2021新高考數(shù)學一輪復習學案2-9函數(shù)模型及應用

第九節(jié)函數(shù)模型及應用課標要求考情分析1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，結(jié)合具體實例體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義．2．了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應用.1.利用函數(shù)圖象刻畫實際問題及建立函數(shù)模型解決實際問題，是高考命題的熱點．2．常與函數(shù)的圖象、單調(diào)性、最值以及基本不等式、導數(shù)的應用交匯命題，考查建模能力及分析問題和解決問題的能力．3．選擇題、填空題、解答題三種題型都有考查，但以解答題為主.知識點一指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較知識點二幾種常見的函數(shù)模型(1)“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長速度緩慢．(2)充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．(3)易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗證數(shù)學結(jié)果對實際問題的合理性．1．思考辨析判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)某種商品進價為每件100元，按進價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，則每件還能獲利．(×)(2)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大．(×)(3)不存在x0，使ax0<xeq\o\al(n,0)<logax0.(×)(4)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度會超過并遠遠大于y＝xa(a>0)的增長速度．(√)解析：(1)9折出售的售價為100(1＋10%)×eq\f(9,10)＝99元．∴每件賠1元，(1)錯．(2)中，當x＝2時，2x＝x2＝4.不正確．(3)中，如a＝x0＝eq\f(1,2)，n＝eq\f(1,4)，不等式成立，因此(3)錯．2．小題熱身(1)函數(shù)模型y1＝0.25x，y2＝log2x＋1，y3＝1.002x，隨著x的增大，增長速度的大小關(guān)系是y3>y1>y2.(2)某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為800元．若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為eq\f(x,8)天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元．把平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和S表示為x的函數(shù)是S＝eq\f(800,x)＋eq\f(x,8)(x∈N*)．(3)某物體一天中的溫度T是關(guān)于時間t的函數(shù)，且T＝t3－3t＋60，時間單位是小時，溫度單位是℃，當t＝0時表示中午12：00，其后t值為正，則上午8時該物體的溫度是8_℃.(4)已知某種動物繁殖量y(只)與時間x(年)的關(guān)系為y＝alog3(x＋1)，設(shè)這種動物第2年有100只，到第8年它們發(fā)展到200只．(5)在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v(米/秒)關(guān)于燃料的質(zhì)量M(千克)、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(千克)的函數(shù)關(guān)系式是v＝2000·lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m))).當燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的e6－1倍時，火箭的最大速度可達12千米/秒．解析：(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長速度關(guān)系可得．(2)由題意知，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用是eq\f(800,x)元，倉儲費用是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,8)×1))元，所以每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和S＝eq\f(800,x)＋eq\f(x,8).(3)由題意知，上午8時即t＝－4，因此所求溫度T＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8(℃)．(4)由題意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，當x＝8時，y＝100log39＝200.(5)由題意可得12000＝2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))，則lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))＝6，解得1＋eq\f(M,m)＝e6，所以eq\f(M,m)＝e6－1，故填e6－1.考點一一次函數(shù)、二次函數(shù)模型的應用【例1】為了保護環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y＝eq\f(1,2)x2－200x＋80000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元．(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不能獲利，那么國家每月至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損？【解】(1)由題意可知，二氧化碳的每噸平均處理成本為eq\f(y,x)＝eq\f(1,2)x＋eq\f(80000,x)－200≥2eq\r(\f(1,2)x·\f(80000,x))－200＝200，當且僅當eq\f(1,2)x＝eq\f(80000,x)，即x＝400時，才能使每噸的平均處理成本最低，最低成本為200元．(2)設(shè)該單位每月獲利為S，則S＝100x－y＝100x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－200x＋80000))＝－eq\f(1,2)x2＋300x－80000＝－eq\f(1,2)(x－300)2－35000.因為400≤x≤600，所以當x＝400時，S有最大值－40000.故該單位不獲利，需要國家每月至少補貼40000元，才能使該單位不虧損．方法技巧在建立二次函數(shù)模型解決實際問題中的最優(yōu)問題時，一定要注意自變量的取值范圍，需根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸與函數(shù)定義域在坐標系中對應區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解．解決函數(shù)應用問題時，最后還要還原到實際問題．1．某商場銷售A型商品，已知該商品的進價是每件3元，且銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如表所示：銷售單價/元45678910日均銷售量/件400360320280240200160請根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，要使該商品的日均銷售利潤最大，則此商品的定價(單位：元/件)應為(C)A．4 B．5.5C．8.5 D．10解析：由題意可設(shè)定價為x元/件，利潤為y元，則y＝(x－3)[400－40(x－4)]＝40(－x2＋17x－42)，故當x＝8.5時，y有最大值，故選C.2．某種商品進價為4元/件，當日均零售價為6元/件，日均銷售100件，當單價每增加1元，日均銷量減少10件，試計算該商品在銷售過程中，若每天固定成本為20元，則預計單價為多少時，利潤最大(B)A．8元/件 B．10元/件C．12元/件 D．14元/件解析：設(shè)單價為(6＋x)元，日均銷售量為100－10x，則日利潤y＝(6＋x－4)(100－10x)－20＝－10x2＋80x＋180＝－10(x－4)2＋340(0<x<10)．∴當x＝4時，ymax＝340.即單價為10元/件，利潤最大，故選B.考點二分段函數(shù)模型的應用【例2】已知美國蘋果公司生產(chǎn)某款iPhone的年固定成本為40萬美元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬美元，設(shè)蘋果公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款iPhonex萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為R(x)萬美元，且R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400－6x，0<x≤40，,\f(7400,x)－\f(40000,x2)，x>40.))(1)寫出年利潤W(萬美元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬部)的函數(shù)解析式；(2)當年產(chǎn)量為多少萬部時，蘋果公司在該款iPhone的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．【解】(1)當0<x≤40時，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40，當x>40時，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－eq\f(40000,x)－16x＋7360.所以，W＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6x2＋384x－40，0<x≤40，,－\f(40000,x)－16x＋7360，x>40.))(2)①當0<x≤40時，W＝－6(x－32)2＋6104，所以Wmax＝W(32)＝6104(萬美元)；②當x>40時，W＝－eq\f(40000,x)－16x＋7360，由于eq\f(40000,x)＋16x≥2eq\r(\f(40000,x)×16x)＝1600，當且僅當eq\f(40000,x)＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)時，取等號，所以W取最大值為5760.綜合①②知，當x＝32時，W取最大值為6104萬美元．方法技巧1分段函數(shù)的特征主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，分段函數(shù)模型的最值問題，應先求出每一段上的最值，然后比較大小.2構(gòu)造分段函數(shù)時，要力求準確，簡潔，做到分段合理，保證不重不漏.為了保護環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術(shù)攻關(guān)，新上了把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品的項目，經(jīng)測算，該項目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－80x2＋5040x，x∈[120，144，,\f(1,2)x2－200x＋80000，x∈[144，500]，))且每處理1噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為200元，若該項目不獲利，國家將給予補償．(1)當x∈[200,300]時，判斷該項目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損？(2)該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？解：(1)當x∈[200,300]時，設(shè)該項目獲利為S元，則S＝200x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－200x＋80000))＝－eq\f(1,2)x2＋400x－80000＝－eq\f(1,2)(x－400)2，所以當x∈[200,300]時，S<0，因此該項目不會獲利．當x＝300時，S取得最大值－5000，所以國家每月至少補貼5000元才能使該項目不虧損．(2)由題意，可知二氧化碳的每噸處理成本為eq\f(y,x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2－80x＋5040，x∈[120，144，,\f(1,2)x＋\f(80000,x)－200，x∈[144，500]，))當x∈[120,144)時，eq\f(y,x)＝eq\f(1,3)x2－80x＋5040＝eq\f(1,3)(x－120)2＋240，所以當x＝120時，eq\f(y,x)取得最小值240.當x∈[144,500]時，eq\f(y,x)＝eq\f(1,2)x＋eq\f(80000,x)－200≥2eq\r(\f(1,2)x×\f(80000,x))－200＝200，當且僅當eq\f(1,2)x＝eq\f(80000,x).即x＝400時，eq\f(y,x)取得最小值200，所以該項目每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低．考點三指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的應用【例3】已知某物體的溫度θ(單位：攝氏度)隨時間t(單位：分鐘)的變化規(guī)律是θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m>0)．(1)如果m＝2，求經(jīng)過多長時間，物體的溫度為5攝氏度；(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍．【解】(1)若m＝2，則θ＝2·2t＋21－t＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(1,2t)))，當θ＝5時，2t＋eq\f(1,2t)＝eq\f(5,2)，令2t＝x(x≥1)，則x＋eq\f(1,x)＝eq\f(5,2)，即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝eq\f(1,2)(舍去)，此時t＝1.所以經(jīng)過1分鐘，物體的溫度為5攝氏度．(2)物體的溫度總不低于2攝氏度，即θ≥2恒成立，即m·2t＋eq\f(2,2t)≥2恒成立．亦即m≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2t)－\f(1,22t)))恒成立．令eq\f(1,2t)＝y(tǒng)，則0<y≤1，∴m≥2(y－y2)恒成立，由于y－y2≤eq\f(1,4)，∴m≥eq\f(1,2).因此，當物體的溫度總不低于2攝氏度時，m的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).方法技巧1指數(shù)函數(shù)模型，常與增長率相結(jié)合進行考查，在實際問題中有人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來解決；2應用指數(shù)函數(shù)模型時，關(guān)鍵是對模型的判斷，先設(shè)定模型，再將已知有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型；3y＝a1＋xn通常利用指數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.1．某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金的投入．若該公司2016年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年