2023-2024學(xué)年安徽省泗縣高二年級(jí)下冊(cè)第二次月考數(shù)學(xué)模擬試題 （含解析）

2023-2024學(xué)年安徽省泗縣高二下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題(本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目

的一項(xiàng))

1.已知集合Z={x∣χ2<i},jg={x∣N+3χ<o},則ZDB=()

A.(-l,0)B.(0,l)C.(-3,l)D.(y,l)

2

2.復(fù)數(shù)z=l+i(i是虛數(shù)單位)，貝IJZ--=()

zF

A.-l+2iB.C.-B.l-2i?-C.-lD.l+2i

3.已知函數(shù)/(x)=α+xlnx,若對(duì)任意xe[l,+e),使得/(尤)…1成立，則實(shí)數(shù)α的最小

值為()

B.-D.-B,-lC.2D.-2

2的取值范圍是()

4.設(shè)αeW，'夕e[0,%],那么2α-

3

π2萬(wàn)、

C.

3^,T,

5.已知集合Z=卜11,集合6={x∣X2-(α+2)x+2α<θ},若“xe/”是“xe3”

的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)4的取值范圍()

6.已知α+2"=2,b+3"=2,則blgα與ɑlgb的大小關(guān)系是()

A.blga<a?gbB.b?ga=algb

C.b?ga>a?gbD.不確定

7.已知函數(shù)/(x)=-χ2+α,g(X)=X2e》,若對(duì)任意的々e[-l,l],存在X∣∈-1,2使得

/(χj=g(w),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.[e+l,41B.[e,4]C.e,-+4D.e+l,-+4

[_eJ[_e

8.命題：函數(shù)/(x)=αeXsinx+eACosX在區(qū)間(0卷)上單調(diào)，能作為該命題的一個(gè)必要不

充分條件的α的取值范圍為()

A.(-∞,-l]B,[-l,l]c,(-∞,0)u(0,+∞)D.(-oo,-l]u[l,+0>)

二、多選題(本大題共4小題，共20分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.下列命題中正確的有()

A.函數(shù)J=JX+1.Jx-I與函數(shù)y=Jχ2-1表示同一函數(shù)

B.已知函數(shù)/(2x+l)=4x-6,若/(α)=10,則。=9

C.若函數(shù)f[y∕x-l^=x-3y∕x,則/(x)=x2-x-2(χ..-l)

D.若函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閇0,2],則函數(shù)/(2x)的定義域?yàn)閇0,4]

10.已知x>0,y>0,2x+y=l,則下列說(shuō)法正確的是()

121

A.砂的最大值是一B一+一的最小值是8

8%y

C.4χ2+y2的最小值是gD.f+y2的最小值是！

11.已知函數(shù)/(》)=/一6+1的圖象在》=2處切線的斜率為9,則下列說(shuō)法正確的是

()

A.α=3

BJ(X)在X=—1處取得極大值

C當(dāng)x∈(-2,l]時(shí),/(x)∈(-l,3]

D.∕(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)中心對(duì)稱

12.已知/(x)=InX+gχ2-OX,則下列說(shuō)法正確的有()

A.若/(》)-]<0恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是~,+∞

B.若/(x)有極值，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是(2,+“)

C.若\\〃〉1,則實(shí)數(shù)4的取值范圍是(一力』

X1-X2

3

D.若/(X)有極值點(diǎn)石,(為<々)，則fM<--

三、填空題(本大題共4小題，共20分)

13.函數(shù)/(X)=*當(dāng)?shù)亩x域?yàn)?

14.不等式(α-2)χ2+2(α-2)x-4<0對(duì)一切x∈&恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

15.設(shè)函數(shù)/(x)是R內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，且/(InX)=XInX,則/⑴=.

16.將一個(gè)邊長(zhǎng)為"的正方形鐵片的四個(gè)角截去四個(gè)邊長(zhǎng)為X的小正方形，做成一個(gè)無(wú)蓋方

盒.當(dāng)X等于,方盒的體積「最大.

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟)

17.(本小題10分)

已知/(x-l)=x2-l.

(I)求函數(shù)/(χ)的解析式；

(2)若函數(shù)g(x)=lnf(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間.

18.(本小題12分)

已知關(guān)于X的不等式ax2-3x+2>0的解集為｛x∣X<1或X〉b｝(b>1).

(1)求α,b的值；

ab

(2)當(dāng)x>O,y>O,且滿足一+—=1時(shí)，有2》+乂.從2+4+2恒成立，求人的取值范圍.

Xy

19.(本小題12分)

^ABCΦ,角C所對(duì)應(yīng)的邊分別為α,b,c,且JIaCOS8=2CSirL4—J。CoSZ.

(1)求角/的大??；

(2)若A∕8C的面積為4月，邊。是b,c的等差中項(xiàng)，求AZBC的周長(zhǎng)

20.(本小題12分)

如圖①，在菱形ZBCO中，/4=60°且/6=2,E為的中點(diǎn).將AZ8E沿SE折起使

AD=也，得到如圖②所示的四棱錐/-8COE.

圖①圖②

(1)求證：4￡_]_平面8。?！辏?；

(2)若P為NC的中點(diǎn)，求二面角P-8。一。的余弦值.

21.(本小題12分)

在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列｛%｝中，成等比數(shù)列，?6=11.

(1)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,,“=二氣一，證明也+6+…+5<9

?、2"+336

22.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=ex-0x,g(x)=e2lnr-or(O∈R).

(I)討論/(χ)的極值；

(2)當(dāng)X>O時(shí)，求證./'(x)>g(x)

答案和解析

L【正確答案】C解：由題意，得∕={x∣-l<x<l},8={x∣-3<x<0},

所以Zu8={x∣-3<x<l}=(-3,1),故選.C

2.【正確答案】D解：?.?z=l+i,

.?.Z---=l+i---------=l+i--=l+i--=l+i-^=l+2i.??,p

z2(l+i)22ii-i2

3.【正確答案】A解：?.?∕(x)…1,即α+xlnx…1,；.α.J-xlnx在[l,+oo)上恒成立.

令g(x)=I-XlnX,?.?g(x)=-l-lnx<0,.?.g(x)在[l,+e)上單調(diào)遞減，

?,?g(x),,g⑴=1，即α.L

故實(shí)數(shù)4的最小值為1.故選.Z

4.【正確答案】D解：a∈∣-—∣,^∈[O,?],所以-<2α<π,-----?——0，

\62J333

則一2^<2]-2<不，故選D.

33

5.【正確答案】A解：Z=卜11=卜|一；?x<2},8={x∣(x-α)(x-2)<0},

又?.?“xe√T是"x∈8"的充分不必要條件，.?.Z=8,.?.α<-L故選4

2

6.【正確答案】C解：由條件易得O<α<l,O<b<l.

當(dāng)。>0時(shí)，α+2"<α+3",又α+2"=2=b+3J所以b+3"<α+3"，

因?yàn)楹瘮?shù)y=x+3、在R上單調(diào)遞增，所以O(shè)<b<α<l,

設(shè)/(X)=則,則/'(X)=上攣，所以/(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，

XX

所以f(6)<f(α),即她<皿，所以Mnb<blnα.

ba

又?nh=-?-,ln6f=3一,lne>0,所以QIgb<hlga.故選C.

IgeIne

7.【正確答案】B解：易知/(x)=-Y+a在_g,2的值域?yàn)閇α-4,同，

g(x)=x2er的導(dǎo)數(shù)為g'(x)=2XeX+x2ex=x(x+2)ev,可得g(x)在[T,θ]遞減，(0,1]

遞增，

則g(x)在[T,l]的最小值為g(0)=0,最大值為g⑴=e,即值域?yàn)閇0,e].

對(duì)任意的Λ?e[T,l]，存在Xle-;,2,使得/(x∣)=g(x2)，可得[θ,e][[α-4,α],

可得。-4*,0<e?a,解得q,α.4.故選8.

8.【正確答案】C解：若函數(shù)/(x)=αe'sinx+e'cosx在區(qū)間O弓上單調(diào)，則

/(x)=aexsiwc+aexcosx+excosx-e'sinχ..0在[。,萬(wàn)J上成立，

或小)“Siieks-叭。在(。,)成立,

即J∑αe*sinx+?)+"τ'cos(x+今)..0在(θ,?∣)上成立，

或J∑αe"sin(x+—j+λ∕2e,'cosfx+—j?0在(05])上成立，

,π,ππ5π

由Xel0λ,—I可得X-I—W—,—

I2J4144

上成立,

解得a.」或α,-1,即α∈(-oo,-l]u[l,+0o),

根據(jù)題意能使得-IMI,+⑹為真子集的集合為(-8,0)u(0,+”).故選.C

9.【正確答案】BC解：A?.y=/(X)=&TGT的定義域是=例X..1},

y=g(χ)=JT二i的定義域是{x∣犬―1…θ}={χ∣X..』，或％-1),

兩函數(shù)的定義域不同，故不是同一函數(shù)，Z錯(cuò)誤；

2χ+]=Q/X=4

8:函數(shù)∕^(2x+l)=4x-6,若/(α)=10,則,=>Γ八，故8正確；

4x-6=1I0Λ[α=9

C：若函數(shù)/(4_1)=》_34=(4_1)2_(?_1卜2,則/(x)=χ2.>2(x…-1),

故C正確；D-.若函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閇0,2],則函數(shù)/(2x)中，Q,2χ,2=>0,,%,1,

即函數(shù)/(2x)的定義域?yàn)閇0,1],故。錯(cuò)誤.故選BC.

I----1f2x÷y=1

10.【正確答案】ACD解：對(duì)于2x+y=L.2j2孫孫,，一，當(dāng)且僅當(dāng)《

8[2x=y

即X=Lj=L時(shí)等號(hào)成立，故/正確；對(duì)于

42

/、2yIx

21I21∣/、2y2x/————

B,—I—=—I—(2x+y)=5+^-H----...5+2√4=9,當(dāng)且僅當(dāng)(xyBP

X=JJ=L時(shí)等號(hào)成立，故8錯(cuò)誤;

33

111

對(duì)于C,因?yàn)閷O”一,2x+y=1故4χ92+y7=(2x+y)27-4xy=1-4xy..J-4×-=—,當(dāng)

882

且僅當(dāng)X=L,y=L時(shí)等號(hào)成立，故C正確.

42

對(duì)于。，因?yàn)閤>O,y>0,2x+y=1,故O<x<L,

2

X2+y2=X2+(1-2x)2=5χ2-4x+l=5(x-g)+；,當(dāng)X=I時(shí)，取得最小值(，故Z)

正確.

故選ACD.

IL【正確答案】ABD解：因?yàn)?'(x)=3χ2一α,所以1(2)=3x2?-α=9,解得a=3,

故Z正確；令/'(x)=3f-3=0,解得x=—l或χ=l,

當(dāng)xe(-e,-l)時(shí)，/、'(X)>0,當(dāng)xe(—1,1)時(shí)，/'(x)<0,當(dāng)Xe(L+e)時(shí)，/"(x)>0，

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間(-8,-1),(1,+e)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(一1,1)上單調(diào)遞減，

所以x=-l是極大值點(diǎn)，即/(x)在x=-l處取得極大值，故B正確；

當(dāng)xe(-2』時(shí)，/(-2)=-1,/(-1)=3,/(1)=-1,

所以當(dāng)Xe(-2,l]時(shí)，/(x)∈[-l,3],故C錯(cuò)誤；

因?yàn)?(0+x)+∕(0-x)=2=2∕(0),且/(0)=l,

所以/(尤)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)中心對(duì)稱，故。正確.故選ZBD.

12.【正確答案】BCD解：/(X)-—(0?>α)-，設(shè)g(x)=則，則g'(x)=EL，

2XXX

當(dāng)x∈(θ,e)時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)xe(e,+oo),g'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,

?,?g(x)的最大值為g(e)=a>-,故4錯(cuò)誤；

ee

,(1X2-0x+1

Jr(X)x=---FX-Q=------------，

XX

若/(X)有極值，設(shè)方程χ2-0r+ι=O的兩根為玉,馬，由Xf=I可知，

Δ=α2-4>0

則必有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，需滿足<x1+x2=a>O=>a>2,0<xl<l<x2,

x1x2=1

13

可知/(》2)</(1)=2-。<一5,所以民。正確；

因?yàn)?(西)二，(%2)>],不妨設(shè)玉>々，可得/(XJ一須>∕(χ2)—W，

可得〃(x)=∕(x)-x在(0,+Oo)單調(diào)遞增，司(X)=L+x-α-L..0nq,'+x-l,

XX

又y=1+x—L2jJ?x-l=l,當(dāng)且僅當(dāng)X=I時(shí)等號(hào)成立，所以α,l,c正確.故選BCD.

XX

13.【正確答案】(O,l)u(l,e]解：已知函數(shù)/(X)=口ΞIΞ,

2'—2

I-InX.O

所以<2*-2w0,解得0<χ,e且故函數(shù)的定義域?yàn)?0,l)5Le]?故答案為

%>O

(0,l)u(l,e].

14.【正確答案】(-2,2]解：不等式(α-2)f+2("2)x-4<0對(duì)一切XeR恒成立,

，當(dāng)α=2時(shí)，—4<0對(duì)一切XeR恒成立，滿足題意；

a-2<0a<2

當(dāng)。w2時(shí)，則<[2(a-2)]2-4(a-2)×(-4)<0,即“八，解得一2<Q<2,

"2一4z1<0

綜上所述，實(shí)數(shù)4的取值范圍是—2<a,2,即。6(—2,2].故答案為(-2,2].

15.【正確答案】2e解：令f=lnxJ0=以,所以/(x)=x∕,

?.?∕,(x)=(x+l)er,.?.∕,(l)=2e.故答案為2e.

16.【正確答案】處解：由于在邊長(zhǎng)為。的正方形鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)為X的小正方

6

形，做成一個(gè)無(wú)蓋方盒，

所以無(wú)蓋方盒的底面是正方形，且邊長(zhǎng)為4-2x,高為X,

則無(wú)蓋方盒的容積P(X)={a-2x)2X,O<x<|;

即Jz(X)=(α—2x)2X=4X3-4αχ2+a2x,O<x<-^?；

2

Γ(x)=12X-8ΛX+Q2=(6x-α)(2x-α),.?.當(dāng)x∈(時(shí)，P(x)>O,

當(dāng)x∈時(shí)，Γ(x)<O;故X=A是函數(shù)憶(X)的最大值點(diǎn),

6

即當(dāng)x=g時(shí)，方盒的容積%最大.故答案為.q

66

17.【正確答案】解：⑴因?yàn)?(x-l)=χ2-l=(x—l>+2(χ-l),

設(shè)∕=x-l,則/⑺=『+2/,所以函數(shù)/(x)的解析式/(x)=χ2+2x;

(2)^=8(》)=1!!/.(力=111儼+2”,x2+2%〉0=>%<一2或；(：>0,

設(shè)“=χ2+2χ>0,則y=ln",

當(dāng)Xe(一8,一2)時(shí)，"=f+2χ單調(diào)遞減，y=lnz∕單調(diào)遞增，

所以g(x)=In(x2+2x)在(-∞,-2)單調(diào)遞減：

當(dāng)Xe(0,+力)時(shí)，w=χ2+2χ單調(diào)遞增，y=ln”單調(diào)遞增，

所以g(x)=In(X2+2χ)在(0,+力)單調(diào)遞增.

所以g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+力)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,-2).

18.【正確答案】解：(1)因?yàn)椴坏仁?√-3χ+2>0的解集為｛x∣x<l或x>N(b>l),

所以1和b是方程52—3χ+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根且4>0,

α-3+2=0a=la=1

所以《解得《或V(舍).

α∕-3b+2=θ'b=2-b=?

Q=I12

(2)由(1)知I〈，于是有一■I—=1,故

h=2Xy

2x+y=(2x+y]—+—=4+—+—...4+2./-------=8

IXjJXyVxy

y4x(x=2

當(dāng)且僅當(dāng)人二——時(shí)，即《‘時(shí)，等號(hào)成立.

Xy[歹=4

依題意有(2x+y)mhr?F+E+2,即&.〃+4+2,

得*+%—6,On—3”k2,所以％的取值范圍為[—3,2].

19.【正確答案】ft?：(1)

?.?ViaCoS8=2csinA-yβbcosA,/.VJSirL4cosB=2sinCsirt4-百SilI5cos∕，

:.V3sirL4cos5+V3sin5cosJ-2sinCsiιvi=0,.,.①in(/+3)-2sinCsiiL4=0,

.?.TisinC_2sinCsiιvl=0,=C,Z∈(0,")/.sinC≠0,siιι4=—,Z=工或-?.

23?

(2)因?yàn)锳Z6C的面積為4√L所以S=gbcsiM=4jI,.?.bc=16.由邊α是b,c的

TT

等差中項(xiàng)，得b+c=2a,且力不是最大的角，.?.4=—,

3

?.?a2=6?+c?-2bccosg=(He)?-3bc=(b+c)2-48,.,.?2=4/-48,

.'.a2=16,a=4,b+c=2a=8>所以AABC的周長(zhǎng)為b+c+α=8+4=12.

20.【正確答案】證明：(1)在圖(1)中，連接8D.

?/四邊形ABCD為菱形，NZ=60",;."BD是等邊三角形.

?.?石為力。的中點(diǎn)，，85，力石，

又?.?AD=2,AE=DE-1,

在圖（2）中，AD=41<則/后2+?！?；2=/。2,.Eo

?.?BECDE=E,BE,DEU平面BCDE,：.ZEJ_平面BCDE.

解：(2)由(1),知4E1,DE,4E上BE.

?.?BECDE=E,BE,Z）EU平面BCDE.:.ZE_L平面BCDE.

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，麗,麗,成的方向分別為X軸，V軸，Z軸正方向，建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系E-乎.則

E(0,0,0),/(0,0,1),8(6,0,0),C(6,2,0),0(0,1,0).

?.?p為/C的中點(diǎn),

設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為m=（Xj,z）.

√31n

~~-X-y——z-0,

m?PB=0,2.2

由,一得.令z=√J,得比=（一1,—百,石）.

in-PD=0√31°

----X——z=0.

22

又平面BC。的一個(gè)法向量為或=（0,0,1）.

設(shè)二面角尸一60-C的大小為6,由題意知該二面角得平面角為銳角.

悶.方I?/?JTT/57

則CoSe==-?==二面角P-BD-C的余弦值為衛(wèi).

?E∕ψι?1×√777

21.【正確答案】解：⑴設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,由已知得（。2-1）2=%（。3-1），

2

即(%+√-l)=a1(a1÷2√-l),

又％+5d=ll,解得d=2(舍負(fù)),%=1,.?.%=2〃-1.

(2)

S=〃(1+2〃T)=〃2,b=α,用_=_____2n+l______=U_?_________