2023-2024學年河北省唐山市十縣高二年級上冊期中考試數(shù)學模擬試題（含答案）

2023-2024學年河北省唐山市十縣高二上冊期中考試數(shù)學

模擬試題

一、單選題

1.直線x-2y+3=O的斜率和在X軸上的截距分別為()

A.。，3B.?-?—3C.—>3D.—,—3

2222

【正確答案】B

γ3

【分析】由x-2y+3=O可得y=5+；,據(jù)此可得答案.

X31

【詳解】x-2y+3=0<^y=→∣,則直線斜率為

γ3

又令y=0,則二+三=OnX=-3,故直線在X軸上的截距分別為-3.

22

故選：B

2.已知點8、C分別為點A(3,4,5)在坐標平面。D和OyZ內(nèi)的射影，則忸C∣=()

A.√34B.5C.√4?D.5√2

【正確答案】A

【分析】求出點8、C的坐標，利用空間中兩點間的距離公式可求得忸q的值.

【詳解】因為點8、C分別為點A(3,4,5)在坐標平面。町和。)，Z內(nèi)的射影，則8(3,4,0)、

C(0,4,5),

222

因此，忸Cl=λ∕(3-0)+(4-4)+(0-5)=√34.

故選：A.

3.直線4：x-y+?=6,直線4：x-y-3=0,則4與4之間的距離為()

A.√2B.2C.2√2D.4

【正確答案】C

Ig-Gl

【分析】根據(jù)平行線的距離公式〃=求解即可.

VA2+B2

【詳解】-≡12√2,

故選：c.

4.已知空間三點0(0,O,O),A(l,√3,2),β(√3,-1,2),則以。A,OB為鄰邊的平行

四邊形的面積為()

A.8B.4C.8√3D.4√3

【正確答案】D

【分析】先求出OA,。8的長度和夾角，再用面積公式求出.CAB的面積進而求得四邊形的

面積.

【詳解】因為。(O,O,O),A(l,√3,2),Bg-I,2),

222222

所以O(shè)A=1^(l-0)+(√3-0)+(2-0)=2√2,OB=^(√3-θ)+(-I-O)+(2-0)=2√2,

OA=(1,√3,2),OB=(√3,-1,2),

1×Λ∕3+>∕3×(-l)+2×2

cosOA,OB=?

2√2×2√22

所以SinoAoB=也，

2

以Q4,OB為鄰邊的平行四邊形的面積為25.βc=2×l×2√2×2√2×-^=4√3.

22

故選：D.

5.已知圓M的半徑為「且圓心在》軸上，圓M與圓N"2+y2-2x-2y=O相交于AB兩點,

若直線A5的方程為V=X,貝IJ()

∣∣

A.AB=2√2,r=√2B.∣AB∣=4,r=√2

C.∣AB∣=2√2,r=2D.∣AB∣=4,,-=2

【正確答案】C

【分析】分析可知圓心N在直線AB上，可求得∣AB∣,求出圓心用的坐標，可求得圓心M到

直線A8的距離，利用勾股定理可求得，?的值.

【詳解】圓N的標準方程為(x—l)'+(y-lf=2,圓心為N(l,l),半徑為0,

易知點N在直線AB上，所以，∣AB∣=2√2,

因為圓心N在直線AB上，則圓心N為線段A3的中點,

易知過圓心N且與直線AB垂直的直線的方程為x+y-2=0,該直線交X軸于點M(2,0),

2

點M到直線AB的距離為d=2=&,.?.r=[增,+d=2.

故選：C.

6.己知直線4與直線4：2x-y+a=0關(guān)于X軸對稱，且直線4過點（2,1）,則α=（）

A.-5B.5C.-4D.4

【正確答案】A

【分析】分析可知，直線4經(jīng)過點（2,1）關(guān)于X軸的對稱點，由此可求得實數(shù)。的值.

【詳解】點（2,1）關(guān)于X軸的對稱點的坐標為（2,-1）,

由題意可知，直線4過點（2,-1）,則2x2+l+a=0,解得α=-5.

故選：A.

7.在棱長為3的正四面體ABCD中，AM=2MB>CN=2ND,則WNI=（）

A.2B.√5C.√6D.20

【正確答案】B

【分析】將MN用AB、AC、AC表示，利用空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得WM.

2

【詳解】因為AΛ∕=2M3,所以，AM=IA8,

又因為CN=2ND，則AN-AC=2（A。-AN）,所以，AN=^AC+^AD,

122

所以，MN=AN-AM=-AC+-AD——AB

333f

由空間向量的數(shù)量積可得ABAC=A8?A。=AC?A。=3%os60=-,

2

因止匕，IMM=扣C+2AO-2叫=X（AC+2AQ-ZAB）。

^-y∣AC2+4AD2+4AB^-4ABAC-SABAD+4ACAD=y∕5.

3

故選：B.

8.己知P是圓C:（x-5）2+y2=4上一動點，A（TO）,M為線段AP的中點，O為坐標原點,

則（）

A.|肱41+|Mor為定值B.為定值

C.MCI2為定值D.|M4『+Wo「+|MCf為定值

【正確答案】B

【分析】設(shè)點。（線,九），可得x：+y；=l（）x0-21,求出點M的坐標，利用平面兩點間的距

離公式化簡可得出合適的選項.

【詳解】設(shè)點〃（x。,幾），則（Xo-5>+巾=4,可得片+yj=10x0-21,則點寫■,矍）

圓C的圓心為C（5,0）,半徑為2.

對于A選項，IMAMMa2=("+]J+%亨+?=2(/+%,+2—+1

=Nls?二1)+2~?+1=22?ai不是定值,A錯；

44

,?o_?o+?o-1OΛ+61

對于B選項，IMAl2+1MCf=H-----=------O-------------------

42

=y國B對

對于C選項，

IMOi2∣∣2xo+yo+_5)+手=2(/+%)；22%+121

+λic=2(10Λ?O-21)-22XO+121

4

=T不是定值,°錯;

對于D選項，

?MAf+?Mθf+?MCf=■+1J+[+智^+(符?_5J+0=4茴+乂)：°為+122

=3(10上21)-20史122=10?+59不是定值，D錯.

44

故選：B.

二、多選題

UUU

9.已知平行六面體ABCo-A4G。，則下列各式運算結(jié)果是AG的為（）

A.AB+AD+AA↑B.A41+Λ1B∣+A^i

C?Λβ+BC+CGD.AB+AC+CCl

【正確答案】ABC

【分析】利用空間向量的加法化簡可得出合適的選項.

【詳解】如下圖所示：

對于A選項，AB+AD+AA,=AB+BC+CCl=ACl,A對；

對于B選項，AΛ,+A4+AA=CC∣+AB+3C=AG,B對;

對于C選項，AB+BC+CCt=ACt,C對；

對于D選項，AB+AC+Cq≠AB+BC+CCl=ACl,D錯.

故選：ABC.

10.直線/:%+島+1=0,則()

A.點卜2,⑹在/上B./的傾斜角為期

C./的圖象不過第一象限D(zhuǎn)./的方向向量為(61)

【正確答案】BC

【分析】利用點與直線的位置關(guān)系可判斷A選項；求出直線/的斜率，可得出直線/的傾斜

角，可判斷B選項；作出直線/的圖象可判斷C選項；求出直線/的方向向量，可判斷D選

項.

【詳解】對于A選項，-2+(gY+lw0,所以，點卜2,6)不在/上，A錯；

對于B選項，直線/的斜率為&=-且，故/的傾斜角為學，B對；

對于C選項，直線/交X軸于點(-1,0),交y軸于點0,一坐］,如下圖所示：

y

x+>∕3y+1=0

由圖可知，直線/不過第一象限，C對；

對于D選項，直線/的一個方向向量為(省,-1),而向量(省,-1)與這里(1,6)不共線，D錯.

故選：BC.

II.在棱長為2的正方體ABCQ-A/B/CQ/中，點M,N,P,Q分別為棱4Q/,BlB,AB,

0/0的中點，貝IJ()

A.MN=PQB.直線MN與直線BQ相交

C.點。到直線MN的距離為亞D.點。到平面MNP的距離為等

【正確答案】AC

【分析】A選項：用勾股定理可求出長度；B選項：作BQ的平行線與MN相交，則可判斷

是否為異面直線：C選項：求出三邊長度，即可求出結(jié)果；D選項：過點M做Λtf"∕0P,

利用線面平行將點M到平面DPN的距離轉(zhuǎn)化為點H到平面DPN的距離，等體積轉(zhuǎn)化得到

Vn-MPN=Vi，求體積和面積計算距離.

【詳解】A選項：MN=Jl2+2。+F=R=PQ,故A正確；

B選項：連接AN,則AN與MN相交，BQ//DtN,則MN與BQ為異面直線，故B錯誤；

C選項：連接MQ,QN,則MQ=0,QN=2五,MN=娓,由勾股定理可知：MQVMN,

所以Q到直線MN的距離即為MQ,故C正確；

D選項：過點M做MH∕∕DP,OPU平面。PN,MHCZ平面DPN,則〃平面OPN,所

以點M到平面DPN的距離等于點H到平面DPN的距離，點H到直線PN的距離為

√Σχ3+也=述，SwW=IX0x述=*，又點。到平面"PN的距離為2,

424hpn244

所以小W=匕?=%.=Qg="

又VD-MPN~VM-DPN，MP=屈,PN=>∣2,MN=底，所以SnM=gx6x殍=浮，設(shè)

點M到平面OPN的距離為〃，則有Jχ∕zχ姮=2,所以〃=%叵

故D錯誤.

32611

故選：AC

12.已知4(1,0)、3(4,0),P為圓C:d+y2=4上一動點，則()

A.Sw的最大值為3B.∣PA∣+∣PB∣的最大值為9

C.A到直線PB距離的最大值為TD.∣PB∣=2∣Λ4∣

【正確答案】ABD

【分析】求出點P到直線AB的最大距離，結(jié)合三角形的面積公式可判斷A選項；求出NPbA

的最大值，可得出A到直線PB距離的最大值，可判斷C選項；利用平面兩點間的距離公式

結(jié)合圓的方程可判斷D選項；利用圓的幾何性質(zhì)可判斷B選項.

【詳解】對于A選項，圓C上的一點P到直線AB的最大距離為圓C的半徑2,故SftuJ的最

大值為gx∣AB∣χ2=3,A對；

點A到直線PB的距離為IMSin/P84,

圓C的圓心為原點0,當直線也與圓C相切時，此時NPAl最大，則點A到直線尸B的距離

取最大值，

連接。P,則OP_LP8,貝”。P∣=2=g∣0B∣,故ZPBA=30。，

3

因此，點A到直線PB的距離為3sin30=-,C錯；

對于D選項，設(shè)點尸(方,兒)，則其+y=4,

所以，IPBl=J(Xo-4)2+y：=Jx：+y：-8x°+16=√2O-8xo=2√5-2x0

2

=2y∣x^+y^-2xo+?=2√(x0-l)+^=2?PA?,D對；

對于B選項,|/訓+歸用=5戶8區(qū)5(歸0|+|0a)=5、6=9,

當且僅當點P為直線BO與圓C的交點，且點。在線段3尸上時，等號成立，

所以，∣PA∣+IPBl的最大值為9,B對.

故選:ABD.

三、填空題

13.已知向量α=(l,-2,l),b-(2,k,?),(a+。)Ma-%),則A=.

【正確答案】±1

【分析】分析可得(a+b)?(a-b)=J-片=o,利用空間向量數(shù)量積的坐標運算可求得實數(shù)4

的值.

【詳解】因為(4+。)邛，-6),則(a+5)?("b)=J-z∕=6-(∕+5)=0,解得/=±1.

故答案為.±1

14.設(shè)直線∕∣：ar-2y+l=0,直線《：x+(a-3)y+a=。，若∕∣//I2,則實數(shù)a=.

【正確答案】2

【分析】由兩直線AX+4y+G=0與4χ+B2y+C2=0平行，可得4與-&四=0,由此列式求

出a的值，然后再檢驗即可.

【詳解】若4〃4，貝∣Ja(a-3)-(-2)xl=0,解得a=2或a=l,

當a=2時，直線《：2x-2y+l=0,直線4：x-y+2=0,符合題意；

當a=l時，直線4：x-2y+l=0,直線小x-2y+l=0,兩直線重合，不符合題意.

故2.

15.已知圓錐Po(P為圓錐頂點，0為底面圓心)的軸截面是邊長為2的等邊三角形，A,B,

C為底面圓周上三點，空間一動點。，滿足PQ=XP4+yPB+(l-x-y)PC,則∣R2∣的最小

值為?

【正確答案】6

【分析】化簡向量關(guān)系式證明0,AB，C四點共面，結(jié)合軸截面特征可求,Ql的最小值.

【詳解】因為P。=XB4+yPB+(l-x—y)尸C,

所以PQ-PC=xPA-xPC+yPB-yPC,

CQ=xCA+yCB,

所以CQ,CA,CB共面，

又A,B,C為底面圓周上三點，

所以點。為平面ABC上一點，

由已知Po/平面ABC,

所以IPQ卜卜。|,

又圓錐P。的軸截面是邊長為2的等邊三角形，所以IPq=百，

所以wα的最小值為6,

故G

16.設(shè)直線/：(a+l)x—ay—l=0(αeR)與圓C：/+/=4交于A,B兩點，則IABl的取值

范圍是?

【正確答案】[2√2,4]

【分析】由直線系方程求得直線所過定點，求出圓心到定點的距離，再確定弦長最短和最長

時的位置，求得弦長，即可得到IABl的取值范圍.

【詳解】直線/：(a+l)x-緲-l=0(aeR)即為a(x-y)+x-1=0,

[x-y=O[x—\

由；八，解得…可得直線/過定點Pa』)，

[x-ι=o[y='

圓C：χ2+y2=4的圓心坐標為c(0,0),半徑r=2,

由于＜4,故P(Ll)在圓C：W+y2=4內(nèi)，

22

∣CP∣=√1+1=√2，則當直線UCP時，∣A卸最小，IA3∣mjn=2"^=20,

IABl的最大值即為圓的直徑，

.?.∣AB∣的取值范圍是[2√2,4]

故[2立,4].

四、解答題

17.已知一ABC三個頂點的坐標分別為A(2,4)、8(—1,1)、C(9,-3),求:

(I)BC邊上的中線所在直線的方程；

(2)8C邊上的高所在直線的方程；

(3)/BAC的平分線所在直線的方程.

【正確答案】⑴5x+2y-18=0

(2)5x-2y-2=0

⑶x=2

【分析】(1)求出線段BC的中點坐標，利用兩點式可得出Be邊上的中線所在直線的方程;

(2)求出直線BC的斜率，可得出BC邊上的高所在直線的斜率，利用點斜式可得出所求直

線的方程；

(3)分析可得3B+&AC=°，數(shù)形結(jié)合可得出NBAC的平分線所在直線的方程.

【詳解】(1)解：BC的中點為(4,-1),所以BC邊上的中線所在直線的方程為二三==|,

-1-44-2

整理可得5x+2y-18=0.

(2)解：%°M=-W，則BC邊上的高所在直線的斜率為∣?,

-1-952

所以BC邊上的高所在直線的方程為y-4=?∣(x-2),整理可得5x-2y-2=0.

4-14+3

(3)解：?λβ=-~7=1??AC=τ一^二一1，所以L+%AC=。，

所以，NB4C的平分線所在直線的方程為x=2.

18.已知長方體ABC。-ABCl。中，AB=2,BC=A,AA∣=3,點M,N分別在棱8,AfDt

上，且AN=1,DM=a.

(1)若MNLBlN,求a；

Q)若MN平面48。，求a.

3

【正確答案】(I)。=]

(2)a=g

【分析】以A為原點，以AB,AD>AA為X,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系，

(1)得出MN與4%的坐標，由已知得出MN?B∣N=O,即可列式解出答案；

UUU

(2)得出MN與AB的坐標，求出平面AB。的法向量，即可根據(jù)已知MN?平面A8。，

列式求解得出答案.

【詳解】(1)以A為原點，以AS，AD>AA為X，Az軸的正方向建立如圖所示的空間直

角坐標系，則D(0,4,0),B1(2,0,3),M(a,4,0),N(0,1,3),

所以MN=(-a,-3,3),B1W=(-2,1,0),

MN±B,N,

-3

.-.MNB1N=O,即24-3=0,解得a=］；

(2)由(1)得ΛW=(-a,-3,3),

A(0,0,3),8(2,0,0),AB=(2,0,-3),

設(shè)平面A8。的法向量為“

BDn=O

則＜取n=(6,3,4)

AiBn=O

由MN「平面A∣Bf>,得n?MN=0,解得a=g.

19.在正三棱柱ABC-A耳G中，AB=2,AA∕=2√L點M為BB/的中點.

(1)求48與平面M4C所成角的正弦值;

⑵證明：平面M4/GJL平面MAC.

【正確答案】(1)亞

4

(2)證明見解析

【分析】建立空間直角坐標系,利用線面角公式即可算出答案；

利用兩個平面的法向量的數(shù)量積為零，即可證明.

【詳解】（1）解：取AC的中點0,則OBLAC,以。為原點.以04，OB為x，y軸的正

方向建立如圖所示的空間直角坐標系.

即。(0,0,0),A(l,0,0),C(-l,0,0),8(0,√3,0),M(0,即,白)

所以AB=11,6,0),AC=(-2,0,0),AM=(-l,√3,√3)

設(shè)平面M4C的法向量為“，

AC?n=0/、

則｛取〃=(0,1,-1)

AM?n=0

所以

COS(A3,〃^^^2×√2^^4

故A8與平面MAe所成角的正弦值為亞

4

(2)解：由(1)得4(1,O,2√3),C∕(-1,0,2?),

則AG=(-2,0,0)AM

AC1?∕π=O/、

設(shè)平面MA1G的法向量為加，則取機=OJ,1)

AIMm=O

所以〃z?〃=O,即加_L〃，

故平面MA/。J_平面MAC.

20.已知圓O：/+,S=］與圓c：f+y2-6χ-8y+,%=0相外切.

(1)求m的值;

(2)若直線/與圓。和圓C都相切，求滿足條件的所有/的方程.

【正確答案】(l)m=9

⑵x+l=O或7尤-24_丫-25=0或3乂+4尸5=0

【分析】(1)把兩圓相外切轉(zhuǎn)化為圓心間距離等于半徑和,計算求解即可.

(2)先設(shè)直線再滿足直線和圓相切即圓心到直線距離等于半徑,計算得解.

【詳解】(1)圓。的圓心為0(0,0),半徑r=l

由圓C：X2+y2-6x-Sy+m=0?(x-3)^+(y-4)^=25-m,m<25.

所以圓C的圓心C(3,4),半徑R=后二^

因為兩圓相外切，所以IoC=R+1,IOq=療彳=5,即后二百=4,解得機=9

(2)由(1)得圓C(X-3)2+(J-4)2=16

①當直線/的斜率不存在時，設(shè)/的方程為X=I

[W=I

依題意〃解得/=-1,即/的方程為X=-I

小一3|=4

②當直線/的斜率存在時，設(shè)/的方程為)'=履+),

???

|±t,_，所以佻+f=相

依題意3

y∣?+k2~4

當弘+匕一4=46時，3b=3k-4,代入上式可得(3k-4p=9(1+左之)，

解得7&BP?=-∣2∣5

725

所以此時/的方程為丫

當3k+b-4="時56=4-3%,代入上式可得(4一3左丫=250+〃),

解得&=3即8=5:

44

35

所以此時/的方程為>=-不+；

44

故滿足題設(shè)的/的方程為x+l=O或7》一24丫-25=0或3》+4丫-5=0.

21.如圖，四邊形ABa）為正方形，以8。為折痕把ABCD折起，使點C到達點P的位置,

且二面角A—8?！狿為直二面角，E為棱BP上一點.

（1）求直線AZ）與BP所成角；

⑵喑為何值時，平面儂與平面叫夾角的余弦值為爭

【正確答案】（1）60

⑵些」

EB2

【分析】（1）連接AC、BD,設(shè)ACBD=O,推導出PO工底面ABD,然后以。為原點，

以O(shè)A、OB、OP為X、1'、Z軸的正方向建立如圖空間直角坐標系，設(shè)OA=1,利用空間

向量法可求得直線AD與BP所成角；

（2）設(shè)PE=ZPB，其中0W4W1,利用空間向量法可得出關(guān)于/1的等式，解之即可得出結(jié)

論.

【詳解】（1）解：連接AC、BD,設(shè)ACBD=O,則0為3。的中點，

由已知AB=AD,PB=PD,則OPI.30,AOlBD,

所以NAOP為二面角4一比＞一尸的平面角，所以NAoP=90,因此AO_LOP,

因為AOBD=O,AO,BDU平面ABQ,故POI底面ABQ.

以。為原點，以。4、OB、OP為X、V、Z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系.不

妨設(shè)。A=I.

則A。,。,。)、8(0,1,0)、O(O,-1,0)、P(0,0,1),

AD=(-1,-1,O),BP=(O,-1,∣),

,nCCAD-BPI1

所以cos<AQ,BP>=[A4]8/,「&χ應(yīng)=2,故直線AO與BP所成角為60.

UUU

(2)解：設(shè)平面R4B的法向量為機=(Xl,χ,z∣),AB=(-1,1,O),AP=(T,0,1),

m`AB=-x,+y,=0

則，取士=1,可得a=(z1,1,1,

m?AP=-xl+z1=0

設(shè)PE=/IPB=2(0,1,—1)=(0,4-為，其中0W/W1,

AE=4P+PE=(T,0,1)+(0,4T)=(T4T),ΛD=(-1,-1,O),

設(shè)平面Ar)E的法向量為"=(j?,%,Z2),

n?AD=-X9-V7=0/、

則,、，取X=I-X,可得"=(1-/1,/1-1,4+1),