四川省宜賓市興文第二中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

興文二中2023年秋期高二期末考試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析】算出，借助準(zhǔn)線定義即可得.【詳解】，即，有，故，則準(zhǔn)線方程為.故選：B.2.若直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線的斜率，進(jìn)而求出傾斜角.【詳解】由直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，可得直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，有，又，所以.故選：C.3.在投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子試驗(yàn)中，事件：向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)；事件：向上的點(diǎn)數(shù)是6，則事件與事件（）A.既互斥又對(duì)立 B.互斥但不對(duì)立 C.對(duì)立但不互斥 D.既不互斥也不對(duì)立【答案】B【解析】【分析】根據(jù)互斥事件以及對(duì)立事件的概念，判斷事件M，N的關(guān)系，即得答案.【詳解】由題意知事件：向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)；事件：向上的點(diǎn)數(shù)是6，則事件與事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生，故二者互斥，當(dāng)M不發(fā)生時(shí)，N也不一定發(fā)生，因?yàn)榭赡苁峭稊S出向上的點(diǎn)數(shù)為2或4，故二者不對(duì)立，故選：B4.已知直線，若，則實(shí)數(shù)（）A.1 B.3 C.1或3 D.0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線平行公式求出參數(shù)m的值，驗(yàn)證是否重合.【詳解】因?yàn)?，所以，解得：或，?dāng)時(shí)，，，兩直線平行，滿足題意，當(dāng)時(shí)，，，兩直線重合，舍，所以.故選：A.5.若方程表示一個(gè)圓，則m可取的值為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】將題設(shè)中的一般式方程經(jīng)配方化成標(biāo)準(zhǔn)方程，依題須使右式大于零，求得的范圍，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】由方程分別對(duì)進(jìn)行配方得：，依題意它表示一個(gè)圓，須使，解得：或，在選項(xiàng)中只有D項(xiàng)滿足.故選：D.6.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積定義計(jì)算即可.【詳解】在棱長(zhǎng)為2的正方體中,易知，因?yàn)?，與的夾角為，所以與的夾角為，.故選：D7.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，．若，則（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列方程組，解方程求出，即可求出，代入即可得出答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為．由條件可知解得所以，．由，得，即，解得（舍去）．故選：B．8.已知為橢圓：上一點(diǎn)，，是的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，且的周長(zhǎng)為16，若為等腰三角形，則的取值不可能為（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】由橢圓的離心率為，可得，由的周長(zhǎng)為16可得：，聯(lián)立即得，的值，，分類討論，，即可得解.【詳解】由橢圓的離心率為，即，由的周長(zhǎng)為16，即，可得：，若，，若，，若，，只有不可能，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的離心率和橢圓定義，考查了分類討論思想，屬于中檔題.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線，圓，則下列說(shuō)法正確的是（）A.直線恒過(guò)點(diǎn) B.圓與圓有兩條公切線C.直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為 D.當(dāng)時(shí)，圓存在無(wú)數(shù)對(duì)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱【答案】ABD【解析】【分析】求解直線系所過(guò)的定點(diǎn)判斷A；判斷兩圓位置關(guān)系判斷B；求解直線被圓截的弦長(zhǎng)判斷C，利用圓的圓心與直線的位置關(guān)系判斷D．【詳解】對(duì)A，直線，即，恒過(guò)點(diǎn)，所以A正確；對(duì)B，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，而圓的圓心為，半徑為1，則兩圓心的距離為，半徑和為3，半徑差為1，則，則兩圓相交，則兩圓有兩條公切線，B正確；對(duì)C，圓的圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為2．直線，恒過(guò)點(diǎn)，代入圓方程得，則定點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓必有兩交點(diǎn)，設(shè)圓心到直線的距離為，則弦長(zhǎng)，若要弦長(zhǎng)最短，則最大，而圓心到直線的距離最大值即為圓的圓心到定點(diǎn)的距離為：，所以直線被圓截得最短弦長(zhǎng)為，所以C不正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，直線方程為：，代入圓心坐標(biāo)，得，則該直線經(jīng)過(guò)圓的圓心，所以圓上存在無(wú)數(shù)對(duì)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以D正確．故選：ABD．10.已知數(shù)列滿足，，則（）A B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，由此即可判斷B；由題意通過(guò)遞推關(guān)系可得，進(jìn)一步可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可判斷剩余選項(xiàng).【詳解】數(shù)列滿足，，所以時(shí)，，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；

，，

，化為：．當(dāng)時(shí)，．．，，故可知．故選：AD．11.如圖，正三棱柱的各棱長(zhǎng)均為1，點(diǎn)和點(diǎn)分別為棱和棱的中點(diǎn)，先將底面置于平面內(nèi)，再將三棱柱繞旋轉(zhuǎn)一周，則（）A.設(shè)向量旋轉(zhuǎn)后的向量為，則B.點(diǎn)的軌跡是以為半徑的圓C.設(shè)向量旋轉(zhuǎn)后的向量為，在平面上的投影向量為，則的取值范圍是D.直線在平面內(nèi)的投影與直線所成角的余弦值的取值范圍是【答案】ABC【解析】【分析】利用坐標(biāo)法，由可得，利用模長(zhǎng)公式可判斷A、B，利用投影向量的概念可得，可判斷C，利用夾角公式可判斷D.【詳解】如圖，取棱的中點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，繞著旋轉(zhuǎn)即繞著軸旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)后的向量為，則，故A正確；設(shè)，則，，點(diǎn)的軌跡是以為半徑的圓，故B正確；由題知，在平面上的投影向量即為其在平面上的投影向量，則，故C正確；設(shè)直線在平面內(nèi)的投影與直線所成的角為，則，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法計(jì)算.12.已知雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，P為C右支上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作C的一條漸近線的垂線，垂足為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為2B.雙曲線C的離心率為C.則P到C的兩條漸近線的距離之積大于4D.當(dāng)最小時(shí)，則的周長(zhǎng)為【答案】BCD【解析】【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式，可判斷A項(xiàng)；根據(jù)離心率，可判斷B項(xiàng)；設(shè)點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，可判斷C項(xiàng)；設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)，由雙曲線定義可知最小時(shí)，則只需最小即可，過(guò)作垂直漸近線與點(diǎn)，交雙曲線右支與點(diǎn)，此時(shí)最小，再由距離公式即可判斷D項(xiàng).【詳解】雙曲線的漸近線為，左焦點(diǎn)，所以點(diǎn)到C的一條漸近線的距離為，所以A錯(cuò)誤；由雙曲線方程可得，，所以離心率，所以B正確；設(shè)點(diǎn)，則，即，點(diǎn)到兩漸近線距離分別為和，則，所以C正確；設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)，則，所以，若最小，則只需最小即可，過(guò)作垂直漸近線與點(diǎn)，交雙曲線右支與點(diǎn)，此時(shí)最小，，由勾股定理得，所以，所以，所以的周長(zhǎng)為，所以D正確.故選：BCD.第II卷非選擇題（90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知在一次隨機(jī)試驗(yàn)E中，定義兩個(gè)隨機(jī)事件A，B，且，，，則________.【答案】0.8##【解析】【分析】利用概率的基本性質(zhì)及事件的運(yùn)算求概率即可.【詳解】由.故答案為：0.814.已知為等差數(shù)列，，則的值為________．【答案】【解析】【分析】法一：根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，將條件和待求式都以表示，由此可求結(jié)果；法二：根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)求解出的值，然后分析待求式與的關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】法一根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式得:,∴,∴，故答案為：.法二∵，由等差數(shù)列性質(zhì)知：，∴，∴，∴，故答案為：.15.在三棱錐中，平面，則三棱錐的內(nèi)切球的表面積等于__________.【答案】【解析】【分析】首先利用等體積法求出內(nèi)切球半徑，再利用球的表面積公式求答案即可.【詳解】如圖，由已知，得的面積為，因?yàn)槿忮F的高為，所以，等腰三角形底邊上的高為，所以三棱錐的表面積為，體積.又三棱錐的體積（其中為三棱錐內(nèi)切球的半徑），所以，所以三棱錐的內(nèi)切球的表面積為.故答案為：.16.已知拋物線，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與圓交于兩點(diǎn)在第一象限，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】分別在，時(shí)，結(jié)合拋物線的性質(zhì)證明，結(jié)合圖象可得，再利用基本不等式求其最小值.【詳解】因?yàn)閽佄锞€M的方程為，所以拋物線M的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線，則直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立與可得，所以，則；當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)作軸于K，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交y軸于E，則，得，則，同理可得，所以，化圓N：為，則圓N的圓心為F，半徑為1，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.甲、乙兩人組成“堅(jiān)毅隊(duì)”參加猜謎語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)謎語(yǔ)，已知甲每輪猜對(duì)的概率為，乙每輪猜對(duì)的概率為.在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.（1）求“堅(jiān)毅隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)4個(gè)謎語(yǔ)的概率.（2）求“堅(jiān)毅隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中至少猜對(duì)1個(gè)謎語(yǔ)的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即可.（2）運(yùn)用相互獨(dú)立事件及對(duì)立事件的概率公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椤皥?jiān)毅隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)4個(gè)謎語(yǔ)，即：甲乙在兩輪活動(dòng)中都猜對(duì)，所以“堅(jiān)毅隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)4個(gè)謎語(yǔ)的概率為.【小問(wèn)2詳解】由題意知，甲每輪猜錯(cuò)的概率為，乙每輪猜錯(cuò)的概率為，因?yàn)椤皥?jiān)毅隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中至少猜對(duì)1個(gè)謎語(yǔ)的對(duì)立事件為：“堅(jiān)毅隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)0個(gè)謎語(yǔ)，又因“堅(jiān)毅隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)0個(gè)謎語(yǔ)，即：甲乙在兩輪活動(dòng)中都猜錯(cuò)，所以“堅(jiān)毅隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)0個(gè)謎語(yǔ)的概率為，所以“堅(jiān)毅隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中至少猜對(duì)1個(gè)謎語(yǔ)的概率為.18.已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，并且直線：平分圓．（1）求圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)，且斜率為的直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且，求k的值．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可得解；（2）聯(lián)立直線與圓的方程得到，從而化簡(jiǎn)得到關(guān)于k的方程，解之即可得解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)橹本€m：平分圓C的面積，所以直線過(guò)圓心，即，則，解得，圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】由題意直線的方程為，聯(lián)立，消去得，設(shè)，則，得，故，而，所以，故有，解得，滿足，所以.19.已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，且右頂點(diǎn)到該條漸近線的距離為.（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件漸近線與直線垂直，右頂點(diǎn)到該條漸近線的距離為，列等量關(guān)系即可求得雙曲線方程；(2)用點(diǎn)差法，設(shè)而不求，即可得到直線的斜率，進(jìn)而求得方程.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與直線垂直，且直線的斜率為，且雙曲線的漸近線為，則，可得，所以，雙曲線的漸近線方程為，即，因?yàn)橛翼旤c(diǎn)到該條漸近線的距離為，所以，解得，所以，所以雙曲線的方程為.【小問(wèn)2詳解】若直線軸，則、關(guān)于軸對(duì)稱，此時(shí)，線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，設(shè)、，設(shè)直線的斜率為，則，則，所以，化簡(jiǎn)得.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，，所以，解得，雙曲線漸近線為，直線斜率大于漸近線斜率，故過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).所以直線的方程為.20.如圖1，在中，，D為的中點(diǎn)，將沿折起，得到如圖2所示的三棱錐，二面角為直二面角.（1）求證：平面；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理以及勾股逆定理證得，再結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理證得結(jié)果；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量法求平面的法向量、平面的法向量，再求兩個(gè)法向量的夾角的余弦值得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】在中，，為中點(diǎn)，，又，.二面角為直二面角，平面平面，又平面平面平面，平面【小問(wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.可求得，由得，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則得取，得取，設(shè)二面角為，，所以二面角的余弦值為21.為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，.（1）證明是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】21.證明見解析；22..【解析】【分析】（1）利用題中的遞推公式構(gòu)造出，從而可證求解.（2）利用錯(cuò)位相減法，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：依題意，由兩邊同時(shí)加上，可得，因?yàn)椋詳?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，則，，兩式相減，可得所以.22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F且垂直于直線l的直線與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)P．當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，的面積為．（1）求拋物線C的方程；（2）求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)直線的方程并聯(lián)立拋物線方程，進(jìn)而可表示出弦長(zhǎng)，再求得，即可根據(jù)的面積求得p的值，即得答案.（2）討論直線斜率是否存在，存在時(shí)設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線方程，可得根與與系數(shù)關(guān)系式，可表示出弦長(zhǎng)，再求得的表達(dá)式，即可得的表達(dá)式，結(jié)合不等式