鎮(zhèn)江市2023~2024學(xué)年度第二學(xué)期高三期初適應(yīng)性練習(xí) 數(shù)學(xué)試卷及答案

2023~2024學(xué)年度第二學(xué)期高三期初試卷數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．本卷滿分150分，考試時間120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，將答題卡交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列如下：9，10，12，15，17，18，22，26，經(jīng)計算，則75%分位數(shù)是（）A．18 B．20 C．21 D．222．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A．0 B．1 C． D．23．在中，，且的面積為，則（）A． B． C．2 D．34．已知正數(shù)滿足，則的最小值為（）A．6 B．7 C．8 D．95．已知平面內(nèi)的向量在向量上的投影向量為，且，則的值為（）A． B．1 C． D．6．等差數(shù)列的首項為1，公差不為0．若成等比數(shù)列，則的前5項的和為（）A． B． C．5 D．257．已知，則的值為（）A． B． C． D．28．已知過坐標原點且異于坐標軸的直線交橢圓于兩點，為中點，過作軸垂線，垂足為，直線交橢圓于另一點，直線的斜率分別為，若，則粗圓離心率為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知，下列命題正確的是（）A．命題“”的否定是“，使得成立”B．若命題“恒成立”為真命題，則C．“”是“方程有實數(shù)解”的充分不必要條件D．若命題“”為真命題，則10．正方體的8個頂點中的4個不共面頂點可以確定一個四面體，所有這些四面體構(gòu)成集合，則（）A．中元素的個數(shù)為58B．中每個四面體的體積值構(gòu)成集合，則中的元素個數(shù)為2C．中每個四面體的外接球構(gòu)成集合，則中只有1個元素D．中不存在四個表面都是直角三角形的四面體11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．是的一個周期B．的最小值是C．存在唯一實數(shù)，使得是偶函數(shù)D．在上有3個極大值點三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12．與圓和圓都相切的直線方程是______．13．已知是圓錐的底面直徑，是底面圓周上的一點，，則二面角的余弦值為______．14．如果函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則記為，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則記為．已知，則實數(shù)的最小值為______；函數(shù)，且，則實數(shù)______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）在如圖所示的圓臺中，是下底面圓的直徑，是上底面圓的直徑，，為圓的內(nèi)接正三角形．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．16．（15分）為了釋放學(xué)生壓力，某校進行了一個投籃游戲．甲、乙兩人輪流進行籃球定點投籃比賽每人各投一次為一輪．每人投一次籃，兩人中只有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分．設(shè)甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為，且各次投籃結(jié)果互不影響．（1）經(jīng)過1輪投籃，記甲的得分為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）用表示經(jīng)過第輪投籃后，甲的累計得分高于乙的累計得分的概率，求．17．（15分）已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上極值點和零點的個數(shù)，并給出證明；（2）若恒成立，求實數(shù)．18．（17分）已知雙曲線的兩條漸近線分別為上一點到的距離之積為．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)雙曲線的左、右兩個頂點分別為為直線上的動點，且不在軸上，直線與的另一個交點為，直線與的另一個交點為，直線與軸的交點為，直線與的交點為，證明．19．（17分）對于數(shù)列，記，稱數(shù)列為數(shù)列的一階差分數(shù)列；記，稱數(shù)列為數(shù)列的二階差分數(shù)列，…，一般地，對于，記，規(guī)定：，稱為數(shù)列的階差分數(shù)列．對于數(shù)列，如果（為常數(shù)），則稱數(shù)列為階等差數(shù)列．（1）數(shù)列是否為階等差數(shù)列，如果是，求值，如果不是，請說明為什么？（2）請用表示，并歸納出表示的正確結(jié)論（不要求證明）；（3）請你用（2）歸納的正確結(jié)論，證明：如果數(shù)列為階等差數(shù)列，則其前項和為；（4）某同學(xué)用大小一樣的球堆積了一個“正三棱錐”，巧合用了2024個球．第1層有1個球，第2層有3個，第3層有6個球，…，每層都擺放成“正三角形”，從第2層起，每層“正三角形”的“邊”都比上一層的“邊”多1個球，問：這位同學(xué)共堆積了多少層？高三數(shù)學(xué)期初考試評分標準一、選擇題題號答案出處考查知識能力素養(yǎng)1B課本題改編百分位數(shù)運算求解2C課本題改編復(fù)數(shù)模的運算及性質(zhì)運算求解3B課本題改編余弦定理，面積公式運算求解4D復(fù)習(xí)題改編排列組合分類討論思想，數(shù)學(xué)抽象5A復(fù)習(xí)題改編投影向量，向量的模運算求解6A復(fù)習(xí)題改編等差、等比數(shù)列基本量運算運算求解7A復(fù)習(xí)題改編兩角和與差的正余弦公式轉(zhuǎn)化思想，運算求解8D原創(chuàng)橢圓第三定義，離心率轉(zhuǎn)化思想，運算求解二、選擇題（有錯誤答案，該題得0分，如果有兩個答案，該題分值為3分和6分；如果有三個答案，該題分值為2分、4分、6分）題號答案出處考查知識能力素養(yǎng)9BCD高一試卷邏輯，恒成立有解問題邏輯推理10ABC期末零模立體幾何空間想象，分類討論11ACD原創(chuàng)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)數(shù)形結(jié)合，分類討論三、填空題題號答案出處考查知識能力素養(yǎng)12復(fù)習(xí)題公切線，兩圓位置關(guān)系轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合13期末零模二面角空間想象，數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化14第一空2，第二空3原創(chuàng)新定義的理解，函數(shù)單調(diào)性數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化四、解答題15．（13分）證明：（1）記與交于點，連接，因為是下底面圓的直徑，且為圓的內(nèi)接正三角形，所以垂直平分，則，中，．因為，則，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面．（2）【法一】由（1）知，，則面，又，分別以為軸建立如圖所示空間直角坐標系：則，設(shè)平面的法向量為，則令，則．記直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．【法二】因為平面，由（1）是正三角形且邊長為，所以．在中，，在中，，，取中點則所以．設(shè)點到平面距離為設(shè)直線與平面所成角為，則．【法三】因為平面平面，所以．過作交于，連結(jié)，如圖因為，平面，則平面，在中，作，因為，平面，所以平面，在中，，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則．（注意：一、下列情況之一，本題得0分：圖中沒有輔助線；法一圖中沒有建立坐標系，有坐標軸，但對應(yīng)軸字母沒有表明．二、用綜合法，邏輯段主要條件缺少的，該邏輯段不得分，非主要條件缺少的，少一個扣0.5分，扣滿15分為止）【說明】本題改編于期末零模．考查平面幾何、解三角形應(yīng)用；考查線面位置關(guān)系判斷；考查空間想象能力、邏輯推理能力、運算能力、敘述表達能力．16．（15分）解：（1）的可能取值為．；；．所以的分布列為：01則的數(shù)學(xué)期望為．（2）設(shè)每輪比賽甲乙得分分別為，則，如果經(jīng)過兩輪，甲的累計得分高于乙的累計得分，則，代入，即，而的可能取值為．所以，或者．此時有二種情況：一是甲兩輪都得1分；二是兩輪中有一輪甲得1分而另一輪甲得0分．所以．如果經(jīng)過三輪，甲的累計得分高于乙的累計得分，同理有得，同理有四種情況：．所以．【說明】本題源于專題復(fù)習(xí)資源改編．考查獨立事件的概率，考查分布列和數(shù)學(xué)期望，考查分類討論思想；考查仔細、細致冷靜的心理應(yīng)試素養(yǎng)．17．（15分）

解：（1）令，因為，所以，則．所以在上單調(diào)遞減．，且和在上連續(xù)，由零點存在定理：，使．所以時，在單調(diào)遞增；時，在單調(diào)遞減，所以在上只有一個極值點，且為極大值點．因為時，，則時，無零點．又因為，且，因為在單調(diào)遞減，則存在唯一零點，使．所以在上只有一個零點，只有有一個極大值點．（2）令，由恒成立，得．因為圖象在定義域上連續(xù)不間斷，只需是的一個極大值點．因為，則，解得．下證：當時，恒成立．因為．（1）當時，在上單調(diào)遞增，所以．（2）當時，令，則在單調(diào)遞減，則．又因為所以當時，綜上，當時，恒成立．【說明】本題改編．考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值、零點；考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；考查恒成立題型解決方法；考查運算能力、敘述表達能力、分析思維能力、轉(zhuǎn)化能力；考查思維的方法途徑策略；考查應(yīng)試方法．18．（17分）（1）因為在上，則①．因為的方程分別為．到的距離之積為，則，化簡得：②，由①②解得，所以雙曲線的方程為③．（2）因為，設(shè)則，所以④，因為，且在雙曲線上，則，代入上式得：，把④代入上式得：⑤．設(shè)直線，代入①得：，則：⑥，⑦，由⑤得：，即：，把⑥⑦代入上式得：，因為，所以，則．則，所以點坐標為．不妨設(shè)，顯然，因，同理，令，則，同理：，要證明，只需證明：，即證明：，將和⑥⑦代入上式顯然成立，所以．19．解：（1）因為，而，所以，數(shù)列是二階等差數(shù)列．（2）因為數(shù)列為階等差數(shù)列，則，則，則，，．歸納得一般結(jié)論：①．（3）設(shè)數(shù)列：，因為，所以數(shù)列為階等差數(shù)列，由（2）中①得：，因為所以．（4）由（1）知數(shù)列為二階等差數(shù)列，且，則由（3）得：②．（注意：如果沒有證明上面結(jié)論，此處扣2分．證明方法不限）設(shè)共堆積了層，第層共有個球，第1層有1個球，因為每層的“邊”比上一層多1個球，所以第層的“邊