八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第十四章 勾股定理》單元測(cè)試卷及答案（華東師大版）

八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第十四章勾股定理》單元測(cè)試卷及答案（華東師大版）

一、選擇題

1.下列各組數(shù)據(jù)中是勾股數(shù)的是（）

A.0.3,0.4,0.5B.32,4?，52

111

C.9,12,15D.一,一,—

345

2.有一直角三角形紙片，NC=9(TBC=6,AC=8,現(xiàn)將△ABC按如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B

rc7C7c

A.2A/7B.—C.—D.4

42

3.在△ABC中，NA、NB、NC的對(duì)邊分別為a、b、c,下列條件中，能判斷△ABC是直角三角

形的是（）

A.a=32,b=42,c=52B.a=b,ZC=45°

C.ZA：ZB：ZC=6：8：10D.a=百，b=幣，c=2

4.在^ABC中，已知43=4,BC=5和AC="i，則下列說法正確的是（）

A.△ABC是銳角三角形B.△ABC是直角三角形且=90

C.△ABC是鈍角三角形D.△ABC是直角三角形且/8=90

5.要說明命題“若a2>b2,則a>b”是假命題，能舉的一個(gè)反例是（）

A.a=3,b=2B.a-3,b=2

C.a-=3,b=-1D.a=-1,b=3

6.如圖，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD平分NBAC,則AD等于（）

BDC

A.6B.7C.8D.9

7.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)是

9cm,則圖中所有正方形的面積的和是（）

B.81cm2C.\62cm2D.243C77?

8.將直角三角形的三條邊長(zhǎng)做如下變化，得到的新三角形仍是直角三角形的是（）

A.同加一個(gè)相同的數(shù)B.同減一個(gè)相同的數(shù)

C.同乘以一個(gè)相同的正整數(shù)D.同時(shí)平方

9.如圖，在.ABC中=點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，連接Q4、PB、PC且NA尸8w/A尸C

求證：PBxPC用反證法證明時(shí)，第一步應(yīng)假設(shè)（）

A.AB^ACB.PB=PC

C.ZAPB=ZAPCD.ZPBC^ZPCB

10.如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)是24,高是5,—只在A點(diǎn)的螞蟻沿側(cè)面爬行，想吃到B點(diǎn)的食物，需

要爬行的最短路徑是（）

24=

13C.14D.-----h5

兀

二、填空題

11.若直角三角形的斜邊長(zhǎng)為灰，一條直角邊長(zhǎng)為1,則另一條直角邊長(zhǎng)為.

12.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,則NABC的度數(shù)為度.

13.反證法證明命題“同旁內(nèi)角不互補(bǔ)的兩條直線不平行”時(shí)，應(yīng)先假

設(shè).

14.如圖是某滑雪場(chǎng)U型池的示意圖，該U型池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中

間可供滑行部分的截面是半徑為3的半圓，其邊緣43=8=16,點(diǎn)E在上，CE=4一名滑雪

愛好者從A點(diǎn)滑到E點(diǎn)時(shí)，他滑行的最短路程約為（兀取3）.

三'解答題

15.如圖，在.ABC中，AB=AC,AD平分/BAC,已知BC=10,AD=12,求AC的長(zhǎng).

16.如圖，在，ABC中，D為A6邊上一點(diǎn)，已知AC=13,CD=12,AD=5,AB=BC.請(qǐng)判斷

的形狀，并求出的長(zhǎng).

17.求證：對(duì)頂角相等（請(qǐng)畫出圖形，寫出已知、求證、證明.）

18.一個(gè)零件的形狀如圖所示，按規(guī)定NB4C應(yīng)為直角，工人師便測(cè)得NADC=90。，AD=3,

CD=4,AB=12,BC=13請(qǐng)你幫他看一下，這個(gè)零件符合要求嗎？為什么.

四、綜合題

19.如圖，在,ABC中N84C=60°,NB=45°且AZ＞是NBA。的平分線，且AC=26

?！癬143于點(diǎn)"，交AO于點(diǎn)。.

C

(1)求證：AC。是等腰三角形；

(2)求線段3。的長(zhǎng).

20.如圖，.ABC的三邊分別為AC=5,BC=12和A8=13,如果將ABC沿AD折疊，使AC

恰好落在A8邊上.

(2)求線段CD的長(zhǎng).

21.綜合與實(shí)踐

美麗的弦圖中蘊(yùn)含著四個(gè)全等的直角三角形.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,弦圖中包含了一大一小兩個(gè)正方形，已知每個(gè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊為a,較短

的直角邊為b,斜邊長(zhǎng)為C,結(jié)合圖1,試驗(yàn)證勾股定理；

(2)如圖2,將這四個(gè)直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓(實(shí)線)的周長(zhǎng)為24

OC=3求該飛鏢狀圖案的面積；

(3)如圖3,將八個(gè)全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD,正方形EFGH,正

方形MNKT的面積分別為樂S2,S3,若E+S2+S3=42,求S2的值.

答案解析部分

L【答案】C

【解析】【解答】解：A、不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；

B、（32）2+（42）V（52）2,故不是勾股數(shù)，不符合題意；

C、92+122=152,三邊是整數(shù)，同時(shí)能構(gòu)成直角三角形，故正確，符合題意；

D、不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題；

故答案為：C.

【分析】勾股數(shù)就是可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)，據(jù)此判斷.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：在RtAACB中，AC=8,BC=6

AB=VAC2+5C2=762+82=18

根據(jù)翻折不變性得△EDA絲ZXEDB

.*.EA=EB

.?.在RtABCE中，設(shè)CE=x,則BE=AE=8-x

.-.BE2=BC2+CE2

（8-x）2=62+x2

7

解得X~T-

4

故答案為：B.

【分析】在RIAACB中，利用勾股定理算出AB,根據(jù)折疊性質(zhì)得EA=EB,在RsBCE中，設(shè)

CE=x，則BE=AE=8-x,利用勾股定理建立方程，求解可得x的值，從而得出答案.

3.【答案】D

222

【解析】【解答】解：A、...42+^=337,/=625Aa+h^c,不是直角三角形，故A不符

合題意；

1QQ

B、a=b,ZC=45°.*.ZA=ZB=-------------=67.5°,不是直角三角形，故B不符合題意；

?°-4502

C、ZA：ZB：/C=6：8：10,解得/^=180。*3=75。，不是直角三角形，故C不符合題意；

24

D、???<）[）,.?.是直角三角形，NB是直角，故D符合題意

故答案為：D.

【分析】A、分別計(jì)算a2+b2和c2的值，是否滿足a2+b2=c2,根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷求解;

B、由等邊對(duì)等角可得NA=NB,然后用三角形內(nèi)角和定理可判斷求解；

C、由三角形內(nèi)角和定理并結(jié)合/A、NB、NC的比值計(jì)算即可判斷求解；

D、分別計(jì)算a?+b2和c2的值，是否滿足a?+b2=c2,根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷求解.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：由題意知回2=16，3。2=25和402=41

,/AB2+BC2=AC2

ABC是直角三角形，且/8=90°

故答案為：D.

【分析】利用勾股定理的逆定理逐項(xiàng)判斷即可。

5.【答案】B

【解析】【解答】解：A、32>22,且3>2,不能作為反例，故A不符合題意；

B、(-3)2>22,但一3<2,能作為反例，故B符合題意；

C、32>(-1)2,且3>-1,不能作為反例，故C不符合題意；

D、(-1)2<32,不能作為反例，故D不符合題意.

故答案為：B.

【分析】作為反例，要滿足條件但不能得到結(jié)論，然后根據(jù)這個(gè)要求對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：：AB=AC,AD平分/BAC

AADIBC,BD=DC=2BC=6

2?22

在RtAABD中，AD=VAB-BD=710-6=8

故答案為：C.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AD1_BC,BD=DC=，BC=6,然后利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

2

7.【答案】D

【解析】【解答】解：如圖所示，根據(jù)勾股定理可知

S正方形2+S正方形3=S正方形i=92=81

S正方形A+S正方形E=S正方形2

S正方形c+S正方形。=S正方形3

則S正方形c+S正方形。+S正方形A+S正方形￡=S正方形I

貝USjE方形［+止方形2+S正方形3+S正方形c+S正方形o+S正方形A+SJE方形￡=3s正方形I=3x9.=3x81=243(cm~),故答案為：

D.

【分析】利用勾股定理可得

2

S正方形］+正方形2+S正方形3+S正方形c+S正方形+S正方形A+S正方形E=3s正方形］=3x9?=3x8］=243(cw)。

8.【答案】C

【解析】【解答】解：設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為：a,b,c(斜邊)

cr-vb1=c2

若三邊都加上(或減去)同一個(gè)m,則三邊分別為?！牢?h±m(xù)c±m(xù)

此時(shí)(a±/n)2+(/?±m(xù))2w(c±m(xù))2

AA,B不符合題意；

若三邊都乘以n(n為正整數(shù))，則三邊分別為助bncn

(加)2+(加7=(/=(C72)2

???此時(shí)三角形還是直角三角形，故C符合題意；

若三邊都平方，則三邊分別為：/修c2

...㈤匕年+哈⑷+.丫

故D不符合題意;

故答案為：C.

【分析】設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為：a,b,c(斜邊)，則a2+b2=c2,若三邊都加上(或減去)同

一個(gè)m,則三邊分別為a±m(xù),b±m(xù),c±m(xù),此時(shí)(a±m(xù))2+(b±m(xù))2,(c±m(xù))2,據(jù)此判斷A、B；同理可判斷

CD.

9.【答案】B

【解析】【解答】解：假設(shè)PB=PC

在^APB和^APC中

AB=AC,PB=PC,AP=AP

APB絲△APC

，NAPB=NAPC

與已知/APBr/APC相矛盾

假設(shè)結(jié)論不成立

APB^PC成立.

二用反證法證明時(shí)，第一步應(yīng)假設(shè)B成立.

故答案為：B.

【分析】利用反證法的書寫要求求解即可。

10.【答案】B

【解析】【解答】解：該圓柱的側(cè)面展開圖，如下圖所示

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知沿著側(cè)面需要爬行的最短路徑即為AB

A6恰為一個(gè)矩形的對(duì)角線，該矩形的長(zhǎng)為圓柱的底面周長(zhǎng)的一半

即長(zhǎng)為24+2=12,寬為5

...AB=V52+122=13

即沿著側(cè)面需要爬行的最短路徑長(zhǎng)為13.

故答案為：B.

【分析】將立體幾何轉(zhuǎn)換為平面幾何，再利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)即可。

11.【答案】75

【解析】【解答】解：???直角三角形的斜邊長(zhǎng)為遙，一條直角邊長(zhǎng)為1

/.另一條直角邊長(zhǎng)為“府—F=石

故答案為：75.

【分析】直接利用勾股定理計(jì)算即可求出另一條直角邊的長(zhǎng).

12.【答案】45

【解析】【解答】解：連接AC

由勾股定理得：AC2=22+12=5

BC2=22+12=5

AB2=l2+32=10

二AC2+BC2=5+5=1O=BA2

/.△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°

，NABC=45°

故答案為：45.

【分析】連接AC,利用勾股定理求出AC2+BC2=5+5=10=BA2,再利用勾股定理的逆定理可得

△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,從而得解。

13.【答案】同旁內(nèi)角不互補(bǔ)的兩條直線平行

【解析】【解答】解：由題意可得，反證法證明命題“同旁內(nèi)角不互補(bǔ)的兩條直線不平行''時(shí)，應(yīng)先假

設(shè)同旁內(nèi)角不互補(bǔ)的兩條直線平行

故答案為：同旁內(nèi)角不互補(bǔ)的兩條直線平行.

【分析】用反證法證明的第一步為假設(shè)結(jié)論不成立，故只需找出不平行的反面即可.

14.【答案】15

【解析】【解答】解：將半圓面展開可得，如圖所示：

?.?滑行部分的斜面是半徑為3的半圓

，AD=—X2KX3=3TI?9

2

VAB=CD=\6CE=4

：.￡)E=16—4=12

在RLADE中

AE=\IAD2+DE2=A/92+122=15-

故答案為：15.

【分析】將立體幾何轉(zhuǎn)化為平面幾何，再利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)即可。

15.【答案】解：AB=AC,AD平分/BAC

BD=CD」BC=5

AD±BC2

AD=12

..AC=VAD2+CD2=V122+52=13

故AC的長(zhǎng)為13.

【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一得ADLBC,BD=CD=5在RsACD中，利用勾股定

理算出AC的長(zhǎng)即可.

16.【答案】解：在AACZ）中

：m+C/y=5?+122=169AC2=132=169

AD2+CD2=AC2

....AC。是直角三角形，且NA0C=9O°；

在RtABCD中CO=12,AB=3C=5+30即8。=5c—5

BD2+CD2=BC2,EP(BC-5)2+122=BC2

解得：BC=16.9.

【解析】【分析】先利用勾股定理逆定理證明NADC=9（）。，再利用勾股定理可得

(BC-5>+122=802,最后求出80=16.9即可。

17.【答案】解：已知：如圖，直線AB與CD交于點(diǎn)O.

AD

求i正：ZI=Z2.

證明：:AB、CD相交于0（已知）

.?.Zl+Z3=l80°,Z2+Z3=180。（鄰補(bǔ)角的定義）

.?.N1=N2（同角的補(bǔ)角相等）

【解析】【分析】首先根據(jù)命題寫出題設(shè)：兩個(gè)角為對(duì)頂角；寫出結(jié)論：兩個(gè)角相等。將題設(shè)作為已

知條件，求證的內(nèi)容為結(jié)論，進(jìn)行證明即可。

18.【答案】解：這個(gè)零件符合要求，理由如下：

VZADC^90°,AD=3,CD=4

?■-AC7cbi+AD?=5

.?.AB=12,BC=13

二AC2+AB2=BC2

乙ABC是直角三角形

Zfi4C=90°

故這個(gè)零件符合要求.

【解析】【分析】利用勾股定理先求出AC=5,再求出ABC是直角三角形，最后判斷求解即

可。

19.【答案】（1）證明：VZBAC=60°,ZB=45°

ZACB=180°-ZBAC-ZB=180o-60°-45o=75°

VAD平分NCAB

.-.ZCAD=-ZCAB=30°

2

，NADC=180°-NCAD-NACD=180°-30°-75°=75°

/.ZADC=ZACB

.\AC=AD

/.△ACD是等腰三角形

（2）解：過點(diǎn)D作DELAB于點(diǎn)E

.?.ZAED=ZDEB=90°

在RtAADE中，ZDAE=30°

.?.DE=-AD=-AC=V3

22

,:NB=NEDB=45°

/.DE=BE=V3；

/.DE2+BE2=BD2

/.3+3=BD2

解之：BD=46

.?.BD的長(zhǎng)為"

【解析】【分析】(1)利用三角形的內(nèi)角和定理求出/ACB的度數(shù)；再利用角平分線的定義求出

NCAD的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出NADC的度數(shù)，由此可證得/ADC=NACB,利用

等角對(duì)等邊可得到AC=AD,即可證得結(jié)論.

(2)過點(diǎn)D作DE_LAB于點(diǎn)E,可得到NAED=NDEB=90。，在RtAADE中，利用30。角所對(duì)的

直角邊等于斜邊的一半，可求出DE的長(zhǎng)，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可求出BE的長(zhǎng)，然后利用勾

股定理求出B