第5.3.1講函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用（第2課時）-新高一數(shù)學(xué)寶典（人教A版2019選修第二冊）

第四章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第5.3.1講函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用（第2課時）班級_______姓名_______組號_______進一步理解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和其單調(diào)性的關(guān)系．能討論簡單的含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題．能用函數(shù)的單調(diào)性解簡單的問題．1、含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性2、由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍3、利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小、解不等式知識點函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系在區(qū)間(a，b)內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)數(shù)單調(diào)遞eq\o(□,\s\up2(1))增f′(x)≥0單調(diào)遞eq\o(□,\s\up2(2))減f′(x)≤0常函數(shù)f′(x)＝0題型1、由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍1．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，從而得解.【詳解】因為，所以，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，則在上恒成立，因為在上單調(diào)遞減，所以，故.故選：A.2．已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號求解.【詳解】，由條件知當(dāng)時，，即，令，是減函數(shù)，；故選：D.3．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式得到函數(shù)的定義域，再求出導(dǎo)函數(shù)，從而根據(jù)條件得到關(guān)于的不等式組，進而求解即可．【詳解】由，則函數(shù)的定義域是，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由，得，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：A．4．若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由單調(diào)性可知在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得，由此可得的取值范圍.【詳解】在上單調(diào)遞增，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，解得：，的取值范圍為.故選：D.5．若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，依題意恒成立，參變分離可得恒成立，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】函數(shù)定義域為，且，依題意恒成立，恒成立，即恒成立，又，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選：A題型2、利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小、解不等式6．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】觀察，可考慮構(gòu)造函數(shù)，求得的奇偶性，再由時，的單調(diào)性確定整個增減性，由與的正負反推正負即可求解.【詳解】設(shè)，則，∵當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減.由于是奇函數(shù)，所以，是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增.又，當(dāng)或時，；當(dāng)或時，，所以當(dāng)或時，.即不等式的解集為.故選：B.7．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖象判斷其導(dǎo)數(shù)的正負情況，即可求得答案.【詳解】由函數(shù)的圖象可知當(dāng)或時，；當(dāng)時，，等價于或，故不等式的解集為，故選：A8．函數(shù)的定義域是，，對任意，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，則，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，則原不等式等價于，結(jié)合單調(diào)性計算可得.【詳解】令，因為，所以，又，所以在上單調(diào)遞增，不等式即，所以，所以，即不等式的解集為.故選：A9．已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)，時，證明：【詳解】（1），當(dāng)時，，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減．當(dāng)時，當(dāng)或，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以在R上單調(diào)遞增．當(dāng)時，當(dāng)或，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減．（2），由可得，或，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減．又因為，，所以恒成立．10．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）由題意可知，，令，則，當(dāng)時，恒成立，單調(diào)遞增，當(dāng)時，由解得，由解得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，綜上所述當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）由（1）可知不等式即在上恒成立，即在上恒成立，只需即可，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以.題型3、含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性11．已知函數(shù)，，討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】答案見解析【分析】求導(dǎo)數(shù)，分類討論導(dǎo)數(shù)的符號，得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域為，①當(dāng)，即時，得，則.∴函數(shù)在上為增函數(shù).②當(dāng)，即時，令，得，解得(ⅰ)若，則，∵，在或時，；時，∴在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).(ⅱ)若，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).綜上可知，時，函數(shù)在上為增函數(shù)；時，函數(shù)在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)；時，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).12．已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】由題設(shè)知，定義域為R，，令，得，.當(dāng)時，令，解得或，此時單調(diào)遞增，令，解得，此時單調(diào)遞減，當(dāng)時，令，解得，此時單調(diào)遞增，令，解得或，此時單調(diào)遞減，綜上：當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減.13．已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；【詳解】方法一：由題意得：定義域為，，由得：，即；①當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，，令，解得：，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.方法二：由題意得：定義域為，；①當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，由得：；由得：，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.14．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性.【詳解】（1）由已知，則，當(dāng)時，，，則曲線在處的切線方程為，即（2）由（1）知，，①當(dāng)時，，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；②當(dāng)時，由，得，（?。┊?dāng)時，，當(dāng)時，，在，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；（ⅱ）當(dāng)時，，，在單調(diào)遞增；（ⅲ）當(dāng)時，，當(dāng)時，，在，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；綜上可得：①當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；②當(dāng)時，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；③當(dāng)時，在單調(diào)遞增；④當(dāng)時，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.一、單選題1．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為非負數(shù)，列不等式，解不等式即可求得的取值范圍.【詳解】由題意得，在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B2．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系進行求解即可.【詳解】由，因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以有在上恒成立，即在上恒成立，因為，所以由，因為，所以，于是有，故選：D3．已知函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)可得在上恒成立，結(jié)合判別式的符號可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】，因為在上為單調(diào)遞增函數(shù)，故在上恒成立，所以即，故選：A.4．函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示．記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系判斷．【詳解】由題意，知的解集即的單調(diào)遞減區(qū)間，故的解集為．故選：A．5．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式得到函數(shù)的定義域，再求出導(dǎo)函數(shù)，從而根據(jù)條件得到關(guān)于的不等式組，進而求解即可．【詳解】由，則函數(shù)的定義域是，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由，得，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：A．6．若函數(shù)在具有單調(diào)性，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系進行求解即可.【詳解】由，當(dāng)函數(shù)在單調(diào)遞增時，恒成立，得，設(shè)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，因此有，當(dāng)函數(shù)在單調(diào)遞減時，恒成立，得，設(shè)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，顯然無論取何實數(shù)，不等式不能恒成立，綜上所述，a的取值范圍是，故選：C7．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，求得最小值，從而得解.【詳解】，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，即在上恒成立，又因為在大于0，所以在上恒成立，令，對稱軸為，在單調(diào)遞增，，所以，所以，所以的取值范圍為.故選：B.8．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．不存在這樣的實數(shù)【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可得出區(qū)間的包含關(guān)系，即可得出的取值范圍.【詳解】因為，該函數(shù)的定義域為，，由可得，由可得或，所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則或或，若，則，解得；若，則，解得；若，則，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：A.二、多選題9．已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，為其導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系一一判定即可.【詳解】因為函數(shù)，所以.因為函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以,對于任意的恒成立，所以恒成立，即A正確；但大小不確定，故B錯誤；對于方程，有，即，所以C正確，D錯誤；故選：AC.10．若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)的值可能是（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】BC【分析】利用導(dǎo)函數(shù)判斷的單調(diào)區(qū)間進行求解即可.【詳解】的定義域為，所以，A錯誤；由題意可得，令解得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，因為在區(qū)間上不單調(diào)，所以，即，選項B：當(dāng)時，，正確；選項C：當(dāng)時，，所以，正確；選項D：當(dāng)時，，錯誤；故選：BC三、填空題11．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的最小值為.【答案】【分析】轉(zhuǎn)化為，即在上恒成立可求出結(jié)果.【詳解】由題意得，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立，所以，即實數(shù)的最小值為.故答案為：12．函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，實數(shù)的范圍是.【答案】【分析】求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，從而求得函數(shù)的極大值點為，極小值點為，進而可得或，求解即可.【詳解】，，令，得.當(dāng)或時，；當(dāng)時，.所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極大值點為，極小值點為.由題意可得或，解得或.所以實數(shù)的范圍是.故答案為：.四、解答題13．設(shè)函數(shù)恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍．【詳解】由題可知的定義域為R，，若，則恒成立，此時在R上單調(diào)遞增，即只有一個單調(diào)區(qū)間，不符題意；若，由解得，由解得或，此時在上單調(diào)遞增，在與上單調(diào)遞減，共有三個單調(diào)區(qū)間，符合題意；所以a的取值范圍是．14．已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)