諸暨市牌頭中學(xué)高一數(shù)學(xué)教案：講義第九次 蘇教版

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精一、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容變形形式①a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC;②sinA=，sinB=，sinC=；③a:b：c=sinA：sinB:sinC;④解決的問題已知兩角和任一邊,求另一角和其他兩條邊;已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊和其他兩角。已知三邊，求各角；已知兩角和它們的夾角,求第三邊和其他兩個角.注：在ΔABC中，sinA〉sinB是A〉B的充要條件.(∵sinA〉sinBa〉bA>B）二、應(yīng)用舉例1、實際問題中的常用角（1）仰角和俯角在視線和水平線所成的角中,視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下文的叫俯角（如圖①）（2）方位角從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,如B點的方位角為α(如圖②）注：仰角、俯角、方位角的區(qū)別是：三者的參照不同。仰角與俯角是相對于水平線而言的,而方位角是相對于正北方向而言的。（3）方向角:相對于某一正方向的水平角(如圖③）①北偏東即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向；②北偏本即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向；③南偏本等其他方向角類似。（4）坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④,角θ為坡角）坡比：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，為坡比）正弦定理學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想、正弦定理的證明過程以及性質(zhì)。知識梳理在⊿ABC中,角A、B、C的對邊分別為，則這就是正弦定理．在這個定理的證明過程中蘊涵著豐富的幾何意義．為了簡單,僅以銳角三角形為例作簡要說明．直角三角形的情形非常簡單,鈍角三角形的情形與銳角三角形類似．1、三角形高法：是⊿ABC的邊上的高；是⊿ABC的邊上的高;是⊿ABC的邊上的高．根據(jù)這個幾何意義，定理證明如下：作銳角三角形ABC的高CD,則CD=．所以，同理．因此2、三角形外接圓法：是⊿ABC的外接圓直徑．根據(jù)這個幾何意義,定理證明如下:作銳角三角形ABC的外接圓直徑CD，連結(jié)DB．根據(jù)同弧所對的圓周角相等及直徑所對的圓周角是直角得，∠A=∠D，∠DBC=90°,（為⊿ABC的外接圓半徑）．所以，所以．同理．因此．3、三角形面積法：是三角形ABC的面積．根據(jù)這個幾何意義,定理證明如下：作銳角三角形ABC的高CD，則CD=．所以三角形ABC的面積．［來源:］同理所以同除以,再取倒數(shù)有．4、向量的數(shù)量積法：把變形為．則在銳角三角形ABC中,作高CD，則分別是向量與向量的數(shù)量積．利用這個幾何意義,定理證明如下：作銳角三角形ABC的高CD．因為=,所以0==()，所以，所以，即所以．同理．因此．５、如果想避開分類討論，可以把三角形放在平面直角坐標(biāo)系中,利用坐標(biāo)法．證明如下：以C為原點，以射線CA為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,且使點 B落在軸的上方,則AC邊上的高即為B點的縱坐標(biāo).根據(jù)三角函數(shù)的定義，B點的縱坐標(biāo)．所以三角形ABC的面積．同理．所以同除以,再取倒數(shù)有．這種證法之所以避開分類討論，是因為利用了一般三角函數(shù)的定義，前面的四種幾何證法都需要分類討論，因為它們的證明中僅僅利用了銳角三角函數(shù)的定義．這個方法是證明正弦定理最簡單的方法，體現(xiàn)了坐標(biāo)法的優(yōu)越性。例題1如圖△ABC中,點D在邊BC上，且BD=2，DC=1,∠B=60°，∠ADC=150°,求AC的長及△ABC的面積。練習(xí)1在△ABC中,A=45°，B：C=4:5，最大邊長為10，求角B，C，△ABC外接圓半徑R及面積S。例題2在△ABC中，a,b,c分別為角A,B，C的對邊，且。（1)求∠A的大??；(2)若a=,b+c=3，求b和c的值。練習(xí)2海中有一小島，周圍3.8海里內(nèi)有暗礁。一軍艦從A地出發(fā)由西向東航行，望見小島B正好在北偏東75°的位置；航行8海里到達(dá)C處，望見小島B在北偏東60°的位置.若此艦不改變艦行的方向繼續(xù)前進(jìn)，此艦有沒有觸礁的危險？例題3中,，BC＝3，則的周長為()A．B．C．D．練習(xí)3在ΔABC中,已知，AC邊上的中線BD=，求sinA的值．家庭作業(yè)1在中，已知，那么一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形2在中，若，,，則的面積S＝_________3在中，所對的邊長分別為，設(shè)滿足條件和,求和的值．ABC北ABC北45°15°方向，距A有9nmile并以20nmile/h的速度沿南