程組的自然數(shù)解的組數(shù)

。東3

十一.正難則反總體淘汰策略

例11.、從0,1,2,3,456,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù)，不同的

取法有多少種？

解：這問(wèn)題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難，可用總體淘汰法。這十個(gè)數(shù)字中有5個(gè)偶

數(shù)5個(gè)奇數(shù)，所取的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取法有C；，只含有1個(gè)偶數(shù)的取法有，和為偶數(shù)

的取法共有C；C；+C￡再淘汰和小于10的偶數(shù)麗種，符合條件的取法共看運(yùn)+C；-9

有些排列組合問(wèn)題，正面直接考慮比較復(fù)雜，而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷，可以先求出它的

反面，再?gòu)恼w中淘汰.

練習(xí)題：我們班里有43位同學(xué)，從中任抽5人，正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書(shū)記至少有一人在內(nèi)的

抽法有多少種？

十二.平均分組問(wèn)題除法策略

例12.、6本不同的書(shū)平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？

平均分成的組，不管它們的順序如何,都是一種情況，所以分組后要一定要除以為均分

的組數(shù)）避免重復(fù)計(jì)數(shù)。

練習(xí)題：

1、將13個(gè)球隊(duì)分成3組，一組5個(gè)隊(duì)，其它兩組4個(gè)隊(duì)，有多少分法？

（鈉以/A：）

2、10名學(xué)生分成3組，其中一組4人，另兩組3人但正副班長(zhǎng)不能分在同一組，有多少種不同的分

組方法？(1540)

3、某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安

排2名，則不同的安排方案有多少

90)

十三.合理分類(lèi)與分步策略

例13.、在一次演唱會(huì)上共10名演員，其中8人能能唱歌,5人會(huì)跳舞,現(xiàn)要演出一個(gè)2人唱歌2人

伴舞的節(jié)目，有多少選派方法

解：10演員中有5人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研

究只會(huì)唱的5人中沒(méi)有人選上唱歌人員共有種，只會(huì)唱的5人中只有1人選上唱歌人

員種，只會(huì)唱的5人中只有2人選壬畫(huà):人員有C；C；種，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理共有

+種。

解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)，按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分

步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過(guò)程的

始終。

練習(xí)題：

1、.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)，若這4人中必須既有男生又有女生,

則不同的選法共有區(qū)

2、3成人2小孩乘船游玩,1號(hào)船最多乘3人,2號(hào)船最多乘2人,3號(hào)船只能乘1人，他們?nèi)芜x2只

船或3只船,但小孩不能單獨(dú)乘一只船，這3人共有多少乘船方法.(27)

十四.構(gòu)造模型策略

例14.、馬路上有編號(hào)為123,4,5,6,7,8,9的九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞，但不能關(guān)掉相鄰的2

盞或3盞，也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方法有多少種？

解：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3個(gè)不亮的燈有種

一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，裝

盒模型等，可使問(wèn)題直觀解決

練習(xí)題：某排共有10個(gè)座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？

(120)

十五.實(shí)際操作窮舉策略

例15.、設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)盒子，現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi)，要

求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，有多少投法

解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有點(diǎn)種還剩下3球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用實(shí)際操作法,

如果剩下3,4,5號(hào)球,3,4,5號(hào)盒3耳衣裝4號(hào)盒時(shí)，則4,5號(hào)球有只有1種裝法，同理3號(hào)

球裝5號(hào)盒時(shí),4,5號(hào)球有也只有1種裝法，由分步計(jì)數(shù)原理有2C；種

對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫(huà)出樹(shù)狀圖

會(huì)收到意想不到的結(jié)果

練習(xí)題：1.同一寢室4人，每人寫(xiě)一張賀年卡集中起來(lái),然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀

年卡不同的分配方式有多少種？（9）

2.給圖中區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，現(xiàn)有4種可選顏色,則不同的著色方法有72種

十六.分解與合成策略

例16.、30030能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除

分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=2x3x5x7xl1x13,依題意可知偶因數(shù)

必先取2,再?gòu)钠溆?個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成乘積，所有的偶因數(shù)為：C；+C；+C；+C；+C；

十八.數(shù)字排序問(wèn)題查字典策略

例18.、由0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)的比324105大的數(shù)？

解:N=28+2A：+A；+A；+A；=297

數(shù)字排序問(wèn)題可用查字典法，查字典的法應(yīng)從高位向低位查,依次求出其符合要求的個(gè)數(shù),

根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理求出其總數(shù)。

練習(xí):用0,123,4,5這六個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)的四位偶數(shù)，將這些數(shù)字從小到大排列起來(lái)，第71個(gè)數(shù)

是3140

排列組合易錯(cuò)題正誤解析

例1從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺(tái)，其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺(tái),

則不同的取法有一種.

例2在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有四項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有

（）種.

（A）A：（B）43（C）34（D）

例3有大小形狀相同的3個(gè)紅色小球和5個(gè)白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列