《統(tǒng)考版》高考數學（理科）一輪練習專練52雙曲線

專練52雙曲線命題范圍：雙曲線的定義、標準方程與簡單的幾何性質．[基礎強化]一、選擇題1．平面內到兩定點F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)距離差的絕對值等于8的動點P的軌跡方程為()A.eq\f(x2,25)－eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝12．設過雙曲線x2－y2＝9左焦點F1的直線交雙曲線的左支于點P，Q，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點．若|PQ|＝7，則△F2PQ的周長為()A．19B．26C．43D．503．漸近線方程為x±y＝0的雙曲線的離心率是()A.eq\f(\r(2),2)B．1C.eq\r(2)D．24．若a>1，則雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1的離心率的取值范圍是()A．(eq\r(2)，＋∞) B．(eq\r(2)，2)C．(1，eq\r(2)) D．(1,2)5．[2021·全國甲卷]已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為()A.eq\f(\r(7),2)B.eq\f(\r(13),2)C.eq\r(7)D.eq\r(13)6．[2020·全國卷Ⅲ]設雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為eq\r(5).P是C上一點，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面積為4，則a＝()A．1B．2C．4D．87．設雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點，則|BF2|＋|AF2|的最小值為()A.eq\f(19,2) B．11C．12 D．168．[2020·湖南張家界高三測試]雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，其漸近線與圓(x－a)2＋y2＝eq\f(3,4)相切，則該雙曲線的方程為()A．x2－eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,5)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝19．[2020·唐山摸底]已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)和雙曲線E：x2－y2＝1有相同的焦點F1，F(xiàn)2，且離心率之積為1，P為兩曲線的一個交點，則△F1PF2的形狀為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不能確定二、填空題10．[2021·全國乙卷]已知雙曲線C：eq\f(x2,m)－y2＝1(m>0)的一條漸近線為eq\r(3)x＋my＝0，則C的焦距為__________．11．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的一條漸近線為eq\r(3)x＋y＝0，則a＝________.12．[2020·全國卷Ⅰ]已知F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸．若AB的斜率為3，則C的離心率為________．[能力提升]13．雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標原點．若|PO|＝|PF|，則△PFO的面積為()A.eq\f(3\r(2),4) B.eq\f(3\r(2),2)C．2eq\r(2) D．3eq\r(2)14．[2020·全國卷Ⅱ]設O為坐標原點，直線x＝a與雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點．若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為()A．4 B．8C．16 D．3215．[2021·河南鄭州一中高三測試]已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個焦點坐標為(4,0)，且雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則該雙曲線的方程為________________________．16．[2021·長沙一中高三測試]若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上存在一點P滿足以|OP|為邊長的正方形的面積等于2ab(其中O為坐標原點)，則雙曲線的離心率的取值范圍是________．專練52雙曲線1．D由題意得a＝4，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－16＝9，又焦點落在x軸上，∴其雙曲線方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.2．Bx2－y2＝9可化為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,9)＝1，∴a＝3，由雙曲線的定義知|PF2|＝2a＋|PF1|，|QF2|＝2a＋|QF1|，∴△F2PQ的周長L＝|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝|PQ|＋2a＋|PF1|＋2a＋|QF1|＝2|PQ|＋4a＝2×7＋4×3＝26.3．C因為雙曲線的漸近線方程為x±y＝0，所以無論雙曲線的焦點在x軸上還是在y軸上，都滿足a＝b，所以c＝eq\r(2)a，所以雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2).故選C.4．C∵c2＝a2＋1，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋1,a2)＝1＋eq\f(1,a2)，又a2>1，∴0<eq\f(1,a2)<1，∴1<1＋eq\f(1,a2)<2，∴1<e<eq\r(2).5．A設|PF2|＝m，|PF1|＝3m，則|F1F2|＝eq\r(m2＋9m2－2×3m×m×cos60°)＝eq\r(7)m，所以C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|－|PF2|)＝eq\f(\r(7)m,2m)＝eq\f(\r(7),2).6．A設|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，則|r1－r2|＝2a，∴req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)－2r1r2＝4a2.由于F1P⊥F2P，則req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＝4c2，∴4c2－2r1r2＝4a2，∴r1r2＝2b2.∵S＝eq\f(1,2)r1r2＝eq\f(1,2)×2b2＝b2＝4，∴e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(4,a2))＝eq\r(5)，解得a2＝1，即a＝1.故選A.7．B由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|AF2|－|AF1|＝2a＝4，,|BF2|－|BF1|＝2a＝4，))所以|BF2|＋|AF2|＝8＋|AF1|＋|BF1|＝8＋|AB|，顯然，當AB為通徑時，其長度最短，|AB|min＝2·eq\f(b2,2)＝3，故(|BF2|＋|AF2|)min＝11.8．A由題意得到e＝eq\f(c,a)＝2，∴b＝eq\r(3)a，則雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x.漸近線與圓(x－a)2＋y2＝eq\f(3,4)相切，∴eq\f(|\r(3)a|,2)＝eq\f(\r(3),2)，又a>0，∴a＝1，b＝eq\r(3).則雙曲線方程為：x2－eq\f(y2,3)＝1.故答案為A.9．B∵x2－y2＝1的焦點(±eq\r(2)，0)，e1＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，∴由題意得eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的焦點坐標為(±eq\r(2)，0)，e＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝c2＝2，,\f(\r(a2－b2),a)＝\f(\r(2),2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝2.))∴橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.設P為兩曲線右邊的交點，由橢圓、雙曲線的定義知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝2×2，,|PF1|－|PF2|＝2，))∴|PF1|＝3，|PF2|＝1，又|F1F2|＝2eq\r(2)，且|PF2|2＋|F1F2|2＝1＋(2eq\r(2))2＝1＋8＝9＝|PF1|2，∴△F1PF2為直角三角形．10．4解析：雙曲線eq\f(x2,m)－y2＝1(m>0)的漸近線為y＝±eq\f(1,\r(m))x，即x±eq\r(m)y＝0，又雙曲線的一條漸近線為eq\r(3)x＋my＝0，即x＋eq\f(m,\r(3))y＝0，對比兩式可得，m＝3.設雙曲線的實半軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，則有a2＝m＝3，b2＝1，所以雙曲線的焦距2c＝2eq\r(a2＋b2)＝4.11.eq\f(\r(3),3)解析：∵雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(x,a)，∴eq\f(1,a)＝eq\r(3)，a＝eq\f(\r(3),3).12．2解析：點B為雙曲線的通徑位于第一象限的端點，其坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，點A坐標為(a,0)，∵AB的斜率為3，∴eq\f(\f(b2,a),c－a)＝3，即eq\f(c2－a2,ac－a)＝eq\f(c＋a,a)＝e＋1＝3，∴e＝2.故離心率e＝2.13．A不妨設點P在第一象限，根據題意可知c2＝6，所以|OF|＝eq\r(6).又tan∠POF＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以等腰三角形POF的高h＝eq\f(\r(6),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(3),2)，所以S△PFO＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(2),4).14．B直線x＝a與雙曲線C的兩條漸近線y＝±eq\f(b,a)x分別交于D、E兩點，則|DE|＝|yD－yE|＝2b，所以S△ODE＝eq\f(1,2)·a·2b＝ab，即ab＝8.所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16(當且僅當a＝b時取等號)，即cmin＝4，所以雙曲線的焦距2c的最小值為8，故選B.15.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1解析：由雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個焦點坐標為(4,0)，可得c＝4，即有a2＋b2＝c2＝16，由雙曲線的兩條漸近線互相垂直，即直線y＝eq\f(b,a)x和直線y＝－eq\f(b,a)x垂直，可得a＝b，則a＝b＝2eq\r(2)，則該雙曲線的方程為eq\f(x