8.2 冪的乘方與積的乘方 蘇科版數(shù)學(xué)七年級下冊基礎(chǔ)知識講與練

專題8.4冪的乘方與積的乘方（知識講解）【學(xué)習(xí)目標】1.掌握正整數(shù)冪的乘法運算性質(zhì)（同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方）；能用代數(shù)式和文字語言正確地表述這些性質(zhì)，并能運用它們熟練地進行運算.【要點梳理】要點一、冪的乘方法則(其中都是正整數(shù)).即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.特別說明：（1）公式的推廣：(，均為正整數(shù))（2）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運算能將某些冪變形，從而解決問題.要點二、積的乘方法則(其中是正整數(shù)).即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.特別說明：（1）公式的推廣：(為正整數(shù)).（2）逆用公式：逆用公式適當?shù)淖冃慰珊喕\算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時，計算更簡便.如：要點三、注意事項（1）底數(shù)可以是任意實數(shù)，也可以是單項式、多項式.（2）同底數(shù)冪的乘法時，只有當?shù)讛?shù)相同時,指數(shù)才可以相加.指數(shù)為1，計算時不要遺漏.（3）冪的乘方運算時，指數(shù)相乘，而同底數(shù)冪的乘法中是指數(shù)相加.（4）積的乘方運算時須注意，積的乘方要將每一個因式(特別是系數(shù))都要分別乘方.（5）靈活地雙向應(yīng)用運算性質(zhì)，使運算更加方便、簡潔.（6）帶有負號的冪的運算，要養(yǎng)成先化簡符號的習(xí)慣.【典型例題】類型一、冪的乘法與積的乘方??冪的乘方運算 1．計算：；(2)【答案】(1)；(2)【分析】（1）先運用積的乘方將括號內(nèi)的冪的乘方進行化簡，再進行同底數(shù)冪的乘除法運算即可；（2）先將括號內(nèi)的算式看做一個整體，運用同底數(shù)冪的乘除法運算法則進行化簡即可．（1）解：；（2）解：；【點撥】本題考查冪的運算，能夠運用整體思想簡化運算過程是解決本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】化簡：【答案】【分析】先根據(jù)冪的乘方，積的乘方，同底數(shù)冪的乘法進行化簡，再合并同類項即可；解：原式===【點撥】本題主要考查冪的乘方，積的乘方，同底數(shù)冪的乘法以及合并同類項，掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】計算：；(2)．【答案】(1)0；(2)．【分析】(1)利用同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方法則即可求解；(2)利用積的乘方法則、同底數(shù)冪的乘法法則即可求解．解：（1）原式=；（2）原式=．【點撥】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方法則、積的乘方法則，合并同類項，熟練掌握相應(yīng)的計算法則是解題的關(guān)鍵．類型二、冪的乘法與積的乘方??冪的乘方運算逆運算2．已知，，求：；(2)．（結(jié)果用含a，b的代數(shù)式表示）【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用同底數(shù)冪的乘法的法則及冪的乘方的法則對式子進行整理，再代入相應(yīng)的值運算即可；（2）利用同底數(shù)冪的除法的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則對式子進行整理，再代入相應(yīng)的值運算即可．【點撥】本題主要考查同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．舉一反三：【變式】（1）；（2）【答案】（1）0；（2）【分析】（1）首先把化成，再根據(jù)“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”計算即可；（2）可化成，1.5可以化作，再根據(jù)，負數(shù)的偶次冪為正計算即可．解：（1）原式（2）原式【點撥】本題考查了同底數(shù)冪，乘方的運算，仔細觀察題目，化簡底數(shù)是解題的關(guān)鍵．類型三、冪的乘法與積的乘方??積的乘方運算3．（1）若，求的值．（2）若，求、的值．【答案】（1）8

（2）n＝3，m＝4【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪乘法的計算法則可以得到，則4n＋3＝35，由此求解即可；（2）根據(jù)積的乘方和同底數(shù)冪乘法的計算法則可得，則3n＝9且3m＋3＝15，由此求解即可．解：（1）∵，∴，∴4n＋3＝35，∴n＝8；（2）∵，∴，∴3n＝9，3m＋3＝15，∴n＝3，m＝4．【點撥】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法，積的乘方，解一元一次方程，熟知同底數(shù)冪乘法和積的乘方計算法則是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】計算；(2)；；(4)；(5)；【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5).【分析】（1）由題意利用冪的乘方和積的乘方以及同底數(shù)冪的乘法進行計算即可；（2）由題意利用冪的乘方和積的乘方以及合并同類項原則進行計算即可；（3）由題意直接利用同底數(shù)冪的乘法進行計算即可；（4）由題意直接利用同底數(shù)冪的乘法進行計算即可；（5）由題意利用冪的乘方和積的乘方以及合并同類項原則進行計算即可.解：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.【點撥】本題考查整式的乘法運算，熟練掌握冪的四則運算法則是解題的關(guān)鍵.類型四、冪的乘法與積的乘方??積的乘方逆運算4．計算：（-1）-1+（-5）2022×（-）2021【答案】-6【分析】先湊出積的乘方逆用的條件，再逆用積的乘方運算法則，然后再按有理數(shù)混合運算法則計算即可．解：（-1）-1+（-5）2022×（-）2021=-1+（-5）×[（-5）2021×（-）2021]=-1+（-5）×[（-5）×（-）]2021=-1+（-5）×12021=-1+（-5）×1=-1-5=-6．【點撥】本題主要考查了逆用積的乘方運算法則、含乘方的有理數(shù)四則混合運算等知識點，湊出積的乘方逆用的條件是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】用簡便方法計算下列各題：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接利用積的乘方運算法則將原式變形進而求出答案；（2）直接利用積的乘方運算法則將原式變形進而求出答案．解：（1）；（2）．【點撥】此題主要考查了積的乘方運算，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．【變式2】已知：2m+2·3m+2=63m-2，求（1-3m)2-4m2+6．【答案】15【分析】先根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則得到6m+2=63m-2，從而求出m，代入代數(shù)式求值．解：2m+2·3m+2=（2×3）m+2=6m+2=63m-2，∴m+2=3m-2，解得：m=2，∴（1-3m)2-4m2+6=（1-3×2）2-4×22+6=15【點撥】本題考查了同底數(shù)冪的乘法和代數(shù)式求值以及一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則．類型五、冪的乘方與積的乘方??同底數(shù)冪的乘法??冪的乘法??積的乘方4．計算：；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）先計算冪的乘方，再計算同底數(shù)冪的乘法即可（2）計算各項的冪的乘方即可（3）先計算冪的乘方，再計算同底數(shù)冪的乘法即可解：（1）（2）（3）【點撥】本題考查了冪的混合運算，掌握冪的運算法則是解決問題的關(guān)鍵．【變式1】計算：(1)已知，求n的值；(2)已知n是正整數(shù)，且，求的值．【答案】(1)3；(2)4．【分析】（1）由，得到一元一次方程，即可求解；（2）把變形為，再把代入計算即可．解：（1），，解得.（2），當時，原式．【點撥】本題考查了冪的乘方與積的乘方，掌握冪的乘方與積的乘方的法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】閱讀下列材料：若，，且，比較m，n的大?。猓阂驗?，，27>16，所以，所以．依照上述方法解答下列問題：(1)若，，則x______y（填寫“>”，“<”或“=”）(2)若，，且滿足，，試比較a與b的大?。敬鸢浮?1)<；(2)a>b【分析】（1）根據(jù)材料的方法以及冪的乘方即可判斷；（2）根據(jù)材料的方法以及冪的乘方即可判斷．解：（1），，，，，，．故答案為：；（2）解：，，，，，，，，．【點撥】本題主要考查冪的乘方，掌握冪的乘方是解題的關(guān)鍵．中考真題專練1．（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）下列運算一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)積的乘方運算、冪的乘方運算、合并同類項運算和同底數(shù)冪的乘法運算逐項驗證即可得到結(jié)論．解：A、根據(jù)積的乘方運算、冪的乘方運算法則可知，該選項符合題意；B、根據(jù)合并同類項運算可知，該選項不符合題意；C、根據(jù)冪的乘方運算可知，該選項不符合題意；D、根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運算可知，該選項不符合題意；故選：A．【點撥】本題考查整式的運算，涉及到積的乘方運算、冪的乘方運算、合并同類項運算和同底數(shù)冪的乘法運算等知識點，熟練掌握相關(guān)運算法則是解決問題的關(guān)鍵．2．（2021·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)合并同類項法則、同底數(shù)冪乘法法則、積的乘方及冪的乘方法則逐一計算即可得答案．解：A.，故該選項計算錯誤，不符合題意，B.，故該選項計