福建省龍海市第二中學(xué)高三上學(xué)期第三次月考試題（1月）數(shù)學(xué)

龍海二中20202021學(xué)年第一學(xué)期第三次月考高三年數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘總分：150分）第Ⅰ卷（共60分）選擇題：（一）單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知QUOTE（QUOTE為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為QUOTE，則QUOTE（）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE2.在等差數(shù)列中，，則此數(shù)列前項(xiàng)的和是（）．A． B． C． D．3．QUOTE，QUOTE，QUOTE，（其中QUOTE為自然對(duì)數(shù)）則（）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，始與岸齊，問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？”意思是說(shuō)：“有一個(gè)邊長(zhǎng)為丈的正方形水池，在池的正中央長(zhǎng)著一根蘆葦，蘆葦露出水面尺．若將蘆葦拉到池邊中點(diǎn)處，蘆葦?shù)捻敹饲『玫竭_(dá)水面．問(wèn)水有多深？蘆葦多長(zhǎng)？”該題所求的水深為（）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺5.函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需把的圖象上所有點(diǎn)（）A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位6．已知直線QUOTE，QUOTE，平面QUOTE、QUOTE，其中QUOTE，QUOTE在平面QUOTE內(nèi)，下面四個(gè)命題：①若QUOTE，則QUOTE； ②若QUOTE，則QUOTE；③若QUOTE，則QUOTE； ④若QUOTE，則QUOTE．以上命題中，正確命題的序號(hào)是（）A．①② B．②④ C．①③ D．③④7．為了增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，強(qiáng)化學(xué)生的理解，某學(xué)校開(kāi)展了一次戶外探究．當(dāng)?shù)赜幸蛔剑叨葹镼UOTE，同學(xué)們先在地面選擇一點(diǎn)QUOTE，在該點(diǎn)處測(cè)得這座山在西偏北QUOTE方向，且山頂QUOTE處的仰角為QUOTE；然后從QUOTE處向正西方向走QUOTE米后到達(dá)地面QUOTE處，測(cè)得該山在西偏北QUOTE方向，山頂QUOTE處的仰角為QUOTE．同學(xué)們建立了如圖模型，則山高QUOTE為（）A．QUOTE米 B．QUOTE米 C．QUOTE米 D．QUOTE米8．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線在第一、二象限內(nèi)依次交于，兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．2多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.不選或選出的選項(xiàng)中含有錯(cuò)誤選項(xiàng)得0分，只選出部分正確選項(xiàng)得3分，選出全部正確選項(xiàng)得5分）9．我國(guó)QUOTE技術(shù)研發(fā)試驗(yàn)在20162018年進(jìn)行，分為QUOTE關(guān)鍵技術(shù)試驗(yàn)、QUOTE技術(shù)方案驗(yàn)證和QUOTE系統(tǒng)驗(yàn)證三個(gè)階段實(shí)施．2020年初以來(lái)，QUOTE技術(shù)在我國(guó)已經(jīng)進(jìn)入高速發(fā)展的階段，QUOTE的銷量也逐漸上升，某商城統(tǒng)計(jì)了近5個(gè)月來(lái)QUOTE的實(shí)際銷量，如下表所示：月份2020年6月2020年7月2020年8月2020年9月2020年10月月份編號(hào)QUOTE12345銷量QUOTE/部5096a185227若QUOTE與QUOTE線相關(guān)，且求得線回歸方程為QUOTE，則下列說(shuō)法正確的是（）A．QUOTE B．QUOTE與QUOTE正相關(guān)C．QUOTE與QUOTE的相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù) D．12月份該商城的QUOTE銷量約為QUOTE部10．下列結(jié)論正確的有（）A．若隨機(jī)變量，，則B．若，則C．已知回歸直線方程為，且，，則D．已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個(gè)，剩下的六個(gè)數(shù)據(jù)分別是3，3，5，3，6，11，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，則丟失數(shù)據(jù)的所有可能值的和為2211.如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A．平面B．四面體的體積是定值C．當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，直線AE與平面所成的角和直線AE與平面所成的角相等D.異面直線與所成角的正切值為12．在數(shù)學(xué)史上，為了三角計(jì)算的簡(jiǎn)便并且更加追求計(jì)算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)下列兩種三角函數(shù)：定義QUOTE為角QUOTE的正矢，記作QUOTE，定義1sinQUOTE為角QUOTE的余矢，記作QUOTE，則下列命題中正確的是（）A．函數(shù)QUOTE在QUOTE上是減函數(shù)B．若QUOTE，則QUOTEC．函數(shù)QUOTE，則QUOTE的最大值QUOTED．QUOTE第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13．已知單位向量QUOTE、QUOTE的夾角為QUOTE，QUOTE與QUOTE垂直，則QUOTE___QUOTE______．14．福建省2021年的新高考按照“QUOTE”的模式設(shè)置，“QUOTE”為全國(guó)統(tǒng)一高考的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)QUOTE門必考科目；“QUOTE”由考生在物理、歷史QUOTE門中選考QUOTE門科目；“QUOTE”由考生在思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)QUOTE門中選考QUOTE門科目．則甲，乙兩名考生在QUOTE門選考科目中恰有兩門科目相同的條件下，均選擇物理的概率為_(kāi)_______．15.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為為拋物線上一點(diǎn)，且滿足，則_____．16．某學(xué)校為了加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，鍛煉學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的能力，他們以教材第97頁(yè)B組第3題的函數(shù)QUOTE為基本素材，研究該函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，取得部分研究成果如下：①同學(xué)甲發(fā)現(xiàn)：函數(shù)QUOTE是偶函數(shù)；②同學(xué)乙發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意的都有QUOTE；③同學(xué)丙發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意的QUOTE，都有QUOTE；④同學(xué)丁發(fā)現(xiàn)：對(duì)于函數(shù)QUOTE定義域中任意的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)QUOTE，總滿足QUOTE.其中所有正確研究成果的序號(hào)是_________．三．解答題（本大題共6小題，滿分70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，推理過(guò)程或演算步驟）17．（10分）已知在QUOTE中，QUOTE為鈍角，QUOTE，QUOTE．（1）求證：QUOTE；（2）設(shè)QUOTE，求QUOTE邊上的高．18．（12分）已知等差數(shù)列QUOTE與正項(xiàng)等比數(shù)列QUOTE滿足QUOTE，且QUOTE，20，QUOTE既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列QUOTE和QUOTE的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）在（1）QUOTE，（2）QUOTE，（3）QUOTE這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并完成求解．若_______________，求數(shù)列QUOTE的前QUOTE項(xiàng)和QUOTE．注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按照第一個(gè)解答計(jì)分．19．（12分）如圖，在直三棱柱QUOTE中，QUOTE，QUOTE，QUOTE，點(diǎn)QUOTE，QUOTE分別在QUOTE，QUOTE，且QUOTE，QUOTE．設(shè)QUOTE．（1）當(dāng)異面直線QUOTE與QUOTE所成角的大小為QUOTE，求QUOTE的值．（2）當(dāng)QUOTE時(shí)，求二面角QUOTE的大?。?0．習(xí)近平總書記在黨的十九大工作報(bào)告中提出，永遠(yuǎn)把人民對(duì)美好生活的向往作為奮斗目標(biāo).在這一號(hào)召的引領(lǐng)下，全國(guó)人民積極工作，健康生活.當(dāng)前“日行萬(wàn)步”正成為健康生活的代名詞.某學(xué)校工會(huì)積極組織該校教職工參與“日行萬(wàn)步”活動(dòng).界定日行步數(shù)不足4千步的人為“不健康生活方式者”，不少于10千步的人為“超健廉生活方式者”，其他為“一般生活方式者”.某日，學(xué)校工會(huì)隨機(jī)抽取了該校40名教職工，統(tǒng)計(jì)他們的日行步數(shù)，按步數(shù)分組，得到頻率分布直方圖如圖所示：（1）求40名教職工日行步數(shù)（千步）的樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值代替，結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；（2）由直方圖可以認(rèn)為該校教職工的日行步數(shù)（千步）QUOTE服從正態(tài)分布QUOTE.其中QUOTE為樣本平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為2.5，根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果（取整數(shù)）.求該校被抽取的40名教職工中日行步數(shù)（千步）QUOTE的人數(shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；（3）用樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率.若工會(huì)從該校全體教職工中隨機(jī)抽取3人作為“日行萬(wàn)步”活動(dòng)的獎(jiǎng)勵(lì)對(duì)象，求3人中日行步數(shù)（千步）在QUOTE內(nèi)的人數(shù)QUOTE的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布QUOTE，QUOTE則，QUOTE21．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在斜率為2的直線，使得當(dāng)直線與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)，能在直線上找到一點(diǎn)，在橢圓上找到一點(diǎn)，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由．22．（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若是的兩個(gè)零點(diǎn)．證明：（?。?； （ⅱ）．參考答案一、選擇題（一）單項(xiàng)選擇題1、A2、B3、B4、A5、A6、C7、C8、C（二）多項(xiàng)選擇題9、AB10、AC11、AD12、BD二、填空題13、_QUOTE14、QUOTE15、16、②③三、解答題17、(1)證明:QUOTE，QUOTE

QUOTEQUOTE…………5分

(2)解:由（1）知QUOTE，QUOTE

即：QUOTE,將QUOTE代入上式并整理得:QUOTE

又因?yàn)锽為銳角，QUOTE，所以解得QUOTE，∴QUOTE.…7分

設(shè)AB上的高為CD,則QUOTE，得QUOTE

故AB邊上的高為QUOTE.………10分18、（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列QUOTE的公差為d，等比數(shù)列QUOTE的公比為QUOTE，

由題得QUOTE，即QUOTE

解得QUOTE，所以，QUOTE；…………6分

（Ⅱ）（1），QUOTE

則QUOTE

故QUOTE………12分

（2），QUOTE；

QUOTE，①

QUOTE，②

由①②，得QUOTE，

即QUOTE………12分

（3）QUOTE

則QUOTE

故QUOTE………12分19、解：因?yàn)橹比庵鵔UOTE，所以QUOTE平面QUOTE，

因?yàn)镼UOTE平面QUOTE，所以QUOTE，QUOTE，

又因?yàn)镼UOTE，

所以建立分別以QUOTE，QUOTE，QUOTE為QUOTE軸的空間直角坐標(biāo)系QUOTE.

（1）設(shè)，則QUOTE，AQUOTE，

各點(diǎn)的坐標(biāo)為QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE.

QUOTE，QUOTE.…2分

因?yàn)镼UOTE，QUOTE，又異面直線QUOTE與QUOTE所成角的大小為QUOTE所以QUOTE.所以QUOTE.……………6分（2）因?yàn)镼UOTE，QUOTE.QUOTE，QUOTE

設(shè)平面QUOTE的法向量為QUOTE，則QUOTE，且QUOTE.

即QUOTE，且QUOTE.

令QUOTE，則QUOTE，QUOTE.又QUOTE,

所以QUOTE是平面QUOTE的一個(gè)法向量.

同理，QUOTE是平面QUOTE的一個(gè)法向量.…10分

所以QUOTE所以平面QUOTE平面QUOTE，

當(dāng)QUOTE時(shí)，二面角QUOTE的大小為QUOTE …12分20．解（1）QUOTE（千步）；………………2分（2）∵QUOTE，∴QUOTE，QUOTE，∴QUOTE，∴該校被抽取的40名教職工中日行步數(shù)（千步）QUOTE的人數(shù)約為QUOTE（人）…………5分（3）由頻率分