數(shù)學課件（第二冊下）課件 19章 級 數(shù)

第十九章級數(shù)§19-1

常數(shù)項級數(shù)§19-2

冪級數(shù)§19-3

函數(shù)的冪級數(shù)展開式§19-4

傅里葉級數(shù)§19-1

常數(shù)項級數(shù)一、常數(shù)項級數(shù)的基本概念

一般地,我們把上式的前n項的和Sn=u1+u2+…+un叫做級數(shù)的前n項部分和.

§19-1

常數(shù)項級數(shù)二、常數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)

因此,若級數(shù)的通項不趨于0,則該級數(shù)一定發(fā)散;若級數(shù)的通項趨于0,則該級數(shù)可能收斂,也可能發(fā)散.

§19-1

常數(shù)項級數(shù)三、級數(shù)收斂與發(fā)散的判別方法1.正項級數(shù)收斂性的判定

(1)比較判別法

(2)比值判別法

2.交錯級數(shù)斂散性判別法

§19-2

冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念1.函數(shù)項級數(shù)

一個級數(shù)的收斂點的全體稱為它的收斂域.

2.冪級數(shù)及其收斂區(qū)間

§19-2

冪級數(shù)二、冪級數(shù)的性質(zhì)

§19-3函數(shù)的冪級數(shù)展開式一、泰勒級數(shù)1.泰勒展開式

例1寫出函數(shù)y=ex的麥克勞林展開式.

例2求f(x)=sinx的麥克勞林展開式.

2.泰勒級數(shù)

§19-3函數(shù)的冪級數(shù)展開式二、函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法1.直接展開法

利用泰勒公式(或麥克勞林公式)將f(x)展開成泰勒級數(shù)(或麥克勞林級數(shù))的方法如下:

例3將f(x)=ex展開成x的冪級數(shù).

例4將f(x)=sinx展開成x的冪級數(shù).

2.間接展開法

通常利用幾何級數(shù),ex,sinx的冪級數(shù)展開式,根據(jù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式的唯一性,通過代數(shù)運算或求導(dǎo)、求積分運算將函數(shù)f(x)展開成冪級數(shù),這種方法稱為間接展開法.例5將f(x)=e-x展開成x的冪級數(shù).

例8分別將(1)f(x)=ln(1+x),(2)f(x)=arctanx展開成x的冪級數(shù).

§19-4

傅里葉級數(shù)一、三角級數(shù)、三角函數(shù)系的正交性

三角級數(shù)中所出現(xiàn)的函數(shù)1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…,cosnx,sinnx,…的全體稱為三角函數(shù)系.

三角函數(shù)系具有如下特性:

三角函數(shù)系中任意兩個不同的函數(shù)的乘積在[-π,π]上的積分必為零.

上述三角函數(shù)系的這一特性,稱為三角函數(shù)系的正交性.

三角函數(shù)系中除1外的任意一個函數(shù)自乘,在[-π,π]上的積分均等于π

§19-4

傅里葉級數(shù)二、周期為2π的函數(shù)的傅里葉級數(shù)

由此得到級數(shù)中的系數(shù)an,bn(n=1,2,…)及a0與f(x)的關(guān)系式.

由公式所確定的an,bn及a0稱為函數(shù)f(x)(關(guān)于三角函數(shù)系)的傅里葉系數(shù).以f(x)的傅里葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)稱為f(x)的傅里葉級數(shù).收斂定理設(shè)f(x)是以2π為周期的函數(shù),如果在一個周期內(nèi)滿足:(1)連續(xù)或最多只有有限個第一類間斷點(間斷點處的左、右極限都存在),(2)最多只有有限個極值點,

f(x)以及級數(shù)的和函數(shù)的圖形如圖所示.

將以2π為周期的周期函數(shù)f(x)展開成傅里葉級數(shù)的步驟是:(1)求傅里葉系數(shù)a0,an,bn;(2)作傅里葉級數(shù);(3)根據(jù)收斂定理確定收斂區(qū)域.§19-4

傅里葉級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)

將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的主要工作是計算傅里葉系數(shù),當函數(shù)具有奇偶性時,其傅里葉系數(shù)的計算量可以大為簡化.

奇函數(shù)的傅里葉級數(shù)是正弦級數(shù),偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)是余弦級數(shù).

解(1)f(x)滿足收斂定理的條件.因為f(x)是奇函數(shù),故a0=an=0.

解(1)f(x)滿足收斂定理的條件,因為f(x)是偶函數(shù),故bn=0.