中考數(shù)學-銳角三角函數(shù)綜合試題附答案

一、銳角三角函數(shù)真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1．某地是國家AAAA級旅游景區(qū)，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享譽巴渠，被譽為“小九寨”．端坐在觀音崖旁的一塊奇石似一只“嘯天犬”，昂首向天，望穿古今．一個周末，某數(shù)學興趣小組的幾名同學想測出“嘯天犬”上嘴尖與頭頂?shù)木嚯x．他們把蹲著的“嘯天犬”抽象成四邊形ABCD，想法測出了尾部C看頭頂B的仰角為，從前腳落地點D看上嘴尖A的仰角剛好，,．景區(qū)管理員告訴同學們，上嘴尖到地面的距離是．于是，他們很快就算出了AB的長．你也算算？（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：.）【答案】AB的長約為．【解析】【分析】作于F，根據(jù)正弦的定義求出BF，利用余弦的定義求出CF，利用正切的定義求出DE，結(jié)合圖形計算即可．【詳解】解：作于F，在中，，，在E中，，由勾股定理得，，答：AB的長約為．【點睛】考查的是解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．2．如圖（1），在平面直角坐標系中，點A（0，﹣6），點B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角邊CD在y軸上，且點C與點A重合．Rt△CDE沿y軸正方向平行移動，當點C運動到點O時停止運動．解答下列問題：（1）如圖（2），當Rt△CDE運動到點D與點O重合時，設CE交AB于點M，求∠BME的度數(shù)．（2）如圖（3），在Rt△CDE的運動過程中，當CE經(jīng)過點B時，求BC的長．（3）在Rt△CDE的運動過程中，設AC=h，△OAB與△CDE的重疊部分的面積為S，請寫出S與h之間的函數(shù)關系式，并求出面積S的最大值．【答案】（1）∠BME=15°；（2BC=4；（3）h≤2時，S=﹣h2+4h+8，當h≥2時，S=18﹣3h．【解析】試題分析：（1）如圖2，由對頂角的定義知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度數(shù)，需先求出∠CMA的度數(shù)．根據(jù)三角形外角的定理進行解答即可；（2）如圖3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通過解直角△BOC就可求出BC的長度；（3）需要分類討論：①h≤2時，如圖4，作MN⊥y軸交y軸于點N，作MF⊥DE交DE于點F，S=S△EDC﹣S△EFM；②當h≥2時，如圖3，S=S△OBC．試題解析：解：（1）如圖2，∵在平面直角坐標系中，點A（0，﹣6），點B（6，0）．∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，∴∠OCE=60°，∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，∴∠BME=∠CMA=15°；如圖3，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，∴∠OBC=∠DEC=30°，∵OB=6，∴BC=4；（3）①h≤2時，如圖4，作MN⊥y軸交y軸于點N，作MF⊥DE交DE于點F，∵CD=4，DE=4，AC=h，AN=NM，∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM，∵△CMN∽△CED，∴，∴，解得FM=4﹣，∴S=S△EDC﹣S△EFM=×4×4﹣（44﹣h）×（4﹣）=﹣h2+4h+8，②如圖3，當h≥2時，S=S△OBC=OC×OB=（6﹣h）×6=18﹣3h．考點：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形3．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D、E分別在BC、AC邊上，連結(jié)BE、AD交于點P，設AC=kBD，CD=kAE，k為常數(shù)，試探究∠APE的度數(shù)：（1）如圖1，若k=1，則∠APE的度數(shù)為；（2）如圖2，若k=，試問（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，求出∠APE的度數(shù)．（3）如圖3，若k=，且D、E分別在CB、CA的延長線上，（2）中的結(jié)論是否成立，請說明理由．【答案】（1）45°；（2）（1）中結(jié)論不成立，理由見解析；（3）（2）中結(jié)論成立，理由見解析.【解析】分析：（1）先判斷出四邊形ADBF是平行四邊形，得出BD=AF，BF=AD，進而判斷出△FAE≌△ACD，得出EF=AD=BF，再判斷出∠EFB=90°，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出四邊形ADBF是平行四邊形，得出BD=AF，BF=AD，進而判斷出△FAE∽△ACD，再判斷出∠EFB=90°，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出四邊形ADBF是平行四邊形，得出BD=AF，BF=AD，進而判斷出△ACD∽△HEA，再判斷出∠EFB=90°，即可得出結(jié)論；詳解：（1）如圖1，過點A作AF∥CB，過點B作BF∥AD相交于F，連接EF，∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四邊形ADBF是平行四邊形，∴BD=AF，BF=AD．∵AC=BD，CD=AE，∴AF=AC．∵∠FAC=∠C=90°，∴△FAE≌△ACD，∴EF=AD=BF，∠FEA=∠ADC．∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD．∵AD∥BF，∴∠EFB=90°．∵EF=BF，∴∠FBE=45°，∴∠APE=45°．（2）（1）中結(jié)論不成立，理由如下：如圖2，過點A作AF∥CB，過點B作BF∥AD相交于F，連接EF，∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四邊形ADBF是平行四邊形，∴BD=AF，BF=AD．∵AC=BD，CD=AE，∴．∵BD=AF，∴．∵∠FAC=∠C=90°，∴△FAE∽△ACD，∴，∠FEA=∠ADC．∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD．∵AD∥BF，∴∠EFB=90°．在Rt△EFB中，tan∠FBE=，∴∠FBE=30°，∴∠APE=30°，（3）（2）中結(jié)論成立，如圖3，作EH∥CD，DH∥BE，EH，DH相交于H，連接AH，∴∠APE=∠ADH，∠HEC=∠C=90°，四邊形EBDH是平行四邊形，∴BE=DH，EH=BD．∵AC=BD，CD=AE，∴．∵∠HEA=∠C=90°，∴△ACD∽△HEA，∴，∠ADC=∠HAE．∵∠CAD+∠ADC=90°，∴∠HAE+∠CAD=90°，∴∠HAD=90°．在Rt△DAH中，tan∠ADH=，∴∠ADH=30°，∴∠APE=30°．點睛：此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，構造全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)．4．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點M是斜邊AB的中點，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于點E，連結(jié)AD、CD．（1）求證：△MED∽△BCA；（2）求證：△AMD≌△CMD；（3）設△MDE的面積為S1，四邊形BCMD的面積為S2，當S2=S1時，求cos∠ABC的值．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）cos∠ABC=.【解析】【分析】（1）易證∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，從而可證明△MED∽△BCA；（2）由∠ACB=90°，點M是斜邊AB的中點，可知MB=MC=AM，從而可證明∠AMD=∠CMD，從而可利用全等三角形的判定證明△AMD≌△CMD；（3）易證MD=2AB，由（1）可知：△MED∽△BCA，所以，所以S△MCB=S△ACB=2S1，從而可求出S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=S1，由于，從而可知，設ME=5x，EB=2x，從而可求出AB=14x，BC=，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【詳解】（1）∵MD∥BC，∴∠DME=∠CBA，∵∠ACB=∠MED=90°，∴△MED∽△BCA；（2）∵∠ACB=90°，點M是斜邊AB的中點，∴MB=MC=AM，∴∠MCB=∠MBC，∵∠DMB=∠MBC，∴∠MCB=∠DMB=∠MBC，∵∠AMD=180°﹣∠DMB，∠CMD=180°﹣∠MCB﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC，∴∠AMD=∠CMD，在△AMD與△CMD中，，∴△AMD≌△CMD（SAS）；（3）∵MD=CM，∴AM=MC=MD=MB，∴MD=2AB，由（1）可知：△MED∽△BCA，∴，∴S△ACB=4S1，∵CM是△ACB的中線，∴S△MCB=S△ACB=2S1，∴S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=S1，∵，∴，∴，設ME=5x，EB=2x，∴MB=7x，∴AB=2MB=14x，∵，∴BC=10x，∴cos∠ABC=.【點睛】本題考查相似三角形的綜合問題，涉及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積的面積比，銳角三角函數(shù)的定義等知識，綜合程度較高，熟練掌握和靈活運用相關的性質(zhì)及定理進行解題是關鍵.5．如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，點D在邊AC上且BD平分∠ABC，設CD=x．（1）求證：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；（3）求cos36°-cos72°的值．【答案】(1)證明見解析；（2）；（3）．【解析】試題分析：（1）由等腰三角形ABC中，頂角的度數(shù)求出兩底角度數(shù)，再由BD為角平分線求出∠DBC的度數(shù)，得到∠DBC=∠A，再由∠C為公共角，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形ABC與三角形BCD相似；（2）根據(jù)（1）結(jié)論得到AD=BD=BC，根據(jù)AD+DC表示出AC，由（1）兩三角形相似得比例求出x的值即可；（3）過B作BE垂直于AC，交AC于點E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出cos36°與cos72°的值，代入原式計算即可得到結(jié)果．試題解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD；（2）∵∠A=∠ABD=36°，∴AD=BD，∵BD=BC，∴AD=BD=CD=1，設CD=x，則有AB=AC=x+1，∵△ABC∽△BCD，∴，即，整理得：x2+x-1=0，解得：x1=，x2=（負值，舍去），則x=；（3）過B作BE⊥AC，交AC于點E，∵BD=CD，∴E為CD中點，即DE=CE=，在Rt△ABE中，cosA=cos36°=，在Rt△BCE中，cosC=cos72°=，則cos36°-cos72°=-=．【考點】1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.等腰三角形的性質(zhì)；3.黃金分割；4.解直角三角形．6．如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D是半圓O的三等分點，過點C作⊙O的切線交AD的延長線于點E，過點D作DF⊥AB于點F，交⊙O于點H，連接DC，AC．（1）求證：∠AEC=90°；（2）試判斷以點A，O，C，D為頂點的四邊形的形狀，并說明理由；（3）若DC=2，求DH的長．【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形AOCD為菱形；（3）DH=23．【解析】試題分析：（1）連接OC，根據(jù)EC與⊙O切點C，則∠OCE=90°，由題意得AD=（2）四邊形AOCD為菱形．由（1）得AD=（3）連接OD．根據(jù)四邊形AOCD為菱形，得△OAD是等邊三角形，則∠AOD=60°，再由DH⊥AB于點F，AB為直徑，在Rt△OFD中，根據(jù)sin∠AOD=DFOD試題解析：（1）連接OC，∵EC與⊙O切點C，∴OC⊥EC，∴∠OCE=90°，∵點CD是半圓O的三等分點，∴AD=∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AE∥OC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）∴∠AEC+∠OCE=180°，∴∠AEC=90°；（2）四邊形AOCD為菱形．理由是：∵AD=∴∠DCA=∠CAB，∴CD∥OA，又∵AE∥OC，∴四邊形AOCD是平行四邊形，∵OA=OC，∴平行四邊形AOCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；（3）連接OD．∵四邊形AOCD為菱形，∴OA=AD=DC=2，∵OA=OD，∴OA=OD=AD=2，∴△OAD是等邊三角形，∴∠AOD=60°，∵DH⊥AB于點F，AB為直徑，∴DH=2DF，在Rt△OFD中，sin∠AOD=DFOD∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=3，∴DH=2DF=23．考點：1.切線的性質(zhì)2.等邊三角形的判定與性質(zhì)3.菱形的判定與性質(zhì)4.解直角三角形．7．某條道路上通行車輛限速60千米/時，道路的AB段為監(jiān)測區(qū)，監(jiān)測點P到AB的距離PH為50米（如圖）．已知點P在點A的北偏東45°方向上，且在點B的北偏西60°方向上，點B在點A的北偏東75°方向上，那么車輛通過AB段的時間在多少秒以內(nèi)，可認定為超速？（參考數(shù)據(jù)：≈1.7，≈1.4）．【答案】車輛通過AB段的時間在8.1秒以內(nèi)，可認定為超速【解析】分析：根據(jù)點到直線的距離的性質(zhì)，構造直角三角形，然后利用解直角三角形的應用，解直角三角形即可.詳解：如圖，由題意知∠CAB=75°，∠CAP=45°，∠PBD=60°，∴∠PAH=∠CAB–∠CAP=30°，∵∠PHA=∠PHB=90°，PH=50，∴AH===50，∵AC∥BD，∴∠ABD=180°–∠CAB=105°，∴∠PBH=∠ABD–∠PBD=45°，則PH=BH=50，∴AB=AH+BH=50+50，∵60千米/時=米/秒，∴時間t==3+3≈8.1（秒），即車輛通過AB段的時間在8.1秒以內(nèi)，可認定為超速．點睛：該題考查學生通過構建直角三角形，利用某個度數(shù)的三角函數(shù)值求出具體邊長，即實際路程，并進行判斷相關的量。8．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，動點P從點A出發(fā)，沿AB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動．過點P作PD⊥AC于點D(點P不與點A，B重合)，作∠DPQ＝60°，邊PQ交射線DC于點Q．設點P的運動時間為t秒．（1）用含t的代數(shù)式表示線段DC的長：_________________；（2）當t=__________時，點Q與點C重合時；（3）當線段PQ的垂直平分線經(jīng)過△ABC一邊中點時，求出t的值．【答案】（1）23-3t；（2）1；（3）t的值為12【解析】【分析】（1）先求出AC，用三角函數(shù)求出AD，即可得出結(jié)論；（2）利用AQ=AC，即可得出結(jié)論；（3）分三種情況，利用銳角三角函數(shù)，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵AP=2t,AB=4,∠A＝30°∴AC=23,AD=∴CD=23（2）AQ=2AD=2當AQ=AC時，Q與C重合即23t∴t=1；（3）①如圖，當PQ的垂直平分線過AB的中點F時，∴∠PGF＝90°，PG＝12PQ＝12AP＝t，AF＝∵∠A＝∠AQP＝30°，∴∠FPG＝60°，∴∠PFG＝30°，∴PF＝2PG＝2t，∴AP＋PF＝2t＋2t＝2，∴t＝1②如圖，當PQ的垂直平分線過AC的中點N時，∴∠QMN＝90°，AN＝12AC＝，QM＝12PQ＝1在Rt△NMQ中，NQ∵AN＋NQ＝AQ，∴3③如圖，當PQ的垂直平分線過BC的中點F時，∴BF＝12BC＝1，PE＝1∵∠ABC＝60°，∴∠BFH＝30°＝∠H，∴BH＝BF＝1.在Rt△PEH中，PH＝2PE＝2t.∵AH＝AP＋PH＝AB＋BH，∴2t＋2t＝5，∴t＝54即當線段PQ的垂直平分線經(jīng)過△ABC一邊中點時，t的值為12或34或【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，垂直平分線的性質(zhì)，正確作出圖形是解本題的關鍵．9．如圖，建筑物BC上有一旗桿AB，從與BC相距40m的D處觀測旗桿頂部A的仰角為50°，觀測旗桿底部B的仰角為45°，求旗桿AB的高度.（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77【答案】旗桿AB的高度約為7.6m.【解析】【分析】在Rt△BDC中，根據(jù)tan∠BDC=BCCD求出BC，接著在Rt△ADC中，根據(jù)tan∠ADC=ACCD=【詳解】解：∵在Rt△BDC中，tan∠BDC=BCCD∵在Rt△ADC中，tan∠ADC=ACCD=∴tan50°=AB+4040∴AB≈7.6m答：旗桿AB的高度約為7.6m.【點睛】此題主要考查了三角函數(shù)的應用10．如圖，在中，，,點是邊上一動點（不與點重合），以長為半徑的與邊的另一個交點為，過點作于點.當與邊相切時，求的半徑；聯(lián)結(jié)交于點，設的長為，的長為，求關于的函數(shù)解析式，并直接寫出的取值范圍；在的條件下，當以長為直徑的與相交于邊上的點時，求相交所得的公共弦的長.【答案】（1）