2023-2024學(xué)年黑龍江省大慶市高二年級(jí)下冊(cè)冊(cè)開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年黑龍江省大慶市高二下冊(cè)開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)模擬試題

第I卷(選擇題60分)

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)符合要求。)

1.橢圓《+片=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()

1625

A.(0,3),(0,-3)B.(3,0),(-3,0)C.(0,5),(0,-5)D.(4,0),(-4,0)

【正確答案】A

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得到答案.

【詳解】因?yàn)闄E圓蘭+片=1,/=25,ft2=16,焦點(diǎn)在N軸，

1625

所以c=√^K=3,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),(0,-3).

故選：A

2.數(shù)列2,22,222,2222,……的一個(gè)通項(xiàng)公式是()

?.-(10)'-1)B.10,'-1C.2(10H-1)D.10,'-8

9

【正確答案】A

【分析】

利用99…9與10"的關(guān)系確定9,99,999,9999,…的通項(xiàng)，然后得出題設(shè)結(jié)論.

【詳解】

先寫(xiě)出9,99,999,9999,…的通項(xiàng)是10"-1，

???數(shù)列2,22,222,2222,--?的通項(xiàng)公式是%=?∣(10"-1).

故選：A.

3.X2÷/-2x-l=0,則其圓心和半徑分別為()

?.(1,0),2B.(-1,0),2C.(1,0),√2D.(-1,0),√2

3.C

【分析】將圓的一般式化為標(biāo)準(zhǔn)式，然后求圓心和半徑即可.

【詳解】圓的方程可整理為(X-I)?+/=2,所以圓心為(1,0),半徑為√L

故選：C.

4.在等差數(shù)列｛《,｝中，若電=5,6=23,則為等于()

A.13B.14C.15D.16

【詳解】在等差數(shù)列｛∕｝中，若生=5,七=23,

則出+。8=勿5，；?勿5=28,；.“5=14,故選：B

5.若兩直線4:(a-l)x-3y-2=0與，2：x—(a+l)y+2=0平行，則α的值為()

A.±2B.2C.-2D.0

由題意知：—(α+l)(α—1)—(―3)χ1=0,整理得4—∕=o,α=±2,故選：A

6.若等差數(shù)列｛/｝滿足%+%+%>0,%+%<0，則當(dāng)｛對(duì)｝的前”項(xiàng)和的最大時(shí)，”的值

為()

A.7B.8C.9D.8或9

【正確答案】B

因?yàn)?+4+%=%8>0,所以6>0，

因?yàn)榈?即)=%+碉<0，所以。9<°，

所以當(dāng)｛《,｝的前〃項(xiàng)和的最大時(shí)，〃的值為8.

故選:B.

7.已知點(diǎn)尸(-2,百)在雙曲線W?-1=l(a>O,b>O)的漸近線上，則雙曲線的離心率為

a~b

()

A.邁B.2C.√3D.立

32

7.D

【分析】將。點(diǎn)坐標(biāo)代入漸近線方程，求出a與6的關(guān)系，再根據(jù)C?=/+/求出離心率.

【詳解】漸近線方程為：y=+-x,由于P點(diǎn)坐標(biāo)在第二象限，選用y=-2χ，

aa

將P點(diǎn)坐標(biāo)代入得：√3=--×(-2),.?.?=^a,又

,.?c2=a2+?2,.?.c2=a2+—a2=-a2,e2=二=L,e=—L;

44ɑ242

故選:D.

8.已知拋物線/=8X,定點(diǎn)A(4,2),F為焦點(diǎn)，P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則IPFI+1PH

的最小值為()

A.5B.6C.7D.8

【正確答案】B

如圖，

作PQ,AN與準(zhǔn)線x=-2垂直，垂足分別為Q,N,則PQ=∣PF∣,

∣PF∣+∣PA∣=∣PQ∣+∣PA∣e∣AN∣=6,當(dāng)且僅當(dāng)Q,P,A三點(diǎn)共線即P到M重合時(shí)等號(hào)成立.

故B.

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

有多項(xiàng)符合題目要求。全部答對(duì)得5分，部分答對(duì)得2分，有選錯(cuò)給0分。）

9.關(guān)于直線/：√3χ-?-l=0,下列說(shuō)法正確的有（）.

A.過(guò)點(diǎn)（石，-2）B.斜率為石

C傾斜角為60°D.在y軸上的截距為1

【正確答案】BC

對(duì)于A,將（百，一2）代入√3χ-y-l=O,可知不滿足方程，故A不正確；

對(duì)于B,由—y—1=0,可得y=JJx—1,所以4=JJ,故B正確；

對(duì)于C,由A=6,即tanα=√J,可得直線傾斜角為60°,故C正確；

對(duì)于D,由岳一y—1=0,可得y=JIr-l,直線在y軸上的截距為一1,故D不正確.故選

BC.

10.己知正項(xiàng)等比數(shù)列｛勺｝中q=2,。5-2%=%，設(shè)其公比為4，前〃項(xiàng)和為"，貝U

（）

A.q=2B.al,=2"C.Sn,=2047D.a?+<5Γ,1+∣<^n+2

【正確答案】ABD

因?yàn)?-2%=%，所以4/-2α∣q2=a",gpq2-q-2-0,解得g=2或g=-l,

又q>0,所以夕=2,所以A正確:

數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為al,=α"i=2",所以B正確：

凡=20O'")=2"-2=2046,所以C不正確；

101-2

+2

由q=2",得α"+—=2"+2"”=3?2",an+2=2"=4-2",

所以a,+α,+∣＜。"+2，所以D正確.

故選:ABD

11.已知雙曲線Λ∕W-∕=l（α>b>0）的焦距為4,兩條漸近線的夾角為60。，則下列說(shuō)法正

確的是（）

A.M的離心率為氈B.M的標(biāo)準(zhǔn)方程為Y-X=1

33

C業(yè)的漸近線方程為y=±日XD.直線x+y-2=0經(jīng)過(guò)M的一個(gè)焦點(diǎn)

11.ACD

【分析】根據(jù)題意，過(guò)一三象限的漸近線的斜率為百或走兩種情況，根據(jù)a>b>0可求

3

得雙曲線方程，再逐個(gè)辨析即可

【詳解】根據(jù)題意雙曲線=的焦距為4,兩條漸近線的夾角為60°,

222

有a+b=c=^,①，雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°,

則過(guò)一三象限的漸近線的斜率為亞或息，即-=√3或2=也,②

3aa3

2222

聯(lián)立①②可得：a=?，?=3,￠2=4或/=3,b=?,C=4;

因?yàn)閍>b,所以『=3,b2=?,C2=4,故雙曲線的方程為--y2=}

3^

對(duì)A,則離心率為A=手，故A正確.

丫2

對(duì)B,雙曲線的方程為--y2=l,故B錯(cuò)誤；

3

對(duì)C,漸近線方程為y=±Bχ,故C正確；

3

對(duì)D,直線x+y-2=0經(jīng)過(guò)M的一個(gè)焦點(diǎn)（2,0）,所以D正確.

故選：ACD

12.圓a：/+V-2χ=0和圓a：χ2+∕+2χ-4y=0的交點(diǎn)為4,6,則有（）.

A.公共弦4?所在直線方程為χ-y=O

B.線段A?中垂線方程為x+y-l=0

C.公共弦46的長(zhǎng)為也

2

D.尸為圓α上一動(dòng)點(diǎn)，則P到直線18距離的最大值為正+1

2

【正確答案】ABD

對(duì)于A,由圓Q：/+/—2x=0與圓處f+∕+2χ-4尸0的交點(diǎn)為4B,兩式作差

可得4χ-4y=0,即公共弦46所在直線方程為X一尸0,故A正確.

對(duì)于B,圓0,：產(chǎn)+爐―2χ=0的圓心為(1,0),A)=I則線段力6中垂線斜率為一1,即

線段45中垂線方程為y—0=-lX(x-l),整理可得x+y—1=0,故B正確.

ILOI√∣

對(duì)于C,圓Q：x~+y-2x=0圓心a(l,0)到x—y=0的距離為d=

f√i2+（-D22

半徑r=l,所以|48|=2/1——=亞，故C不正確.

對(duì)于D,。為圓a上一動(dòng)點(diǎn)，圓心a(l,0)至IJX—y=0的距離為d=",半徑r=l,

2

即P到直線/8距離的最大值為注+1,故D正確.

2

故選ABD.

第II卷(非選擇題，共90分)

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題紙的橫線上,

填在試卷上的答案無(wú)效。)

13.若曲線V=4x上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為4,則點(diǎn)尸到y(tǒng)軸的距離為.

【正確答案】3

【分析】根據(jù)拋物線定義，可得點(diǎn)戶到拋物線準(zhǔn)線X=-I的距離，進(jìn)而即得.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)尸到焦點(diǎn)的距離為4,

所以點(diǎn)尸到拋物線準(zhǔn)線X=T的距離為4,

所以點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為3.

故3.

14.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝中，=8,則-

【正確答案】4

在正項(xiàng)等比數(shù)列｛4,,｝中,W洶2=8,

所以為氏%=?8=8,

=

所以4=2,fl4cr∣2=4,

15.以G(To)為焦點(diǎn)的橢圓∕?+[=l(α>O)上有一動(dòng)點(diǎn)則ISl的最大值為

【詳解】因?yàn)槠?TO)為橢圓］+!=l(α>0)的焦點(diǎn),

a3

所以°2>3,c=l,b=6,

λ22

所以由/-ccr=c+?=f÷(?/?=4,

22

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+^=1,

43

故當(dāng)〃處于右頂點(diǎn)A時(shí)Igl最大，

且最大值為Igl="+C=2+1=3,

故3.

16.數(shù)列｛勺｝滿足q=1,α,,+%+∣=%(〃eN,),則a2020=.

16.3029

【分析】由題可得。,+2-%=3,進(jìn)而可得｛/｝的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，然后根據(jù)通項(xiàng)公式

即得.

【詳解】因?yàn)閝,+α用=3"("∈N?,al=?,

所以q+4=3,a2=2,

由%+?+∣=3〃，可得?tl+。,-2=3(〃+1)，

所以％+2-%=3,

所以｛4,,｝的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為2,公差為3,

?*?β2020=4+1009X3=2+3027=3029.

故答案為.3029

四、解答題(共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

17.已知等差數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為S,,,%=6,且￡=12.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵令C=,求數(shù)列匕,｝的前〃項(xiàng)和看.

Ilaa

,,,,+ι

【正確答案】(l)α,,=2n

⑵7>τ?

4/7+4

(1)因?yàn)镾3=12,

所以M"———=3Λ2=12,.'.α,=4,

又％=6,則等差數(shù)列的公差d=6-4=2

又％=4-2=2,

所以數(shù)列｛與｝的通項(xiàng)公式?！?2+(“7)x2=2".

(2)因?yàn)閏,~—??(?-?>

2n(2n+2)4nn+?

一111111、11、n

所以，=G+J+…+c”=—(1—+------11------------)=—(1--------)=---------.

n12"4223nn+?4n+14〃+4

18.已知拋物線C:V=2px(p<0)過(guò)點(diǎn)/(-2,-4).

(1)求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；

(2)過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)，作傾斜角為60。的直線，交拋物線于A、B兩點(diǎn),求線段48的長(zhǎng)度.

18.(1)y2=-8x,x=2

【分析】(1)將A點(diǎn)代入拋物線方程即可求得C的方程，由拋物線方程可得準(zhǔn)線方程;

(2)設(shè)48:y=6(x+2),與拋物線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理形式，利用拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公

式可直接得到結(jié)果.

【詳解】(1)；/=2/(0<0)過(guò)點(diǎn)/(-2,-4),.,.一40=16,解得：p=-4,

，拋物線C：/=-8x,準(zhǔn)線方程為：X=2

(2)由⑴知：拋物線焦點(diǎn)為(-2,0),

因?yàn)橹本€傾斜角為60。，

所以設(shè)直線4=JJ(x+2),A(xl,yl),B(x2,y2),

,y=y∣3(x+2]20

由《2,得：??2+20x+12=0,x+x=,

y=-8Xl23

.?,μ5∣=∣x1+x2+jp∣=4∣=y.

19.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,,等比數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為7；.若α∣=b∣=3,

a4=b2,S4-T2=12.

(1)求數(shù)列｛4｝與｛a｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛%+4｝的前〃項(xiàng)和.

n3

.【正確答案】(1)aπ=2n+l,bl,=3;(2)z7(z7+2)÷^"?

(1)由％,a4=b2,

則S4-T2=(α1+a2+a3+α4)-(?1+?2)=α2+α3=12

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則々+43=24+34=6+31=12,所以d=2.

所以％=3+2(〃-1)=2π+l

設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為夕，由題a=%='即％=如=3q=9,所以q=3.

所以。二3"；

(2)αn÷?=(2w+l)+3?

d

所以｛%+2｝的前〃項(xiàng)和為3+%--*~?！?+(乙+&H-----卜b")

CUC八SC2"八(3+2/7+1)/73(l-3rt)/…3(3w-1)

=(3÷5+??→2∕7÷l)+(3+32+??→3z,)=----------—+??7=〃(〃+2)+

20.如圖，已知四棱錐--力8C。的底面是矩形，以)，平面

ABCD,AB=2AD=2VD=2,E,F,G分別是棱AB,VC,CQ的中點(diǎn).

⑴求證：EF〃平面K4D；

⑵求平面AVE與平面VEG夾角的大小

20.⑴證明見(jiàn)詳解；

⑵W

【分析】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面口。的法向量，然后旃與法向量垂直可

證；（2）分別求出兩個(gè)平面的法向量再根據(jù)平面/P￡與平面ΓEG夾角公式可求得.

如圖建系，0(0,0,0),J(1,0,0),K(0,0,1),E(1,1,0),C(0,2,0),G(0,1,0),F[^0,L∣

￡>/4=(1,0,0),DK=(OQJ),設(shè)平面KW的法向量為u=(α,b,c),

DA?萬(wàn)=。=0,-/、

所以一，???不妨取片OJO,

DVn=C=O

又而=(-1,0,3,而i=Tx0+0xl+；XO=0,

又所<Z平面.?.EF〃平面

(2)由(1)知：荏=(0,1,0)JF=(-1,0,1))屈=(1,0,0)聲=(),1-1),

設(shè)平面ZRE的法向量為"∣=（Xj,Z）,平面JZEG的法向量"2=（p,q∕）

AEFT=y=0

所以°,不妨取I=（LO』）;

AVn{=-x+z

GE?n2=p=0一z、

同理____1,不妨取〃2=(0,1,1)；

GVn2=q-r=0

Tl

設(shè)平面4KE與平面HEG夾角為e,O≤e≤5,

所以CoSe=IeOS(〃”“2

√i77F?√i77F23

21.已知圓一過(guò)兩點(diǎn)"(0,2),Λ,(???,1),且圓心尸在直線y=x上.

(D求圓P的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)。(-1,2)的直線交圓產(chǎn)于4B兩點(diǎn),當(dāng)“8∣=2√i時(shí)，求直線小的方程.

【正確答案】⑴f+∕=4(2)3x+4y-5=0或X=T.

⑴因?yàn)閳A一過(guò)點(diǎn)”(0,2),Λf(√3.1),所以線段也V的中垂線也過(guò)圓心，線段.腸V的

中點(diǎn)為(g,2，直線樹(shù)的斜率為衣=一直，得線段也￥的中垂線方程為

223

y-∣=√3-r-y-,即y=gx.所以圓心坐標(biāo)為(0,0)

得圓。的方程為V+∕=4.

⑵由I48I=2√5，根據(jù)垂徑定理，可得圓心(0,0)到直線/8的距離

若直線斜率存在，可設(shè)直線46方程為y-2=A(x+l),

3

由d=耦=解得“得直線方程為3x+4y—5=。；

若直線斜率不存在，則直線方程為x=—1,符合條件.

綜上，所求直線方程為3x+4y-5=0或X=-L

22.已知橢圓C：5+與=1(4>6>0)的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)均在直線x+y-√J=O上.

a~h~

⑴求橢圓C的方程；

⑵已知點(diǎn)N(2,l),若過(guò)點(diǎn)5(3,0)的直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N.直線ZM和直線

/N的斜率分別為尢和左2，求證：K+七為定值.

22?(哈3

⑵證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，可得橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，從而可求出c,6,再

由∕=∕+c2求出進(jìn)而可得橢圓方程,

(2)設(shè)直線方程為y