2023年中考數(shù)學(xué)考前第11講：思想方法性問(wèn)題（附答案解析）

2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺第U講：思想方法性問(wèn)題

【難點(diǎn)突破】著眼思路，方法點(diǎn)撥，疑難突破；

數(shù)學(xué)思想方法是指對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法形成的規(guī)律性的理性認(rèn)識(shí)，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本

策略.數(shù)學(xué)思想方法是把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，靈活運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想方法是提高解題能

力的根本所在.因此，在復(fù)習(xí)時(shí)要注意總結(jié)體會(huì)教材例題、習(xí)題以及中考試題中所體現(xiàn)的數(shù)

學(xué)思想和方法，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的意識(shí)和能力.

類(lèi)型一分類(lèi)討論思想

分類(lèi)討論思想是指當(dāng)被研究的問(wèn)題存在一些不確定的因素，無(wú)法用統(tǒng)一的方法或結(jié)論給

出統(tǒng)一的表述時(shí)，按可能出現(xiàn)的所有情況來(lái)分別討論，得出各情況下相應(yīng)的結(jié)論.分類(lèi)的原

則：⑴分類(lèi)中的每一部分是相互獨(dú)立的；（2）一次分類(lèi)必須是同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)；⑶分類(lèi)討論要逐

級(jí)進(jìn)行：⑷分類(lèi)必須包含所有情況，既不能重復(fù)，也不能有遺漏.

類(lèi)型二數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是把抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái)分析問(wèn)題，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和直觀(guān)

的圖形語(yǔ)言結(jié)合起來(lái)表示問(wèn)題，從而解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題，關(guān)

鍵是要找到數(shù)與形的契合點(diǎn).數(shù)形結(jié)合在不等式（組）、函數(shù)等知識(shí)中有著廣泛的應(yīng)用，綜合

題中始終滲透著對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的考查.

類(lèi)型三轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想是一種最基本的數(shù)學(xué)思想，用于解決問(wèn)題時(shí)的基本思想是化未知為已知,

把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，把生疏的問(wèn)題熟悉化，把非常規(guī)的問(wèn)題化為常規(guī)問(wèn)題，把實(shí)際問(wèn)題數(shù)

學(xué)化，實(shí)現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題間的相互轉(zhuǎn)化，這也體現(xiàn)了把不易解決的問(wèn)題化為有章可循、容

易解決問(wèn)題的思想.

類(lèi)型四數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)學(xué)建模思想就是構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的思想，即用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言一一公式、符號(hào)、圖表等刻畫(huà)

一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，然后經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)的處理一一計(jì)算解決問(wèn)題.利用模型思想解決問(wèn)題的關(guān)鍵：（1）

抓住關(guān)鍵的字、詞、句，把生活中的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，結(jié)合生活中的經(jīng)驗(yàn)，靈活運(yùn)用數(shù)

學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決；（2）充分利用各種數(shù)學(xué)思想把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后解答.

【例題1】分類(lèi)討論思想

將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0o<a<360。），得到矩形AEFG.

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，求證：FD=CD;

第1頁(yè)共30頁(yè)

(2)當(dāng)α為何值時(shí)，GC=GB?畫(huà)出圖形，并說(shuō)明理由.

備用圖

【例題2】數(shù)形結(jié)合思想

如圖，在在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZB=90o,且AD=12cm,AB=8cm,DC=IOcm,若動(dòng)點(diǎn)

P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2cm的速度沿線(xiàn)段AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)以每秒3cm

的速度沿CB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q同時(shí)

出發(fā)，并運(yùn)動(dòng)了t秒，回答下列問(wèn)題：

(1)BC=18cm：

(2)當(dāng)t=述秒時(shí),四邊形PQBA成為矩形.

5

(3)當(dāng)t為多少時(shí)，PQ=CD?

(4)是否存在t,使得ADQC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，說(shuō)明理

第2頁(yè)共30頁(yè)

【例題3】轉(zhuǎn)化與化歸思想

（如圖1,研究發(fā)現(xiàn)，科學(xué)使用電腦時(shí)，望向熒光屏幕畫(huà)面一的“視線(xiàn)角”α約為20。，而當(dāng)手指

接觸鍵盤(pán)時(shí)，肘部形成的“手肘角邛約為100°.圖2是其側(cè)面簡(jiǎn)化示意圖，其中視線(xiàn)AB水平,

且與屏幕BC垂直.

（1）若屏幕上下寬BC=20cm,科學(xué)使用電腦時(shí)，求眼睛與屏幕的最短距離AB的長(zhǎng)；

⑵若肩膀到水平地面的距離DG=IOOCm,上臂DE=30cm,下臂EF水平放置在鍵盤(pán)上，

其到地面的距離FH=72cm.請(qǐng)判斷此時(shí)β是否符合科學(xué)要求的100°?

（參考數(shù)據(jù)：sin69。《/，cos21o≈jj,tan20o≈^?,tan43o≈∣∣,所有結(jié)果精確到個(gè)位）

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【例題4】方程思想

(如圖，C,D是以AB為直徑的。O上的點(diǎn)，AC=BC,弦CD交AB于點(diǎn)E.

(1)當(dāng)PB是。O的切線(xiàn)時(shí)，

求證：ZPBD=ZDABi

(2)求證：BC2-CE2=CEDE;

(3)已知0A=4,E是半徑OA的中點(diǎn)，求線(xiàn)段DE的長(zhǎng).

【例題5】函數(shù)思想

在面積都相等的所有矩形中，當(dāng)其中一個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)為1時(shí)，它的另一邊長(zhǎng)為3.

(1)設(shè)矩形的相鄰兩邊長(zhǎng)分別為X,y.

①求y關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式；

②當(dāng)yN3時(shí)，求X的取值范圍：

(2)圓圓說(shuō)其中有一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為6,方方說(shuō)有一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為10,你認(rèn)為圓圓和方方

的說(shuō)法對(duì)嗎？為什么？

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一、選擇題：

1.已知函數(shù)y=(k-3)χ2+2x+l的圖象與X軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是(B)

A.k<4B.k<4C.k<4且"3D.k"且23

2.如圖，數(shù)軸上有A、B、C、D、E、F六個(gè)點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)相鄰的點(diǎn)的距離相等，那么下列說(shuō)法

中錯(cuò)誤的是()

A.表示.原點(diǎn)的數(shù)在C、D之間B.有三個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)是負(fù)數(shù)

C.這六個(gè)數(shù)中沒(méi)有表示整數(shù)的點(diǎn)D.C點(diǎn)與原點(diǎn)最接近

ABCDEF

3.某天小明騎自行車(chē)上學(xué)，途中因自行車(chē)發(fā)生故障，修車(chē)耽誤了一段時(shí)間后繼續(xù)騎行，按

時(shí)趕到了學(xué)校.如圖描述了他上學(xué)的情景，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()

B.學(xué)校離家的距離為2000米

C.到達(dá)學(xué)校時(shí)共用時(shí)間20分鐘

D.自行車(chē)發(fā)生故障時(shí)離家距離為IOoo米

4.如圖是由8個(gè)全等的矩形組成的大正方形,線(xiàn)段AB的端點(diǎn)都在小矩形的頂點(diǎn)上,如果點(diǎn)P

是某個(gè)小矩形的頂點(diǎn),連接PA,PB,那么使aABP為等腰直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

5.如圖，拋物線(xiàn)y=aχ2+bx+c的圖象交X軸于A(yíng)(-2,0)和點(diǎn)B,交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C,

且OB=OC.下列結(jié)論：①2b—c=2；②a=1；③ac=b-1；醉土龍>0.其中正確的個(gè)數(shù)有

2c

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A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題：

6.AsB兩地相距450km,甲，乙兩車(chē)分別從A,B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行.已知甲車(chē)速

度為120km/h,乙車(chē)速度為80km/h,過(guò)t(h)后兩車(chē)相距50km,則t的值是.

7.如圖，在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,點(diǎn)E、F分別在BC、CD±,若AE=JmNEAF=45°,

則AF的長(zhǎng)為—.

8.如果等腰三角形中的一個(gè)角是另一個(gè)角度數(shù)的一半，則該等腰三角形各內(nèi)角的度數(shù)

是.

9.如圖所示，在aABC中，ZB=90",AB=6厘米，BC=3厘米，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向B

以2厘米/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以1厘米/秒的速度移動(dòng)，如果P、

Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，秒鐘后P、Q間的距離等于2、西厘米。

10.有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊分別為6m,8m,現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三

角形,且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊的直角三角形,擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長(zhǎng).

三、解答題：

11.已知AABC中，AB=20,AC=15,BC邊上的高為12,求AABC的面積.

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12.(某班級(jí)同學(xué)從學(xué)校出發(fā)去扎龍自然保護(hù)區(qū)研學(xué)旅行，一部分乘坐大客車(chē)先出發(fā)，余下的

幾人20min后乘坐小轎車(chē)沿同一路線(xiàn)出行，大客車(chē)中途停車(chē)等候，小轎車(chē)趕上來(lái)之后，大

客車(chē)以出發(fā)時(shí)速度的”繼續(xù)行駛，小轎車(chē)保持原速度不變.小轎車(chē)司機(jī)因路線(xiàn)不熟錯(cuò)過(guò)了景

7

點(diǎn)入口，在駛過(guò)景點(diǎn)入口6km時(shí)，原路提速返回，恰好與大客車(chē)同時(shí)到達(dá)景點(diǎn)入口.兩車(chē)

距學(xué)校的路程s(km)和行駛時(shí)間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

請(qǐng)結(jié)合圖象解決下面問(wèn)題：

------小轎車(chē)

-------大客車(chē)

s/km

D

(1)學(xué)校到景點(diǎn)的路程為—km,大客車(chē)途中停留了—min,a=—；

(2)在小轎車(chē)司機(jī)駛過(guò)景點(diǎn)入口時(shí)，大客車(chē)離景點(diǎn)入口還有多遠(yuǎn)？

(3)小轎車(chē)司機(jī)到達(dá)景點(diǎn)入口時(shí)發(fā)現(xiàn)本路段限速80km/h,請(qǐng)你幫助小轎車(chē)司機(jī)計(jì)算折返時(shí)是

否超速？

(4)若大客車(chē)一直以出發(fā)時(shí)的速度行駛，中途不再停車(chē)，那么小轎車(chē)折返后到達(dá)景點(diǎn)入口，

需等待一分鐘，大客車(chē)才能到達(dá)景點(diǎn)入口.

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13.如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=幺(×>0)的圖象交于A(yíng)(m,6),B(3,n)

X

兩點(diǎn).

(1)直接寫(xiě)出m=,n=；

(2)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出使kx+b<$成立的X的取值范圍：

X

(3)在X軸上找一點(diǎn)P使PA+PB的值最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo).

14."五?一"期間，小明到小陳家所在的美麗鄉(xiāng)村游玩，在村頭A處小明接到小陳發(fā)來(lái)的定位,

發(fā)現(xiàn)小陳家C在自己的北偏東45。方向，于是沿河邊筆直的綠道I步行200米到達(dá)B處，這

時(shí)定位顯示小陳家C在自己的北偏東30。方向，如圖所示，根據(jù)以上信息和下面的對(duì)話(huà)，請(qǐng)

你幫小明算一算他還需沿綠道繼續(xù)直走多少米才能到達(dá)橋頭D處(精確到1米)(備用數(shù)據(jù):

Ji=I.414,75≈1.732)

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15.(如圖，已知拋物線(xiàn)y=aχz+bx+6(a≠θ)與X軸交于點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)B(l,0),與y軸交于

點(diǎn)C.

(1)求拋物線(xiàn)y的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)M為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若MA=MB=MC,求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)E,使4tan∕ABE=IItanNACB?若存在，求出滿(mǎn)足條件的所有

點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

備用圖

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2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺第U講：思想方法性問(wèn)題答案解

析

【難點(diǎn)突破】著眼思路，方法點(diǎn)撥，疑難突破；

數(shù)學(xué)思想方法是指對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法形成的規(guī)律性的理性認(rèn)識(shí)，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本

策略.數(shù)學(xué)思想方法是把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，靈活運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想方法是提高解題能

力的根本所在.因此，在復(fù)習(xí)時(shí)要注意總結(jié)體會(huì)教材例題、習(xí)題以及中考試題中所體現(xiàn)的數(shù)

學(xué)思想和方法，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的意識(shí)和能力.

類(lèi)型一分類(lèi)討論思想

分類(lèi)討論思想是指當(dāng)被研究的問(wèn)題存在一些不確定的因素，無(wú)法用統(tǒng)一的方法或結(jié)論給

出統(tǒng)一的表述時(shí)，按可能出現(xiàn)的所有情況來(lái)分別討論，得出各情況下相應(yīng)的結(jié)論.分類(lèi)的原

則：⑴分類(lèi)中的每一部分是相互獨(dú)立的；（2）一次分類(lèi)必須是同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)；⑶分類(lèi)討論要逐

級(jí)進(jìn)行：（4）分類(lèi)必須包含所有情況，既不能重復(fù)，也不能有遺漏.

類(lèi)型二數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是把抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái)分析問(wèn)題，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和直觀(guān)的

圖形語(yǔ)言結(jié)合起來(lái)表示問(wèn)題，從而解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題，關(guān)鍵

是要找到數(shù)與形的契合點(diǎn).數(shù)形結(jié)合在不等式（組）、函數(shù)等知識(shí)中有著廣泛的應(yīng)用，綜合題

中始終滲透著對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的考查.

類(lèi)型三轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想是一種最基本的數(shù)學(xué)思想，用于解決問(wèn)題時(shí)的基本思想是化未知為已知,

把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，把生疏的問(wèn)題熟悉化，把非常規(guī)的問(wèn)題化為常規(guī)問(wèn)題，把實(shí)際問(wèn)題數(shù)

學(xué)化，實(shí)現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題間的相互轉(zhuǎn)化，這也體現(xiàn)了把不易解決的問(wèn)題化為有章可循、容

易解決問(wèn)題的思想.

類(lèi)型四數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)學(xué)建模思想就是構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的思想，即用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言一一公式、符號(hào)、圖表等刻畫(huà)

一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，然后經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)的處理一一計(jì)算解決問(wèn)題.利用模型思想解決問(wèn)題的關(guān)鍵：⑴

抓住關(guān)鍵的字、詞、句，把生活中的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，結(jié)合生活中的經(jīng)驗(yàn)，靈活運(yùn)用數(shù)

學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決；（2）充分利用各種數(shù)學(xué)思想把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后解答.

【例題1】分類(lèi)討論思想

（將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0yα<36（）θ）,得到矩形AEFG.

第10頁(yè)共30頁(yè)

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，求證：FD=CD;

(2)當(dāng)α為何值時(shí)，GC=GB?畫(huà)出圖形，并說(shuō)明理由.

備用圖

【分析】(1)先判定四邊形BDFA是平行四邊形，可得FD=AB,再根據(jù)AB=CD,即可得

出FD=CD:

(2)當(dāng)GC=GB時(shí)，點(diǎn)G在BC的垂直平分線(xiàn)上，分情況討論，即可得到旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

【解答】⑴如圖1,連接AE

BA

圖1

由四邊形ABCD是矩形，結(jié)合旋轉(zhuǎn)可得BD=AF,NEAF=NABD.

VAB=AE,ΛZABD=ZAEB,

ΛZEAF=ZAEB,ΛBD√AF,

二四邊形BDFA是平行四邊形，.?.FD=AB.

VAB=CD,ΛFD=CD.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)G位于BC的垂直平分線(xiàn)上，且在BC的右邊時(shí)，連接DG,CG,BG,

第11頁(yè)共30頁(yè)

F

D

BA

圖2

易知點(diǎn)G也是AD的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)，.?.DG=AG.

?'??ADG是等邊二角形，

.?.NDAG=60°,.?.α=60°.

如圖3,當(dāng)點(diǎn)G位于BC的垂直平分線(xiàn)上，且在BC的左邊時(shí)，連接CG,BG,DG,

同理，AADG是等邊三角形，

；.ZDAG=60。，此時(shí)a=300。.

綜上所述，當(dāng)a為60?；?00。時(shí)?，GC=GB.

【歸納】在數(shù)學(xué)中，如果一個(gè)命題的條件或結(jié)論有多種可能的情況，難以統(tǒng)一解答，那么就

需要按可能出現(xiàn)的各種情況分類(lèi)討論，最后綜合歸納問(wèn)題的正確答案.

【例題2】數(shù)形結(jié)合思想

如圖，在在四邊形ABCD中，AD〃BC,NB=90。，且AD=12cm,AB=8cm,DC=IOcm,若動(dòng)點(diǎn)

P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2cm的速度沿線(xiàn)段AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)以每秒3cm

的速度沿CB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q同時(shí)

出發(fā),,并運(yùn)動(dòng)了t秒，回答下列問(wèn)題：

(1)BC=18cm：

第12頁(yè)共30頁(yè)

(2)當(dāng)t=￡■秒時(shí),四邊形PQBA成為矩形.

5

(3)當(dāng)t為多少時(shí)，PQ=CD?

(4)是否存在t,使得ADQC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由.

【解答】解：根據(jù)題意得：PA=2t,CQ=3t,則PD=AD-PA=I2-23

(1)如圖，過(guò)D點(diǎn)作DEJ_BC于E,則四邊形ABED為矩形，

/.DE=AB=8cm,AD=BE=12cm,

在RtZ?CDE中，VZCED=90o,DC=10cm,DE=8cm,

?■?EC=VDC2-DE2=6cm,

BC=BE+EC=18cm.

故答案為18；

(2)VAD√BC,ZB=90β

當(dāng)PA=BQ時(shí)，四邊形PQBA為矩形，

即2t=18-3t,

解得t=單秒，

故當(dāng)t=畢秒時(shí)，四邊形PQBA為矩形；

5

故答案為畢；

5

(3)

①當(dāng)PQ〃CD時(shí)，如圖，

VADΛzBC,

???四邊形CDPQ是平行四邊形，

ΛP,Q,=CD,DP,=CQ',

Λ12-2t=3t,

.??H?L?秒，

5

②如圖，梯形PDCQ是等腰梯形時(shí)，PQ=CD,

第13頁(yè)共30頁(yè)

易證，四邊形PDEF是矩形,

ΛEF=DP=12-2t,

易證，Z?CDE絲ZXQPF,

ΛFQ=CE=G,

ΛCQ=FQ+EF+CE=6+12-2t+6=3t,

Λt=21

5

（4）4DQC是等腰三角形時(shí)，分三種情況討論:

①當(dāng)QC=DC時(shí)，即3t=10,

3

②當(dāng)DQ=DC時(shí)，—=6,

2

Λt=4;

6

③當(dāng)QD=QC時(shí)，3t?左=5,

?.痔

故存在使得是等腰三角形，此時(shí)的值為空■秒或

3ADQCt4秒.

3

【歸納】把問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系與形象直觀(guān)的幾何圖形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，并充分利用這種結(jié)合

尋找解題的思路，使問(wèn)題得以解決.

【例題3】轉(zhuǎn)化與化歸思想

（如圖1,研究發(fā)現(xiàn)，科學(xué)使用電腦時(shí)，望向熒光屏幕畫(huà)面的“視線(xiàn)角''α約為20。，而當(dāng)手指

接觸鍵盤(pán)時(shí)，肘部形成的“手肘角''β約為100。.圖2是其側(cè)面簡(jiǎn)化示意圖，其中視線(xiàn)AB水平,

且與屏幕BC垂直.

第14頁(yè)共30頁(yè)

(1)若屏幕上下寬BC=20cm,科學(xué)使用電腦時(shí)，求眼睛與屏幕的最短距離AB的長(zhǎng)；

(2)若肩膀到水平地面的距離DG=IOOcm,上臂DE=30cm,下臂EF水平放置在鍵盤(pán)上,

其到地面的距離FH=72cm.請(qǐng)判斷此時(shí)β是否符合科學(xué)要求的100°?

(參考數(shù)據(jù)：sin69o≈j^,cos21o≈γ^,tan20o≈γj-.tan43o≈j^,所有結(jié)果精確到個(gè)位)

【分析】(1)在Rt?ABC中利用三角函數(shù)即可直接求解；

(2)延長(zhǎng)FE交DG于點(diǎn)L利用三角函數(shù)求得NDEl即可求得P的度數(shù)，從而作出判斷.

【解答】(1)：RtAABC中，tanA=9，

.BCBC.gθ、

..AB=------=---------≈.=55(cm).

tanAtan20o?

11

(2)如圖，延長(zhǎng)FE交DG于點(diǎn)I,則四邊形GHFl為矩形,

ΛI(xiàn)G=FH,

ADl=DG-FH=100-72=28(Cm).

在RtZSDEI中，sinZDEI=—=—=—,

DE3015

ΛZDEI≈69o,

.?.p=180°-69°=lll°≠100°,

此時(shí)β不符合科學(xué)要求的100°.

【歸納】把一種數(shù)學(xué)問(wèn)題合理地轉(zhuǎn)化成另一種數(shù)學(xué)問(wèn)題可以有效地解決問(wèn)題.在解三角形

中，將非直角三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)。

【例題4】方程思想

(如圖，C,D是以AB為直徑的。O上的點(diǎn)，AC=BC,弦CD交AB于點(diǎn)E.

(1)當(dāng)PB是。O的切線(xiàn)時(shí)，

求證：ZPBD=ZDAB;

第15頁(yè)共30頁(yè)

(2)求證：BC2-CE2=CEDE;

(3)已知0A=4,E是半徑OA的中點(diǎn)，求線(xiàn)段DE的長(zhǎng).

【分析】(1)由AB是。。的直徑知/BAD+/ABD=90。，由PB是。O的切線(xiàn)知NPBD+

ZABD=90o,據(jù)此可得證;

(2)連接OC,設(shè)圓的半徑為r,ijE?ADE^ΔCBE,由/=前知NAC)C=NBoC=90。，再

根據(jù)勾股定理即可得證；

(3)先求出BC,CE,再根據(jù)BC2-CE2=CEDE計(jì)算可得.

【解答】

(I);AB是G)O的直徑，

ΛZADB=90o,ΛZBAD+ZABD=90o.

VPB是。O的切線(xiàn)，

ΛZABP=90o,ΛZPBD+ZABD=90o,

NBAD=NPBD.

(2)VZA=ZDCB,ZAED=ZCEB,

Λ?ADE^ΔCBE,

DFAF

A—=—,即DE?CE=AE?BE.

BECE

如圖，連接OC.

設(shè)圓的半徑為r,

則OA=OB=C)C=r,

第16頁(yè)共30頁(yè)

則DE?CE=AE?BE=(OA—OE)(OB+OE)=F-OE2.

VAC=BC,

.?.NAOC=NBOC=90°,

ΛCE2=OE2+OC2=OE2+r2,

BC2=BO2+CO2=2r2,

則BC2-CE2=2r2-(OE2+r2)=r2-OE2,

ΛBC2-CE2=DECE.

(3)VOA=4,Λ0B=0C=0A=4,

.*.BC=√O(píng)B2+OC2=4√2.

又是半徑OA的中點(diǎn)，

ΛAE=0E=2,

則CE=√O(píng)C2+OE2=√42+22=2√5.

?/BC2-CE2=DECE,

(4的2-(2√5)2=DE?2√5,

解得DE=皆.

【歸納】在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有一種從未知轉(zhuǎn)化為已知的手段就是設(shè)元，尋找已知與未知之

間的等量關(guān)系，構(gòu)造方程或方程組，然后求解方程完成未知向己知的轉(zhuǎn)化.

【例題5】函數(shù)思想

在面積都相等的所有矩形中，當(dāng)其中一個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)為1時(shí)，它的另一邊長(zhǎng)為3.

(1)設(shè)矩形的相鄰兩邊長(zhǎng)分別為X,y.

①求y關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式；

②當(dāng)yN3時(shí)，求X的取值范圍；

(2)圓圓說(shuō)其中有一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為6,方方說(shuō)有一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為10,你認(rèn)為圓圓和方方

的說(shuō)法對(duì)嗎？為什么？

【分析】(1)①直接利用矩形面積求法進(jìn)而得出y與X之間的關(guān)系；②直接利用y>3得出X

的取值范圍；

(2)直接利用x+y的值結(jié)合根的判別式得出答案.

【解答】

(1)①由題意可得xy=3,則y=3.

X

②當(dāng)淪3時(shí)，->3,解得爛1,

第17頁(yè)共30頁(yè)

.?.x的取值范圍是OVXSL

(2)；一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為6,.?.x+y=3,

Λx÷-=3,整理得χ2-3x+3=0.

X

Vb2-4ac=9-12=-3<0,

.?.矩形的周長(zhǎng)不可能是6,

.?.圓圓的說(shuō)法不對(duì).

：一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為10,

??x+y=5,

Λx÷-=5,整理得χ2-5x+3=0.

X

?.E-4ac=25-12=13>0,...矩形的周長(zhǎng)可能是10,

方方的說(shuō)法對(duì).

【歸納】在解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，建立函數(shù)模型一求出函數(shù)表達(dá)式T結(jié)合函數(shù)表達(dá)式與函數(shù)的性

質(zhì)作出解答.要注意從幾何和代數(shù)兩個(gè)角度思考問(wèn)題.

【最新試題】名校直考，巔峰沖刺，一步到位。

一、選擇題：

1.已知函數(shù)y=(k—3)χ2+2x+l的圖象與X軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是(B)

A.k<4B.k<4C.k<4且厚3D.仁4且厚3

【解析】①當(dāng)k-3≠0時(shí),(k-3)x2+2x+l=0,

Δ=b2-4ac=22-4(k-3)×l=-4k+16>0,k<4；

②當(dāng)k—3=0,即k=3時(shí)，y=2x+1,與X軸有交點(diǎn).故選B.

2.如圖，數(shù)軸上有A、B、C、D、E、F六個(gè)點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)相鄰的點(diǎn)的距離相等，那么下列說(shuō)法

中錯(cuò)誤的是()

A.表示原點(diǎn)的數(shù)在C、D之間B.有三個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)是負(fù)數(shù)

C.這六個(gè)數(shù)中沒(méi)有表示整數(shù)的點(diǎn)D.C點(diǎn)與原點(diǎn)最接近

▲▲.A._A.▲_A__.

ABCDEF

【解答】A點(diǎn)到F點(diǎn)的距離是63,且相鄰的點(diǎn)之間的距離相等，所以每?jī)蓚€(gè)相鄰點(diǎn)間距離

4

為」÷5=二”原點(diǎn)在C、D之間，391>321，因此原點(diǎn)靠近D點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)表示的數(shù)

第18頁(yè)共30頁(yè)

是負(fù)數(shù)，B點(diǎn)表示的數(shù)是分?jǐn)?shù).故選D。

3.某天小明騎自行車(chē)上學(xué)，途中因自行車(chē)發(fā)生故障，修車(chē)耽誤了一段時(shí)間后繼續(xù)騎行，按

時(shí)趕到了學(xué)校.如圖描述了他上學(xué)的情景，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()

A.修車(chē)時(shí)間為15分鐘

B.學(xué)校離家的距離為2000米

C.到達(dá)學(xué)校時(shí)共用時(shí)間20分鐘

D.自行車(chē)發(fā)生故障時(shí)離家距離為1000米

【分析】觀(guān)察圖象，明確每一段小明行駛的路程，時(shí)間，作出判斷.

【解答】解：由圖可知，修車(chē)時(shí)間為15-10=5分鐘，可知A錯(cuò)誤；B、C、D三種說(shuō)法都符

合題意.

故選A.

4.如圖是由8個(gè)全等的矩形組成的大正方形,線(xiàn)段AB的端點(diǎn)都在小矩形的頂點(diǎn)上,如果點(diǎn)P

是某個(gè)小矩形的頂點(diǎn),連接PA,PB,那么使aABP為等腰直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【解析】由圖可知,矩形的長(zhǎng)是寬的2倍,以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形的點(diǎn)P有2

個(gè),以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形的點(diǎn)P有1個(gè)滿(mǎn)足條件的有3個(gè).

5.如圖，拋物線(xiàn)y=aχ2+bx+c的圖象交X軸于A(yíng)(-2,0)和點(diǎn)B,交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C,

且OB=C)C.下列結(jié)論：①2b—c=2；②a=?③ac=b-1；④^土^>0.其中正確的個(gè)數(shù)有

2c

()

第19頁(yè)共30頁(yè)

【解析】在y=aχ2+bx+c中,當(dāng)x=0時(shí)，y=c,.*.C(O,c),ΛOC=-c,VOB=OC,ΛB(-

c,O).VA(-2,O),???一c、一2是一元二次方程aχ2+bx+c=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

/.-c(—2)=2,β/c≠0?.?.a=L②正確；

a2

Ya=：,-c、一2是一元二次方程gχ2+bx+c=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，；.一c+(-2)=

b

-P即2b—c=2,①正確；

2

把B(—c,0)代入y=aχ2+bx+c,W0=a(-c)2÷b?(-c)+c,BPac2-bc÷c=O.Vc≠O,Λac

—b+l=0,Λac=b-1,③正確;

；拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，.?.a>0.:拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)，.?.一b<0,.?.b>O..?.a+b>O.:

2a

拋物線(xiàn)與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,.?.c<0..?.也<0,④不正確.

c

故選Co

二、填空題：

6.A、B兩地相距450km,甲，乙兩車(chē)分別從A,B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行.已知甲車(chē)速

度為120km/h,乙車(chē)速度為80km/h,過(guò)t(h)后兩車(chē)相距50km,則t的值是.

【解析】分相遇前和相遇后兩種情況討論.

①當(dāng)甲，乙兩車(chē)未相遇時(shí)，根據(jù)題意，得120t+80t=450-50,解得t=2；

②當(dāng)兩車(chē)相遇后，兩車(chē)又相距50km時(shí)，根據(jù)題意，得120t+80t=450+50,解得t=2.5.

7.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,點(diǎn)E、F分別在BC、CD±,若AE=遙，NEAF=45。,

貝UAF的長(zhǎng)為—.

【分析】取AB的中點(diǎn)M,連接ME,在A(yíng)D上截取ND=DF,設(shè)DF=DN=X,則NF=&x,再利

用矩形的性質(zhì)和己知條件證明^AMES^FNA,利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等

可求出X的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的長(zhǎng).

第20頁(yè)共30頁(yè)

【解答】解：取AB的中點(diǎn)M,連接ME,在A(yíng)D上截取ND=DF,設(shè)DF=DN=x,

Y四邊形ABCD是矩形，

ΛZD=ZBAD=ZB=90o,AD=BC=4,ΛNF=V2x,AN=4-x,

?.,AB=2,，AM=BM=I,YAE=遍，AB=2,ΛBE=1,ΛME=VBM2+BE2=√2,

VZEAF=450,ΛZMAE+ZNAF=450,

VZMAE+ZAEM=450,ΛZMEA=ZNAF,Λ?AME<^?FNA,

包=也，：.3旦,解得：X=t.?.AF=而誕處.

EVAN√2x4-x33

故答案為：

3

8.如果等腰三角形中的一個(gè)角是另一個(gè)角度數(shù)的一半，則該等腰三角形各內(nèi)角的度數(shù)

是.

【解析】設(shè)NA,ZB,/C是該等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角，且NA=1/B.設(shè)NA=x。，則/B

2

=2xo.

①若NB是頂角，則∕A,NC是底角，于是有NC=NA=x。.

VZA+ZB+ZC=180°,

.?.x+2x+x=180.解得x=45。，

故NA=NC=45,ZB=90°.

②若NB是底角，因?yàn)镹AJNB,所以NA是頂角，ZC=ZB=2xo.

VZA+ZB+ZC=180o,

第21頁(yè)共30頁(yè)

.?.2x+2x+x=180.解得x=36,故∕A=36°,ZB=ZC=72o.

綜上所述，等腰三角形的各內(nèi)角為45。、45。、90?；?6。、72。、72°.

9.如圖所示，在A(yíng)ABC中，NB=90。，AB=6厘米，BC=3厘米，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向B

以2厘米/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以1厘米/秒的速度移動(dòng)，如果P、

Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，秒鐘后P、Q間的距離等于2灰厘米。

【分析】設(shè)t秒后PQ=2√ξ,則BP=6-2t,BQ=3-t,在直角ABPQ中，根據(jù)勾股定理

BP2+BQ2=PQ2可求t的值.

【解答】在直角三角形中AB=6cm=2BC=2χ3cm,

且P的移動(dòng)速度是Q的移動(dòng)速度的2倍，

ΛBP,BQ滿(mǎn)足BP=2BQ的關(guān)系

設(shè)t秒后PQ=2√5'

則BP=6-2t,BQ=3-t,

且(6-2t)2+(3-t)2=(2,^5),

解得t=l.故1秒后PQ間的距離為2JE

10.有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊分別為6m,8m,現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三

角形，且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊的直角三角形，擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長(zhǎng).

【解答】解：在RtZXABC中，ZACB=90o,AC=8,BC=6,

由勾股定理有：AB=IO,應(yīng)分以下三種情況：

①如圖L當(dāng)AB=AD=Io時(shí),

VAClBD,

ΛCD=CB=6m,

Λ?ABD的周長(zhǎng)=IO+10+2χ6=32m.

②如圖2,當(dāng)AB=BD=Io時(shí),

??BC=Gm,

ΛCD=IO-6=4m,

JAD=VAC2+DC2=V82+4j4λ∕Sm'

第22頁(yè)共30頁(yè)

,△ABD的周長(zhǎng)=10+10+4?用=（20+4、、,%）m.

③如圖3,當(dāng)AB為底時(shí)，設(shè)AD=BD=X,則CD=X-6,

由勾股定理得：22

AD=√g+(x-6)=×

解得，X=學(xué),

,△ABD的周長(zhǎng)為：AD+BD+AB=-m.

3

故答案為：32m或(20+4,后)m或②m.

三、解答題:

11.已知aABC中，AB=20,AC=15,BC邊上的高為12,求aABC的面積.

【解答】解：作ADjLBC于D,則AD為BC邊上的高，AD=12.分兩種情況:

①高AD在三角形內(nèi)，如圖所示：在RtZ?ADC中，由勾股定理得：

AC2=AD2+DC2,

ΛDC=9,

在RtAADB中，由勾股定理得：

AB2=AD2+BD2,

.?.BD=16,

.?.BC=BD+DC=16+9=25,

.".SΔABC^×25×12=150;

2

②高AD在三角形外，如圖所示:

在RtAADC中，由勾股定理得：

AC2=AD2+DC2

ΛDC=9,

在RtAADB中，由勾股定理得:

AB2=AD2+BD2,

第23頁(yè)共30頁(yè)

ΛBD=16,

ΛBC=BD-DC=16-9=7,

?"?SABC=,*?×7×12=42.

2

故答案為：150或42.

12.(某班級(jí)同學(xué)從學(xué)校出發(fā)去扎龍自然保護(hù)區(qū)研學(xué)旅行，一部分乘坐大客車(chē)先出發(fā)，余下的

幾人20min后乘坐小轎車(chē)沿同一路線(xiàn)出行，大客車(chē)中途停車(chē)等候，小轎車(chē)趕上來(lái)之后，大

客車(chē)以出發(fā)時(shí)速度的也繼續(xù)行駛，小轎車(chē)保持原速度不變.小轎車(chē)司機(jī)因路線(xiàn)不熟錯(cuò)過(guò)了景

7

點(diǎn)入口，在駛過(guò)景點(diǎn)入口6km時(shí)，原路提速返回，恰好與大客車(chē)同時(shí)到達(dá)景點(diǎn)入口.兩車(chē)

距學(xué)校的路程s(km)和行駛時(shí)間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

請(qǐng)結(jié)合圖象解決下面問(wèn)題：

------小轎車(chē)

-------大客車(chē)

s/km

D

(1)學(xué)校到景點(diǎn)的路程為—km,大客車(chē)途中停留了—min,a=—；

(2)在小轎車(chē)司機(jī)駛過(guò)景點(diǎn)入口時(shí)，大客車(chē)離景點(diǎn)入口還有多遠(yuǎn)？

(3)小轎車(chē)司機(jī)到達(dá)景點(diǎn)入口時(shí)發(fā)現(xiàn)本路段限速80km/h,請(qǐng)你幫助小轎車(chē)司機(jī)計(jì)算折返時(shí)是

否超速？

(4)若大客車(chē)一直以出發(fā)時(shí)的速度行駛，中途不再停車(chē)，那么小轎車(chē)折返后到達(dá)景點(diǎn)入口，

第24頁(yè)共30頁(yè)

需等待一分鐘，大客車(chē)才能到達(dá)景點(diǎn)入口.

【分析】(1)根據(jù)圖形可得總路程和大客車(chē)途中停留的時(shí)間，先計(jì)算小轎車(chē)的速度，再根據(jù)

時(shí)間計(jì)算a的值；

(2)計(jì)算大客車(chē)的速度，可得大客車(chē)后來(lái)行駛的速度，計(jì)算小轎車(chē)趕上來(lái)之后大客車(chē)行駛的

路程，從而可得結(jié)論；

(3)先計(jì)算直線(xiàn)CD的表達(dá)式，計(jì)算小轎車(chē)駛過(guò)景點(diǎn)入口6km時(shí)的時(shí)間，再計(jì)算大客車(chē)到達(dá)

終點(diǎn)的時(shí)間，根據(jù)路程與時(shí)間的關(guān)系可得小轎車(chē)行駛6km的速度與80km/h作比較可得結(jié)

論.

(4)利用路程÷速度=時(shí)間計(jì)算出大客車(chē)所用時(shí)間，計(jì)算與小轎車(chē)的時(shí)間差即可.

【解答】(1)由圖形可得學(xué)校到景點(diǎn)的路程為40km,大客車(chē)途中停留了5min,

4∩

小轎車(chē)的速度為'V=l(km∕min),

60-20

a=(35-20)×l=15.

故答案為40,5,15.

(2)由⑴得a=15,.?.大客車(chē)的速度為畀/km∕min)?

小轎車(chē)趕上來(lái)之后，大客車(chē)又行駛了(60—35)x∕xB=5?km),40-^-15=y(km).

答：在小轎車(chē)司機(jī)駛過(guò)景點(diǎn)入口時(shí)，大客車(chē)離景點(diǎn)入口還有包km.

7

(20k÷b=0,Ik=1,

(3)設(shè)直線(xiàn)CD的表達(dá)式為s=kt+b,將(20,0)和(60,40)代入得?解得?

60k+b=40,M=-20,

???直線(xiàn)CD的表達(dá)式為s=t-20.

當(dāng)s=46時(shí),46=t-20,解得t=66.

40-15

小轎車(chē)趕上來(lái)之后，大客車(chē)又行駛的時(shí)間為^∩6=35(min),

-X--

27

小轎車(chē)司機(jī)折返時(shí)的速度為6÷(35+35-66)=∣(km∕min)=90km/h>80km/h.

答：小轎車(chē)折返時(shí)己經(jīng)超速.

40

(4)大客車(chē)的時(shí)間：γ=80(min),80—70=10(min).

2

故答案為10.

13.如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)丫=9(x>0)的圖象交于A(yíng)(m,6),B(3,n)

X

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兩點(diǎn).

（1）直接寫(xiě)出m=,n=；

（2）根據(jù)圖象直接寫(xiě)出使kx+bV?^成立的X的取值范圍

X

（3）在X軸上找一點(diǎn)P使PA+PB的值最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo).

【分析】（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入即可得：

（2）由函數(shù)圖象即可得；

（3）作點(diǎn)A關(guān)于X軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C,連接BC與X軸的交點(diǎn)即為所求.

【解答】解：（I）把點(diǎn)（m,6）,B（3,n）分別代入y=2?（×>0）得：m=l,n=2,

X

故答案為：1、2；

（2）由函數(shù)圖象可知，使kx+b<±?成立的X的取值范圍是O<x<l或x>3,

X

故答案為：0<x<l或X>3;

（3）由（1）知A點(diǎn)坐標(biāo)為（1,6）,B點(diǎn)坐標(biāo)為（3,2）,

則點(diǎn)A關(guān)于X的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C的坐標(biāo)（1,-6）,

設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+b,

將點(diǎn)B、C坐標(biāo)代入，得：

∫3k+b=2

lk+b=-6,

解得：,

Ib=-IO

則直線(xiàn)BC的解析式為y=4×-10,

當(dāng)y=0時(shí)，由4x-10=0得：X=—,

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為（彳，0）.

14.〃五?一〃期間，小明到小陳家所在的美麗鄉(xiāng)村游玩，在村頭A處小明接到小陳發(fā)來(lái)的定位,

發(fā)現(xiàn)小陳家C在自己的北偏東45。方向，于是沿河邊筆直的綠道I步行200米到達(dá)B處，這