高考數(shù)學(xué)人教B版一輪復(fù)習(xí)測評8-5空間直角坐標(biāo)系空間向量及其運(yùn)算

核心素養(yǎng)測評四十二空間直角坐標(biāo)系、空間向量及其運(yùn)算(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知a=(2,3,4),b=(4,3,2),b=QUOTEx2a,則x等于 ()A.(0,3,6) B.(0,6,20)C.(0,6,6) D.(6,6,6)【解析】選B.由b=QUOTEx2a,得x=4a+2b=(8,12,16)+(8,6,4)=(0,6,20).2.在空間直角坐標(biāo)系中,已知A(1,2,1),B(2,2,2),點(diǎn)P在z軸上,且滿足||=||,則P點(diǎn)坐標(biāo)為 ()A.(3,0,0) B.(0,3,0)C.(0,0,3) D.(0,0,3)【解析】選C.設(shè)P(0,0,z),則有QUOTE=QUOTE,解得z=3.3.若非零向量a,b滿足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,則a與b的夾角θ為 ()A.30° B.60° C.120° D.150°【解析】選C.因?yàn)?2a+b)·b=0,所以2a·b+b2=0,所以2|a||b|cosθ+|b|2=0,又因?yàn)閨a|=|b|≠0,所以cosθ=QUOTE,所以θ=120°.4.已知點(diǎn)A,B,C不共線,對平面ABC外一點(diǎn)O,在下列條件下,點(diǎn)P與A,B,C共面的是 ()A.QUOTE=2QUOTE2QUOTEQUOTEB.QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTEC.QUOTE+QUOTE=3QUOTEQUOTED.QUOTE+QUOTE=4QUOTE+QUOTE【解析】選C.C項(xiàng)可變形為QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE,因?yàn)镼UOTE+QUOTE+QUOTE=1,所以點(diǎn)P,A,B,C共面;其他項(xiàng)不可以.5.在空間四邊形ABCD中,QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE= ()A.1 B.0 C.1 D.不確定【解析】選B.如圖,令QUOTE=a,QUOTE=b,QUOTE=c,則QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE=a·(cb)+b·(ac)+c·(ba)=a·ca·b+b·ab·c+c·bc·a=0.【秒殺絕招】選B.如圖,在空間四邊形ABCD中,連接對角線AC,BD,得三棱錐ABCD,不妨令其各棱長都相等,即為正四面體,因?yàn)檎拿骟w的對棱互相垂直,所以QUOTE·QUOTE=0,QUOTE·QUOTE=0,QUOTE·QUOTE=0.所以QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE=0.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知a=(x,4,1),b=(2,y,1),c=(3,2,z),a∥b,b⊥c,則c=________.

【解析】因?yàn)閍∥b,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,解得x=2,y=4,此時(shí)a=(2,4,1),b=(2,4,1),又因?yàn)閎⊥c,所以b·c=0,即6+8z=0,解得z=2,于是c=(3,2,2).答案:(3,2,2)7.如圖所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E為PB的中點(diǎn),cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE,若以DA,DC,DP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為________. 導(dǎo)學(xué)號

【解析】設(shè)PD=a,則A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E1,1,QUOTE.所以QUOTE=(0,0,a),QUOTE=1,1,QUOTE.由cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE,所以QUOTE=aQUOTE·QUOTE,所以a=2,所以E的坐標(biāo)為(1,1,1).答案:(1,1,1)8.如圖,已知在一個(gè)60°的二面角的棱上,有兩個(gè)點(diǎn)A,B,AC,BD分別是在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)垂直于AB的線段,且AB=4,AC=6,BD=8,則CD的長為________. 導(dǎo)學(xué)號

【解析】設(shè)QUOTE=a,QUOTE=b,QUOTE=c,由已知條件|a|=8,|b|=4,|c|=6,<a,b>=90°,<b,c>=90°,<a,c>=60°,|QUOTE|2=|QUOTE+QUOTE+QUOTE|2=|c+b+a|2=a2+b2+c2+2a·b2a·c2b·c=68,則|QUOTE|=2QUOTE.答案:2QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,=a,=b,=c,點(diǎn)M,N分別是A1D,B1D1的中點(diǎn).(1)試用a,b,c表示;(2)求證:MN∥平面ABB1A1【解析】(1)因?yàn)?=ca,所以=QUOTE=QUOTE(ca).同理,=QUOTE(b+c),所以==QUOTE(b+c)QUOTE(ca)=QUOTE(b+a)=QUOTEa+QUOTEb.(2)因?yàn)?+=a+b,所以=QUOTE,即MN∥AB1,因?yàn)锳B1?平面ABB1A1,MN?平面ABB1A1,所以MN∥平面ABB110.已知空間中三點(diǎn)A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4),設(shè)a=,b=.(1)求向量a與向量b的夾角的余弦值.(2)若ka+b與ka2b互相垂直,求實(shí)數(shù)k的值.【解析】(1)因?yàn)閍=(1,1,0),b=(1,0,2),所以a·b=(1,1,0)·(1,0,2)=1,又|a|=QUOTE=QUOTE,|b|=QUOTE=QUOTE,所以cos<a,b>=QUOTE=QUOTE=QUOTE,即向量a與向量b的夾角的余弦值為QUOTE.(2)方法一:因?yàn)閗a+b=(k1,k,2).ka2b=(k+2,k,4),且ka+b與ka2b互相垂直,所以(k1,k,2)·(k+2,k,4)=(k1)(k+2)+k28=0,所以k=2或k=QUOTE,所以當(dāng)ka+b與ka2b互相垂直時(shí),實(shí)數(shù)k的值為2或QUOTE.方法二:由(1)知|a|=QUOTE,|b|=QUOTE,a·b=1,所以(ka+b)·(ka2b)=k2a2ka·b2b2=2k2+k10=0,得k=2或k=QUOTE.(15分鐘35分)1.(5分)已知空間四邊形ABCD,連接AC,BD,設(shè)M,G分別是BC,CD的中點(diǎn),則QUOTEQUOTE+QUOTE等于 ()A.QUOTE B.3QUOTE C.3QUOTE D.2QUOTE【解析】選B.QUOTEQUOTE+QUOTE=QUOTE(QUOTEQUOTE)=QUOTE=3QUOTE.2.(5分)已知非零向量QUOTE與QUOTE滿足QUOTE+QUOTE·QUOTE=0且QUOTE·QUOTE=QUOTE,則△ABC為 ()A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形【解析】選D.由QUOTE+QUOTE·QUOTE=0知:∠A的平分線垂直于BC,所以△ABC為等腰三角形;由QUOTE·QUOTE=QUOTE知∠A=60°,所以△ABC為等邊三角形.3.(5分)如圖,已知在直三棱柱ABCA1B1C1中,有下列三個(gè)條件:①A1B⊥AC1;②A1B⊥B1C;③B1C1=A1C1.試?yán)芒佟ⅱ?、【解析】設(shè)QUOTE=a,QUOTE=b,QUOTE=c,由A1B⊥AC1?QUOTE·QUOTE=0?(ba+c)(ca)=0,所以a·b=|a|2|c|2,①由A1B⊥B1C?QUOTE·QUOTE=0?(ba+c)(cb)=0,所以a·b=|b|2|c|2,②由B1C1=A1C1得|a|2=|b|2由①②③不難看出①②?③;①③?②;②③?①.答案:①②?③(或①③?②;②③?①)4.(10分)如圖所示,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1,點(diǎn)E,F,G分別是AB,AD,CD的中點(diǎn),計(jì)算:(1)QUOTE·QUOTE.(2)QUOTE·QUOTE.(3)EG的長.(4)異面直線AG與CE所成角的余弦值.【解析】設(shè)QUOTE=a,QUOTE=b,QUOTE=c.則|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,QUOTE=QUOTE=QUOTEcQUOTEa,QUOTE=a,QUOTE=bc,(1)QUOTE·QUOTE=QUOTEcQUOTEa·(a)=QUOTEa2QUOTEa·c=QUOTE.(2)QUOTE·QUOTE=QUOTE(ca)·(bc)=QUOTE(b·ca·bc2+a·c)=QUOTE.(3)QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTEa+ba+QUOTEcQUOTEb=QUOTEa+QUOTEb+QUOTEc,|QUOTE|2=QUOTEa2+QUOTEb2+QUOTEc2QUOTEa·b+QUOTEb·cQUOTEc·a=QUOTE,則|QUOTE|=QUOTE.(4)QUOTE=QUOTEb+QUOTEc,QUOTE=QUOTE+QUOTE=b+QUOTEa,cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE=QUOTE,由于異面直線所成角的范圍是0,QUOTE,所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為QUOTE.5.(10分)如圖,在棱長為a的正方體OABCO1A1B1C1中,E,F分別是棱AB,BC上的動點(diǎn),且AE=BF=x,其中0≤x≤a,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(1)寫出點(diǎn)E,F的坐標(biāo).(2)求證:A1F⊥C1(3)若A1,E,F,C1四點(diǎn)共面,求證:QUOTE=QUOTE+QUOTE.【解析】(1)E(a,x,0),F(ax,a,0).(2)因?yàn)锳1(a,0,a),C1(0,a,a),所以QUOTE=(x,a,a),QUOTE=(a,xa,a),所以QUOTE·QUOTE=ax+a(xa)+a2=0,所以QUOTE⊥QUOTE,所