中考數(shù)學復習指導：相似形中探索猜想問題

相似三角形的探索性問題類型1：條件探索猜想型這類問題一般命題的結(jié)論明確，需讀者反溯結(jié)論成立的條件.可采取逆向思維，由結(jié)論成立看需要什么條件，再結(jié)合已有的條件，并輔助于圖形結(jié)構(gòu)、隱含的條件進行分析探究，方可得到所需的條件.例1學習《圖形的相似》后，我們可以借助探索兩個直角三角形全等的條件所獲得經(jīng)驗，繼續(xù)探索兩個直角三角形相似的條件.（1）“對與兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應相等，或兩直角邊對應相等，兩個直角三角形全等”.類似地，你可以等到：“滿足，或，兩個直角三角形相似”.（2）“滿足斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等”，類似地你可以得到“滿足的兩個直角三角形相似”.請結(jié)合下列所給圖形，寫出已知，并完成說理過程.圖1已知：如圖1，.圖1試說明Rt△ABC∽Rt△A’B’C’.分析：我們通過對三角形全等知識的學習與三角形相似知識的探究不難發(fā)現(xiàn)，它們之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，實際上當兩個相似三角形的對應邊的比等于1時，這兩個三角形就成為全等三角形.本題是要求讀者從特殊（全等）到一般（相似）類比探索猜想問題，根據(jù)直角三角形全等的判定條件猜想出直角三角形相似的判定條件.為此只需把角的相等條件遷移，將對應邊相等改成對應邊成比例即可.解：（1）一個銳角對應相等兩直角邊對應成比例（2）斜邊和一條直角邊對應成比例在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)．解法一：設(shè)eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)＝k，則AB＝kA′B′，AC＝kA′C′．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∴eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(eq\r(AB2－AC2),eq\r(A′B′2－A′C′2))＝eq\f(eq\r(k2A′B′2－k2A′C′2),eq\r(A′B′2－A′C′2))＝k．∴eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(BC,B′C′)．∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．解法二：如圖，假設(shè)AB＞A′B′，在AB上截取AB″＝A′B′，過點B″作B″C″⊥AC，垂足為C″．C″CBAC′B′A′B″∵∠C＝∠C″CBAC′B′A′B″∴Rt△ABC∽Rt△AB″C″．∴eq\f(AC,AC″)＝eq\f(AB,AB″)．∵AB″＝A′B′，∴eq\f(AC,AC″)＝eq\f(AB,A′B′)．∵eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)，∴eq\f(AC,AC″)＝eq\f(AC,A′C′)．∴AC″＝A′C′．又∵AB″＝A′B′，∠C′＝∠AC″B″＝90°，∴Rt△AB″C″≌Rt△A′B′C′．∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．例2.如圖2，兩點分別在的邊上，與不平行，當滿足條件（寫出一個即可）時，．圖2分析：根據(jù)兩個三角形相似的條件結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)△ADE與△ACB有一個公共角∠A，所以我們只要補充一個角，或夾這個角的兩邊對應成比例即可說明△ADE∽△ACB.因為DE與BC不平行因而可補充條件∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD·AB=AE·AC圖2類型2存在探究性所謂“存在性”的問題，就是要求應試者在給定的部分條件下，判斷某種數(shù)學對象（直線、點、幾何圖形等）是否存在的命題，這種題型有利于測試學生的猜想、判斷、邏輯推理等創(chuàng)造性解決問題的能力.解決此類問題的方法是：先對結(jié)論作出肯定存在的假設(shè)而后結(jié)合題設(shè)、定理等進行正確的推理，若得出矛盾的結(jié)果，則否定先前假設(shè)，說明結(jié)論不存在；若推出合理的結(jié)果，說明假設(shè)成立，進而知結(jié)論是存在的.例3.一般來說，依據(jù)數(shù)學研究對象本質(zhì)屬性的相同點和差異點，將數(shù)學對象分為不同種類的數(shù)學思想叫做“分類”的思想；將事物進行分類，然后對劃分的每一類分別進行研究和求解的方法叫做“分類討論”的方法.請依據(jù)分類的思想和分類討論的方法解決下列問題：如圖3-1，在△ABC中，∠ACB＞∠ABC.若∠BAC是銳角，請?zhí)剿髟谥本€AB上有多少個點D，能保證△ACD～△ABC（不包括全等）？請對∠BAC進行恰當?shù)姆诸悾苯訉懗雒恳活愒谥本€AB上能保證△ACD～△ABC(不包括全等)的點D的個數(shù).圖3-3圖3-1圖3-3圖3-1D圖3-2圖3-2（1）（i）如圖3-1，若點D在線段AB上，由于∠ACB＞∠ABC，可以作一個點D滿足∠ACD=∠ABC,使得△ACD∽△ABC.(ii)如圖①，若點D在線段AB的延長線上，則∠ACD＞∠ACB＞∠ABC，與條件矛盾，因此，這樣的點D不存在.（iii）如圖②，若點D在線段AB的反向延長線上，由于∠BAC是銳角，則∠BAC＜90°＜∠CAD，不可能有△ACD∽△ABC.因此，這樣的點D不存在.綜上所述，這樣的點D有一個.類型3結(jié)論探索性探索結(jié)論型的問題的特點是：命題只給出了明確的條件，隱去了結(jié)論，要求考生需結(jié)合圖形探究、發(fā)現(xiàn)、猜測出相應的結(jié)論，或變換命題中的部分條件探究對結(jié)論的影響；解題時讀者必須全方位審題，挖掘、搜集必要的信息進行提煉，大膽推測結(jié)論，小心求證.例1已知：如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，E是AD的中點，點P是BC邊上的動點（不與點B重合），EP與BD相交于點O.（1）當P點在BC邊上運動時，求證：△BOP∽△DOE；（2）設(shè)（1）中的相似比為，若AD︰BC=2︰3.請?zhí)骄浚寒攌為下列三種情況時，四邊形ABPE是什么四邊形？①當=1時，是；②當=2時，是；③當=3時，是.并證明=2時的結(jié)論.ABCDEPABCDEPO圖1（2）①當=1時，由△BOP∽△DOE可知△BOP≌△DOE，所以BP=DE，又DE=AE，所以AE=BP，又AE//BP，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可知四邊形ABPE是平行四邊形.②直角梯形③等腰梯形證明：∵k=2時，∴BP=2DE=AD又∵AD︰BC=2︰3∴BC=AD∴PC=BC-BP=AD-AD=AD=ED又ED∥PC,∴四邊形PCDE是平行四邊形，又∵∠DCB=90°∴四邊形PCDE是矩形∴∠EPB=90°又∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB與DC不平行∴AE∥BP,AB與EP不平行∴是直角梯形評注：解決本題的關(guān)鍵是通過△BOP∽△DOE，當相似比發(fā)生變化，取某些特殊的整數(shù)值（K=1，2，3）時找到BP與AD的數(shù)量關(guān)系，進一步通過計算發(fā)現(xiàn)PC與DE數(shù)量關(guān)