湖南省長沙市雅禮教育集團2023-2024學年高二上學期期末考試數(shù)學試卷

雅禮教育集團2023年下學期期末考試試卷高二數(shù)學時量：120分鐘分值：150分命題人：李云皇?陳智審題人：彭喜?李云皇?郝楠楠一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則（）A.B.C.D.2.若集合，則集合A的子集的個數(shù)為（）A.2B.3C.4D.8

3.設(shè)a，b為兩條直線，α，β為兩個平面，下列四個命題中，正確的命題是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則4.（自編作業(yè)原題）在等差數(shù)列中，，其前n項之和為，若，則（）.A.10B.100C.110D.120

5.（自編作業(yè)原題）中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種動物（鼠?牛?虎?兔?龍?蛇?馬?羊?猴?雞?狗?豬）中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，三位同學依次選一個作為禮物，甲同學喜歡牛和馬，乙同學喜歡牛?狗和羊，丙同學哪個吉祥物都喜歡，如果讓三位同學選取禮物都滿意，則選法有（）A.30種B.50種C.60種D.90種6.（自編作業(yè)原題）已知圓，直線，l與圓C相交于A?B兩點，當弦長最短時，直線l的方程為（）A.B.C.D.7.若，，，則（）A.B.C.D.8.設(shè)，分別是雙曲線的左?右焦點，O為坐標原點，過左焦點作直線與圓切于點E，與雙曲線右支交于點P，且滿足，，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.2

二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.某校1500名學生參加“校園安全”知識競賽，隨機抽取了40名學生的競賽成績（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則（）A.頻率分布直方圖中a的值為0.005B.估計這40名學生的競賽成績的第60百分位數(shù)為75C.估計這40名學生的競賽成績的眾數(shù)為80D.估計總體中成績落在內(nèi)的學生人數(shù)為22510.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極大值D.函數(shù)有最大值11.設(shè)數(shù)列的前n項和為，下列命題正確的是（）A.若為等差數(shù)列，則，，仍為等差數(shù)列B.若為等比數(shù)列，則，，仍為等比數(shù)列C.若為等差數(shù)列，則為等差數(shù)列D.若為正項等比數(shù)列，則為等差數(shù)列12.已知拋物線的焦點為F，過F作兩條互相垂直的直線，，與C相交于P?Q，與C相交于M，N，的中點為G，的中點為H，則（）A.B.C.的最大值為16D.當最小時，直線的斜率不存在三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.（自編作業(yè)原題）函數(shù)在點處的切線方程為________.14.已知，則________.15.（自編作業(yè)原題）某高中計劃2024年寒假安排甲?乙?丙?丁?戊共5名學生志愿者到A?B?C三個社區(qū)協(xié)助反詐宣傳工作，每個社區(qū)至少安排1名志愿者，每個志愿者只能安排到1個社區(qū)，則所有排法的總數(shù)為________.16.若函數(shù)有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.（自編作業(yè)原題）設(shè)a為實數(shù)，函數(shù).（1）求的極值；（2）當a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線與x軸僅有一個交點？18.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點F是棱的中點，點E是棱上靠近點D的三等分點.（1）證明：；（2）求點B到平面的距離.19.（聯(lián)考復(fù)習題改編）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.（1）求B；（2）若的中線長為，求面積的最大值.20.記數(shù)列的前n項和為，對任意正整數(shù)n，有，且.（1）求和的值，并猜想的通項公式；（2）證明第（1）問猜想的通項公式；（3）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求證：.21.在平面直角坐標系中?橢圓的左?右頂點為A，B，上頂點K滿足.（1）求C的標準方程；（2）過點的直線與橢圓C交于M，N兩點.設(shè)直線和直線相交于點P，直線和直線相交于點Q，直線與x軸交于S.證明：是定值.22.已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意的，都有恒成立，求a的取值范圍.雅禮教育集團2023年下學期期末考試試卷高二數(shù)學時量：120分鐘分值：150分命題人：李云皇?陳智審題人：彭喜?李云皇?郝楠楠一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.【答案】B【詳解】因為，所以.2.【答案】C【詳解】，所以集合的子集的個數(shù)為4.3.【答案】D【詳解】選項，如圖1，滿足，但不平行，錯誤；錯誤，如圖2，滿足，但不平行，錯誤；選項，如圖3，滿足，但不平行，錯誤；選項，若，由線面平行的判斷定理可得正確.4.【答案】B5.【答案】B【解答】解：①甲同學選擇牛，乙有2種，丙有10種，選法有種，②甲同學選擇馬，乙有3種，丙有10種，選法有種，所以總共有種.6.【答案】C【詳解】易知直線過定點，當弦長最短時，該弦所在直線與過點的直徑垂直.已知圓心，所以過點的直徑所在直線的斜率，故所求直線的斜率為，所以所求直線方程為，即.7.【答案】C【詳解】易知，構(gòu)造函數(shù)，則；令，解得，當時，，當時，；可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；又易知，所以，即.8.【答案】A【詳解】為圓上的點，，是的中點，又是的中點，，且，又，是圓的切線，，在Rt中，又有，，故雙曲線的離心率為.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.【答案】AD【詳解】由，可得，故A正確；前三個矩形的面積和為，所以這40名學生的競賽成績的第60百分位數(shù)為80，故B錯誤；由成績的頻率分布直方圖易知，這40名學生的競賽成績的眾數(shù)為75，故C錯誤；總體中成績落在內(nèi)的學生人數(shù)為，故D正確.10.【答案】BC【詳解】當時，，當時，，所以函數(shù)在上先減后增，故A錯誤；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B正確；因為在左側(cè)附近導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)附近導(dǎo)數(shù)為負，所以函數(shù)在處取得極大值，故C正確；不確定是否有最大值，故不正確.11.【答案】ACD【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，同理可得，所以，所以仍為等差數(shù)列，故A項正確；取數(shù)列為，當為0時，不能成等比數(shù)列，故B項不正確；設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，于是，所以為等差數(shù)列，故C項正確；若設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意，則，D項正確.12.【答案】AD【詳解】選項，若一條直線的斜率不存在時，則另一條直線斜率為0，此時與拋物線只有1個交點，不合要求，故兩直線斜率均存在且不為0，由題意得，設(shè)直線方程為，聯(lián)立與得，，易知，設(shè)，則，則，則，A正確；選項，在選項基礎(chǔ)上得到，由于兩直線均過焦點且垂直，可得，故，B不正確；C選項，由B選項可知，，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為錯誤；選項，由選項可知，點橫坐標為，故，所以，由于兩直線均過焦點且垂直，可得，則，其中，當且僅當，即時，等號成立，當時，取得最小值，此時，故當最小時，直線的斜率不存在，正確.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.【答案】14.【答案】【詳解】由得，所以，兩邊平方得，解得.15.15016.【答案】【詳解】，令，顯然函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)有2個零點，等價于有兩個根，即有兩個根，設(shè)過原點且與曲線相切的直線方程為，切點為，因為，所以，解得，得切線方程為，如下圖，作出函數(shù)的圖像及其過原點的切線，可知當，即時有兩個交點，即有兩個根.所以實數(shù)的取值范圍為故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.【解答】解：（1）.令，則或.當變化時，的變化情況如下表：1+00+極大值極小值所以的極大值是，極小值是.（2）函數(shù)，由此可知，取足夠大的正數(shù)時，有取足夠小的負數(shù)時，有，曲線與軸至少有一個交點.由（1）知.曲線與軸僅有一個交點，或，即或或當時，曲線與軸僅有一個交點.18.【詳解】（1）底面底面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因為，點是棱的中點，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；（2）解：如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，所以點到平面的距離為.19.【解答】解：（1）因為，所以由正弦定理可得，又，所以，可得，因為為三角形內(nèi)角，，所以，可得，因為，所以，可得，可得；（2）因為的中線長為，又，兩邊平方，可得，所以，得當且僅當時等號成立，.20.【詳解】（1）由題意：時，，即；當時，，即猜想：（2）證明：當時，①②②①得：即：方法一：當時，.也適合上式，故；方法二：當時，也適合上式，故（3）證明：由（1）可得，故，則，故，故，由于，故，故21.【解答】解：（1）由題，，解得.所以的標準方程為.（2）證明：設(shè)，直線的方程為.聯(lián)立直線與橢圓的方程，消得，從而由韋達定理，得.由（1）知，所以直線和的方程分別為，.聯(lián)立直線和，可得交點的橫坐標滿足：，解得，即點總在直線上.同理可得點也在直線上，所以直線的方程為.所以，所以，其中分別為點，點的縱坐標.聯(lián)立直線和直線，得；聯(lián)立直線和