2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)-二次函數(shù)與角度問題

2023九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)——二次函數(shù)與角度問題

1.(2023?柳州一模)如圖,拋物線y=-χ2+fcc+c與X軸交于A(T,0),8(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)

。是拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線解析式；

4acb

(2)求開口向下的二次函數(shù)的最大值時(shí)采用的步驟是：第一，求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)(-2,-^)i

2a4a

第二，確定自變量X的取值范圍；第三，判定X=-A是否在其范圍內(nèi)，若在，則最大值是頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，若

2a

h_.h

不在，要根據(jù)其增減性求最大值，即當(dāng)磁Ikn<---(〃?<〃)時(shí)?，X=〃時(shí)，y最大；當(dāng)----C緇Ikn(m<n)

2a2a

時(shí)，x=〃7時(shí)，y最大.

若rvθ,檄C1+1時(shí)，二次函數(shù)y=f?+for+。的最大值是,,求r的值.

(3)如圖，若點(diǎn)P是第一象限拋物線上一點(diǎn)，且NZMP=45。，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

2.（2023?南崗區(qū)校級(jí)模擬）拋物線y=α√-3αx+4交y軸于點(diǎn)C,交X軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,交X軸正半軸于

點(diǎn)、B,已知AB=5.

（1）如圖1,求拋物線解析式；

（2）如圖2,點(diǎn)尸是第一象限拋物線上一點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為/,ΔP8C面積為S,試用/表示S；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接OP,將射線PO繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到的射線與CB的延長(zhǎng)線交

于點(diǎn)G,與X軸交于點(diǎn)F,連接AP與y軸交于點(diǎn)E,連接BE,過點(diǎn)C作y軸的垂線與過點(diǎn)8作BE的垂

線交于點(diǎn)O,連接QE,與OP交于點(diǎn)H,且2NG+NP〃r>=90。，求點(diǎn)G點(diǎn)的坐標(biāo).

圖1圖2圖3

3.(2023?常州模擬)如圖，拋物線y=0√+6x+c經(jīng)過A(T,0)、8(3,0)、C(0,3)三點(diǎn),對(duì)稱軸與拋物線相

(1)求該拋物線的解析式；

(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使AQPB與ΔEP3的面積相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在,

說明理由.

(3)拋物線上存在一點(diǎn)G,使NGB4+NP3E=45。，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo).

4.（2023?三元區(qū)模擬）如圖，二次函數(shù)y=-f+2αr+24+l（α是常數(shù)，且α>0）的圖象與X軸交于A,B兩

點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為。，對(duì)稱軸與線段3C交于點(diǎn)￡,與X軸交于點(diǎn)F,連

接AC,BD.

（1）若α=1

①求直線BC的表達(dá)式；

②求證：ZACO=ZCBD;

（2）若二次函數(shù)y=-d+2辦+2α+l（α是常數(shù)，且α>0）在第四象限的圖象上，始終存在一點(diǎn)尸，使得

備用圖

5.(2023?南海區(qū)模擬)如圖，拋物線y=-gf+∕x+2與X軸相交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,C為線段OA

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作X軸的垂線，交直線ΛB于點(diǎn)。，交該拋物線于點(diǎn)E.

(1)求直線ΛB的表達(dá)式；

(2)當(dāng)ΔBEZ)為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)NBa=2NQ4B時(shí)，求AfiEO的面積.

6.(2023?新泰市一模)拋物線y=α√+?x+c與坐標(biāo)軸分別交于A,B,C三點(diǎn)A(-2,0),B(3,0),C(0,4).

點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

3

(2)連接4,CP,AC,^SMPC=^SΛΛOC,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)連接ΛP,BC,是否存在點(diǎn)P,使得2N∕?B=NABC,若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說

圖1圖2

7.(2023?錫山區(qū)模擬)拋物線y=αx2+bx+3過點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)8(3,0),頂點(diǎn)為C.

(1)直接寫出拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo);

(2)如圖1,點(diǎn)尸在拋物線上，連接CP并延長(zhǎng)交X軸于點(diǎn)。，連接AC,若ΔZMC是以AC為底的等腰三

角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)如圖2,在(2)的條件下，點(diǎn)E是線段AC上(與點(diǎn)A,C不重合)的動(dòng)點(diǎn)，連接PE,作NPEF=NC4B,

邊所交X軸于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為

8.(2023?天寧區(qū)校級(jí)模擬)如圖1,拋物線)，=0^+以+。的圖象與才軸交于4-2,0)、8(5,0)兩點(diǎn)，過點(diǎn)

C(2,4).動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿ΛB方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒.

(1)求拋物線)，=以2+加+。的表達(dá)式；

(2)過。作Z)ELAB交AC于點(diǎn)E,連接BE.當(dāng)f=3時(shí)，求ΔBCE的面積;

(3)如圖2,點(diǎn)尸(4,2)在拋物線上.當(dāng)f=5時(shí)，連接AF,CF,CD,在拋物線上是否存在點(diǎn)尸，使得

ZACP=NDCF?若存在,直接寫出此時(shí)直線CP與X軸的交點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由.

9.(2023?沈河區(qū)模擬)如圖，拋物線y=以2-30rT0a(4<0)交X軸于A、8兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,

tanZCAO=-.

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)直線X=MO</<5)與拋物線交于點(diǎn)尸，連接P4交y軸于點(diǎn)。，連接AC,當(dāng)A4CP的面積為4時(shí),

求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)尸在第一象限的拋物線上，點(diǎn)尸是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)NFOB+ZADO=90。,FC平分NoEP時(shí),

直接寫出ZUCP的面積為.

10?(2023?澤州縣一模)綜合與探究.

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=?√+?r+c的圖象與X軸交于A,3兩點(diǎn)，與直線/交于B,C

兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,-4).

備用圖

(I)求二次函數(shù)的表達(dá)式和點(diǎn)B的坐標(biāo).

(2)若P為直線/上一點(diǎn)，。為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形OBPQ為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)如圖2,若拋物線與y軸交于點(diǎn)￡),連接AD,BD,在拋物線上是否存在點(diǎn)M,使NMAB=NADB?

若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

11.（2023?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，拋物線產(chǎn)-八2-3+3與坐標(biāo)軸分別交于A,B,C三點(diǎn),M是第

二象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)且橫坐標(biāo)為m.

（1）求8點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的解析式為—，—.

（2）連接交線段AC于點(diǎn)￡>,求工班的最大值；

^ΛAl>K

（3）連接CM,是否存在點(diǎn)M,使得NACo+2ZAeW=90。，若存在，求"?的值.若不存在，請(qǐng)說明理

由.

12.(2023?新都區(qū)模擬)如圖，拋物線y=αχ2+?r+c經(jīng)過A(-6,0),OA=3OB=-OC,。為線段AC下方

2

拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。做AC于G.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求ΔA8面積的最大值；

（3）連接BC,是否存在點(diǎn)。，使得△口）G中有一個(gè)角與NBCO相等？若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)。的橫坐標(biāo)；若

13.(2023?東莞市校級(jí)一模)如圖，拋物線y=α^+b尤+2與X軸交于點(diǎn)4-1,0)、8(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交

點(diǎn)C,連接AC,BC.拋物線的對(duì)稱軸交X軸于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)、F,頂點(diǎn)為

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)用的坐標(biāo)；

(2)若O是直線3C上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接OD交BC于點(diǎn)E,當(dāng)匹的值最大時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

OE

(3)已知點(diǎn)G是拋物線上的一點(diǎn)，連接CG,若NGCB=NABC,求點(diǎn)G的坐標(biāo).

14.（2023?長(zhǎng)沙二模）如圖1,拋物線y=αχ2+30r（α為常數(shù)，α<0）與X軸交于O,A兩點(diǎn)，點(diǎn)8為拋物

線的頂點(diǎn)，點(diǎn)。是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接皮）并延長(zhǎng)與過O,A,8三點(diǎn)的.P相交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C

（1）①求點(diǎn)A的坐標(biāo)；②求證：CE=DE;

(2)如圖2,連接A3,AC,BE,BO,當(dāng)α=—―,NC4E=NO8E'時(shí),

3

①求證：AB?=AC?BE；②求」----L的值.

ODOE

答案版:

1.

【解答】解：(1)拋物線y=-χ2+?χ+c與X軸交于A(-1,O),B(3,0)兩點(diǎn),

-1-?+c=0b=2

,解得

-9+3?+c=0c=3

拋物線解析式為y=-Y+2χ+3.

/C、b24ac-b24×(-l)×3-22“

\2,)--------------------=I.,-------------------------------------=4j

2a2×(-l)4〃4x(-1)

.?.拋物線y=-寸+2x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為O(1,4),

/<0,

/.r+l<l,

α=-lvθ,

.??拋物線開口向下，

啜!kr+l<l,

當(dāng)％=f+1時(shí)，y最大=t，

.?.-(r+l)2÷2(r+l)+3=z,

解得a=T;歷,‘2=T+而(不符合題意，舍去)，

>>?.—1—JI7

.一的值為———?

2

(3)如圖，作OE_LX軸于點(diǎn)￡,

0(1,4),

.?.￡(1,0),

作GOLAQ,交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,作GFLX軸，。尸軸，GF與DF交于點(diǎn)、F,

ZAΓ>G=ZEDF=90°fNZKP=45。，

/.ZGDF=ZADE=90°-ZEDG,ZDGA=ADAG=45°,

:.DG=DA,

ZF=ZAED=90。，

:.AGDF=^ADE(AAS)f

.??DF=DE=4,GF=AE=l-(-l)=2,

.?.F(5,4),G(5,2),

設(shè)直線AG的解析式為y=nvc+n,

將A(T,0),G(5,2)代入y=mr+τι,

8

3金=τ(不符合題意，舍去)，

11I，2=0

9^

【解答】解：(1)如圖1中，設(shè)A(m,O),B(n,O),

加+〃=3

由題意得:

n-rn=5

m=-l

解得

〃=4

.?A(-I,O),B(4,0),

把A(T,0)代入y=αγ2-3ax+4t

得：α+3α+4=0?

解得：a=-lf

.?.拋物線的解析式為y=-x2+3x÷4;

(2)過JP作尸W/∕y軸交于W,交X軸于點(diǎn)。，如圖,

拋物線的解析式為y=-犬+3x+4,

令X=O,則y=4,

.?.C(0,4),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+h,

.a=4

??∣4?÷?=0,

.?.直線8C的解析式為y=-χ+4,

P點(diǎn)橫坐標(biāo)為，，

.,.p(t,-t?+3,+4),W(/,—/÷4)τ

ΛPD=→2+3Z÷4,WD=-t+4,

.?.PW=PD-WD=-t2+4t,

B(4,0),

.?OB=4.

11?

*'-^APBC=l^?PIVC+=-PW?OB=-×4×(-t~+4/),

即S=-2^+8r；

(3)過點(diǎn)尸作PSLX軸于點(diǎn)S,,過點(diǎn)8作CO于點(diǎn)T,在X軸上取一點(diǎn)R,使得RS=PS,如圖,

圖3

B(4,0),C(0,4),

，OB=OC=4,

.?.ΔBO。等腰直角三角形，

OC工OB,CTLOC,BTLCD,

???四邊形Ocra為正方形，

..TB=OB=4,NoBT=90。，

??.NEBO+ZEBT=90。.

EBLBD,

:.NEBT+/TBD=琳，

.?ZEBO=ZDBT.

在ΔEO3和△0/B中，

NEBo=NDBT

OB=TB,

ZEOB=/DTB=90°

：.AEOB=ADTB(ASA),

.'.OE=DT9

設(shè)直線AP的解析式為y=∕nr+"，

[-m+〃=0

?mt+n=-t2+3t+4f

m=4-t

解得:

〃=4一/

「?直線AP的解析式為y=(4-∕)x+4-f.

令X=0,則y=4—，，

??.E(0,4τ)?

；.OE=TD=4-i,

CE=t，

.?.CE=OS=/.

NoCB=NOPG=45。,

???點(diǎn)O,C,P,G四點(diǎn)共圓，

/.ZCOP=ZG.

./PHD=/EHO,NCED=/EHO+NEOP,

:.ZCEO=ZPHD+ZG.

2ZG+ZPHD=90o,

.?.NCEo=90。-NG.

NCEo=90。一/CDE,

:.NG=NCDE.

COLOB9PSLOB,

??.OC∕∕PS,

.?.NOPS=NCOP,

ZOPS=ZCDE.

在AOPS和AEz)C中，

/OSP=NECD=90。

<AOPS=ZEDC,

OS=CE

.?.AOPS=AEDC(AAS),

.?PS=CD.

.PQ,+31+4),

.?.PS=→2+3r+4,

CD=+3∕-f-4.

四邊形OCra為正方形，

..CT=OB=4,

.?CD=CΓ+TD=4+4-t=8-t,

—,產(chǎn)+3/+4=8-/，

.」=2或，=一2(舍).

.?.P(2,6),

.?.OS=2,SP=6,OP=ZM,

ΔPSR是等腰直角三角形，

PS=SR=6,

OR=OS+SR=2+6=8.

NoPF=ZR=45。,NPOF=/ROP,

..△OPFMORP,

.OPOR

-OF^OP,

2√10_8

.?.OF=5,

??.F(5,0).

設(shè)直線PF的解析式為γ=ex÷J,

[5c+d=0

j2c+d=6'

C=-2

解得:

j=10,

.?.直線PF的解析式為y=-2x÷10,

?直線CB的解析式為y=-x+4,

Jy=-2x+10

??[y=-χ+4

解得：尸

U=-2

.,.G(6,-2).

3.

【解答】解：(1)把A(-1,O),8(3,0),C(0,3)三點(diǎn)代入拋物線解析式得:

a-b+c=Oa=-?

<9i7+3fe+c=0,解得:<h=2

c=3c=3

該拋物線的解析式為)，=-V+2x+3①；

(2)存在，理由：

由y--x2+2x+3=-(x-1)2+4,

則頂點(diǎn)P(l,4),對(duì)稱軸為直線x=l,

W(1,O),

..PH=A,BH=2,

B(3,0),C(0,3),

直線8C解析式為y=-x+3,

.?.點(diǎn)￡(1,2),

如圖，過點(diǎn)E作EQ//8C,交拋物線于Q,此時(shí)AQPB與APEB的面積相等,

由點(diǎn)P、臺(tái)的坐標(biāo)得，直線EB的表達(dá)式為：y=-2(x-3),

則直線QE的表達(dá)式為：y=-2(x-I)+2②，

聯(lián)立①②并整理得：d-4x+l=0,

解得：x=2+>∕3,

則點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2-右，2折或(2+6，-2√3);

對(duì)于直線QE,設(shè)QE交X軸于點(diǎn)R,

令y=-2(x-l)+2=0,

解得：x=2,即點(diǎn)R(2,0),

則BR=3-2=1,

取點(diǎn)R'使BR=BR,過點(diǎn)N作尸5的平行線/,如上圖，則點(diǎn)R(4,0),

則直線/的表達(dá)式為：y=-2(%-4),

聯(lián)立),=-*+2x+3和y=-2(x-4)得：x2-4x+5=0,

5!∣JΔ=16-2O<O,無解，

故在點(diǎn)B的右側(cè)不存在點(diǎn)Q,

綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2-√5,2百)或(2+百，-2√3);

(3)8(3,0),C(0,3),

/.OB-OC,

.?.NCBO=45。，

ZHEB=45°,

..ZPBE+ZBPE=45°,

NGBA+NPBE=45。,

ZBPE=/GBA,

RHCF

/.tanZBPH=tanZGBA=—=—,

PHOB

即2="，

3

，O尸二二，

2

，點(diǎn)F（0,—），

2

.?.直線所解析式為：y=-→+∣(3),

聯(lián)立①③得：-JC+2x+3=-X+—,

22

?

X=——

弋或,

解得:2

J=O7

-V=4

.?.點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-上，-

24

若點(diǎn)G在直線AB的下方時(shí),

4

由對(duì)稱性可得：點(diǎn)F'（0,--）,

2

.?.直線班'解析式為：y=L-3④,

'22

聯(lián)立①④得：-^+2x+3=-x--,

22

3

X=-

5或x=3

解得：

9y=O'

y=一

4

3Q

.?.點(diǎn)G'的坐標(biāo)為（一耳，

綜上所述:點(diǎn)G的坐標(biāo)為:（-|,-：）或（-g，?）.

4.

【解答】（1）解：當(dāng)。=1時(shí)，拋物線的表達(dá)式為：y=-*+2.x+3,

①對(duì)于y=_尤2+2χ+3,當(dāng)X=O時(shí)，y=3,即點(diǎn)C（0,3）,

令y=-X2+2x+3=0,

解得：〃二一1或3,

即點(diǎn)A、3的坐標(biāo)分別為：（-1,0）、（3,0）；

設(shè)直線3C的表達(dá)式為：y=kx+3,

將點(diǎn)3的坐標(biāo)代入上式得：0=3%+3,

解得：k=一1,

故直線3C的表達(dá)式為：y=-x+3;

②證明：過點(diǎn)E作EH，BD于,點(diǎn)H,

當(dāng)X=I時(shí)，y=-x+3=1?，即點(diǎn)E(l,2),

由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)。(1,4),則防=AF=2,

Ffi1

在RtABDF中，tan∕TO3=—=-

DF2

在RtADEH中，ED=4-2=2,

設(shè)EH=t,則EW=2/,

由勾股定理得：2?="+⑵)2,

解得：t=卡(負(fù)值已舍去)，

42

則OH=-r,EH=-j=

√5√5

由3、。的坐標(biāo)得，BD=2√5,

則BH=2有-*=述,

√55

2

在tanNC5f>=?^?=-^?=L

SH6^53

?

Λ∩

在RtΔACO中，tanZACO=—=--=tanZCBD,

CO：3

:.ZACO=NCBD：

(2)解：如圖，設(shè)PC交X軸于點(diǎn)。.

對(duì)于y=-χ2+20r+2α+l,當(dāng)X=O時(shí)，y=2a+?,即點(diǎn)C(0,2α+l),

令y=-X2+2ax+2α+1=O,

解得：X=-I或2α+l,

即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-1,0)、(2α+l,0),

則OB=OC,則NQBC=45。，

當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，點(diǎn)?？偸窃邳c(diǎn)5的左側(cè)，此時(shí)NCQI>NC8A,即NCQA>45。，

NACQ=75。，

.?.ZC4(9<60o,

在銳角三角形中，由函數(shù)的正切值得定義知，角度越大，正切值越大，

.?.tanZCAO<tan60o，

而tanZCAO==%+1，tan60o=G，

AO1

.?.2。+lv?/?,

√3-l

.,.a<--------,

2

又?NC4Q>150,

同法可得上西，

2

α>0,

n?/?—1

2

5.

【解答】解：(I)在y=—q∕+Wχ+2中，

33

令y=0,得：--X2÷-x+2=0,

33

解得：x=―^或x=3,

2

.?.A(3,0),

令X=O,得y=2,

8(0,2),

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+2f

把43,0)代入得：3左+2=0,

解得：k=2,

3

?

直線AB的表達(dá)式為y=--x+2；

(2)設(shè)C20),

①當(dāng)NBEr)=90。時(shí)，如圖：

.?.EQ,2),

——=2,

33

.?.r=0(舍去)或，=3,

2

???C(^,0);

2

②當(dāng)ZEBr>=90。時(shí)，過點(diǎn)石作EQLy軸，垂足為點(diǎn)Q,如圖:

ZBAO+ZABO=90°,ZABO+NQBE=90。，

.?./QBE=/BAO,

:.MBOs帖EQ,

AOBOl32

.?.——=——，即Fn——=-，

BQEQBQt

??.BQ=》

3

?'?E(t,2H—/),

2

.?.2+-t=--t2÷-r+2,

233

.,√=O(舍去)或/=U,

8

.?.C(U,0)；

8

綜上所述：C點(diǎn)的坐標(biāo)為(￡,0)或(|,0)；

(3)作區(qū)4的垂直平分線交X軸于點(diǎn)Q,連接BQ,過點(diǎn)3作BGLEC于點(diǎn)G,如圖:

BQ=AQ9

.'.ZBQA=ZQABf

ABED=IAOAB,

.?./BQO=/BED,

在RtΔBOQ中，BQ2=BO?+OQ2,

/.Bβ2=4÷(3-Bβ)2,

???BQ=*

,QO=∣,

???tanzββo=≡=?

tan4EG=鬻號(hào)

設(shè)C(m,O),則D(m,--m+2),E(m,--∏τ+—∕n+2),

333

4?10

.*.BG=/Ti，EG=—H-----fτι,

33

12_tn

??T=4，10

——m~+—tn

33

as

解得m=—或〃2=O(舍去),

16

”,4210r、/2C、4-435，35455

.,.DE-(——mH----AH÷2)-(——加+2)=——tn~+4∕n=——×(Z一)X2÷4×—=------,

333331616192

SgDE=gED?BG=1_45X535X1=59_2_5___

2192166144

6.

【解答】解：(1)?拋物線y=0χ2+fcc+c經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),8(3,0),C(0,4),

2

Cl=—

4。一2。+C=O

2

494+3〃+C=O,解得〃=一

3

???拋物線的解析式為y=--X2+幺+4.

33

(2)如圖1,連接OP,設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(尢，一一X2+-X+4)(0<X<3),

33

ZAoC=90。，04=2,OC=4,

?'?=—×2×4=4,

??SZ?pc=5SSoC，

,

??ShAOC+^APOC_^ΔAOP=SMPC=5SiIiAOC=2，

1,—22八C

.?.44+-×4x——×2(一一X+-X+4)=2,

2233

整理得f+2χ-3=0,解得XI=1,x2=—3(不符合題意，舍去)，

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,4).

(3)存在,

如圖2,作AW平分NABC交y軸于點(diǎn)作MN上BC于點(diǎn)N,則NaVM=90。,

BM是NABC的平分線，MO±BA,MNA.BC,

.?.NM=OM,

ZBoC=90。，OB=3,OC=4,

??,BC=y∣OB2+OC2=√32+42=5,

NMOB.,ci3

-----==sinZ-OCB=-,

CMBC5

.?CM=-NM=-OM,

33

.?.-OM+OM,

3

3

.?OM=-

29

/MBA=/MBC=-ZABC,

???當(dāng)ZfiAB=ZMRA時(shí)，2ZR4B=2ZΛ/BA=ZABC,

設(shè)AP交y軸于點(diǎn)Q,則NAOQ=90。，

.°。，八

----=tanN/PnABD=tanNM"BE>AA=--O--M--=—2=—??

OB32

.?OQ=?OA=—×2=1,

???Q(OJ),

設(shè)直線AP的解析式為y=Ax+1,則一2攵+1=0,解昨2=g,

直線AP的解析式為y=gx+1,

尸―4

解方程組"33，得（不符合題意，舍去）,

%=°

y=—x+1

2

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為j,-）

7.

【解答】解：⑴將點(diǎn)A(To),點(diǎn)5(3,0)代入丫=加+笈+3得：

(a-b+3=0

194+36+3=0'

解得：Ir;1-

[b=2

.?.拋物線的表達(dá)式為y=-f+2x+3.

?.?y--x2+2x+3=-(x-l)2+4,

.?.頂點(diǎn)C(l,4).

(2)設(shè)AC交y軸于點(diǎn)F,連接。尸，過點(diǎn)C作CE_LX軸于點(diǎn)E,如圖,

.-.OA=I,Of=I,CE=4.

/.OA=OE，AC=?∣AE2+CE1=2Λ∕5.

FOLAB.CE-LAB,

.?FO∕∕CE,

.?OF=-CE=2/為AC的中點(diǎn).

29

ΔDAC是以AC為底的等腰三角形，

.?DF±AC.

FO.LAD,

MFo^MDO.

AOOF

OFOD

2OD

.?OD=4.

/.0(4,0).

設(shè)直線CE)的解析式為y=kx+mf

?Z+m=4

14&+"?=0'

解得：

直線CO的解析式為y=+y.

3

+2%+3

演=1

解得:

??=4

（3）過點(diǎn)尸作AB于點(diǎn)H,如下圖,

OD=4,

：.HD=OD-OH=-,

3

???PD=y∣PH2+HD2=—?

9

2520

.?.PC=CD-PD=5--=-.

99

由（2）知：AC=2√5.

設(shè)A/=x,AE=j,PI∣JCE=2√5-y.

DA=DCf

二.ZDAC=ZC.

ZC4B+ZAEF+ZAFE=180o,

ZAEF+ZPEF+/CEP=180°,

又/PEF=/CAB,

:.ZCEP=ZAFE.

:.?CEPf^^AFE.

PCEC

ΛE^ΛF

20

9=2T5-y

yX

??.一。+唯y=_2（y_后+2.

2010204

二.當(dāng)y=后時(shí),X即AF有最大值2.

4

04=1,

尸的最大值為2—1=3.

44

「點(diǎn)尸在線段Ao上，

.?.點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)機(jī)的最大值為*.

4

8.

【解答】解：(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y=a{x-xλ?x-x2),

則y—α(%+2)(九-5)=a(x2-3x-10),

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上式得：4=αQ2-6-10),

解得：a=-??

3

則拋物線的表達(dá)式為：y=-lχ2+x+-;

33

(2)當(dāng)f=3時(shí)，點(diǎn)0(1,0),

由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得，直線AC的表達(dá)式為：y=x+2,

當(dāng)x=l時(shí)，y=χ+2=3,即點(diǎn)E(l,3),

117

則ΔBCE的面積=SMgC-SΔABE=]xA3χ(yc-yE)=5χ7χl=5;

(3)由點(diǎn)C、B的坐標(biāo)得，直線CF的表達(dá)式為：y=-x+6,

由A、C、G的坐標(biāo)知，AC=CG=4√2,AG=S,

.?.ΔACG為等腰直角三角形，

過點(diǎn)C作CHJ_x軸于點(diǎn)“，則點(diǎn)H是AG的中點(diǎn)，

取點(diǎn)Q使HQ=HD，連接C。，則NQCW=NZ)C”,

根據(jù)圖象的對(duì)稱性，ZDCF=ZACQ,

則CQ即為CP和X軸的交點(diǎn)，

■.CHLAB,

則點(diǎn)H(2,0),

而點(diǎn)0(3,0),

則HD=HQ=I=QO,

即點(diǎn)Q(1,0)；

作點(diǎn)Q關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M，

ΔACG為等腰直角三角形，

:.ZCAH=45°,

，點(diǎn)Q、用關(guān)于AC對(duì)稱，

則連接M4,則NM4C=45。，

則NM4//=90。，即AM_LX軸，

則ΔAM。為等腰直角三角形，則AM=AQ=3,

故點(diǎn)M(-2,3),

由點(diǎn)C、M的坐標(biāo)得，直線CP的表達(dá)式為：y=；(x-2)+4,

令y=；(X-2)+4=0,

解得：x=-14,

即另外一個(gè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-14,0),

綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：(-14,0)或(1,0).

9.

【解答】解：(1)當(dāng)y=0時(shí)，OV2-3SC-Ioa=0,

.,.α(x+2)?(x-5)=0，

”0,

x1=-2,X2=5?

,?OA=2f

ZAOC=90。，

OC5

,?tanZCAO=——=一，

OA2

.?OC=5，

C(0,-I0tz),

/.-IOtz=5,

1

.?.Cl——，

2

.123

..y=—XH—x+5c;

22

(2)設(shè)Pa9—(，+2)?(1—5)),

2

設(shè)直線AP的解析式為：y=kx+bf

t?k+b=——(/+2)?(r-5)

..，2，

-2k+b=Q

?=-l(f-5)

..<2，

b=5-t

?*?y=-2^^5"+(5-，),

，當(dāng)X=O時(shí)，y=5-tf

.?OD=5-t,

.?.CD=OC—OD=5—(5—Z)=/,

gcD?(Xp-XA)=4，

「.，?(，+2)=8,

,

..Z1=2,I2=—4(舍去)，

當(dāng)f=2時(shí)，y=-l(2+2)×(2-5)=6,

.?.P(2,6);

(3)如圖，

設(shè)直線x=f交BC于G,連接。G,

C(0,5),8(5,0),

.?.直線BC的解析式為：y=-x+5,OB=OC,

13

由①知：P{t,——t2+-t+5),D(0,5-r),

22

.,.G(t,τ+5),

.?DG∕∕OB,

NBOC=90。，

.?.40BC=NOCB=45°，

ZDGF=NOBC=45。,

PGI/OC,

.?."GF=NOCB=45。,

.?.NPGF=NDGF,

FC平分NPFO,

；.NOFE=NPFE,

.?.180o-ZOFE=180o-ZPFε,

.?.ZHFG=NPFG,

FG=FG,

.?.AGFH=AGFP(ASA)f

1313

.?GH=PG=——r2+-r+5-(→+5)=——r+-t+t,

2222

13

：,DH=DG-GH=-t2--t,

22

o

/FOB+ZADO=90°,^DAO+ZADO=90f

：.ZDAO=NFoB,

.?AD∕∕OH,

???四邊形AOLD是平行四邊形，

JDH=OA,

"=4,t2=-1(舍去),

.?.當(dāng)1=4時(shí)，y=-∣×(4+2)×(4-5)=3,

.?.尸(4,3),

.,.SMCP=gx4x(4+2)=12.

故答案為：12.

10.

0=4-2Z?+c

【解答】解：(I)由題意得:

-4=1-?÷c

?=-l

解得:

C=-6

2

故拋物線的表達(dá)式為：y=x-x-6φf

2

^y=X-X-6=09

解得：X=—2或3,

即點(diǎn)6(3,0)；

(2)由點(diǎn)3、C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為：γ=x-3,

設(shè)點(diǎn)P(WL3)，

四邊形OBPQ為平行四邊形，則尸Q=P8=3,

則點(diǎn)。(加-3,//?—3)，

將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：m-3=(m-3)2-(∕n-3)-6,

解得：∕X=4±J7，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4+√7,1+77)或(4-夕，l-√7)；

(3)存在，理由：

由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)。(0,-6),

由點(diǎn)A、B、。的坐標(biāo)得，AD=2√10,ZJD=3√5,

過點(diǎn)A作ANJ_Br)于點(diǎn)N,

則SΔΛBO=-XA8xOC>=5x8OχAN，W5×6=3√5×A/V,

解得：AN=呈,

10

則SinNAZW=網(wǎng)==也，即ZAZW=45°=NM48,

AD2√102

則直線AM的表達(dá)式為：)，=x+2或—x—2②，

聯(lián)立①②得Jij-6或卜一—6

解得：F=1或F=2(不合題意的值已舍去)，

[y=6Iy=-4

則點(diǎn)M的坐標(biāo)為：(4,6)或(2,-4).

II.

aQ

【解答】解：(1)拋物線y=-±Y--x+3與坐標(biāo)軸交于A,B,C三點(diǎn)，且點(diǎn)A和C在X軸上，3在y軸

44

上，

設(shè)A(a,O),B(b,O),C(O9c),

.?.當(dāng)y=O時(shí)，

.?.--X2--X+3=0,

44

/.-X2+—X—3=0,

44

.,.3X2+9X-12=0,

.,.x2+3x-4=0,

.?.x=T或x=l,

.?.A(-4,0),8(1,0),

當(dāng)X=O時(shí)C=3,

.?.C(0,3),

設(shè)直線AC的解析式為：y=kx-?-b,

將點(diǎn)0)和點(diǎn)C(0,3)代入y=丘+〃中,

-4Λ÷?=0

b=3

L3

k=-

..，4，

b=3

二直線Ae的解析式為：y=3χ+3,

-4

故答案為：(1,0)；_y=—Λ+3.

4

(2)過點(diǎn)M作MG〃x軸交于AC于點(diǎn)G,過點(diǎn)A作A尸，MB交與點(diǎn)尸,

.?.G點(diǎn)的縱坐標(biāo)與M點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,

M為拋物線y=-12-%+3上的一點(diǎn)，

、

329

設(shè)M(my--∕n—6+3),

44

又G點(diǎn)在直線AC上，直線AC的解析式為：y=-x+3,

4

39

.,.G(-nΓ-3m,--nΓ—"？+3),

44

.,.MG=-m2—4∕π,

又MG//AB,

.MDMG-m2-4m

~DB~^?B~5-

SADM=-MD?AF,SCADB=IDB?AF,

22

SADMDM

SADBDB

SADMDMMG-nr-4〃z∕n2÷4m

=――(m+2)2+—，

SADBDBAB5555

SADM≡?/j.xf4

???------的最大值為-，

SADB5

故答案為：4

5

(3)過點(diǎn)C作CP∕∕x軸,延長(zhǎng)CM交X軸于點(diǎn)7,

ZACO+IZACM=90。ZACO+ZPCM÷ZMCT=90°,

/.ZMCP=ZΛ∕C4,

.-.ZMCA=ZMM,

.?.ΔACT為等腰三角形，

.?AC=AT.

在RtAACO中，AC=^AO2+OC2=√42÷32=5,

.?.AC=AT=5,

.?.OT=47+G4=5+4=9,

.?.Γ(-9,0),

設(shè)直線CT的解析式為：y=kx+b,

將點(diǎn)T(-9,0)和點(diǎn)C(0,3)代入y=履+〃中,

-9?+?=0

b=3

k=-

???,3，

b=3

??.直線CT的解析式為：y=-χ+3,

3

是直線和拋物線2一的交點(diǎn),

MCTy=--Xqx+3-4<m<O,

人329?1C

443

9m2+f∑lm+4m=O,

.,.9∕n2+3la=O,

31

.?.^(9∕n+31)=0m=0(舍去)或加=—?.

故答案為：-衛(wèi).

9

12.

3

【解答】解：(1)OA=30B=-OC=6,

2

故點(diǎn)3(2,0)、點(diǎn)C,(0,—4)?

設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y=a(x-xl)(x-x2),

則y=Q(X+6)(X-2)=a(x2+4x-12),

即一12〃=T,

解得：.=L

3

(2)過點(diǎn)。作OELX軸于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F.

A(-6,0),C(0,-4),

設(shè)直線AC的表達(dá)式為：y=kx+b,

則F=T，

[0=-6?+?

._2

解得：3，

b=-4

則直線AC的表達(dá)式為：‰=--x-4,

ac3

1.42

設(shè)D(X,-X2÷-X-4),則F(x,--x-4),

2141

則DF=(——X-4)-(-Xλ2+-X-4)=——x-2x，

3333

2

則^ΔACD=SAAD尸+SA