高中數(shù)學(xué)北師大版必修2第一章6.1垂直關(guān)系的判定作業(yè)

,[學(xué)生用書單獨(dú)成冊(cè)])[A.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在平面的位置關(guān)系是()A．垂直 B．斜交C．平行 D．不能確定解析：選A.梯形的兩腰所在的直線相交，根據(jù)線面垂直的判定定理可知選項(xiàng)A正確．2．下列結(jié)論正確的是()A．若直線a∥平面α，直線b⊥a，b平面β，則α⊥βB．若直線a⊥直線b，a⊥平面α，b⊥平面β，則α⊥βC．過平面外的一條直線有且只有一個(gè)平面與已知平面垂直D．過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面垂直解析：選B.A選項(xiàng)中滿足條件的平面β與平面α可能垂直，也可能平行或斜交，故A錯(cuò)；C選項(xiàng)中當(dāng)平面外的直線與平面垂直時(shí)，過該直線有無數(shù)個(gè)平面與已知平面垂直，故C錯(cuò)；過平面外一點(diǎn)有無數(shù)個(gè)平面與已知平面垂直，故D錯(cuò)．3.如圖，已知正方形ABCD所在平面外有一點(diǎn)M，如果MC⊥平面ABCD所在的平面，那么MA與BD的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直相交C．垂直異面 D．相交但不垂直解析：選C.因?yàn)镸C⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以MC⊥BD.又BD⊥AC，AC∩MC＝C且AC，MC在平面ACM內(nèi)，所以BD⊥平面ACM.又AM平面ACM，所以BD⊥MA，但BD與MA不相交．4．長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2eq\r(3)，CC1＝eq\r(2)，則二面角C1-BD-C的大小為()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選A.如圖，連接AC交BD于O，連接C1O.因?yàn)锳B＝AD，所以底面為正方形，所以AC⊥BD.又因?yàn)锽C＝CD，所以C1D＝C1B，O為BD的中點(diǎn)，所以C1O⊥BD.所以∠C1OC就是二面角C1-BD-C的平面角．則在△C1OC中，CC1＝eq\r(2)，CO＝eq\f(1,2)eq\r(（2\r(3)）2＋（2\r(3)）2)＝eq\r(6)，tan∠C1OC＝eq\f(CC1,CO)＝eq\f(\r(2),\r(6))＝eq\f(\r(3),3)，所以∠C1OC＝30°.5.如圖，BC是Rt△ABC的斜邊，過A作△ABC所在平面α的垂線AP，連接PB，PC，過A作AD⊥BC于點(diǎn)D，連接PD，那么圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是()A．4 B．6C．7 D．8解析：選D.容易證得PA⊥BC，又AD⊥BC，PA∩AD＝A，所以BC⊥平面PAD，從而圖中：△ABC，△PAB，△PAC，△PAD，△ABD，△ACD，△PBD，△PCD均為直角三角形．共有8個(gè)．6．已知PA垂直于?ABCD所在平面，若PC⊥BD，則?ABCD的形狀是________．解析：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PA⊥BD.又因?yàn)镻C⊥BD，PA∩PC＝P，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，所以?ABCD一定是菱形．答案：菱形7．如圖，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，則圖中互相垂直的平面共有________對(duì)．解析：因?yàn)锳B⊥平面BCD，所以平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，又因?yàn)锽C⊥CD，AB⊥CD，AB∩BC＝B，所以DC⊥平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC.故共有3對(duì)．答案：38．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，那么給出下面四個(gè)結(jié)論：①AH⊥平面EFH；②AG⊥平面EFH；③HF⊥平面AEF；④HG⊥平面AEF.其中正確命題的序號(hào)是________．解析：在這個(gè)空間圖形中，AH⊥HF，AH⊥HE，HF∩HE＝H，所以AH⊥平面EFH.答案：①9．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是A1B，A1C的中點(diǎn)，點(diǎn)D在B1C1上，A1D⊥B1C1.求證：(1)EF∥平面ABC.(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.證明：(1)由E，F(xiàn)分別是A1B，A1C的中點(diǎn)知EF∥BC.因?yàn)镋F平面ABC，BC平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.又因?yàn)锳1D⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.10．在△ABC中，∠BAC＝60°，P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA＝PB＝PC，∠APB＝∠APC＝90°.(1)求證：PB⊥平面PAC.(2)若H是△ABC的重心，求證：PH⊥平面ABC.證明：(1)如圖，由題設(shè)易得AB＝AC，因?yàn)椤螧AC＝60°，所以△ABC為等邊三角形，所以AB＝BC.因?yàn)镻A＝PB＝PC，所以△PAB≌△PBC，所以∠BPC＝∠APB＝90°，即PB⊥PC.又PB⊥PA，PA∩PC＝P，所以PB⊥平面PAC.(2)取BC的中點(diǎn)D，因?yàn)镻B＝PC，所以PD⊥BC.同理可得AD⊥BC，PD∩AD＝D，所以BC⊥平面PAD.因?yàn)锳D是△ABC的邊BC上的中線，所以△ABC的重心H在AD上，所以BC⊥PH，同理可得AB⊥PH.又AB∩BC＝B，所以PH⊥平面ABC.[B.能力提升]1.如圖，已知四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，則圖中所有互相垂直的平面共有()A．8對(duì) B．7對(duì)C．6對(duì) D．5對(duì)解析：選B.由PA⊥平面ABCD可得平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面ABCD.又ABCD為正方形，CD⊥AD，因?yàn)镻A⊥CD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD.同理可得，平面PBC⊥平面PAB，平面PAC⊥平面PBD.共7對(duì)．2.如圖，在三棱錐P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是所在棱的中點(diǎn)，則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直線EF與直線PC所成的角D．∠FEG是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角解析：選D.由已知PC⊥BC，PC⊥AC，又AC∩BC＝C，所以PC⊥平面ABC.又FG∥PC，所以FG⊥平面ABC.又FG平面EFG，所以平面EFG⊥平面ABC，故B正確．因?yàn)镕G∥PC，GE∥BC，所以平面EFG∥平面PBC.故A正確．由異面直線所成角的定義知C正確．故選D.3．已知點(diǎn)O為三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的投影，若PA＝PB＝PC，則O為△ABC的________心；若PA⊥BC，PB⊥AC，則O為△ABC的________心；若P到三邊AB，BC，CA的距離都相等且點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，則O為△ABC的________心．解析：連接OA，OB，OC，由PA＝PB＝PC，所以O(shè)A＝OB＝OC，O是△ABC的外心．若PA⊥BC，又PO⊥平面ABC，所以BC⊥PO.所以BC⊥平面PAO.所以BC⊥AO.同理AC⊥OB.所以O(shè)是△ABC的垂心．若P到AB，BC邊的距離相等，則易知O到AB，BC邊的距離也相等，從而可判定O是△ABC的內(nèi)心．答案：外垂內(nèi)4.如圖正方體ABCD-A1B1C1D1，點(diǎn)P在面對(duì)角線BC1上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題：①三棱錐A-D1PC的體積不變；②A1P∥面ACD1；③DP⊥BC1；④面PDB1⊥面ACD1.其中正確的命題的序號(hào)是________(寫出所有你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào))．解析：對(duì)于①，容易證明AD1∥BC1，從而BC1∥平面AD1C，故BC1上任意一點(diǎn)到平面AD1C的距離均相等，所以以P為頂點(diǎn)，平面AD1C為底面，則三棱錐A-D1PC的體積不變，正確；對(duì)于②，連接A1B，A1C1，容易證明A1C1∥AC且相等，由①知，AD1∥BC1，所以BA1C1∥平面ACD1，從而由線面平行的定義可得，正確；對(duì)于③，由于DC⊥平面BCC1B1，所以DC⊥BC1，若DP⊥BC1，則DC與DP重合，與條件矛盾，錯(cuò)誤；對(duì)于④，連接DB1，容易證明DB1⊥平面ACD1，從而由面面垂直的判定定理知，正確．答案：①②④5．已知Rt△ABC，斜邊BCα，點(diǎn)A?α，AO⊥α，O為垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A-BC-O的大?。猓喝鐖D，在平面α內(nèi)，過O作OD⊥BC，垂足為D，連接AD.因?yàn)锳O⊥α，BCα，所以AO⊥BC.又因?yàn)锳O∩OD＝O，所以BC⊥平面AOD.而AD平面AOD，所以AD⊥BC.所以∠ADO是二面角A-BC-O的平面角．由AO⊥α，OBα，OCα，知AO⊥OB，AO⊥OC.又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，所以設(shè)AO＝a，則AC＝eq\r(2)a，AB＝2a.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，所以BC＝eq\r(AC2＋AB2)＝eq\r(6)a，所以AD＝eq\f(AB·AC,BC)＝eq\f(2a·\r(2)a,\r(6)a)＝eq\f(2\r(3),3)a.在Rt△AOD中，sin∠ADO＝eq\f(AO,AD)＝eq\f(a,\f(2\r(3),3)a)＝eq\f(\r(3),2).所以∠ADO＝60°，即二面角A-BC-O的大小是60°.6．(選做題)如圖，在直角梯形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB<CD，PD⊥平面ABCD，AB＝AD＝a，PD＝eq\r(2)a.(1)求證：平面PAB⊥平面PAD；(2)設(shè)M為PB的中點(diǎn)，當(dāng)CD＝2AB時(shí)，求證：DM⊥MC.證明：(1)因?yàn)椤螧AD＝90°，所以AB⊥AD.又PD⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PD⊥AB.因?yàn)镻D∩AD＝D，所以AB⊥平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2)連接BD，因?yàn)椤螧AD＝90°，AB＝AD＝a，所以BD＝eq\r(2)a，所以PD＝BD，∠B