九年級數(shù)學上冊講義（人教版）：垂徑定理（教師版）

第20課垂徑定理課程標準（1）理解圓的對稱性；（2）掌握垂徑定理及其推論；（3）學會運用垂徑定理及其推論解決有關的計算、證明和作圖問題．知識點01垂徑定理1．垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

2．推論

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.【注意】

(1)垂徑定理是由兩個條件推出兩個結(jié)論，即(2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.知識點02垂徑定理的拓展根據(jù)圓的對稱性及垂徑定理還有如下結(jié)論：平分弦(該弦不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.圓的兩條平行弦所夾的弧相等.【注意】

在垂徑定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結(jié)論.(注意：“過圓心、平分弦”作為題設時，平分的弦不能是直徑)考法01應用垂徑定理進行計算與證明【典例1】如圖表示一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，如果輸水管的半徑為，水面寬為，則水的最大深度為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：如圖所示：輸水管的半徑為，水面寬為，水的最大深度為，，，，，∴水的最大深度為：．故選：C．【即學即練】筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1．筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2．已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長為6米，⊙O半徑長為4米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（）A．（4﹣）米 B．2米 C．3米 D．（4+）米【答案】A【詳解】解：根據(jù)題意和圓的性質(zhì)知點C為的中點，連接OC交AB于D，則OC⊥AB，AD=BD=AB=3，在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，∴OD===，∴CD=OC﹣OD=4﹣，即點到弦所在直線的距離是（4﹣）米，故選：A．【典例2】如圖，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點．(1)求證：AC＝BD；(2)連接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的長．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：過O作OH⊥CD于H，如圖1所示：∵OH⊥CD，∴CH＝DH，AH＝BH，∴AH﹣CH＝BH﹣DH，∴AC＝BD；（2）解：過O作OH⊥CD于H，連接OD，如圖2所示：則CH＝DH＝CD，∵OC＝OD，∠OCD＝60°，∴△OCD是等邊三角形，∴CD＝OC＝4，∴CH＝2，∴OH＝＝＝2，∴AH＝＝＝2，∴AC＝AH﹣CH＝2﹣2．【即學即練】如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥AB于點M，交⊙O于點C．若⊙O的半徑為10，OM：MC＝3：2，求AB的長．【答案】【詳解】解：如圖，連接OA．∵OM：MC＝3：2，OC＝10，∴OM＝=6．∵OC⊥AB，∴∠OMA＝90°，AB＝2AM．在Rt△AOM中，AO＝10，OM＝6，∴AM＝8．∴AB＝2AM=16．考法02垂徑定理的綜合應用【典例3】如圖，小麗蕩秋千，秋千鏈子的長為，秋千向兩邊擺動的角度相同，擺動的水平距離為3米，秋千擺至最高位置時與最低位置時的高度之差（即）為0.5米．則秋千鏈子的長為（

）A．2米 B．2.5米 C．1.5米 D．米【答案】B【詳解】解：∵點D為的中點，∴由垂徑定理知OD⊥AB，AD=BD=AB=×3=1.5(米)，∴OA2=AD2+OD2，則OA2=AD2+(OA-CD)2=1.52+(OA-0.5)2，解得：OA=2.5(米)．故選：B．【即學即練】工程上常用鋼珠來測量零件上小孔的寬口，如果鋼珠的直徑為10mm，鋼珠上項端離零件上表面的距離為8mm，如圖，則這個零件小孔的寬口AB等于（

）mm．A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【詳解】連接OA，過點O作OD⊥AB于點D，則AB=2AD，∵鋼珠的直徑是10mm，∴鋼珠的半徑是5mm．∵鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，∴OD=3mm．在Rt△AOD中，∵mm，∴AB=2AD=2×4=8mm故選D【典例4】如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．(1)求所在圓的半徑r的長；(2)當洪水上升到跨度只有30米時，要采取緊急措施．若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時，是否要采取緊急措施？并說明理由．【答案】(1)34(2)不需要采取緊急措施，見解析【詳解】（1）解：連結(jié)OA，由題意得：AD＝AB＝30，OD＝(r?18)，在Rt△ADO中，由勾股定理得：，解得，r＝34．（2）解：連結(jié)，∵OE＝OP?PE＝30，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：，∴，解得：＝16．∴＝32．∵＝32＞30，

∴不需要采取緊急措施．【即學即練】如圖，射線PG平分∠EPF，O為射線PG上的一點，以O為圓心，13為半徑作⊙O，分別與∠EPF兩邊相交于點A，B和點C，D，連結(jié)OA，此時有OA∥PE．（1）求證:AP=AO；（2）若弦AB=24，求OP的長．【答案】（1）見解析（2）【詳解】（1）證明：∵PG平分∠EPF∴∠EPO=∠APO∵OA∥PE∴∠EPO=∠AOP∴∠APO=∠AOP∴AP=AO（2）過點O作OH⊥AB于點H，如圖，根據(jù)垂徑定理得到AH=BH==12∴PH=PA+AH=AO+AH=13+12=25在中，由勾股定理得：則OP的長為故答案為：題組A基礎過關練1．如圖，⊙O的半徑為4，弦心距OC＝2，則弦AB的長為（

）A．3 B． C．6 D．【答案】D【詳解】如圖所示，連接由題意知，弦心距OC＝2，則根據(jù)垂徑定理，有在中，則根據(jù)垂徑定理可知，故選D．2．如圖，為的直徑，為的弦，為優(yōu)弧的中點，，垂足為，，，則的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，連接，延長交于點T，設的半徑為，，，，在和中，，，，在中，，，，故選：B．3．小明想知道一塊扇形鐵片中的的拱高（弧的中點到弦的距離）是多少？但他沒有任何測量工具，聰明的小明觀察發(fā)現(xiàn)身旁的墻壁是由的正方形瓷磚密鋪而成（接縫忽略不計）．他將扇形按如圖方式擺放，點恰好與正方形瓷磚的頂點重合，根據(jù)以上操作，的拱高約是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖所示，通過數(shù)瓷磚的個數(shù)，可以得到OC=30cm，AB=40cm，∵D為中點，∴由垂徑定理得OC垂直且平分AB，∴BC=20cm，∴cm，∵OD=OB=cm，∴CD=OD-OC=cm，即拱高為cm，故選D．4．如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．AE＝BE B．OE＝DE C． D．【答案】B【詳解】解：是的直徑，弦于點，，，．故選：B．5．下列語句中不正確的有（

）

①長度相等的弧是等??；②垂直于弦的直徑平分弦；③圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；④平分弦的直線也必平分弦所對的兩條弧；⑤半圓是圓中最長的??；⑥不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓.A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】B【詳解】因為能夠完全重合的弧是等弧,故①不正確；垂直于弦的直徑平分弦說法正確；圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，故③說法不正確；平分弦(不是直徑)的直線也必平分弦所對的兩條弧，故④說法不正確；半圓的弧長是圓的弧長的一半，不是圓中最長的弧，故⑤說法不正確；不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓，故⑥說法正確，∴不正確的語句有4個，故選：B6．如圖是一個圓柱形輸水管橫截面的示意圖，陰影部分為有水部分，如果水面AB的寬為8cm，水面最深的地方高度為2cm，則該輸水管的半徑為（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】B【詳解】解：如圖所示：過點O作OD⊥AB于點D，連接OA，∵OD⊥AB，∴AD＝AB＝4cm，設OA＝r，則OD＝r﹣2，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5cm．∴該輸水管的半徑為5cm；故選：B．7．如圖，在⊙O中，弦AB⊥OC于E點，C在圓上，AB＝8，CE＝2，則⊙O的半徑AO＝___________．【答案】5【詳解】解：設⊙O的半徑為r，則OC=OA=r，OE=OC-CE=r-2，∵OC⊥AB，AB=8，∴AE=BE=AB=4，在Rt△OAE中，由勾股定理得：42+（r-2）2=r2，解得：r=5，即⊙O的半徑長為5，故答案為：5．8．如圖，⊙O的直徑AB的長是20，弦CD⊥AB，垂足為點E，CD=16，則CE=____，BE=_____．【答案】

8

4【詳解】解：∵為直徑，弦CD⊥AB，∴，連接，如下圖：由題意可得：由勾股定理可得：∴故答案為：8，49．如圖，AB是⊙O的弦，C、D為直線AB上兩點，OC＝OD，求證：AC＝BD．【答案】見解析【詳解】解：證明：作OH⊥AB于H，如圖，則AH＝BH，∵OC＝OD，OH⊥AB，∴CH＝DH，∴CH﹣AH＝DH﹣BH，即AC＝BD．10．如圖所示，已知為⊙的直徑，是弦，且于點，連接AC、OC、BC．（1）求證：；（2）若，，求⊙的直徑．【答案】（1）證明見解析；（2）10【詳解】（1）證明：∵∴又∵為直徑，∴，又∵∴，∴∴（2）∵，為直徑∴，∴又∵，∴，∴，∴，∴在中，即，解得，∴．題組B能力提升練1．一個圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知AB＝16m，半徑OA＝10m，則高度CD的長為（）A．2m B．4m C．6m D．8m【答案】B【詳解】∵CD垂直平分AB，∴AD＝＝8m∴OD＝＝6m∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4m故選：B．2．如圖，的半徑為，，經(jīng)過點的的最短弦的長為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【詳解】解：如圖，過點作弦，交于點、，連接；過點作弦，交于點、，過點作，連接，∴，，∴在中，，∵在和中，，，，∴，∴，∴為過點的最短弦，∵的半徑為，，∴在中，，∴，∴經(jīng)過點的的最短弦的長為．故選：C．3．已知：如圖，在以點O為圓心的兩個圓中，大圓的弦AB和小圓交于點C，D，大圓的半徑是13，，，則OC的長是（

）A． B． C． D．8【答案】B【詳解】解：過點O作OE⊥AB于點E，∵大圓和小圓的圓心都為點O，OE⊥AB，∴AE=BE，CE=DE，∵，∴AE=BE=12，∵OA=13，∴，設，則CE=12-x，在Rt△COE中，，解得：，即OC的長為，故選：B．4．如圖所示，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點E，則下列結(jié)論中不成立的是（）A．∠COE=∠DOE B．CE=DEC．OE=BE D．【答案】C【詳解】∵AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點E，∴，DE=CE，，∴B，D選項正確；∵，∴，∴∠COE=∠DOE，∴A選項正確；只有當∠COE=60°時，才有OE=BE．∴C選項不成立；故選：C．5．“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學著作《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸長一尺，問徑如何？”這段話的意思是：如圖，現(xiàn)有圓形木材，埋在墻壁里，不知木材大小，用鋸子將它鋸下來，深度CD為1寸，鋸長AB為1尺（10寸），問圓材直徑幾寸？則該問題中圓的直徑為（

）A．22寸 B．24寸 C．26寸 D．28寸【答案】C【詳解】解：設圓材的圓心為O，延長CD，交于點E，連接OA，如圖所示：由題意知：CE過點O，且，則．設圓形木材半徑為r，則，．∵，∴，解得，即的半徑為13寸，∴的直徑為26寸．故選：C．6．工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設鋼珠的直徑是10mm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示，則這個小圓孔的寬口的長度為（

）A．8mm B．6mm C．10mm D．0.9mm【答案】A【詳解】解：如圖，點O為圓心，過點O作OC⊥AB，根據(jù)垂進定理可得：AC=BC，∵直徑是10mm，∴OA=5mm，OC=8-5=3mm，在Rt△AOC中，∠OCA=90°，∴，∴AB=2AC=8mm，故選：A．7．如圖，M是⊙O內(nèi)一點，已知過點M的⊙O最長的弦為20cm，最短的弦長為16cm，則OM=_______cm．【答案】6【詳解】解：過點M的⊙O最長的弦就是直徑，∴BO=10cm，最短的弦就是垂直于直徑的弦，即BM=8cm．所以利用勾股定理可得OM==6cm．故答案為：6．8．如圖，點O是半圓的圓心，D是以AB為直徑的半圓上的一點，以OD為對角線作正方形OCDE，經(jīng)過C，E的直線分別與半圓弧交于F，G．已知CE=6，則FG的長為______．【答案】【詳解】解：如圖所示，連接OD交FG于H，連接OF，∵四邊形OCDE是正方形，∴OD⊥CE，OD=CE=6，OD=2OH，∴FG=2FH，OH=3，OF=OD=6，∴，∴，故答案為：．9．如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分，如圖EM經(jīng)過圓心交⊙O于點E，EM⊥CD，并且CD＝4cm，EM＝6cm，求⊙O的半徑．【答案】【詳解】解：連接OC，∵EM過圓心，EM⊥CD，∴CM＝CD，∵CD＝4cm，∴CM＝2cm，設圓的半徑是xcm，在Rt△COM中，OC2＝CM2+OM2，即：x2＝22+（6﹣x）2，解得：x＝，∴圓的半徑長是cm．10．如圖，AB是圓O的直徑，點C、D為圓O上的點，滿足：，AD交OC于點E．已知OE＝3，EC＝2（1）求弦AD的長；（2）請過點C作AB的平行線交弦AD于點F，求線段EF的長．【答案】（1）8；（2）【詳解】解：（1），得CO⊥AD，AE＝DE．在△AOE中，∠AEO＝90°，OE＝3，OA＝OC＝OE＋CE＝5，得AE＝，

所以AD＝AE＋DE＝8；（2）由CFAB，得，則．題組C培優(yōu)拔尖練1．小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的一塊碎片應該是（）A．第一塊 B．第二塊 C．第三塊 D．第四塊【答案】A【詳解】解：第一塊出現(xiàn)一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點就是圓心，進而可得到半徑的長．故選：A．2．如圖，的弦垂直于，為垂足，，，且，則圓心到的距離是（

）A．2 B． C． D．【答案】A【詳解】連接，過點，分別作于，于，則四邊形是矩形，，，，，，（HL），，則，，，，．故選：A．3．如圖，矩形ABCD是由邊長為1的五個小正方形拼成，O是第2個小正方形的中心，將矩形ABCD繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得矩形，現(xiàn)用一個最小的圓覆蓋這個圖形，則這個圓的半徑是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】作線段BC、的垂直平分線MH、NH，兩線的交點為H點，連接BH，如圖，∵MH、NH為線段BC、的垂直平分線，∴BM=BC=，==，∴HM=-1=，∴，故選：C．4．已知⊙O的半徑為7，AB是⊙O的弦，點P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，則OP＝（

）A． B．4 C． D．5【答案】D【詳解】解：連接，過點作于點，如圖所示，則，，∵PA＝4，PB＝6，∴，∴，∴，在中，，在中，，故選：D5．如圖，AC是的直徑，弦于E，連接BC，過點O作于F，若，，則OE的長為（

）A．3 B．4 C． D．5【答案】A【詳解】解：連接OB、AB，中故選：A．6．如圖，等腰梯形ABCD內(nèi)接于半圓D，且AB＝1，BC＝2，則OA＝（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：如圖，作BE⊥AD于E，OF⊥CB于F，連接OB，在等腰梯形ABCD中，∵OF⊥CB，∴BF＝BC＝1，∴OE＝1，設AE＝x，∵OA、OB是⊙O的半徑，∴OB＝OA＝x+1，由勾股定理可知，AB2﹣AE2＝OB2﹣OE2，即12﹣x2＝（x+1）2﹣12，整理得2x2+2x﹣1＝0，解得或（不合題意，舍去）∴OA＝AE+OE＝+1＝．故選：A．7．如圖，在⊙O內(nèi)有折線ABCO，點A、B在圓上，點C在⊙O內(nèi)，其中AB=9，OC=3，∠B=∠C=60°，則BC的長為_____.【答案】6【詳解】延長CO交AB于點D，過點O作OE⊥AB垂足為E，因為∠B=∠C=60°，所以∠BDC=60°，所以△BDC是等邊三角形，所以BC=BD=CD，∠DOE=30°．因為OE⊥AB，AB=9，所以BE=AE=4.5．設OD=x，OC=3所以DE=，BD=4.5+，CD=OC+DO=x+3，所以4.5+=x+3，解