2022-2023學年廣東省汕頭市澄海區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷（含詳細答案解析）

2022-2023學年廣東省汕頭市澄海區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列圖案中，是中心對稱圖形的是（）

2.在一個不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個，這些球除顏色外都相同.小明通過多次試驗發(fā)現(xiàn)，摸出

紅球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，則袋子中紅球的個數(shù)最有可能是（）

A.4B.5C.8D.12

3.一元二次方程/一版一1=0根的情況是（）

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.有兩個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

4.在平面直角坐標系中，將拋物線y=（%-1A+1向右平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，所

得的拋物線為（）

A.y=(%—2/—2B.y=(%—2)2+4C.y=x2+1D.y=x2—1

5.如圖，若拋物線y=x2+bx+c與x軸的一個交點坐標為（-1,0）,則拋物線與x

軸的另一個交點坐標為（）

A.(1,0)

B.(2,0)

C.(3,0)

D.(4,0)

6.已知2是關于x的方程爐+mx-3m=。的一個根，則這個方程的另一個根為（)

A.—6B.6-3D.3

7.如圖，已知O。是△48。的外接圓，A3是O。的直徑，C。是O。的弦，若

乙BCD=35。，貝亞4BD等于（）

A.35°

B.45°

C.55°

D.65°

8.如圖，在RtAABC中，ZC=90",/.BAC=30°,BC=3,ABC

繞點A逆時針旋轉90。得到連接BB',貝UBB'的長為（）

A.6

B.10

C.372

D.672

9.如圖，在△4BC中，Z.B=40°,將AaBC繞著點A順時針旋轉后，得到△口

4B'C',點C'在BC上，且AB7/BC,貝此。的度數(shù)為（）

A.80°

C.60°

D.40°

10.如圖，將半徑為1,圓心角為120。的扇形OAB繞點A逆時針旋轉一個角度，使點。

的對應點。落在弧AB上，點B的對應點為C,連接BC,則圖中C。、BC和弧3。圍

成的封閉圖形面積是（）

28

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。

11.一元二次方程一％=o的根為.

12.把圖中的五角星圖案，繞著它的中心旋轉，旋轉角至少為____度時，旋轉后

的五角星能與自身重合.

13.已知拋物線的頂點坐標是(2,-3),且與y軸的交點坐標為(0,5),則該拋物線的解析式為

14.如圖，圓形鐵片與直角三角尺和直尺緊靠在一起平放在桌面上.已知鐵片的圓

心為。，三角尺的直角頂點C落在直尺的5aw處，鐵片與直尺的唯一公共點A

落在直尺的9cm處，則圓形鐵片的半徑是cm.

15.如圖，在Rt△48c中，4c=90°,AC=8cm,BC=6cm,現(xiàn)有動點尸

從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，動點。從點C出發(fā)，沿線段向點

B方向運動，如果點P的速度是Icm/s,點。的速度是2c6/s.P、Q兩點同

時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時，另一點停止運動.設運動時間為f

秒.當t=s時，平分AABC的面積.

三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.(本小題8分)

用配方法解方程：2/-2x-1=0.

17.(本小題8分)

已知拋物線y=x2—(m—l)x+2m—3.

(1)當zn=。時，請判斷并說明點(3,10)是否在該拋物線上；

(2)當爪=3時，求該拋物線的對稱軸及頂點坐標.

18.(本小題8分)

有四張正面分別標有數(shù)字1,2,3,4的不透明卡片，它們除數(shù)字外其余全部相同，現(xiàn)將它們背面朝上洗

均勻.

(1)隨機抽取一張卡片，求抽到數(shù)字是偶數(shù)的概率；

(2)隨機抽取一張卡片，然后不放回，再隨機抽取一張卡片，請用列表或畫樹狀圖的方法求出兩次抽到數(shù)

字的和為奇數(shù)的概率.

19.(本小題9分)

某?！吧镅袑W”活動小組在一次野外研學實踐時，發(fā)現(xiàn)某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干

又長出同樣數(shù)目的小分支.若主干、支干和小分支的總數(shù)是91,求這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是

多少？

20.(本小題9分)

如圖，在A/IBC中，AB=BC,將AABC繞頂點B逆時針旋轉a到△a/Q的位置，A8與4的相交于點

D,AC與&G、分別交于點E、F.

(1)求證：ArD=CF-,

(2)當NC=a時，判斷四邊形&BCE的形狀，并說明理由.

21.(本小題9分)

某種產(chǎn)品的成本是每件10元，試銷售階段每件產(chǎn)品的銷售價雙元)與日銷售量y(件)之間的關系如下表所

示.已知y是龍的一次函數(shù).

%/元152030???

y/件252010???

(1)若每日的銷售利潤是176元，求每件產(chǎn)品的銷售價；

(2)要使每日獲得最大銷售利潤，每件產(chǎn)品的銷售價應定為多少？此時每日的銷售利潤是多少？

22.(本小題12分)

如圖，已知以心△ABC的直角邊AC為直徑作。。交斜邊于點E,連接E。并延長交的延長線于點

D,連接AD,點尸為的中點，連接EF.

(1)求證：EF是。。的切線；

(2)若O。的半徑為6,CD=8,求A3的長.

23.(本小題12分)

如圖：已知直線/：丫=一2%+2與苫軸、y軸分別相交于A、8兩點，拋物線y=-/+6%+c經(jīng)過點8,

(1)求該拋物線的解析式；

(2)已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內，連接AM、BM,設點M的橫坐標為形，四

邊形。的面積為S,求S與機的函數(shù)表達式，并求出S的最大值；

(3)若點尸在平面內，點Q在直線AB上，平面內是否存在點尸使得以O,B,P,。為頂點的四邊形是菱

形.若存在，求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：A中圖形不是中心對稱圖形，故不符合題意；

8中圖形是中心對稱圖形，故符合題意；

C中圖形不是中心對稱圖形，故不符合題意；

。中圖形不是中心對稱圖形，故不符合題意；

故選：B.

中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖

形叫做中心對稱圖形.據(jù)此逐項判斷即可.

本題考查中心對稱圖形，理解中心對稱圖形，找準對稱中心是解答的關鍵.

2.【答案】C

【解析】解：由題意，摸出紅球的概率為0.4,

???袋子中紅球的個數(shù)最有可能是20x0.4=8(個).

故選：C.

通過多次試驗發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，說明摸出紅球的概率為0.4,由此結合概率公式進行

計算求解即可.

本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動

的幅度越來越小，根據(jù)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個

事件的概率，理解并熟練運用概率公式是解題關鍵.

3.【答案】B

【解析】解:由題意，/=Z)2—4xlx(-1)=+4,

顯然，由非負性可知4=匕2+4>0,

原方程有兩個不相等的實數(shù)根，

故選：B.

首先列出根的判別式的表達式，然后判斷代數(shù)式的符號即可得出結論.

本題考查一元二次方程根的判別式，熟記根的判別式的表達式，以及不同情況下對應根的情況是解題關

鍵.

4.【答案】A

【解析】解：將拋物線y=(久-1)2+1向右平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，

所得到的解析式為：y=(X-1一1產(chǎn)+1-3,

即為：y=(%—2)2—2,

故選：A.

根據(jù)函數(shù)的平移規(guī)律“上加下減，左加右減”進行求解即可.

本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟練掌握“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律是解本題的關鍵.

5.【答案】C

【解析】解：由圖象可知，拋物線的對稱軸為直線x=1,

?.?拋物線與x軸的一個交點坐標為(-1,0),

???拋物線與x軸的另一個交點坐標為(3,0),

故選：C.

根據(jù)圖象的對稱性求解即可.

本題考查二次函數(shù)的圖象與性質、拋物線與x軸的交點問題，會利用拋物線的對稱性求解是解答的關鍵.

6.【答案】A

【解析】解：把久=2代入方程/+mx-3m=。中，

得出：22+2m-3m=0,

解得：m=4,

二關于x的方程為：%2+4%-12=0,

*,,%1=2,%2=—6,

.?.這個方程的另一個根為-6,

故選：A.

把x=2代入方程/+m久一3m=0中，得出2?+2m—3nl=0,解得m=4,再解一元二次方程即可.

此題考查了一元二次方程的根，得出原方程是解題的關鍵.

7.【答案】C

【解析】解:???是。。的直徑，乙BCD=35。，

AAADB=90°,ABAD=Z-BCD=35°,

4ABD=90°-^BAD=90°-35°=55°,

故選：C.

根據(jù)圓周角定理得到NADB=90。，/.BAD=^BCD=35°,再根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余求解即可.

本題考查圓周角定理、直角三角形的兩銳角互余，熟練掌握圓周角定理是解答的關鍵.

8.【答案】D

【解析】解：???在Rt△力BC中，ZC=90°,A.BAC=30°,BC=3,

AB=2BC—6,

由旋轉的性質可知，AyIBB'為等腰直角三角形，

BB'=lAB=6/2.

故選：D.

首先在ANBC中可結合“30。所對的直角邊等于斜邊的一半”求出A8,再結合旋轉的性質可知△ABB'為等

腰直角三角形，從而求解即可.

本題考查直角三角形中30。所對的直角邊等于斜邊的一半，以及旋轉的性質，掌握直角三角形中的“斜中

半”定理，熟練運用旋轉的性質是解題關鍵.

9.【答案】9

【解析】解：由旋轉的性質：AC=AC,zC=乙ACE,=NB=40°,

?.?點C'在上，

zC=/.AC'C,

???4B'C'C=2ZC,

?:AB'I〔BC,Z-B'=40°,

NB'C'C=180°-40°=140°,

即：2“=140。，

ZC=70°,

故選：B.

首先根據(jù)旋轉的性質確定NB'=NB=40。，LC=LAC'B',以及NC=N4C'C,乙B'C'C=24C,再結合平行

線的性質得NB'C'C=140。，即可求解.

本題考查旋轉的性質，平行線的性質等，熟練運用旋轉的性質推出=4C=4AC'B',以及NC=

^AC'C,是解答本題的關鍵.

10.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查旋轉變換，扇形的面積公式，等邊三角形的判定等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問

題，屬于中考常考題型.連接。。.首先證明。，D,C共線，可得圖中8、BC和弧2。圍成的封閉圖形面

積=S40BC1S扇形ODB,由此計算即可.

【解答】

解：如圖，連接0D.

由旋轉可得：。4=。。=4。，

???△/。。是等邊三角形，

Z.ADO=Z.AOD=60°,

???Z.ADC=Z.AOB=120°,

???Z.ADO+A.ADC=180°,

???。，D,C共線，

??.OB=1,4DOB=60°,乙OCB=30°,

???BC=V-3>

二圖中CD、BC和弧BD圍成的封閉圖形面積=SXOBC_S扇的仙=/X1x—空%=￥—3

故選8.

11.【答案】%1=0,叼=等

【解析】解：因式分解得：x(V~2x—1)=0,

/.%=0或—1=0,

=0，%2=

故答案為：K1=0,%2=圣

直接運用因式分解法求解即可.

本題考查解一元二次方程，掌握并靈活選擇適當?shù)那蠼夥椒ㄊ墙忸}關鍵.

12.【答案】72

【解析】解:該圖形被平分成五部分，旋轉72。的整數(shù)倍，就可以與自身重合，旋轉角至少為72。.

故答案為：72.

五角星圖案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圓心角是72。，并且圓具有旋轉不變性，因而旋

轉72。的整數(shù)倍，就可以與自身重合.

本題考查了旋轉對稱圖形的概念：把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形

叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角.

13.【答案】y=2x2-8x+5

【解析】解：由題意，設該拋物線解析式為y=a(x-2)2-3(a豐0),

將(0,5)代入得:5=磯0-2)2—3,

解得：a=2,

y=2(%—2)2—3=2x2—8x+5,

故答案為：y=2x2-8%+5.

根據(jù)已知信息直接設該拋物線的頂點式y(tǒng)=a(x-2產(chǎn)-3(a#0),然后代入(0,5),求解即可.

本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一般包括三類：①一般式3/=a/+法+。((1彳())；②頂

點式y(tǒng)=a(x-八)2+々缶K0),其中頂點坐標為(h,k)；③交點式y(tǒng)=a(x-久i)Q-％2)(aK0)，其中無「

%2為拋物線與X軸交點的橫坐標，靈活結合題意選擇適當?shù)亩魏瘮?shù)表達式進行求解是解題關鍵.

14.【答案】4

【解析】解：由題意得，/。力C=^ACB=LOBC=90°,

四邊形AO8C是矩形，

???OA=OB,

四邊形AOBC是正方形，

OB=AC=9—5=4(cm),

即圓形鐵片的半徑是4cM.

故答案為：4.

根據(jù)題意和切線的性質證明四邊形AO8C是正方形，得到。B=4C,只要求出AC即可求解.

本題考查圓的切線的性質、矩形的判定、正方形的判定與性質，理解題意，熟練掌握圓的切線的性質以及

證明四邊形A08C是正方形是解答的關鍵.

15.【答案】2

【解析】解：根據(jù)題意，AP=tcm,CQ=2tcm,

,?1BC=6cm,AC=8cm,

■.PC=(8—t)cm,點。到B點的時間為6+2=3(s),點P到C點的時間為8+1=8(s),

???P、。兩點同時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時，另一點停止運動.

0<t<3,

???PQ平分△ABC的面積,

1111

?0PCQ/S4ABC，即的Q-PC=:義和54。,

111

-x2tx(8-t)=-x-x6x8,

整理得產(chǎn)一81+12=0,

解得七=2,t2=6(舍去),

???當”2時，尸。平分△ABC的面積.

故答案為：2.

先表示出PC=(8—t)cm,CQ=2tcm,根據(jù)尸。平分△ABC的面積得到/的方程求解即可.

本題考查一元二次方程的應用，理解題意，正確列出方程并正確求解是解答的關鍵，注意時間的取值范

圍.

16.【答案】解：2%2—2%—1=0,

21c

X—X—-=0,

2—X=1-,

久一久

2+?)2=1+(1)2,

,1x23

【解析】利用解一元二次方程-配方法，進行計算即可解答.

本題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握解一元二次方程-配方法是解題的關鍵.

17.【答案】解:(1)不在，

當m=0時，y=*2+x—3,

當％=3時，y=9+3-3=9^10,

.?.點(3,10)不在該拋物線上；

(2)當m=3時，y=x2—2x+3=(x—l)2+2,

???該拋物線的對稱軸為直線久=1,頂點坐標為(1,2).

【解析】(1)將巾=0,久=3代入拋物線的解析式中，求得y值，若和點的縱坐標相等，就說點在拋物線

上，否則不在；

（2）將拋物線的解析式化為頂點式，利用二次函數(shù)的性質求解即可.

本題考查二次函數(shù)的圖象和性質，理解二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解答的

關鍵.

18.【答案】解：（1）隨機抽取一張卡片共有4種情況，其中抽到數(shù)字為偶數(shù)的有2和4兩種情況，

???抽到數(shù)字是偶數(shù)的概率P毛=:；

（2）列樹狀圖為：

?234

/T\/Nzt\

234134124123

由樹狀圖可知，所有等可能的情況共有12種，其中兩次抽到的數(shù)字和為奇數(shù)的有8種情況，

兩次抽到數(shù)字的和為奇數(shù)的概率P=^=|.

【解析】（1）根據(jù)概率公式直接解答；

（2）列出樹狀圖，找到所有可能的結果數(shù)，再找到兩次抽到的數(shù)字和為奇數(shù)的結果數(shù)，即可求出其概率.

本題考查直接根據(jù)概率公式求解，以及列表法或樹狀圖法求事件的概率，正確列表或畫出樹狀圖是關鍵.

19.【答案】解：設這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是x,

根據(jù)題意，可得l+x+/=91,

整理得%2+%—90=0,

解得勺=9,%2=-10（不合題意，舍去），

答：這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是9.

【解析】設這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是x,根據(jù)主干、支干和小分支的總數(shù)是91,即可得出關

于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案.

本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.

20.【答案】（1）證明：???AB=BC,

???Z.A=Z.C,

?.?將△ABC繞頂點B逆時針旋轉戊到4a/G的位置，

Z.ABAr=Z.CBC1=a,Z.A=N&=Z.C,AB=ArB=BC,

在△&。3和4CFB中，

Z-DBA1=乙FBC

ArB=BC,

.Z-A1—Z-C

.*.△A±DB=ACFB{ASA),

?，.ArD=CF；

(2)解：??,zC=a,

Z-A=Z-Ar=zQ—a—Z-CBCr,

ArE//BC,

(C=乙AED-a—乙4「

???CE11A、B,

???四邊形&BCE是平行四邊形，

A^B=BC,

???四邊形Z/CE是菱形.

【解析】(1)先由等腰三角形的性質得到乙4=NC,再根據(jù)旋轉性質得到乙4B4="BCI=a,乙4=

N/I=ZT,AB=ArB=BC,證明△AiDB之△CF8即可證得結論；

(2)利用平行線的判定與性質證明久力/BC,CE〃//得到四邊形&BCE是平行四邊形，再由菱形的判定可

得結論.

本題考查旋轉的性質、等腰三角形的性質、平行四邊形的判定與性質、菱形的判定、全等三角形的判定與

性質、平行線的判定與性質，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用是解答的關鍵.

21.【答案】解：(1)設一次函數(shù)的關系式為y=々％+5,

則fl5k+。=25

JL20fc+b=20

一次函數(shù)的關系式為y=—久+40,

根據(jù)題意，得(％-10)(-％+40)=176,即產(chǎn)一50比+576=0,

解得：%!=32,x2=18,

答：若每日的銷售利潤是176元，每件產(chǎn)品的銷售價為32元或18元;

(2)設所獲利潤為W元，根據(jù)題意，

得加=(x-10)(-%+40)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225,

-1<0,

.?.當x=25時，W最大,最大值為225.

答：要使每日獲得最大銷售利潤，每件產(chǎn)品的銷售價應定為25元，此時每日的銷售利潤是225元.

【解析】(1)根據(jù)題意和待定系數(shù)法可得到y(tǒng)與x的關系式，再根據(jù)銷售利潤=單件利潤x銷售量列方程求

解即可；

(2)設所獲利潤為W元，根據(jù)銷售利潤=單件利潤x銷售量得到W與尤的函數(shù)關系式，利用二次函數(shù)的性質

求解即可.

本題考查二次函數(shù)的應用，涉及一元二次方程的應用、二次函數(shù)的應用，理解題意，正確列出函數(shù)關系式

和方程，會利用二次函數(shù)的性質求解是解答的關鍵.

22.【答案】⑴證明：連接尸0,則由題意可知。尸為RM48C的中位線，

.-.0F//AB,

??,江是O。的直徑，

???CE1AE,

???OF1CE,

由垂徑定理知，0尸所在直線垂直平分CE,

FC=FE,0E=0C,

Z.FEC=Z.FCE,乙0EC=C0CE,

???乙ACB=90°,

即：Z0CE+ZFCE=90°,

??.Z.OEC+Z.FEC=90°,

即：Z.FEO=90°,

又OE是半徑，

??.EF是。。的切線；

(2)解：???O。的半徑為6,CD=8,乙ACB=90°,

??.△OCD為直角三角形，0c=OE-6,CD—8,

OD=VOC2+CD2=10,ED=OD+OE=10+6=16,

由(1)知，△EFD為直角三角形，且FC=FE,

設FC=FE=x,貝UFO=FC+CD=x+8,

.?.由勾股定理得，EF2+ED2=FD2,

即：x2+162=(x+8)2,

解得：x=12,

即：FC=FE=12,

???點尸為BC的中點，

BC=2FC=24,

AC=20C=12,

.?.在Rt△力BC中，AB=yjBC2+AC2=1275.

【解析】(1)連接尸。，可根據(jù)三角形中位線的性質判斷。F〃/IB,然后根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可

得CE1AE,進而知OF1CE,然后根據(jù)垂徑定理可得4FEC=乙FCE,乙OEC=乙OCE,再通過RtAABC

可知NOCE+NFCE=90°,因此可證EE為。。的切線；

(2)根據(jù)題意可先在RtZkOCD中求出。。，然后在RtAEFD中求出尸C,最終在Rt△4BC中求解A8即可.

本題考查切線的判定與性質，圓的基本性質，勾股定理，解三角形等，掌握切線的證明方法，熟練運用圓

中的基本性質是解題的關鍵.

23.【答案】解：(1)當x=0時，y=-2x。+2=2,

.??點8的坐標為B(0,2),

將B(0,2),C(2,0)代入拋物線解析式可得：｛1;：2b+c=0'

解得：1

???該拋物線的解析式為：y=—/+乂+2；

(2)存在；

連接。