2023屆遼寧省新高考數學立體幾何解答題解析版

2023屆遼寧省新高考數學復習

專題3立體幾何解答題30題專項提分計劃

1.(2022.遼寧?東北育才雙語學校?？寄M預測)如圖，在平行四邊形45co中，AB=\,

37r

AD=0ZBAD=—,四邊形AC。為矩形，平面ACEFJL平面ABC。，AF=1.

(1)求證：平面平面ACE5；

(2)點M在線段所上運動，且EM=/lEr，若平面MBC與平面ECD所成的銳二面角的

余弦值為:，求力的值.

【答案】⑴證明見解析；

(2)4.

【分析】(1)證明AABC是直角三角形得ABLAC,再結合面面垂直性質可得A3,平面

平面AC￡F,由此即可證明平面AB尸_L平面AC￡F；

(2)以點A為坐標原點，分別以直線A3、AC、"為x、V、z軸建立空間直角坐標系，

表示出各點坐標，求出平面MBC和平面ECD的法向量，利用向量法即可求解.

3亢7T

【詳解】(1)vZBAD=—,：.ZABC=-.

44

在，ABC中，AB=1,BC=AD=①,則根據余弦定理易得AC=1,

/.AB2+AC2=BC2,AB1AC.

,：平面ACEF_L平面ABCD,平面ACEF】平面ABCD=AC,ABc平面ABCD,

；?AB2平面ACEF,又ABu平面AB尸，，平面ABE_L平面AC砂；

(2):四邊形ACEb為矩形，AFALAC,

?平面ACEF_L平面ABCD,平面ACEF"平面ABCD=AC,E4u平面ACEF,

E4_L平面ABCD.

以點A為坐標原點，分別以直線A3、AC.AF為x、＞、z軸建立空間直角坐標系,

ZM

M

則方（1,0,0）,C（0,l,0）,E（0,l,l）,尸（0,0,1）,

ULIU

則6c=（-1,1,0）,CM=CE+EM=CE+AEF=（0,-Z,l）,

設平面MBC的法向量%=（x,y,z）,

n-BC=0f-x+y=0,,、

則2，即，-c，取巧=

7

n2-CM=0[-Ay+z=0'

由題意可知，ACLCD,AC±CE,則AC_L平面EC。，

則平面ECD的一個法向量4=AC=（0,1,0）,

jr

設平面MBC與平面所成的銳二面角為仇則

,12cl

則cose=|cos<4，=解得4="

2

2.（2022?遼寧大連?育明高中?？家荒＃┤鐖D，在四邊形A8CD中，BC=CD,BCLCD,

AD1BD,以8。為折痕把△AB。折起，使點A到達點P的位置，且PCUBC.

（1）證明：PD_L平面8CZ）；

（2）若M為尸B的中點，二面角P-BC-D等于60。，求直線PC與平面MC。所成角的

正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵W

4

【分析】(1)由線線垂直得到線面垂直，進而得到線線垂直，再證明出線面垂直；(2)

建立空間直角坐標系，利用空間向量求解線面角.

(1)

;BC工CD,BC±PC,且尸cnco=c,

平面PCD,

又：P￡><=平面PC。，C.BCLPD.

■:PD工BD,BDC\BC=B,

平面BCD；

(2)

'：PC±BC,CDLBC,

：.ZPCD是二面角P-BC-D的平面角，則/PCD=60。，

因此尸。=CO?tan60°=也CD,

取8。的中點O,連接。M,OC,

由己知可得。ALOC,。￡)兩兩互相垂直，

以。為坐標原點，分別以OC,OD,0M所在直線為無，y,z軸建立空間直角坐標系,

設。3=1,則P(0,1,&),C(1,0,0),D(0,1,0),M(0,0,包)，

2

CP=j,CD=(—1,1,0),CM=—1,0,-^-.

I?

設平面MCD的一個法向量為n=(x,y,z),

n-CD=t+y=0

由，ri-CM=—x+^-z=0取Z=0,得〃=五）.

2

X

故直線PC與平面MCD所成角的正弦值為3.

4

3.（2022?遼寧大連?大連市一。三中學?？寄M預測）如圖，在四棱錐P-ABCD中，四

邊形ABC。為菱形，PD=AD=2,E,F分別是B4,的中點，過E,尸作平面a交

線段PB,PC分別于點G,H,且尸G=#PB

（1）求證：GH//BC；

⑵若尸/〃平面ABCD,且二面角A-PD-C為120。，二面角E-尸G-尸的正弦值為巫,

4

求才的值.

【答案】（1）證明見解析

（2）/=1

【分析】（1）由題意，可得E尸〃3C,根據線面平行的判定定理可得EF〃平面P2C,

從而由線面平行的性質定理可得毋〃G”,由平行公理即可得證；

（2）由PO_L平面ABCD可得NADC為二面角A—PD—C的平面角，則NADC=120。，

取BC中點O,連接。。，以。為原點，建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，進

而求出平面PBD的法向量〃=（百,乂，4）與平面EFG的法向量為〃Z=（X2，%，Z2），從而利

用向量法即可求解.

（1）

證明：P分別是B4,PD中點，

/.EF//AD,

又：AD//BC,

：.EF//BC,

又：EFU平面PBC,BCu平面PBC,

：.EF〃平面PBC,

又：防匚平面a,平面a。平面PBC=G〃，

，EF//GH,

：.GH//BC；

(2)

解：：PZ)_L平面ABC。，AD,CDu平面ABC。，

AADVPD,CD±PD,

.,.N4DC為二面角A—PD—C的平面角，則/ADC=120。，

取BC中點。，連接。。，以。為原點，D4所在直線為x軸，。。所在直線為y軸，DP

所在直線為z軸建立空間直角坐標系，

則E（1,O,1）,F（0,0,1）,P（0,0,2）,B（1,73,0）,設點G坐標為（x,y,z）,

7PG=tPB>

（x,y,z—2）=f?（1,若,—2）,

x=t

z=2-2t

2-24,

DP?YI—Q

設平面尸的法向量為〃=（不,X，ZJ,則I”八，

DB-n=0

即令芯=6,則％=T，4=。，貝U〃=（g,T,0）,

設平面E尸G的法向量為根=（X2，%，Z2），所=（一1,0,0）,八7=，,8,1一20,

x

fEF-m=0_n~2=°

\，即<r~/\，

[FG?m=0tx2+y/3ty2+（1—2/jz2=0

令%=2，T,貝1壯2=?,工2=。，貝1」加=(0,2，一1,瘋)

設二面角E-FG-P的平面角為6,

:二面角E-FG-P的正弦值為姮,

4

1cos0|=g

/.sinO=—,

4

n-m_x/3

|cos6*|=cos(n,m)=

nm2-+(2?-1)22-,7產-41+1-4'

5戶+4/一1=0,解得t=g或/=-1(舍去).

4.（2022?遼寧?撫順市第二中學校聯(lián)考三模）已知四棱錐尸-ASCD,底面A8CZ）是平行

四邊形，且CBLD3.側面PCD是邊長為2的等邊三角形，且平面PCD，平面4BCD點

E在線段PC上，且直線24//平面

（2）設二面角尸-3D-C的大小為凡且tan0=求直線BE與平面ABC。所成的角的

正切值.

【答案】（1）證明見解析

⑵《

【分析】（1）根據線面平行的性質可得線線平行，即可求證.

（2）根據二面角的大小，可得8c=0,進而可得線面角，即可求解.

(1)

連AC交8。于E連所.

：ABC。是平行四邊形，；.AF=FC

:直線PA//平面BDE,PAu面B4C,面R4C面BDE=EF,

二PA//EF：.PE=EC

p

E

方法一：取OC中點O,0C中點G,連PO,OF,GE,BG

?側面PCD是邊長為2的等邊三角形

:.P0=6，POLCD

平面PCD_L平面ABCD,平面PCD平面ABCD=CD

：.尸0/平面ABCD

?：OD=OC,DF=FB

FO//BC,FO=-BC

2

CB±DB：.FO±BD：.PF±BD

/PR?是二面角P-BD-C的平面角

ZPFO=3

tan0==\/6FO=BC=-$/2

FO2

?1-BD=yjCD2-BC2=yf2=BCBOLCD,BO=1

：.BG=y/BO2+OG2=—,VOG=GC

2

APO//EG,EG=—,EG_L平面ABC。

2

：.ZEBG為直線EB與平面ABCD所成的角

,EGV15

tanZEBG==-----

BG5

方法二：

取中CD點。，連PO,則尸O_LCD,從而尸平面ABCD,以8為原點，以DB,BC,OP

的正方向為x軸，y軸，z軸方向建立空間直角坐標系

令BC=m,則C(0,m,0),認-也-疝,"-蘇,三

一不4-m2x=0

設平面PBD的法向量m=（x,y,z）,則，

--V4-m2x+—y+y/3z=0

122

令y=l,得加=0,1,-

平面BCD的法向量〃=（0,0,1）

由tanO=指得cosO="，即得利=0

A/23A/2

...C（o,0,o）,尸

1［一2冬24同J，I一Th'

設OE與平面ABCD所成的角為a

tan”姮

5

...OE即BE與平面ABC。所成的角得正切值至

5

5.（2022?遼寧沈陽?統(tǒng)考三模）如圖，在三棱柱ABC-A與G中，四邊形AGCA為菱形,

A=/G4A=60。,AC=4,AB=2,平面ACQA，平面ABqA,Q在線段AC上移

動，P為棱AA的中點.

（1）若H為8。中點，延長AH交BC于。，求證：40〃平面耳PQ；

⑵若二面角B「PQ-G的平面角的余弦值為反，求點P到平面BQB,的距離.

13

【答案】（1）證明見解析；

⑵亞

2

【分析】（1）取88/中點E,連接AE,EH,結合已知條件易得AE//PB1,

根據線面平行的判定可證用?！鍱H4,PB"/面EHA,再由面面平行的判定及性質即

可證結論.

（2）連接尸G,AG有尸GLA4/,由面面垂直的性質可得PG_L面ABB/4,過P作

PRLAAi交BBi于點R,進而構建空間直角坐標系，設AQ=%AC="0,22百）"引0,1],

確定相關點坐標，求面PQBi、面AAiCiC的法向量，根據已知二面角的余弦值求參數人

進而可得QB,連接8尸，應用等體積法求產到平面的距離.

【詳解】（1）取8月中點E,連接如圖，

???”為8。中點，；.￡//%?|。

在平行四邊形A4內8中，「,￡分別為裕,8月的中點，，4￡〃?為

由且EH,AEu面硝4,耳。,「用Z面EH4,

所以用?！妗嬗諴BCBQ=Bi,

所以面EHA〃面B/QP,：A￡>u平面EfZ4,AD〃平面反尸Q.

(2)連接尸C”AC】,

??,四邊形AGCA為菱形，A4,=AC=AG=4,

又NGAA=60。，AC0為正三角形，:P為AA的中點，.?.PG^AA，

平面ACGA，平面ABB^,平面ACGA1平面ABB,A=M,PC[U平面ACQA,,

PCtl平面ABB,A,在平面ABB}\內過點尸作尸R，44,交8月于點R,

建立如圖所示的空間直角坐標系尸-邙，

則P（0,0,0），A（0,2,0）M（0,-2,0）,G（o,o,2指）,C（0,-4,273）,

設n=2/=彳（0,—2,2@,/1€[0,1]，2（0,-2（2+1）,2A/3/L）,

：.PQ=（0,-2（2+1）,2^2）,

.?.耳.?.通=（"1,0卜

AlBl=AB=2,ZBlAiA=6Q°,

設平面PQB,的法向量為m=(%,%z),

m-PQ=0-2（2+l）y+2后x=0人

則得I—,令rx=1貝!Jy=-A/3,Z=

m?PB[=0y/3x+y=0

/.平面尸。耳的一個法向量為m=

設平面MGC的法向量為：=(1,0,0),二面角片-尸。-a的平面角為6,

A=—sJ（A=——（舍），.AQ=—AC,Q^O,—3,-\/3j.

又5（J5,—3,0）,??Q5=（6,0,—G），??|QB\=^3+3=V6,

連接成，設點P到平面3。瑪的距離為"則;xgx4xGx6=；x；x4xnx/z,

:?h衛(wèi),即點P到平面8。月的距離為1.

22

6.（2022?遼寧大連?大連二十四中?？寄M預測）如圖，多面體AEDC3E中，平

面3CE,A3〃Cr>〃所，BELEC,AB=4,EF=2,EC=2BE=4.

E

（1）在線段BC上是否存在一點G,使得EG,平面AbC?如果存在，請指出G點位置并

證明；如果不存在，請說明理由；

（2）當三棱錐。-AFC的體積為8時，求平面AFD與與平面AFC夾角的余弦值.

【答案】（1）存在，8C的中點G,證明見解析；

⑵當

【分析】（1）先找到G點位置，由面面平行證明線面平行；

（2）建立空間直角坐標系，由體積求解邊長，用空間向量求解二面角.

【詳解】（1）存在，點G為3C中點，理由如下：

取線段AB的中點〃，連接EH、HG、EG.

D

E

'：AH//EF,AH=EF=2,

二四邊形AHEF是平行四邊形，，HE〃AF.

又：AFu平面ABC,HEO平面AFC,

〃平面AFC.

,:H、G分別為AB、BC的中點，

.?.HG是“AfiC的中位線，/.HG//AC.

：ACu平面AFC,HGz平面APC,

"G〃平面ART.

:HGcHE=H,HG、HEu平面EHG,

平面EHG//平面AFC.

,：EGu平面EHG,

：.EG〃平面AFC.

(2)由=VA_FCD=VB^FCD=VB_ECD=|■1--EC-C￡>-BE=8,

可得CD=6

以E為坐標原點，以EC、EB、E尸的正方向為x、＞、z軸的正方向，建立如圖所示的空

間直角坐標系.

D

E

由題可知，A(0,2,4),F(0,0,2),C(4,0,0),0(4,0,6),

設平面AFC的一個法向量為m=(不,y,zj

FA=(0,2,2),FC=(4,0,-2)

2yl+2Z]=0

可以取機=（1,—2,2）

4%—24=0

設平面片7）的一個法向量為〃=（%2，%，Z2）

7^=(0,2,2),FZ)=(4,0,4)

2y9+2Z9=0

則4%+4z2=。'可以取〃=似-1)

設平面與平面AR7夾角為

I\m-n\_73

則cos6=|cos?i,n|

|制|用3'

平面也與平面APC夾角的余弦值為顯

3

7.（2022.遼寧?遼寧實驗中學?？寄M預測）如圖所示正四棱錐P-ABCD,AB=2,P4=7

⑴求證：PALBD

（2）若沿側棱將此四棱錐剪開，四個側面向外旋轉,PAD旋轉至P}AD,PCD旋轉至P2CD如

圖所示，其中二面角與二面角鳥-CD-B相同，當時，求平面片4。

與P2CD所成的銳二面角的余弦值

【答案】(1)證明見解析

理

【分析】(1)連接80AC,交于點。，連接尸O,尸。工面ABC。，得POLBD,從而

證得平面PAC,得線線垂直；

(2)以。為原點，D4為x軸，0c為y軸，過點D且垂直于平面ABCD的直線為z軸

建立空間直角坐標系，設是二面角大小為凡表示出用心的坐標，由向量垂

直求出凡得62的坐標，再求出平面4A。與平面5CD的一個法向量，則法向量夾角

得二面角.

(1)

證明：連接由ZAC,交于點0,連接PO,面ABCD,BDu平面ABCD,

PO1BD,

又。BD1AC,P0AC=O,P0,ACu平面PAC,所以平面尸AC,

又,R4u平面PAC,:.BD±PA.

(2)

以。為原點，ZM為x軸，DC為y軸，過點。且垂直于平面ABC。的直線為z軸建立空

間直角坐標系，設點E為ZM中點，則設尸是2C中點，則跖人AD,又

P{E^AD,

所以是二面角耳一AD-2的平面角，即=

[(1,4-73cos4后sin。)，同理乙(473cos61,1,473sinff)

UULUUUU廠廠

DPX-DP2=4,3cos6+443cos6+48sin28=0

解得：cos^=-—?sin6=1，

22

./(L-6,2石),￡(-6,1,26)

UULIUuim

DR=(l,-6,2V3),DA=(2,0,0)

設々=(%,y,z)為平面［A。的法向量，則=0,/.2x=0,-.x=0,

UUUIB_U

々.必=0,.-.x-6y+2V3z=0,取y=l,貝ljz=6，=(0,1,V3)

UL1U「

DR=(-61,2j3),DC=(0,2,0),

UH______

設%=(也s/)為平面的法向量，則%DC=0,:.2s=0,.*.5=0,

UULlUUUHL

%.Dg=0,-6m+2=0,取帆=1,貝卜=6，:.電=Q,0,43),

trun33

阿27173.71+34，

3

平面4Ao與平面2c。所成的銳二面角的余弦值為二.

4

8.(2022.遼寧沈陽?沈陽二十中校考三模)如圖多面體ABCDE尸中，四邊形ABCD是菱

形，ZABC=60°,￡AJ_平面ABC。，EA//BF,AB=AE=2BF=2.

(1)證明：平面E4C,平面及C；

⑵在棱EC上有一點M,使得平面八版與平面BCR的夾角余弦值為四，求點用■到平

4

面BCF的距離.

【答案】(1)證明見解析

⑵手

4

【分析】(1)取EC的中點G,連接交AC于連接GM,GF,證明G尸/ABM,

利用〃8_1_面￡4。，證明6尸_1_面￡4(7,從而面EFC_L面S4C；

(2)建立平面直角坐標系，設CM=4CE,利用二面角確定M點位置，結合點到平面距

離向量公式得到結果..

證明：取EC的中點G,連接8。交AC于N,連接GN,GF,

因為ABCD是菱形，所以ACLBD,且N是AC的中點，

所以GN〃4E且GN=3A￡,又AEHBF,AE=2BF=2,

所以GN//BF且GN=BF,所以四邊形3NGf是平行四邊形，

所以GF7/BN,

又E4J_平面ABCD,BNu平面ABCD,所以E4_LBN,

又因為AC-LBN,ACfEA=A,

所以N3_L平面E4C,所以GP_L平面E4C,又G/u平面瓦(，

所以平面￡FC_L平面￡4C；

(2),/GN//AE,E4_L平面ABCD,；.GN_L平面ABCO,豆CNLBN,

...以N為原點，NC,NB,NG為坐標軸建立空間直角坐標系，

設在棱EC上存在點M使得平面力刎與平面BCF的夾角余弦值為亞，

4

E(-l,0,2),5(0,60),C(l,0,0),F(0,日1)，A(T，。，。)，。(°，Y，

0)

則設。W=/CE=4(-2,0,2),,0,22),

所以OA/=(1-2%,624),DB=(0,2乖1,0),8C=(l,-"0),FB=(0,0,-l)

設平面DR欣的一個法向量為〃=(x,y,z),

n-DM-0f(1-2A)X+A/3V+2/IZ=0

貝科，即《l,令產。，x=-2A,z=l-U

n-DB=0[2s/3y=0

得〃=(-24,0,1-2/1),

設平面ESC的一個法向量為機=(。，b,c),

m,BC=Q\ci->j3b=0r-

則(，即1，取5=1,得利=(A/3,1,。)，

m?FB=Q〔一。二0

..\m-n\I-2^/3A|_y/6

cos<n,m>\=-----解得U，

|加|?|〃|2卜24+(1-22)24

此時M

也

CM-m

???點M到平面BCF的距離d=

/川24

9.（2022.遼寧?東北育才學校校聯(lián)考二模）如圖，ASC是邊長為6的正三角形，點E,

F,N分別在邊A2,AC,BC上，S.AE=AF=BN=4,M為BC邊的中點，AM交EF

于點。，沿跖將三角形AEP折到。E尸的位置，使。加=A.

D

⑴證明：平面DEF，平面5EFC；

(2)試探究在線段0M上是否存在點尸，使二面角P-RV-3的大小為60。？若存在，求

出照r)P的值；若不存在，請說明理由?

PM

【答案】(1)證明見解析；

DP

⑵二7=6時二面角P-EN-B的大小為60°

PM

【分析】(1)先由勾股定理證。根據線面垂直判定定理證明平面￡BCF,

再由面面垂直的判定定理證明平面DEFJ■平面BEFC-,(2)建立空間直角坐標系。-◎z,

^DP=ADM(O<A<1),再利用向量法求解.

【詳解】(1)在△。。核中，易得DO=26,OM=y/3,DM=岳,

由?！?=002+0^2,得

又，A￡=AF=4,AB=AC=6,:.EF//BC,

又M為2C中點，：.AMA.BC,:.DOLEF,

因為E"|OM=。，EF,OMu平面EBCF,

.?.。0_1_平面￡?3,又DOu平面DEF,

所以平面DEF_L平面BEFC；

(2)由(1)DOJ_平面EBCF,以。為原點，以OE,OM,OD為x，y，z的正方向建立空間

直角坐標系。一邙，。(0,0,2百)，M(0,V3,0),￡(2,0,0),N(-l,50)

DM=(0,石，-2圾,ED=(-2,0,2^3),

由⑴得平面硒8的法向量為：=(0,0,1),

設平面ENP的法向量為=(x,%z)，DP=ADM(0<A<1),

所以。尸=（0,四,一2百X）,所以￡尸=+3尸=（-2,6尢,2由-2732）.

由題得，所以無=（-3,73,0），

囂;二篇短一2同0所以,勺1和，

所以

因為二面角P—EN—B的大小為60°,

I2-3彳|

1_273-2^32

所以5H解之得彳=2（舍去）或2=

止匕時。p=9。屈，所以空=6.

7PM

10.（2022?遼寧遼陽?統(tǒng)考二模）如圖，在四棱錐O-ABCD中，E是BC的中點，△OAD

是等邊三角形，底面ABCD為菱形，A￡>=2,ZZMB=60°

（1）若。2=逐，證明：平面ODE,平面OAD.

⑵若二面角。-AD-3的大小為120。,求二面角4-a>-。的余弦值

【答案】（1）證明見解析

（2）叵

7

【分析】（1）由面面垂直的判定定理證明

（2）建立空間直角坐標系，由空間向量求解

（1）

證明：因為四邊形ABCD為菱形，ZDAB=60°,所以△川/）是等邊三角形.

取AO的中點尸，連接O尸，BF,則郎_LAD

因為△OAD是等邊三角形，AD=2,所以OF=BF

又05=",所以。尸2+3尸2=08?,即所_LO尸

又A￡>OF=F,所以環(huán)，平面Q4D

因為E是2C的中點，所以DE〃BF,所以DE1平面Q4D,

故平面ODE_1_平面OAD

（2）

由題可知，NOEB為二面角。一AD-B的大小，即，OEB=120。，

以F為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系尸-邙.

則8（0,后,0）,￡>（-1,0,0）,-B￡>=(-1-^,0),=

I22）(22)

-x-y/3y=0,

設平面03。的一個法向量機=（即y,z）,貝卜63c

-X+--V——Z=U,

I22

令y=1,得根=卜6』,6）.

由圖可知，平面迎的一個法向量為〃=（0,0,1）

故二面角4一比）-0的余弦值為國

7

11.（2022?遼寧?渤海大學附屬高級中學?？寄M預測）如圖，四邊形ABC。為平行四邊

形，點E在4B上，AE=2EB=2,>DELAB,沿。E將VADE折起，使點A到達點廠

的位置，且NFEB=60。.

(1)求證：平面BFC_L平面8CDE；

⑵若直線。尸與平面BCDE所成的角的正切值為零，求平面OEF與平面DFC的夾角

的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵當

【分析】(1)利用線面垂直的判定定理證明8尸，平面BCQE,再由面面垂直的判定定理

證明平面2FC，平面BCDE；(2)由線面角的定義結合條件求出AZ),建立空間直角坐標

系利用向量方法求二面角的大小.

(1)

AE=EF=2,EB=\,ZFEB=6Q°,

所以2產=BE2+EF2-2BE-EF-cos60°=3,

所以BE。+BF?=EF?,所以8尸，BE,

又因為OE_LAB,所以DELEF,DE±EB.

又EF\BE=E,

所以。E_L平面BEF,

因為Mu平面BEF,所以

因為EB,OEu平面BCDE,DEEB=E,

所以平面8COE,又班'u平面8/C,

所以平面平面BCDE；

(2)

設4。=。，則DE=J--4,BO=7a2-3

由(1)知平面BCDE,所以NB￡)2為直線。尸與平面BCD"所成的角，

所以tanNFDB=^=姮,

BD5

所以—=，解得a=2近，

VG2-35

以￡為坐標原點，EB，的方向分別為x軸，y軸的正方向，建立如圖所示的空間直

角坐標系，

則A(-2,0,0),B(1,0,0),D(0,2,0),C(3,2,0),F(1,0,73),

ADC=(3,0,0),DF=(1,-2,A/3),

"zaDC—0

設m=(x,y,z)為平面DPC的一個法向量，貝葉，

m-DF=0

x=0

即《令y=6,則z=2,所以』=倒,舊,2),

x-2y+\/3z=0

由(1)知，平面。EFJ_平面BER過B引E尸的垂線交EF于M,則平面。EF,

(1(3

求得雨=0,一，則府二一二,0,一為平面OEF的一個法向量.

(44JI44J

m-BM_立

所以cos(九=

\m\-\BM\一7，

所以平面。跖與平面DFC的夾角的余弦值為立.

7

12.(2022?遼寧?校聯(lián)考二模)四棱錐尸-ABCD,底面A8CZ)是邊長為3的菱形，且

/ABC=60O,PA=6,PB=PD=2?PE=2EC,PF=FD,設點T為8c上的點，且二

面角B-R4-T的正弦值為叵，

14

⑴求證：PAL平面ABC。；

(2)試求P與平面ATE的距離；

(3)判斷AP是否在平面A7E內，請說明理由.

【答案】(1)證明見解析

^67129

⑵一

(3)4/不在平面A7E內，理由見解析

【分析】(1)根據勾股定理的逆定理易證R4LAB,PA±AD,再根據線面垂直的判定

定理即可證出；

(2)解法一：以點A為原點，48所在直線為x軸，在平面ABC。過點A作的垂線

為y軸，A尸所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，由二面角的定義易知/84T為二面

角5-刈-T的平面角，利用平面知識可解得37=1,從而可得點T的坐標，再利用點

面距的向量公式即可求出；解法二：直接利用二面角的向量公式可求出37=1,從而可

得點T的坐標，后面部分同解法一；

(3)根據空間向量基本定理，假設AF在平面are內，則存在實數相，〃滿足

AF=mAT+nAE,通過向量相等得到方程組，由方程組無解，可判斷出假設錯誤，從

而得出結論.

(1)

證明：由尸3?二尸發(fā)+^^得，PA±AB,同理可得R4_LA￡),

又A34。=。,43匚平面488,A￡>u平面ABC。，

所以上4_L平面A2CD

(2)

如圖，以點A為原點，為x軸，在平面ABC。過點A作A8的垂線為y軸，AP為z

軸建立空間直角坐標系.

解法一：因為R4_LAB,R4_LAT,則NBAT為二面角3-卜4-7的平面角,

由題意可得：sinNBAT=叵,cosNBAT=亞,

1414

考慮BAT,AABT=60°,可得sinZATB=sin(ZBAT+60°)=今*

ABBT一f5V3

利用正弦定理可得：笈T=1,可得點T的坐標為.

sinZATBsinZBAT（22J

33百小7

又點尸(OQ,石),A(0,0,0),c，0J,又PE=2EC,得.

V3

m-AE=0x++=0

設平面ATE的一個法向量為加=（x,y,z）,則有，BDrPt：\3

0

m-AT=5%+Gy=0

令了=若,則有—=（石,-5,12）,

mAP筆尸至?的距離為雪?

因為AP=（0,0,石），則有：d=

\m\

'3、

解法二：設BT=4BCQ>4>0),則73——2,A,0,設平面B4T的法向量為

(22J

3一3|斗+亭4y=0

消:）即

則:2

任=0

?〃27175

令尤=1,得々=L平面以3的法向量為巧=（0,1,0）,由

14

I?1I-I?2I

、

1

得4=進而BT=1,可得點T的坐標為,0（以下同解法一）

3

7

⑶

3逕?

由（2）得AE=1,幣,,又PF=FD得尸~~'>''~~~，

4427

若Ab在平面ATE內，則存在實數相，n^^AF=mAT+nAE,

即「，地，且、(

=m,0+n成立,

29~2

4427k3J

35

—=—m+n

42

乎=4加+島，無解，

42

A/3^3

——=——n

23

所以A尸不在平面ATE內.

13.(2022?遼寧鞍山?統(tǒng)考二模)如圖，在梯形ABC。中，AB//CD,ZBCD=—,四邊

形ACFE為矩形，且5,平面ABC。，AD=CD=BC=CF=\.

⑴求證：E/U平面BCB；

⑵點M在線段所上運動，當點M在什么位置時，平面與平面尸C8所成銳二面

角最大？并求此時銳二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵M與尸重合時，平面與平面FCB所成銳二面角最大，余弦值為立

7

［分析］(1)在梯形ABC。中，由分析知，ACLBC,因為CF±平面ABCD,所以AC±CF,

進一步得AC_L平面又因為AC〃EF,因此平面BCE

(2)因為CP,平面ABC。，ACLBC,以點C為坐標原點，CA,CB、CP所在直線分

別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面尸CB的法向量，然后

結合二次函數求最值的方法求解平面小LB和平面FCB所成的銳二面角的最大值.

【詳解】(1)證明：在梯形ABCD中，AB〃CO,AD=CD=BC=1,故梯形ABCD為等腰

梯形，

2九"27rIT

因為/BCD=——,則NAT>C=—,所以N5AC=ZACD=—

336

冗JT

又因為ZABC=7i-NBCD=—,貝I］ZACB=萬一ZABC-ZBAC=-,

32

：.AC±BC,因為平面ABC。，ACu平面ABC。，

：.AC±CF'：BCCF=C,；.AC_L平面BCF,

因為四邊形ACPE為矩形，貝UAC〃所，因此，所_L平面BC尸

(2)因為CP,平面ABCZ),AC±BC,以點C為坐標原點，CA、CB、CB所在直線分

別為無、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

Z八

在25C中，AC=.,.

則4百,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,0)、F(0,0,1)、E(布,0,1),

設點M?,0,1),其中0W/W石

設平面MAB的法向量為相=(%,y,zjAB=(-73,1,0),AM=9-百,0,1)

m-AB=y/3x-y=0

取x=l,可得m—.

m-AM=卜-6)x+z=0

]

易知平面FCB的一個法向量為力=(L0,0)，"?F

m\\n,4+(/-可

所以，當f=0,即M與尸重合時，cos(m,”)取最小值，此時平面與平面尸CB所

成銳二面角最大，此時，平面與平面尸CB所成銳二面角的余弦值為近

7

14.(2022?遼寧大連?統(tǒng)考一模)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，己4,平面4BCD,

AD//BC,ADYCD,且A￡)=l,CD=2,BC=5,24=2.

(1)求證：AB1PC；

(2)在線段尸。上是否存在一點M,使二面角V-AC-O的余弦值為四？若存在，求三

6

棱錐M-A5C體積；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)證明見解析

⑵存在，|

【分析】（1）證明AC_LAB,結合證明平面B4C,根據線面垂直的性

質定理即可證明結論；

（2）建立空間直角坐標系，求得相關點的坐標，設尸/0=彳尸￡）,求出平面M4c的一個

法向量，結合平面4C。法向量以及條件可推出2=［即M為中點，即可求得答案.

2

【詳解】（1）因為AD_La>,AD=1,CD=2,所以AC=VL

又因為BC=5,且AD〃BC,AB=7（5-l）2+22=2^,

所以AB2+AC?=BC2,所以AC_LAB,

又因為PA_L平面