第15講余弦定理正弦定理的應(yīng)用（六大題型）

第15講余弦定理、正弦定理的應(yīng)用【題型歸納目錄】【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一、測量中的常用角名稱定義示例方位角從指北方向線順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的角點(diǎn)A的方位角為225°方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角點(diǎn)A的方向角為南偏西45°（或稱西南方向）知識點(diǎn)二、常見問題的測量方案1、距離問題類型簡圖測量兩點(diǎn)A，B均可達(dá)先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅，用測角器測出角α，再分別測出AC，BC的長b，a，則可求出A，B兩點(diǎn)間的距離，即兩點(diǎn)A，B可視，但有一點(diǎn)不可達(dá)在A所在的岸邊選定一點(diǎn)C，可以測出AC的距離m，再借助儀器，測出，，那么在△ABC中，已知兩角及一邊，運(yùn)用正弦定理就可以求出AB兩點(diǎn)A，B可視，均不可達(dá)測量者可以在河岸選定兩點(diǎn)C，D，測得，同時在C，D兩點(diǎn)分別測得，，，．在和中，由正弦定理計算出AC和BC后，再在中，應(yīng)用余弦定理計算出A，B兩點(diǎn)間的距離2、高度問題類型簡圖測量方案底部可達(dá)測得，，底部不可達(dá)點(diǎn)B與C，D共線測得及C與的度數(shù)先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值．點(diǎn)B與C，D不共線測得及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度數(shù)．在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值【典型例題】題型一：距離問題【例1】（2024·四川資陽·高一統(tǒng)考期末）為捍衛(wèi)國家南海主權(quán)，我海軍在南海海域進(jìn)行例行巡邏.某天，一艘巡邏艦從海島出發(fā)，沿南偏東的方向航行40海里后到達(dá)海島，然后再從海島出發(fā)，沿北偏東的方向航行了海里到達(dá)海島，若巡邏艦從海島出發(fā)沿直線到達(dá)海島，則航行的方向和路程（單位：海里）分別為（

）A．北偏東 B．北偏東C．北偏東 D．北偏東【答案】C【解析】作出示意圖如圖所示，根據(jù)題意，，根據(jù)余弦定理，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)闉殇J角，所以，所以從海島出發(fā)沿直線到達(dá)海島，航行的方向是北偏東，航行的距離是海里，故選:C.【變式11】（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學(xué)?？计谀┮阎w機(jī)的飛行航線AB和地面目標(biāo)C在同一鉛直平面內(nèi)，在A處測得目標(biāo)C的俯角為30°，飛行26到達(dá)B處，測得目標(biāo)C的俯角為75°，此時B處與地面目標(biāo)C的距離為（

）A． B． C．5 D．【答案】D【解析】由題知，在中，，所以，由正弦定理可知：(km).故選：D.【變式12】（2024·云南曲靖·高一?？计谀┤鐖D所示，為了測量湖中兩處亭子間的距離，湖岸邊現(xiàn)有相距100米的甲?乙兩位測量人員，甲測量員在處測量發(fā)現(xiàn)亭子位于北偏西亭子位于東北方向，乙測量員在處測量發(fā)現(xiàn)亭子位于正北方向，亭子位于北偏西方向，則兩亭子間的距離為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【解析】連接，在中，由條件可得，則，，在中，由正弦定理得，在中，由條件得，且，在中，由余弦定理得，，故A，C，D錯誤.故選：B.題型二：高度問題【例2】（2024·陜西商洛·高一?？计谀┤鐖D，八卦橋（圖1）是洛南縣地標(biāo)性建筑之一，它是一個八邊形人行天橋，橋的中心處建有一座五層高的寶塔（圖2），晚上寶塔上的霓虹燈流光溢彩非常美麗.某同學(xué)為了測量寶塔的高度，在塔底部同一水平線上選取了C，D兩點(diǎn)，測得塔的仰角分別為和，C，D間的距離是12米.則寶塔的高度AB是（

）米.（結(jié)果保留根號）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)寶塔的高度米，因?yàn)椋拭?，而米，故米，又，所以，解得（米），即寶塔的高度AB是米，故選：D【變式21】（2024·遼寧鞍山·高一?？计谀┤鐖D，小明想測量自己家所在樓對面的電視塔的高度，他在自己家陽臺M處，M到樓地面底部點(diǎn)N的距離為，假設(shè)電視塔底部為E點(diǎn)，塔頂為F點(diǎn)，在自己家所在的樓與電視塔之間選一點(diǎn)P，且E，N，P三點(diǎn)共處同一水平線，在P處測得陽臺M處、電視塔頂處的仰角分別是和，在陽臺M處測得電視塔頂F處的仰角，假設(shè)，和點(diǎn)P在同一平面內(nèi)，則小明測得的電視塔的高為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，在中，，，則，由正弦定理，可得，在中，(m).故選：A.【變式22】（2024·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學(xué)?？计谀┲袊鴼v史文化名樓之一的越王樓，位于四川省綿陽市游仙區(qū)涪江畔，更因歷代詩人登樓作詩而流芳后世.如圖，某同學(xué)為測量越王樓的高度，在越王樓的正東方向找到一座建筑物，高約為49m，在地面上點(diǎn)處（B，C，N三點(diǎn)共線）測得建筑物頂部A，越王樓頂部的仰角分別為和，在A處測得樓頂部的仰角為，則越王樓的高度約為（

）A．69m B．95m C．98m D．99m【答案】C【解析】在中，（m），在中，可知，由正弦定理：，可得（m），在中，（m），所以越王樓的高度約為98m.故選：C.題型三：角度問題【例3】（2024·重慶·高一重慶市大學(xué)城第一中學(xué)校?？计谀┮凰矣屋喓叫械教帟r看燈塔在的北偏東，距離為海里，燈塔在的北偏西，距離為海里，該游輪由沿正北方向繼續(xù)航行到處時再看燈塔在其南偏東方向，則此時燈塔位于游輪的（）A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向【答案】C【解析】如圖，在中，，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，因?yàn)?，所以解得，由正弦定理得，故或，因?yàn)椋蕿殇J角，所以，此時燈塔位于游輪的南偏西方向.故選：C【變式31】（2024·湖北武漢·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知甲船在海島的正南A處，海里，甲船以每小時4海里的速度向正北航行，同時乙船自海島出發(fā)以每小時6海里的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，?dāng)航行一小時后，甲船在乙船的（

）A．北偏東30°方向 B．北偏東15°方向C．南偏西30°方向 D．南偏西15°方向【答案】C【解析】由題，1小時后，甲船來到C處，則，則.又由題可知，此時，乙船來到D處，，結(jié)合BD是北偏東60°方向，則.又，則，即此時乙在甲的北偏東30°方向，甲在乙的南偏西30°方向.故選：C【變式32】（2024·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）一個大型噴水池的中央有一個強(qiáng)力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A處測得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)60m到達(dá)點(diǎn)B，在點(diǎn)B處測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是（

）A．25m B．30m C．35m D．40m【答案】B【解析】如圖所示，設(shè)水柱CD的高度為h，在ACD中，∵∠DAC=45°，∴AC=h，∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°，又∵B，A，C在同一水平面上，∴是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，在中，∠CBD=30°，∴BC=，在中，由余弦定理可得，∴，即，解得．∴水柱的高度是30m，故選：B.【變式33】（2024·高一課時練習(xí)）一艘客船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東方向，之后它以每小時32海里的速度繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時測得船與燈塔S相距海里，則燈塔S在B處的（

）A．北偏東 B．北偏東或南偏東C．南偏東 D．以上方位都不對【答案】B【解析】如圖所示，由題意可知（海里），海里，，在中，由，得，所以或，故或，即燈塔S在B處的北偏東或南偏東．故選：B.題型四：物理問題【例4】（2024·山東菏澤·高一期末）如圖，一條河兩岸平行，河的寬度，一艘船從河邊的A點(diǎn)出發(fā)到達(dá)對岸的B點(diǎn)，船只在河內(nèi)行駛的路程，行駛時間為0.2.已知船在靜水中的速度的大小為，水流的速度的大小為.求：(1)；(2)船在靜水中速度與水流速度夾角的余弦值.【解析】（1）因?yàn)榇辉诤觾?nèi)行駛的路程，行駛時間為0.2，所以船只沿AB方向的速度為.由，，根據(jù)勾股定理可得：,所以，即由，得：，所以.（2）因?yàn)?，所以，即，解得?即船在靜水中速度與水流速度夾角的余弦值為.【變式41】（2024·全國·高二課時練習(xí)）解決本節(jié)開始時的問題：在如圖的天平中，左、右兩個秤盤均被3根細(xì)繩均勻地固定在橫梁上.在其中一個秤盤中放入質(zhì)量為1kg的物品，在另一個秤盤中放入質(zhì)量為1kg的砝碼，天平平衡.3根細(xì)繩通過秤盤分擔(dān)對物品的拉力（拉力分別為，，），若3根細(xì)繩兩兩之間的夾角均為，不考慮秤盤和細(xì)繩本身的質(zhì)量，則，，的大小分別是多少？【解析】由題可知，且，，兩兩之間的夾角均為，又，（為重力加速度）∴，∴，∴（牛），即，，的大小都是牛.【變式42】（2024·湖南·高一課時練習(xí)）已知兩個力（單位：N）與的夾角為60°，其中，某質(zhì)點(diǎn)在這兩個力的共同作用下，由點(diǎn)移動到點(diǎn)（單位：m）．(1)求；(2)求與的合力對質(zhì)點(diǎn)所做的功．【解析】(1)如圖所示，因?yàn)?，可得，令因?yàn)閮蓚€力與的夾角為60°，點(diǎn)移動到點(diǎn)，可得，則，可得，所以，可得，解得，所以.(2)與的合力對質(zhì)點(diǎn)所做的功為:.題型五：三角形邊長、面積、周長最值與范圍問題【例5】（2024·河北張家口·高一河北省尚義縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，.(1)求；(2)求面積的最大值.【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，根?jù)余弦定理可知，所以，又，得，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，，由余弦定理，即，由于，所以，即（?dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以時的面積最大，最大值為.【變式51】（2024·福建莆田·高一莆田第二十五中學(xué)?？计谀┑膬?nèi)角的對邊分別為，已知.(1)若，求的值；(2)若，求周長的最大值.【解析】（1）由正弦定理知，所以，解得，因?yàn)闉殁g角，所以.（2）由余弦定理得，又由，則，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即的最大值為，所以周長的最大值為.【變式52】（2024·河南周口·高一校考階段練習(xí)）在銳角△中角所對的邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)若△面積為，求邊的最小值.【解析】（1）由正弦定理得，，因?yàn)椋?，又因?yàn)殇J角，,.（2）由題意得，則，由余弦定理得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故.【變式53】（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求邊長和角A；(2)求的周長的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，，，，可得，因?yàn)?，所以，由得，得，故或，故?(舍去).（2）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，即，所以，又，即，解得，根?jù)三角形三邊關(guān)系得到，故，的周長的取值范圍是.【變式54】（2024·湖南益陽·高一統(tǒng)考期末）在中，角，，所對的邊分別為，，，且，.(1)求外接圓的半徑；(2)求的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，且，所以，因?yàn)?，所以，所以，又，所以，又，所以，即外接圓的半徑為.（2）由余弦定理得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，即，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，且，所以.題型六：三角形中的圖形類問題【例6】（2024·廣東東莞·高一東莞市東華高級中學(xué)?？计谀┰谥?，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)已知，D為邊上的一點(diǎn)，若，，求的長．【解析】（1）∵，根據(jù)正弦定理得，，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以．?）因?yàn)?，，，根?jù)余弦定理得，∴．∵，∴．在中，由正弦定理知，，∴，∴，，所以∴，∴．【變式61】（2024·四川遂寧·高一四川省蓬溪中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且.(1)求角B的大??；(2)若，.（i）求的值；（ii）求的角平分線的長.【解析】（1），所以，，可得，又因?yàn)?，?（2）（i）因?yàn)椋獾?，由余弦定理可得，則，由正弦定理可得，所以，；（ii）因?yàn)?，即，因此?【變式62】（2024·海南省直轄縣級單位·高一?？计谀┤鐖D，是等邊三角形，是等腰直角三角形，，交于，.(1)求的度數(shù)；(2)求的面積.【解析】（1）由已知得，，，所以是等腰三角形，，所以，所以.（2）由（1）知中，，，又，所以.【變式63】（2024·福建福州·高一校聯(lián)考期末）如圖所示，在中，已知點(diǎn)在邊上，且，，.(1)若，求線段的長；(2)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，，求線段的長.【解析】（1）由條件可得.在中，由正弦定理得，（2）方法一：由（1）知，因?yàn)闉殁g角，所以.因?yàn)?，所以，所以，整理得，解得或（?fù)值舍去），所以線段AC的長為9.方法二：由（1）知，因?yàn)闉殁g角，所以.由點(diǎn)是的中點(diǎn)，設(shè)在中，由余弦定理得，①在和中，因?yàn)樗?，所以，整理得②將②代入①，得解得或（?fù)值舍去），所以線段AC的長為9.方法三：由（1）知，因?yàn)闉殁g角，所以如圖，以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABFC，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋谥?，即，整理得解得或（?fù)值舍去），所以線段AC的長為9【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·遼寧鐵嶺·高一?？计谀┤鐖D，某景區(qū)欲在兩山頂A，C之間建纜車，需要測量兩山頂間的距離.已知山高，，在水平面上E處測得山頂A的仰角為30°，山頂C的仰角為60°，，則兩山頂A，C之間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，，，；中，由余弦定理得，；即兩山頂A，C之間的距離為．故選：A．2．（2024·云南楚雄·高一統(tǒng)考期末）“近水亭臺草木欣，朱樓百尺回波濆”，位于濟(jì)南大明湖畔的超然樓始建于元代，歷代因戰(zhàn)火及災(zāi)澇等原因，屢毀屢建.今天我們所看到的超然樓是2008年重建而成的，共有七層，站在樓上觀光，可俯視整個大明湖的風(fēng)景.如圖，為測量超然樓的高度，選擇C和一個樓房DE的樓頂為觀測點(diǎn)，已知在水平地面上，超然樓和樓房都垂直于地面.已知，在點(diǎn)處測得點(diǎn)的仰角為，在點(diǎn)處測得點(diǎn)的仰角為，則超然樓的高度（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】過作，交于點(diǎn)，因?yàn)樵邳c(diǎn)處測得點(diǎn)的仰角為，可得為等腰直角三角形，所以，因?yàn)椋?，在中，由正弦定理得，又由，所以，則.故選：D3．（2024·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）某校學(xué)生為測量操場上的旗桿高度，在與旗桿底端位于同一水平高度的共線三點(diǎn)，，處，測得旗桿頂端處的仰角分別為，，，且，則旗桿的高度為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)旗桿的高度，由，可得，在中，因?yàn)?，所以，可得，即，解得，所以旗桿的高度為.故選：C.4．（2024·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）雙塔公園，位于上饒市信州區(qū)信江北岸.“雙塔”指五桂塔和奎文塔，始建于明清年間，是上饒市歷史文化遺存的寶貴財富.某校開展數(shù)學(xué)建?；顒?，有建模課題組的學(xué)生選擇測量五桂塔的高度，為此，他們設(shè)計了測量方案.如圖，五桂塔垂直于水平面，他們選取了與王桂塔底部在同一水平面上的，兩點(diǎn)，測得米，在，兩點(diǎn)觀察塔頂點(diǎn)，仰角分別為和，，則五桂塔的高度是（

）A．10米 B．17米 C．25米 D．34米【答案】B【解析】設(shè)米，在中，，，則，在中，，，則，因?yàn)?，所以由余弦定理得：，整理得：，解?米).故選：B.5．（2024·四川成都·高一統(tǒng)考期末）在中，若，，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．鈍角三角形 D．有一個內(nèi)角為的直角三角形【答案】D【解析】由以及正弦定理得，即，則，，，又，所以，，，即的形狀為有一個內(nèi)角為的直角三角形.故選：D.6．（2024·河南商丘·高一商丘市第一高級中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，為測量河對岸建筑物AB的高度，選取與建筑物底部點(diǎn)A在同一水平面上的C，D兩點(diǎn)，測得，，，，則建筑物的高度為（

）A． B． C．20 D．10【答案】D【解析】設(shè)，因?yàn)?，，則，，在中，由余弦定理知，即，整理得，解得或（舍），所以建筑物的高度為.故選：D.7．（2024·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期末）如圖，為測量河對岸A，B兩點(diǎn)間的距離，沿河岸選取相距的C，D兩點(diǎn)，測得，，，，A，B兩點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以在中，?所以，則，所以為等腰三角形，則，所以，則，在中，，，則，所以為直角三角形，又，，所以，則，在中，，，，所以，則.故選：D.8．（2024·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．為銳角三角形C．若，則的面積是D．若外接圓半徑是R，內(nèi)切圓半徑為r，則【答案】D【解析】設(shè)則對于故錯誤；對于角為鈍角，故錯誤；對于若，則所以的面積故錯誤；對于由正弦定理的周長所以內(nèi)切圓半徑故正確.故選：.二、多選題9．（2024·甘肅金昌·高一永昌縣第一高級中學(xué)?？计谀┰谥校瑑?nèi)角的對邊分別為，且滿足，則（

）A．一定為直角三角形B．可能為等腰三角形C．角A可能為直角D．角A可能為鈍角【答案】BC【解析】由余弦定理可得，化簡可得．當(dāng)時，，此時為直角三角形；當(dāng)時，可得，即，此時為等腰三角形，即B、C選項(xiàng)正確.故選：BC．10．（2024·江西·高一校聯(lián)考期末）一貨輪在A處，測得燈塔S在它的北偏東方向，之后它以每小時24的速度繼續(xù)沿正北方向勻速航行，40分鐘后到達(dá)處，此時測得貨輪與燈塔S相距，則燈塔S可能在處的（

）A．北偏東方向 B．南偏東方向C．北偏東方向 D．南偏東方向【答案】BC【解析】如圖所示，由題意得，，，則，解得，且，所以或，如圖所示：則有：當(dāng)貨輪在處時，，所以；當(dāng)貨輪在處時，，所以；綜上所述：燈塔S在處的北偏東或南偏東方向.故選：BC.11．（2024·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則為銳角三角形B．若，則C．若，則此三角形有2解D．若，則為等腰三角形【答案】BC【解析】對于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以為銳角，但不一定是銳角三角形，故A項(xiàng)不成立；對于B項(xiàng)，因?yàn)?，所以由正弦定理可知，，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，如圖所示，因?yàn)椋源巳切斡?解，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，因?yàn)?，，所以或，即：或，所以為等腰三角形或直角三角形，故D項(xiàng)不成立.故選：BC.12．（2024·四川成都·高一成都外國語學(xué)校校考期末）在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且、、，下面說法錯誤的是（

）A． B．是銳角三角形C．的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍 D．內(nèi)切圓半徑為【答案】BC【解析】因?yàn)橹?，，，，由正弦定理，可得，所以A正確；因?yàn)?，所以，由余弦定理可得，因?yàn)椋詾殁g角，所以為鈍角三角形，所以B不正確；由余弦定理可得，可得，所以C不正確；由，可得，可得的面積為，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，可得，解得，所以D正確.故選：BC.三、填空題13．（2024·北京大興·高一?？计谀┰谥?，分別為內(nèi)角的對邊，且滿足，則.【答案】/【解析】因?yàn)?，由正弦定理可得，整理得，即，又由余弦定理得，因?yàn)?，所?故答案為：.14．（2024·福建福州·高一?？计谀┮阎喆珹和輪船B同時離開C島，A船沿北偏東的方向航行，B船沿正北方向航行（如圖）．若A船的航行速度為60nmile/h，1小時后，B船測得A船位于B船的北偏東的方向上，則此時A，B兩船相距nmile．【答案】【解析】由題設(shè)，nmile，且，由正弦定理有，則，可得nmile.故答案為：.15．（2024·安徽蚌埠·高一統(tǒng)考期末）“一部劇帶火一座城”，五一期間，我市的地標(biāo)建筑——中國南北分界線雕塑成為了網(wǎng)紅打卡地，某校數(shù)學(xué)課外興趣小組，擬借助所學(xué)知識測量該建筑的高度.記該雕塑的最高點(diǎn)為點(diǎn)A，其在地面的投影點(diǎn)為點(diǎn)H，在點(diǎn)H南偏西60°方向的點(diǎn)B處測得點(diǎn)A的仰角為60°，在點(diǎn)H正東方向的點(diǎn)C處測得點(diǎn)A的仰角為45°，點(diǎn)B，C相距米，則該雕塑的高度為米.【答案】40【解析】由題意可得，，，米，設(shè)，則，在中，由于，可得，所以，在中，由余弦定理，可得，解得，即該雕塑的高度的值為40米．故答案為：40．16．（2024·遼寧·高一校聯(lián)考期末）撫仙湖，位于澄江市、江川區(qū)、華寧縣之間，湖面積僅次于滇池和洱海，為云南省第三大湖，也是我國最大的深水型淡水湖泊．如圖所示，為了測量撫仙湖畔M，N兩點(diǎn)之間的距離，現(xiàn)取兩