2023屆高三物理一輪復(fù)習(xí)12三力平衡中的動態(tài)平衡問題及最小值問題（解析版）

專題12三力平衡中的動態(tài)平衡問題及最小值問題

1、三個力的動態(tài)平衡問題:一個力恒定，另外兩個力的大小或（和）方向不斷變化，但物體仍然平衡，關(guān)鍵

詞一一緩慢轉(zhuǎn)動、緩慢移動……

2、三個力的動態(tài)平衡問題的解法

1）解析法一一畫好受力分析后，對力進行分解列平衡方程，然后由角度變化分析力的變化規(guī)律.

2）圖解法一一畫好受力分析圖后，將三個力按順序首尾相接構(gòu)成力的封閉三角形，由于三角形的邊的長

短反映力的大小，從動態(tài)三角形邊的長度變化規(guī)律看出力的變化規(guī)律.

3、圖解法分析的一般順序：封閉的矢量三角形一等腰三角形一相似三角形圓與矢量三角形相結(jié)合或正弦

定理一圓與矢量三角形相結(jié)合

考點一解析法分析三個力的動態(tài)平衡問題

解析法：對研究對象進行受力分析，列平衡方程，根據(jù)角度變化分析力的變化規(guī)律.

1.（2022?江蘇南通?高二期末）如圖所示，半球形碗靜止于水平地面上，一只可視為質(zhì)點的螞蟻在碗內(nèi)緩

慢從b點爬到。點的過程中（）

A.螞蟻受到的彈力逐漸變大

B.螞蟻受到的摩擦力逐漸變大

C.螞蟻受到的合力逐漸變大

D.地面對碗的摩擦力逐漸變大

【答案】B

【詳解】

AB.設(shè)螞蟻所在位置的切線與水平方向夾角為氏對螞蟻分析得

支持力和靜摩擦力分別為FN=mgcosθ,f=TngSin。故A錯誤，B正確；

C.螞蟻緩慢上爬的過程中。變大，可知螞蟻受到的支持力減小，靜摩擦力增大。

又因為螞蚊緩慢移動，視為平衡狀態(tài)，故所受合力為零保持不變，故C錯誤；

D.系統(tǒng)保持平衡狀態(tài)，則地面對碗的摩擦力為零保持不變，故D錯誤。

2.（多選）如圖所示，在粗糙水平地面上放著一個截面為四分之一圓弧的柱狀物體A,4的左端緊靠豎直墻，4與豎

直墻之間放一光滑圓球B,已知A的圓半徑為球B的半徑的3倍,球B所受的重力為G,整個裝置處于靜止?fàn)顟B(tài).設(shè)

墻壁對8的支持力為F”A對B的支持力為若把A向右移動少許后，它們?nèi)蕴幱陟o止?fàn)顟B(tài)，則尸卜出的變

化情況分別是（）

A.尸I減小B.B增大

C.尸2增大D.巳減小

【答案】AD

【詳解】

解析以球8為研究對象，受力分析如圖所示,

可得出Fl=Gtan，，入=嬴花，當(dāng)A向右移動少許后，。減小，則FI減小，B減小，故A、D正確.

考點二矢量三角形法分析三個力的動態(tài)平衡問題

矢量三角形法常用于三個力中只有一個力的方向發(fā)生變化的情況.

3.質(zhì)量為m的物體用輕繩AB懸掛于天花板上。用水平向左的力F緩慢拉動繩的中點0,如圖所示。用T表

示繩OA段拉力的大小，在0點向左移動的過程中（）

B

A.F逐漸變大，T逐漸變大B.F逐漸變大，T逐漸變小

CF逐漸變小，T逐漸變大D.F逐漸變小，T逐漸變小

【答案】A

【解析】,對結(jié)點O受力分析，

G

F

重力的大小和方向均不變，水平拉力F的方向不變，繩拉力在轉(zhuǎn)動，滿足三力平衡的動態(tài)平衡，如圖所示：

可得，水平拉力F逐漸增大，繩的拉力逐漸增大，故選A。

4.如圖，一小球放置在木板與豎直墻面之間N”球?qū)δ景宓膲毫Υ笮镹2。以木板與墻連接點所形成的水

平直線為軸，將木板從圖示位置開始緩慢地轉(zhuǎn)到水平位置。不計摩擦，在此過程中（）

A.M始終減小，即始終增大B.N∣始終減小，M始終減小

C.M先增大后減小，M始終減小D.N∣先增大后減小，Nz先減小后增大

【答案】B

【解析】

以小球為研究對象，分析受力情況：重力G、墻面的支持力NJ和木板的支持力NJ。

Nl

θ

?4

根據(jù)牛頓第三定律得知，Nl=NJ,N2=N√o根據(jù)平衡條件得：N；=GcotO,N,，=旦,將木板從圖示

^sinθ

位置開始緩慢地轉(zhuǎn)到水平位置的過程中，O增大，cotOV減小，SinO增大，則NJ和NJ都始終減小，

故Nl和N?都始終減小，故選B。

5.（多選）如圖所示為內(nèi)壁光滑的半圓形凹槽。為圓心，/498=60。，0/水平，小物塊在與水平方向

成45。角的斜向上的推力廠作用下靜止于B處。在將推力F沿逆時針方向緩慢轉(zhuǎn)到水平方向的過程中小物

塊始終靜止，貝∣J（）

A.凹槽/對小物塊的支持力逐漸減小

B.凹槽M對小物塊的支持力逐漸增大

C.推力產(chǎn)先減小后增大

D.推力廠逐漸增大

【答案】BC

【解析】以小物塊為研究對象，分析受力情況，如圖所示。

物塊受到重力G、支持力FN和

推力尸三個力作用，根據(jù)平衡條件可知，尸N和尸的合力與G大小相等，方向相反。將推力

F逆時針緩慢轉(zhuǎn)到水平方向的過程中（下由位置1到位置3）,根據(jù)圖示的平行四邊形或三角形可知，凹槽M

對小物塊的支持力/N逐漸增大，推力產(chǎn)先減小后增大，當(dāng)尸與EN垂直時，尸最小。故A、D兩項錯誤，B、

C兩項正確。

考點三等腰三角形法分析三個力的動態(tài)平衡問題

等腰三角形（解析法也很簡單）常用于一個力大小、方向均確定，另兩個力大小相等、但大小和方向

均不確定

6.（2022?蘇州模擬）如圖，用兩根等長輕繩將木板懸掛在豎直木樁上等高的兩點，制成一簡易

秋千。某次維修時將兩輕繩剪去一小段，但仍保持等長且懸掛點不變。木板靜止時，F(xiàn)l表示木

板所受合力的大小，F(xiàn)?表示單根輕繩對木反拉力的大小，則維修后（）

A.件不變，F(xiàn)?變大B.E不變，艮變小

C.件變大，F(xiàn)z變大D.R變小，R變小

【答案】A

【解析】解法一.前后兩次木板始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，因此前后兩次木板所受合力Fl都等于零，

保持不變，C、D錯誤；繩子剪去一段后長度變短，懸掛木板時繩子與豎直方向夾角θ變大,

將力沿水平方向和豎直方向正交分解，在豎直方向上，2F2C0s9=mg,而物體的重力不變，因

此單根繩的拉力Fz變大，A正確，B錯誤。

解法二.將三個力按順序首尾相接，構(gòu)成一個封閉的三角形如圖。

輕繩剪去一小段后這個力的三角形的頂角變大，從圖中可以得到則繩中張力F逐漸減小，由

于座椅仍靜止所受合力Fl始終為零。選Ao

7.如圖所示器材為一秋千，用兩根等長輕繩將一座椅懸掛在豎直支架上等高的兩點.由于長期

使用，導(dǎo)致兩根支架向內(nèi)發(fā)生了稍小傾斜，如圖中虛線所示，但兩懸掛點仍等高.座椅靜止

時用F表示所受合力的大小，F(xiàn)l表示單根輕繩對座椅拉力的大小，與傾斜前相比（）

A.F不變，F(xiàn)I變小B.F不變，F(xiàn)I變大

C.F變小，F(xiàn)I變小D.F變大，F(xiàn)I變大

【答案】A

【解析】座椅受力如圖所示，

將三個力按順序首尾相接，構(gòu)成一個封閉的矢量三角形如圖。兩根支架向內(nèi)發(fā)生了稍小傾斜,

則這個力的三角形的頂角變小，從圖中可以得到則繩中張力Fl逐漸減小，由于座椅仍靜止所

受合力F始終為零。選Ao

8.如圖所示。用鋼筋彎成的支架，水平虛線MN的上端是半圓形，用N的下端筆直豎立。一不

可伸長的輕繩通過動滑輪懸掛一重物G.現(xiàn)將輕繩的一端固定于支架上的A點，另一端從C點

處沿支架向最高點3處緩慢地靠近（C點與A點等高），則繩中拉力（）

A.先變大后不變B.先不變后變大

C.先不變后變小D.保持不變

【答案】C

【解析】解法一：滑輪受力如圖所示,

將三個力按順序首尾相接，構(gòu)成一個等腰三角形。由動態(tài)過程可知，這個矢量三角形的頂角

先保持不變，然后增大，則繩中張力先保持不變，后逐漸減小。選Co

解法二：分析當(dāng)輕繩的右端從C點移到直桿的最上端的過程中，根據(jù)幾何知識分析得到滑輪

兩側(cè)繩子的夾角不變，由平衡條件判斷出繩子的拉力保持不變。

當(dāng)輕繩的右端從直桿的最上端移到8時,，兩繩的夾角減小?；唭蓚?cè)繩子的拉力大小相等，方

向關(guān)于豎直方向?qū)ΨQ。以滑輪為研究對象，根據(jù)平衡條件研究繩的拉力變化情況。

解：當(dāng)輕繩的右端從C點移到直桿的最上端的過程中，設(shè)兩繩的夾角為加。

設(shè)繩子總長為L,兩直桿間的距離為S,則Sina=L.S不變，則α保持不變。

L

再根據(jù)平衡條件可知，兩繩的拉力廠保持不變。

當(dāng)輕繩的右端從直桿的最上端移到8時，設(shè)兩繩的夾角為20.以滑輪為研究對象，分析受力

情況，作出力圖如圖1所示。

B

mg

圖1圖2

根據(jù)平衡條件得：2Fcos（曰）=mg

則：F=-^-所以在當(dāng)輕繩的右端從直桿的最上端移到8時的過程中，。減小，8S。增大,

2cos8

則尸變小，C正確，ABD錯誤；

考點四利用幾何三角形和矢量三角形相似分析三個力的動態(tài)平衡問題

三個力的動態(tài)平衡問題中有兩個力的方向變化時優(yōu)先考慮利用幾何三角形和矢量三角形相似來處理。

9.如圖所示，光滑的半球形物體固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑輪，輕繩的一端系一小球，

靠放在半球上的1點，另一端繞過定滑輪，后用力拉住，使小球靜止.現(xiàn)緩慢地拉繩，在使小球沿球面由/1

到半球的頂點6的過程中，半球?qū)π∏虻闹С至、和繩對小球的拉力Fr的大小變化情況是（）。

A.F、變大，F(xiàn)r變小B.Fr變小，F(xiàn)r變大

C.Fr變小，F(xiàn)r先變小后變大D.Fv不變，F(xiàn)r變小

【答案】D

【解析】

小球受力如圖，

由平衡條件可知，將三個力按順序首尾相接，可成如圖所示閉合三角形。在三角形中這三個力與ΔAOO,的

三邊始終平行，即力的三角形與幾何三角形M00,相似。則為一&工其中mg、R、h均不變，L逐

R+hRL

漸減小，則由上式可知，F(xiàn)x不變，F(xiàn)T變小。

10.如圖所示，質(zhì)量分布均勻的細桿中心為。點，Q為光滑錢鏈，。為光滑定滑輪，α在Q正上方，一根輕

繩一端系于。點，另一端跨過定滑輪α由水平外力廠牽引，用K表示較鏈對桿的作用，現(xiàn)在外力產(chǎn)作用下，

細桿從圖示位置緩慢轉(zhuǎn)到豎直位置的過程中，下列說法正確的是（）

A.尸逐漸變小，人大小不變B.尸逐漸變小，K大小變大

C.尸先變小后變大，“逐漸變小D.尸先變小后變大，“逐漸變大

【答案】A

【解析】

畫出桿的受力圖如圖所示,

根據(jù)相似三角形可知區(qū)■='暨=二，因第和α區(qū)不變，則R不變；隨著弦的減小，尸減小，A項正確。

OolO1O2OO2

IL一輕桿4C,其4端用光滑錢鏈固定在豎直輕桿45上，C端掛一重物，且系一細繩，細繩跨過桿頂6處

的光滑小滑輪，用力尸拉住，如圖所示?，F(xiàn)將細繩緩慢往左拉，使桿/C與桿那間的夾角《逐漸減少，則

在此過程中，拉力a及桿/C所受壓力"的大小變化情況是（）

A.A先減小，后增大B.R始終不變

C.6先減小，后增大D.b始終不變

答案B

【解析】C點受力如圖,

由平衡條件可知，將三個力按順序首尾相接，可形成如右圖所示閉合三角形。很容易發(fā)現(xiàn),這三個力與ΔABC

的三邊始終平行，即力的三角形與幾何三角形ΔΛBC相似。則g=今=與其中，G、AC、AB均不變，

AD√1C〃C-

BC逐漸減小，則由上式可知，F(xiàn)N不變，F(xiàn)變小。B正確

考點五圓與動態(tài)矢量三角形結(jié)合或者利用正弦定理分析三個力的動態(tài)平衡問題

圓與動態(tài)矢量三角形結(jié)合或者利用正弦定理常用于以下兩種情況

1.一個力大小方向均確定，另外兩個力大小方向均變化但夾角保持不變

2.一個力大小方向均確定，一個力大小確定但方向不確定，另一個力大小方向均不確定

12.（多選）如圖所示裝置，兩根細繩拴住一球，保持兩細繩間的夾角。=120。不變，若把整個裝置在豎直平

面內(nèi)順時針緩慢轉(zhuǎn)過90°,則在轉(zhuǎn)動過程中,CA繩的拉力Fn大小和CB繩的拉力氏的大小變化情況是（）

A.FTl一直增大B.Fn先增大后減小

C.%一直減小D.FTZ最終變?yōu)榱?/p>

【答案】BCD

【解析】解法一（圓與動態(tài)矢量三角形結(jié)合）：畫受力分析圖，構(gòu)建初始力的三角形,

--*

FTI

由于這個三角形中重力不變，另兩個力的夾角（180°一。）保持不變，這類似于圓周角與對應(yīng)弦長的關(guān)系,

因此，作初始三角形的外接圓（任意兩邊的中垂線交點即外接圓圓心），然后讓另兩個力的交點在圓周上

按Fn、Fi?的方向變化規(guī)律滑動，即可看出結(jié)果。

解如右圖，力的三角形的外接圓正好是以初態(tài)時的小為直徑的圓周，易知Fn先變大到最大為圓周直徑，

然后變小，F(xiàn)rz一直變小。

解法二（正弦定理）：分析畫受力分析圖，構(gòu)建初始力的三角形，在這個三角形中，小球重力不變，F(xiàn)n、

%的夾角（180°—。）保持不變，設(shè)另外兩個夾角分別為。、B,寫出這個三角形的正弦定理方程，即可根

據(jù)a、B的變化規(guī)律得到%、%的變化規(guī)律。

解如圖，

ZWg_FTI_Fn

由正弦定理有sins-?）SinaSin夕

整個裝置順時針緩慢轉(zhuǎn)動90°過程的中θ角和mg保持不變，a角從30。增大，B角從90。減小，易知

Fn先變大后變小，F(xiàn)T2一直變小。

13.（2017?新課標(biāo)I卷）（多選）如圖，柔軟輕繩ON的一端0固定，其中間某點M拴一重物，用手拉住繩的另

TT

一端N。初始時，OM豎直且MN被拉直，OM與MN之間的夾角為a（a>—）?，F(xiàn)將重物向右上方緩慢拉起,

2

并保持夾角a不變。在OM由豎直被拉到水平的過程中（）

A.MN上的張力逐漸增大B.MN上的張力先增大后減小

C.OM上的張力逐漸增大D.OM上的張力先增大后減小

【答案】AD

【解析】以重物為研究對象，受重力mg,OM繩上拉力&,MN上拉力件,

mg'

由題意知，三個力合力始終為零，矢量三角形如圖所示，在F2轉(zhuǎn)至水平的過程中，MN上的張力人逐漸增大,

OM上的張力國先增大后減小,所以AD正確,BC錯誤。

14.（多選）在共點力的合成實驗中，如圖，用A,B兩只彈簧秤把橡皮條上的節(jié)點拉到某一位置0,這時兩

繩套AO,BO的夾角小于90°,現(xiàn)在保持彈簧秤A的示數(shù)不變而改變其拉力方向使α角變小，那么要使

結(jié)點仍在位置0,就應(yīng)該調(diào)整彈簧秤B的拉力的大小及B角，則下列調(diào)整方法中可行的是（）

A、增大B的拉力，增大B角B、增大B的拉力，B角不變

C、增大B的拉力，減小B角D、B的拉力大小不變，增大B角

【答案】ABC

【解析】畫受力分析圖，構(gòu)建初始力的三角形，然后“抓住不變，討論變化”，將E、繞橡皮條拉力F端

點轉(zhuǎn)動形成一個圓弧，F(xiàn)11的一個端點不動，另一個端點在圓弧上滑動，即可看出結(jié)果。

如圖，由于兩繩套AO.BO的夾角小于90°,在力的三角形中，F(xiàn),、FH的頂角為鈍角，當(dāng)順時針轉(zhuǎn)動時，

R、FH的頂角逐漸減小為直角然后為銳角。由圖可知，這個過程中FIt一直增大。故選ABCo

拉力B增大β角或小拉力Bfll大B角不變拉力B增大B角∑8大

考點六三力平衡中的最小值問題

如果三個力的動態(tài)平衡問題中，一個力的大小方向都不變，另一個力的方向不變，而第三個力的方向

變化到某一狀態(tài)，與另一個方向變化的力互相垂直時則這個力有最小值。

15.如圖所示,重力為G的小球用輕繩懸于。點，用力廠拉住小球,使輕繩保持偏離豎直方向60。角且不變,

當(dāng)尸與豎直方向的夾角為〃時尸最小，則。、廠的值分別為（）

A.0°,GB.30°,

D.90°,∣6,

C.60o,G

【答案】B

【解析】分解小球重力，沿繩力的分力反方向確定，另一分力戶方向不確定，但由三角形定則可看出，

另一分力〃大小與〃角的大小有關(guān)。當(dāng)戶的方向與繩的垂直時U最小，力廠最小，所以。=30°,Λ,∏

=6cos30°=坐G,故B正確。答案B

16.如圖所示，三根長度均為/的輕繩分別連接于G〃兩點，力、6兩端被懸掛在水平天花板上，相距為2/。

現(xiàn)在。點上懸掛一個質(zhì)量為力的重物，為使切繩保持水平，在〃點上可施加的力的最小值為（)

D.Tmg

【答案】C

【解析】

對C點進行受力分析,

由平衡條件可知，繩必對C點的拉力質(zhì)"=Zfigtan30°,對〃點進行受力分析，繩力對〃點的拉力用=

∕?=儂tan30°,故月是恒力，萬方向一定，則A與A的合力與用等值反向，如圖所示，由圖知當(dāng)A垂

直于繩應(yīng)1時?，A最小，山幾何關(guān)系可知，E=Fasin60o=Jsg,選項C正確。

考點六晾衣繩模型

(1)掛鉤懸掛的衣服靜止不動或緩慢移動時受力平衡，不計摩擦?xí)r掛鉤兩端繩的拉力大小相等，。點處兩

繩拉力的合力豎直向上，左右兩段繩與豎直方向的夾角也相等。

(2)繩總長度不變時，sin。=*繩中張力與衣服重力的關(guān)系為：2∕bosα=磔■這兩個關(guān)系是分析晾衣繩

問題的關(guān)鍵。

17.(多選)如圖所示，晾曬衣服的繩子輕且光滑，懸掛衣服的衣架的掛鉤也是光滑的，輕繩兩端分別固定在

兩根豎直桿上的/、6兩點，衣服處于靜止?fàn)顟B(tài)。如果保持繩子｛端位置不變，將8端分別移動到不同的位

置，下列判斷正確的是()

A.4端移到區(qū)位置時，繩子張力不變

B.6端移到民位置時，繩子張力變小

C.8端在桿上的位置不